Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor

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1 Paramètre de longue mémoire d une série temporelle : le cas non linéaire Travail en collaboration avec F.Roueff M.S.Taqqu C.Tudor

2 Notion de longue mémoire Les valeurs d une série temporelle X = (X l ) l Z sont en général dépendantes.

3 Notion de longue mémoire Les valeurs d une série temporelle X = (X l ) l Z sont en général dépendantes. Objectif : identifier et modéliser cette structure de dépendance.

4 Notion de longue mémoire Les valeurs d une série temporelle X = (X l ) l Z sont en général dépendantes. Objectif : identifier et modéliser cette structure de dépendance. Outil possible : notion de longue mémoire.

5 Notion de longue mémoire Notion introduite par B.Mandelbrot et ses collaborateurs dans les années (Mandelbrot (1965), Mandelbrot Van ness (1968), Mandelbrot Wallis (1968,1969).

6 Notion de longue mémoire Notion introduite par B.Mandelbrot et ses collaborateurs dans les années (Mandelbrot (1965), Mandelbrot Van ness (1968), Mandelbrot Wallis (1968,1969). Objectif : expliquer le phénomène de Hurst (1951) lié à l étude des niveaux du Nil.

7 Notion de longue mémoire Minima annuel des eaux du Nil : années

8 Notion de longue mémoire Comportement inhabituel de certaines statistiques de cette série temporelle.

9 Notion de longue mémoire Comportement inhabituel de certaines statistiques de cette série temporelle. Théorème central limite (CLT) non vérifié.

10 Notion de longue mémoire X = (X l ) l Z série temporelle stationnaire gaussienne centrée telle que Var(X 0 ) = 1. Pour tout l Z, on note γ X (l) = E(X 0 X l ). S n = 1 ( n Σ n 1 l=0 X l) pour tout n 1.

11 Notion de longue mémoire X = (X l ) l Z série temporelle stationnaire gaussienne centrée telle que Var(X 0 ) = 1. Pour tout l Z, on note γ X (l) = E(X 0 X l ). S n = 1 ( n Σ n 1 l=0 X l) pour tout n 1. Var(S n ) = 1 n + 2 n 2 n 2 (n l)γ X (l). l=0

12 Notion de longue mémoire X = (X l ) l Z série temporelle stationnaire gaussienne centrée telle que Var(X 0 ) = 1. Pour tout l Z, on note γ X (l) = E(X 0 X l ). S n = 1 ( n Σ n 1 l=0 X l) pour tout n 1. Var(S n ) = 1 n + 2 n 2 n 2 (n l)γ X (l). l=0 l N γ X (l) < n 1/2 S n asymptotiquement gaussien : CLT vérifié.

13 Notion de longue mémoire X = (X l ) l Z série temporelle stationnaire gaussienne centrée telle que Var(X 0 ) = 1. Pour tout l Z, on note γ X (l) = E(X 0 X l ). S n = 1 ( n Σ n 1 l=0 X l) pour tout n 1. Var(S n ) = 1 n + 2 n 2 n 2 (n l)γ X (l). l=0 l N γ X (l) < n 1/2 S n asymptotiquement gaussien : CLT vérifié. Deux cas : l N γ X (l) sommable ou non sommable.

14 Notion de longue mémoire X = (X l ) l Z série temporelle stationnaire. Cas l N γ X (l) <, série temporelle X à mémoire courte.

15 Notion de longue mémoire X = (X l ) l Z série temporelle stationnaire. Cas l N γ X (l) <, série temporelle X à mémoire courte. Cas l N γ X (l) =, série temporelle X à mémoire longue.

16 Paramètre de mémoire Soit X = (X l ) l Z une série temporelle stationnaire (centrée). Paramètre de mémoire =mesure du degré de longue dépendance d une série temporelle :.

17 Paramètre de mémoire Soit X = (X l ) l Z une série temporelle stationnaire (centrée). Paramètre de mémoire =mesure du degré de longue dépendance d une série temporelle :. Définition basée sur les propriétés au second ordre de X. Deux définitions possibles.

18 Paramètre de mémoire Soit X = (X l ) l Z une série temporelle stationnaire (centrée). Paramètre de mémoire =mesure du degré de longue dépendance d une série temporelle :. Définition basée sur les propriétés au second ordre de X. Deux définitions possibles.

19 Paramètre de mémoire Soit X = (X l ) l Z une série temporelle stationnaire (centrée). Paramètre de mémoire =mesure du degré de longue dépendance d une série temporelle :. Définition basée sur les propriétés au second ordre de X. Deux définitions possibles. Une basée sur la décroissance à l infini de la fonction γx.

