Géom 4 - Courbes et surfaces dans l espace

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1 Géom 4 - Courbes et surfaces dans l espace Dans tout le chapitre, on se place dans un repère orthonormé de R 3. 1 Courbes gauches Définition 1 On appelle courbe gauche toute courbe de l espace. On appelle représentation paramétrique d une courbe Γ tout couple (I, f) où I est un intervalle de R et f une application de I vers R 3 d applications coordonnées x, y, z telles que l ensemble des points M(x(t), y(t), z(t)) parcourt Γ quand t décrit I. Remarque 1 On assimilera un point M(t) de Γ à ses coordonnées f(t) = (x(t), y(t), z(t)). Pour représenter une courbe gauche Γ, de représentation paramétrique (x = x(t), y = y(t), z = z(t)) avec t I, on pourra étudier la projection de Γ sur le plan xoy (parallèlement à zz ), puis les projections orthogonales sur les plans xoz et yoz. La projection de Γ sur le plan xoy parallèlement à zz admet pour représentation paramétrique : (x = x(t), y = y(t)) pour t I. On a un résultat analogue pour les deux autres projections. Définition 2 Soit une courbe gauche Γ de représentation paramétrée : (x = x(t), y = y(t), z = z(t)), t I. On dit qu un point M(t) de Γ est régulier si (x (t), y (t), z (t)) (0, 0, 0). On dit que Γ est régulière si tous ses points sont réguliers. Proposition 1 Soit une courbe gauche Γ de représentation paramétrée (I, f). En tout point régulier M(t) de Γ, il existe une tangente T t = M(t) + V ect(f (t)). Définition 3 On appelle vecteur tangent unitaire (orientant) de Γ en un point régulier à une courbe gauche de classe C 1, le vecteur, noté T, défini par : f T = f (t). On appelle normale en un point régulier à une courbe gauche, toute droite perpendiculaire en ce point à la tangente. Définition 4 On appelle hélice toute courbe Γ de l espace de classe C 1, régulière, pour laquelle il existe un vecteur unitaire fixe ( u, tel que l angle α = u ), T soit de mesure constante (modulo 2π). Cours PT - Jacques Delfaud - Page 1 sur 10

2 2 Surfaces et nappes paramétrées Définition 5 On appelle nappe paramétrée tout couple S = (U, f) où U est un domaine de R 2 et f une fonction continue sur U, à valeurs dans R 3. Si f est de classe C P sur U, on dit que la nappe paramétrée est de classe C P. La surface f(u) est aussi appelée support de U. Remarque 2 Un paramètre = courbe, deux paramètres = nappe (surface). Définition 6 S il existe une fonction g continue telle que : f(u, v) = x(u, v) = u y(u, v) = v z(u, v) = g(u, v), alors (U, f) est dite nappe paramétrée cartésienne. Remarque 3 On obtient une équation cartésienne de S