20 Paramètre de mémoire Soit X = (X l ) l Z une série temporelle stationnaire (centrée). Paramètre de mémoire =mesure du degré de longue dépendance d une série temporelle :. Définition basée sur les propriétés au second ordre de X. Deux définitions possibles. Une basée sur la décroissance à l infini de la fonction γx. Une basée sur le comportement de la densité spectrale f X de X en 0.

21 Paramètre de mémoire Soit X = (X l ) l Z une série temporelle stationnaire (centrée). Paramètre de mémoire =mesure du degré de longue dépendance d une série temporelle :. Définition basée sur les propriétés au second ordre de X. Deux définitions possibles. Une basée sur la décroissance à l infini de la fonction γx. Une basée sur le comportement de la densité spectrale f X de X en 0. Dans les bons cas, définitions équivalentes (théorèmes taubériens) mais pas toujours le cas.

22 Paramètre de mémoire Définition 1 X processus stationnaire, d < 1/2. d paramètre de mémoire de X au sens de la covariance si : γ X (h) L 1 (h)h 2d 1, quand h, où L 1 ( ) fonction à variation lente à l infini, i.e si pour tout a > 0, lim h L 1 (ah)/l 1 (h) = 1. X à mémoire longue si 0 < d < 1/2 et à mémoire courte si d < 0.

23 Paramètre de mémoire Exemple Prix du pétrole : Janvier 97 à Juin (Mostafei Sakhabakhash, Int.Journ.Acad.Res.(2011)).

24 Paramètre de mémoire Exemple Autocorrélogramme empirique. γ X (h) h 0.25 quand h, d 0.34.

25 Paramètre de mémoire Définition 2 X série temporelle stationnaire admettant une densité spectrale f X, d < 1/2. d paramètre de mémoire de X au sens de la densité spectrale si f X (λ) λ 2d L 2 (1/ λ ), quand λ 0, où L 2 ( ) est une fonction à variation lente à l infini. X à mémoire longue si 0 < d < 1/2 et à mémoire courte si d < 0.

26 Les M(d) processus Objectif estimation introduction d une classe générale de processus : les M(d) processus par Hurvich Ray (1995).

27 Les M(d) processus Objectif estimation introduction d une classe générale de processus : les M(d) processus par Hurvich Ray (1995). Classe qui comprend un grand nombre de modèles classiques (ARFIMA, FBM, FGN).

28 Les M(d) processus Objectif estimation introduction d une classe générale de processus : les M(d) processus par Hurvich Ray (1995). Classe qui comprend un grand nombre de modèles classiques (ARFIMA, FBM, FGN). Modèles pertinents pour de nombreuses séries macro-économiques et financières.

29 Les M(d) processus Objectif estimation introduction d une classe générale de processus : les M(d) processus par Hurvich Ray (1995). Classe qui comprend un grand nombre de modèles classiques (ARFIMA, FBM, FGN). Modèles pertinents pour de nombreuses séries macro-économiques et financières. Deux cas à distinguer : séries temporelles stationnaires et séries temporelles à accroissements stationnaires d ordre K 1.

30 Estimation : les M(d) processus (cas stationnaire) X = (X l ) l Z série temporelle stationnaire admettant une densité spectrale f X, d < 1/2. X est un M(d) processus si f X (λ) = λ 2d f (λ), où f fonction paire, bornée et positive à l origine (L 2 Cte).

31 Estimation : les M(d) processus (cas stationnaire) X = (X l ) l Z série temporelle stationnaire admettant une densité spectrale f X, d < 1/2. X est un M(d) processus si f X (λ) = λ 2d f (λ), où f fonction paire, bornée et positive à l origine (L 2 Cte). Paramètre de mémoire de X =d.

32 Estimation : les M(d) processus (cas non stationnaire) K entier tel que K X stationnaire. X est un M(d) processus si f K X (λ) = 1 e iλ 2(d K) f (λ), où f fonction paire, bornée et positive à l origine.

33 Estimation : les M(d) processus (cas non stationnaire) K entier tel que K X stationnaire. X est un M(d) processus si f K X (λ) = 1 e iλ 2(d K) f (λ), où f fonction paire, bornée et positive à l origine. f X (λ) = 1 e iλ 2K f K X (λ) appelée densité spectrale généralisée de X.

34 Estimation : les M(d) processus (cas non stationnaire) K entier tel que K X stationnaire. X est un M(d) processus si f K X (λ) = 1 e iλ 2(d K) f (λ), où f fonction paire, bornée et positive à l origine. f X (λ) = 1 e iλ 2K f K X (λ) appelée densité spectrale généralisée de X. f X (λ) λ 2d quand λ 0.

35 Estimation : les M(d) processus (cas non stationnaire) K entier tel que K X stationnaire. X est un M(d) processus si f K X (λ) = 1 e iλ 2(d K) f (λ), où f fonction paire, bornée et positive à l origine. f X (λ) = 1 e iλ 2K f K X (λ) appelée densité spectrale généralisée de X. f X (λ) λ 2d quand λ 0. Paramètre de mémoire de X = d.

36 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) Processus ARMA : mémoire courte.

37 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) Processus ARMA : mémoire courte. Généralisation de ces modèles introduite par Granger Joyeux (1980) : modèles ARFIMA à mémoire longue.

38 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) Processus ARMA : mémoire courte. Généralisation de ces modèles introduite par Granger Joyeux (1980) : modèles ARFIMA à mémoire longue. d ( 1/2, 1/2), (p, q) N 2. (BX ) l = X l 1.

39 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) Processus ARMA : mémoire courte. Généralisation de ces modèles introduite par Granger Joyeux (1980) : modèles ARFIMA à mémoire longue. d ( 1/2, 1/2), (p, q) N 2. (BX ) l = X l 1. (ξ l ) l Z bruit blanc de variance finie σ.

40 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) (X l ) l Z ARFIMA(p, d, q) si φ(b)x l = θ(b) d ξ l.

41 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) (X l ) l Z ARFIMA(p, d, q) si φ(b)x l = θ(b) d ξ l. d = (I B) d : opérateur d intégration fractionnaire.

42 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) (X l ) l Z ARFIMA(p, d, q) si φ(b)x l = θ(b) d ξ l. d = (I B) d : opérateur d intégration fractionnaire. φ(b) = 1 + φ 1 B + + φ p B p avec φ p 0, θ(b) = 1 + θ 1 B + + θ q B q avec θ q 0, φ(b),θ(b) pas de zeros en commun + racines en dehors du cercle unité.

43 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) 1000 observations simulées d un ARFIMA(1,d,0) (d = 0.4, φ 1 = 0.5, σ = 1). Fig.: (a) : correspond aux observations, (b) a l auto covariance empirique.

44 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) Densité spectrale λ ( π, π), f X (λ) = σ2 2π 1 e iλ 2d θ(e iλ ) 2 φ(e iλ ) 2.

45 Premier exemple: les processus ARFIMA (Granger Joyeux, 1980 puis Hosking, 1981) Densité spectrale λ ( π, π), f X (λ) = σ2 2π 1 e iλ 2d θ(e iλ ) 2 φ(e iλ ) 2. Paramètre de mémoire = d.

46 Second exemple: le mouvement Brownien fractionnaire (FBM) {B H (k)} k Z version discrétisée du Mouvement Brownien Fractionnaire usuel (MBF) {B H (t)} t R d indice de Hurst H (0, 1). MBF à accroissements stationnaires (K = 1).

47 Second exemple: le mouvement Brownien fractionnaire (FBM) {B H (k)} k Z version discrétisée du Mouvement Brownien Fractionnaire usuel (MBF) {B H (t)} t R d indice de Hurst H (0, 1). MBF à accroissements stationnaires (K = 1). Densité spectrale généralisée : f BH (λ) = k Z λ + 2kπ 2H 1.

48 Second exemple: le mouvement Brownien fractionnaire (FBM) {B H (k)} k Z version discrétisée du Mouvement Brownien Fractionnaire usuel (MBF) {B H (t)} t R d indice de Hurst H (0, 1). MBF à accroissements stationnaires (K = 1). Densité spectrale généralisée : f BH (λ) = k Z λ + 2kπ 2H 1. D où f BH (λ) = λ 2H 1 f (λ) avec f (λ) = 2 sin(λ/2) λ 2H sin(λ/2) 2H+1 k 0 λ+2kπ 2H 1.

49 Second exemple: le mouvement Brownien fractionnaire (FBM) {B H (k)} k Z version discrétisée du Mouvement Brownien Fractionnaire usuel (MBF) {B H (t)} t R d indice de Hurst H (0, 1). MBF à accroissements stationnaires (K = 1). Densité spectrale généralisée : f BH (λ) = k Z λ + 2kπ 2H 1. D où f BH (λ) = λ 2H 1 f (λ) avec f (λ) = 2 sin(λ/2) λ 2H sin(λ/2) 2H+1 k 0 Parametre de mémoire du MBF d indice de Hurst H : d = H + 1/2 (1/2, 3/2). λ+2kπ 2H 1.

50 Second exemple: le mouvement Brownien fractionnaire (FBM) Une trajectoire du MBF d indice de Hurst H sur [0, 1]. H = 0.3, 0.5, 0.8 (codes de J.F.Coeurjolly).

51 Approche Objectif : Estimation du paramètre de longue mémoire d une série temporelle.

52 Approche Objectif : Estimation du paramètre de longue mémoire d une série temporelle. Outil : la transformée en ondelettes discrète.

53 La transformée en ondelettes discrète Analyse multi résolution à support compact : deux fonctions à support compact ϕ, ψ de L 2 (R).

54 La transformée en ondelettes discrète Analyse multi résolution à support compact : deux fonctions à support compact ϕ, ψ de L 2 (R). Hypothèse : ψ a M moments nuls, ie t m ψ(t)dt = 0, m {0,, M 1}, t M ψ(t)dt 0. R R

55 La transformée en ondelettes discrète Analyse multi résolution à support compact : deux fonctions à support compact ϕ, ψ de L 2 (R). Hypothèse : ψ a M moments nuls, ie t m ψ(t)dt = 0, m {0,, M 1}, t M ψ(t)dt 0. R R Coefficients d ondelettes de F L 2 (R) W (F ) j,k = F (t)ψ j,k (t)dt, où ψ j,k (t) = 2 j/2 ψ(2 j t k). R pour tous (j, k) Z 2.

56 La transformée en ondelettes discrète Analyse multi résolution à support compact : deux fonctions à support compact ϕ, ψ de L 2 (R). Hypothèse : ψ a M moments nuls, ie t m ψ(t)dt = 0, m {0,, M 1}, t M ψ(t)dt 0. R R Coefficients d ondelettes de F L 2 (R) W (F ) j,k = F (t)ψ j,k (t)dt, où ψ j,k (t) = 2 j/2 ψ(2 j t k). R pour tous (j, k) Z 2. Dans L 2 (R), F = (j,k) Z 2 W (F ) j,k ψ j,k décomposition temps/fréquence de F.

57 La transformée en ondelettes discrète d une série temporelle x(t) = l X lϕ(t l).

58 La transformée en ondelettes discrète d une série temporelle x(t) = l X lϕ(t l). Coefficients d ondelettes de X W (X ) j,k = x(t)ψ j,k (t)dt = R l h j,2 j k lx l = (h j, X ) 2 j k, avec h j (m) = R φ(t + m)ψ j,0(t)dt.

59 La transformée en ondelettes discrète d une série temporelle x(t) = l X lϕ(t l). Coefficients d ondelettes de X W (X ) j,k = x(t)ψ j,k (t)dt = R l h j,2 j k lx l = (h j, X ) 2 j k, avec h j (m) = R φ(t + m)ψ j,0(t)dt. Fonction de transfert du filtre associé à la transformée en ondelettes discrète ĥ j (λ) = m h j (m)e imλ.

60 Propriétés de ĥj On a représenté λ 2 j/2 ĥ j (2 j λ) pour différentes valeurs de j. (ϕ, ψ sont les ondelettes de Daubechies).

61 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Un exemple Cas MBF {B H (t)} t R. Variance des coefficients d ondelettes liée à d = H + 1/2 : E[ W B H j,k 2 ] = C2 2j(H+1/2) = C2 2jd.

62 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Un exemple Si X série temporelle gaussienne ou linéaire, comportement asymptotique des coefficients d ondelettes similaire à celui du MBF.

63 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Un exemple Si X série temporelle gaussienne ou linéaire, comportement asymptotique des coefficients d ondelettes similaire à celui du MBF. Quand j E[ W X j,k 2 ] C(f (0), d)2 2jd.

64 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Construction d un estimateur Estimation du paramètre de longue mémoire : basée sur la variance empirique des coefficients d ondelettes S n,j = 1 n n 1 ( k=0 W (X ) j,k ) 2, où n 2 j N, N : nombre des observations.

65 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Construction d un estimateur Estimation du paramètre de longue mémoire : basée sur la variance empirique des coefficients d ondelettes S n,j = 1 n n 1 ( k=0 W (X ) j,k ) 2, où n 2 j N, N : nombre des observations. Résultat attendu S n,j E[ W X j,k 2 ] C(f (0), ψ)2 2jd.

66 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Construction d un estimateur (Abry Veicht, 1998) (w 0,, w U L ) poids tels que U L j=0 w j = 0, U L j=0 jw j = 1/(2 log(2)). On définit alors U d n,j = w j log(s n,j ). j=l

67 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Propriétés de l estimateur dans le cas gaussien/linéaire (Moulines Roueff Taqqu (2007), Roueff Taqqu (2009)) Hypothèses : conditions sur M + décroissance en Fourier du filtre. S n,j estimateur consistant et asymptotiquement normal de E( W j,0 2 ).

68 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Propriétés de l estimateur dans le cas gaussien/linéaire (Moulines Roueff Taqqu (2007), Roueff Taqqu (2009)) Hypothèses : conditions sur M + décroissance en Fourier du filtre. S n,j estimateur consistant et asymptotiquement normal de E( W j,0 2 ). dn,j estimateur consistant et asymptotiquement normal de d.

69 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Propriétés de l estimateur dans le cas gaussien/linéaire (Moulines Roueff Taqqu (2007), Roueff Taqqu (2009)) Bonnes propriétés de l estimation par ondelettes : Faible complexité numérique du calcul des coefficients d ondelettes d un échantillon.

70 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Propriétés de l estimateur dans le cas gaussien/linéaire (Moulines Roueff Taqqu (2007), Roueff Taqqu (2009)) Bonnes propriétés de l estimation par ondelettes : Faible complexité numérique du calcul des coefficients d ondelettes d un échantillon. Estimation robuste. Taux de convergence optimal.

71 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Propriétés de l estimateur dans le cas gaussien/linéaire (Moulines Roueff Taqqu (2007), Roueff Taqqu (2009)) Bonnes propriétés de l estimation par ondelettes : Faible complexité numérique du calcul des coefficients d ondelettes d un échantillon. Estimation robuste. Taux de convergence optimal. Variance de l estimateur faible.

72 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Propriétés de l estimateur dans le cas gaussien/linéaire (Moulines Roueff Taqqu (2007), Roueff Taqqu (2009)) Bonnes propriétés de l estimation par ondelettes : Faible complexité numérique du calcul des coefficients d ondelettes d un échantillon. Estimation robuste. Taux de convergence optimal. Variance de l estimateur faible. Permet de traiter les cas non stationnaires sans prétraitement des données.

73 Ondelettes et paramètre de mémoire : cas linéaire Propriétés de l estimateur dans le cas gaussien/linéaire (Moulines Roueff Taqqu (2007), Roueff Taqqu (2009)) Bonnes propriétés de l estimation par ondelettes : Faible complexité numérique du calcul des coefficients d ondelettes d un échantillon. Estimation robuste. Taux de convergence optimal. Variance de l estimateur faible. Permet de traiter les cas non stationnaires sans prétraitement des données. Permet de gérer le cas où on a une tendance polynomiale.

74 Au delà des séries temporelles linéaires Objectif : cas de séries temporelles non linéaire de la forme G(X ) où G L 2 (R, e x2 /2 dx), X série temporelle gaussienne.

75 Au delà des séries temporelles linéaires Objectif : cas de séries temporelles non linéaire de la forme G(X ) où G L 2 (R, e x2 /2 dx), X série temporelle gaussienne. Même estimateur que dans le cas linéaire. Comportement asymptotique?

76 Au delà des séries temporelles linéaires Objectif : cas de séries temporelles non linéaire de la forme G(X ) où G L 2 (R, e x2 /2 dx), X série temporelle gaussienne. Même estimateur que dans le cas linéaire. Comportement asymptotique? Cas connu: processus de Rosenblatt (G H 2 ) (Bardet et Tudor, 2010).

77 Rappels de calcul stochastique (W (t)) processus de Wiener classique. W ([a, b]) = W (b) W (a). f S q si f = c i1,,i q 1 Ai1 A iq où c i1,,i q = 0 si i l = i k, ensembles A i B(R) supposés disjoints deux à deux.

78 Rappels de calcul stochastique (W (t)) processus de Wiener classique. W ([a, b]) = W (b) W (a). f S q si f = c i1,,i q 1 Ai1 A iq où c i1,,i q = 0 si i l = i k, ensembles A i B(R) supposés disjoints deux à deux. I q (f ) = f (x)dw (x 1 ) dw (x q ) = c i1,,i q W (A i1 ) W (A iq ) R q

79 Rappels de calcul stochastique (W (t)) processus de Wiener classique. W ([a, b]) = W (b) W (a). f S q si f = c i1,,i q 1 Ai1 A iq où c i1,,i q = 0 si i l = i k, ensembles A i B(R) supposés disjoints deux à deux. I q (f ) = f (x)dw (x 1 ) dw (x q ) = c i1,,i q W (A i1 ) W (A iq ) R q I q isométrie de S q dans L 2 (Ω) étendue à L 2 (R q ) par densité.

80 Décomposition en chaos de Wiener Ecriture unique pour tout X L 2 (Ω) X = + q=0 I q (f q ), où f q L 2 (R q, R) décomposition en chaos de Wiener de X.

81 Décomposition en chaos de Wiener Ecriture unique pour tout X L 2 (Ω) X = + q=0 I q (f q ), où f q L 2 (R q, R) décomposition en chaos de Wiener de X. Si X variable aléatoire gaussienne à valeurs dans le premier chaos de Wiener, : X = I 1 (f 1 ), f 1 L 2 (R).

82 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Processus de Rosenblatt d indice de Hurst H (1/2, 1) Z H (t) = t t 0 où y R 2 L H (y; t) = 1 [0,t] 2(y) y 1 y 2 0 L H (y 1, y 2 ; t)dw (y 1 )dw (y 2 ) = I 2 (L H (y 1, y 2 ; t)), 2 ( (yi i=1 u ) 1/2 H (u yi ) H 3/2 ) du.

83 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Processus de Rosenblatt d indice de Hurst H (1/2, 1) Z H (t) = t t 0 où y R 2 L H (y; t) = 1 [0,t] 2(y) y 1 y 2 0 L H (y 1, y 2 ; t)dw (y 1 )dw (y 2 ) = I 2 (L H (y 1, y 2 ; t)), 2 ( (yi i=1 u ) 1/2 H (u yi ) H 3/2 ) du. Propriétés principales : autosimilaire d exposant H, à accroissements stationnaires + mêmes moments d ordre 1 et 2 qu un MBF d indice de Hurst H.

84 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Processus de Rosenblatt d indice de Hurst H (1/2, 1) Z H (t) = t t 0 où y R 2 L H (y; t) = 1 [0,t] 2(y) y 1 y 2 0 L H (y 1, y 2 ; t)dw (y 1 )dw (y 2 ) = I 2 (L H (y 1, y 2 ; t)), 2 ( (yi i=1 u ) 1/2 H (u yi ) H 3/2 ) du. Propriétés principales : autosimilaire d exposant H, à accroissements stationnaires + mêmes moments d ordre 1 et 2 qu un MBF d indice de Hurst H. Paramètre de longue mémoire : d = H + 1/2.

85 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Processus de Rosenblatt à valeurs dans le chaos d ordre 2.

86 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Processus de Rosenblatt à valeurs dans le chaos d ordre 2. Coefficients d ondelettes du processus de Rosenblatt W Z j,k = I 2(f j,k ).

87 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Processus de Rosenblatt à valeurs dans le chaos d ordre 2. Coefficients d ondelettes du processus de Rosenblatt W Z j,k = I 2(f j,k ). Décomposition en chaos Wiener de la variance empirique déduite de la formule d Ito I 2 (f )I 2 (g) = I 4 (f g) + I 2 (f 1 g) + E[I 2 (f )I 2 (g)], où (f 1 g)(t 1, t 2 ) = R f (t 1, s)g(t 2, s)ds.

88 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Décomposition en chaos de Wiener de la variance empirique où T (0) n,j S n,j = T (4) n,j + T (2) n,j + T (0) j,n, = E(S n,j ) = E( W j,0 2 ) : terme déterministe, T (2) n,j = 1/n k I 2(f j,k 1 f j,k ) : terme dans le chaos d ordre 2, T (4) n,j = 1/n k I 4(f j,k f j,k ) : terme dans le chaos d ordre 4.

89 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Hypothèse :M > 1.

90 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Hypothèse :M > 1. Terme T (2) n,j asymptotiquement Rosenblatt : quand j, n n 3/2 d 2 2jd T (2) n,j = n 1 H 2 j(2h+1) T (2) fidi n,j R 1 (H). où R 1 (H) variable de Rosenblatt.

91 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Hypothèse :M > 1. Terme T (2) n,j asymptotiquement Rosenblatt : quand j, n n 3/2 d 2 2jd T (2) n,j = n 1 H 2 j(2h+1) T (2) fidi n,j R 1 (H). où R 1 (H) variable de Rosenblatt. Terme T (4) n,j asymptotiquement négligeable par rapport à T (2) n,j. Quand j, n ( ) ( ) lim n jd E[ T (4) n,j n,j 2 ] 1 2 = lim n j(2h+1) E[ T (4) n,j n,j 2 ] 1 2 < +.

92 Le cas du processus de Rosenblatt (Bardet Tudor, 2010) Théorème Hypothèses: M > 1+lien entre n et 2 j. Quand n + et n 1 H 2 2jd (S n,j E[S n,j ]) fidi R 1 (H) n 1 H (log(s n,j )/(j log(2)) d) fidi R 2 (H) où R 1 (H), R 2 (H) deux variables de Rosenblatt.

93 Un cas non linéaire plus général Généralisation au cas de séries temporelles non linéaires. {Y (l)} l Z telle que pour un certain K N K Y = G(X ) où X = (X l ) l série temporelle gaussienne stationnaire de paramètre de longue dépendance d et G L 2 (R, e x2 /2 dx).

94 Un cas non linéaire plus général G L 2 (R, e x2 /2 dx), décomposition en série d Hermite de G : G = c q q! H q, q où q c2 q/q! < +, H q q-ième polynôme d Hermite.

95 Un cas non linéaire plus général G L 2 (R, e x2 /2 dx), décomposition en série d Hermite de G : G = c q q! H q, q où q c2 q/q! < +, H q q-ième polynôme d Hermite. Rang d Hermite de G q 0 = min{q, c q 0}.

96 Un cas non linéaire plus général G L 2 (R, e x2 /2 dx), décomposition en série d Hermite de G : G = c q q! H q, q où q c2 q/q! < +, H q q-ième polynôme d Hermite. Rang d Hermite de G q 0 = min{q, c q 0}. Point clé : on doit gérer des sommes infinies.

97 Hypothèses δ(q) = qd + (1 q)/2 : paramètre de longue mémoire de (H q (X l )) l.

98 Hypothèses δ(q) = qd + (1 q)/2 : paramètre de longue mémoire de (H q (X l )) l. Hypothèses : d > 1/4, q 0 2, pour tout λ > 0, c q = o(e λq ).

99 Résultat principal q 1 = min{q, c q c q+1 0} (q 1 = + si {q, c q c q+1 0} = ). 1. Si q 1 = + ou n2 j(2q 0 2q 1 1) 0 quand j, n ( n 1 2d 2 2j(δ(q 0)+K) ( S n,j+m E( W j+m,0 2 ) )) fidi (R m ) m Z m Z où R m variable de Rosenblatt. 2. Si q 1 < 1/(1 2d) et n2 j(2q 0 2q 1 1) quand j, n (n ( 1 2d 2 2 j(δ(q 1)+δ(q 1 +1)+2K) S n,j+m E W j+m,0 2)) fidi (G m ) m m Z où G m variable aléatoire gaussienne. 3. Si q 1 < 1/(1 2d) et n2 j(2q 0 2q 1 1) C 0 > 0, quand j, n, S n,j asymptotiquement combinaison d une variable de Rosenblatt et d une variable gaussienne.

100 Comportement asymptotique de la variance empirique Commentaires Trois comportements possibles : S n,j asymptotiquement gaussienne ou asymptotiquement Rosenblatt ou une combinaison des deux.

101 Comportement asymptotique de la variance empirique Commentaires Trois comportements possibles : S n,j asymptotiquement gaussienne ou asymptotiquement Rosenblatt ou une combinaison des deux. Comportement asymptotique du scalogramme lié au rang d Hermite de G mais aussi à un autre indice q 1.

102 Comportement asymptotique de la variance empirique Commentaires Trois comportements possibles : S n,j asymptotiquement gaussienne ou asymptotiquement Rosenblatt ou une combinaison des deux. Comportement asymptotique du scalogramme lié au rang d Hermite de G mais aussi à un autre indice q 1. Quantité n2 j(2q 0 2q 1 1) : moyen pour comparer les deux renormalisations possibles.

103 Comportement asymptotique de la variance empirique Commentaires Trois comportements possibles : S n,j asymptotiquement gaussienne ou asymptotiquement Rosenblatt ou une combinaison des deux. Comportement asymptotique du scalogramme lié au rang d Hermite de G mais aussi à un autre indice q 1. Quantité n2 j(2q 0 2q 1 1) : moyen pour comparer les deux renormalisations possibles. Cas q 0 = 1 à part (travail en cours).

104 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 1 : G = H q0 avec d > 1/4 et q 0 2 Rang d Hermite q 0, q 1 = +.

105 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 1 : G = H q0 avec d > 1/4 et q 0 2 Rang d Hermite q 0, q 1 = +. Premier cas du théorème. Quand n, j, S n,j asymptotiquement Rosenblatt.

106 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 1 : G = H q0 avec d > 1/4 et q 0 2 Rang d Hermite q 0, q 1 = +. Premier cas du théorème. Quand n, j, S n,j asymptotiquement Rosenblatt. Cas q 0 = 1: notre théorème ne peut être appliqué. Scalogramme S n,j asymptotiquement gaussien (connu).

107 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 1 : G = H q0 avec d > 1/4 et q 0 2 Rang d Hermite q 0, q 1 = +. Premier cas du théorème. Quand n, j, S n,j asymptotiquement Rosenblatt. Cas q 0 = 1: notre théorème ne peut être appliqué. Scalogramme S n,j asymptotiquement gaussien (connu). Cas q 0 = 2 : processus de Rosenblatt.

108 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 2 : G = H q0 + H q0 +1 avec d > 1/4 et q 0 2 Rang d Hermite de G : q 0, q 1 = q 0.

109 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 2 : G = H q0 + H q0 +1 avec d > 1/4 et q 0 2 Rang d Hermite de G : q 0, q 1 = q 0. Comportement asymptotique de S n,j depend de la limite de 2 j n, quand j, n.

110 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 2 : G = H q0 + H q0 +1 avec d > 1/4 et q 0 2 Rang d Hermite de G : q 0, q 1 = q 0. Comportement asymptotique de S n,j depend de la limite de 2 j n, quand j, n. Coefficients d ondelettes de Y : W j,k = W (q 0) j,k + W (q 0+1) j,k, où W (q 0) j,k, W (q 0+1) j,k dans chaos d ordre q 0 et q

111 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 2 : G = H q0 + H q0 +1 avec d > 1/4 et q 0 2 Rang d Hermite de G : q 0, q 1 = q 0. Comportement asymptotique de S n,j depend de la limite de 2 j n, quand j, n. Coefficients d ondelettes de Y : W j,k = W (q 0) j,k + W (q 0+1) j,k, où W (q 0) j,k, W (q 0+1) j,k dans chaos d ordre q 0 et q ( Wj,k 2 = [W (q 0) j,k ]2 + [W (q 0+1) j,k ] 2) ( ) + 2W (q 0) j,k W (q 0+1) j,k.

112 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 2 : G = H q0 + H q0 +1 avec d > 1/4 et q 0 2 Terme [W (q 0) j,k ]2 : se comporte comme dans le cas G = H q0, asymptotiquement Rosenblatt.

113 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 2 : G = H q0 + H q0 +1 avec d > 1/4 et q 0 2 Terme [W (q 0) j,k ]2 : se comporte comme dans le cas G = H q0, asymptotiquement Rosenblatt. Terme [W (q 0+1) j,k ] 2 asymptotiquement négligeable.

114 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 2 : G = H q0 + H q0 +1 avec d > 1/4 et q 0 2 Terme [W (q 0) j,k ]2 : se comporte comme dans le cas G = H q0, asymptotiquement Rosenblatt. Terme [W (q 0+1) j,k ] 2 asymptotiquement négligeable. Terme W (q 0) j,k W (q 0+1) j,k asymptotiquement gaussien.

115 Comportement asymptotique de la variance empirique Exemple 2 : G = H q0 + H q0 +1 avec d > 1/4 et q 0 2 Terme [W (q 0) j,k ]2 : se comporte comme dans le cas G = H q0, asymptotiquement Rosenblatt. Terme [W (q 0+1) j,k ] 2 asymptotiquement négligeable. Terme W (q 0) j,k W (q 0+1) j,k asymptotiquement gaussien. Les trois cas envisagés dans le théorème peuvent se produire.

116 Travail en cours Cas q 0 = 1 à faire.

117 Travail en cours Cas q 0 = 1 à faire. Quatre termes à comparer : deux termes gaussiens, un terme dans le chaos d ordre 2 et un terme qui vit dans le chaos d ordre q m0 1 où q m0 = inf {q, q 1 2 et c q c 1 0}.

118 Travail en cours Cas q 0 = 1 à faire. Quatre termes à comparer : deux termes gaussiens, un terme dans le chaos d ordre 2 et un terme qui vit dans le chaos d ordre q m0 1 où q m0 = inf {q, q 1 2 et c q c 1 0}. Variance empirique peut donc être asymptotiquement dans un chaos d ordre supérieur à 2.

119 Bibliographie P.Flandrin.On the spectrum of FBM. IEEE Trans.Inf.Theory IT 35/ (1989) J.M. Bardet and C. Tudor. A wavelet analysis of the Rosenblatt process: chaos expansion and estimation of the self-similarity parameter. To appear in Stoch.Proc.Appl.(2010). M.Clausel, F.Roueff, M.S.Taqqu, C. Tudor. Large scale behavior of wavelet coefficients of non-linear subordinated processes with long memory. Submitted. M.Clausel, F.Roueff, M.S.Taqqu, C. Tudor. Asymptotic behavior of the scalogram of a non linear time series. In preparation.

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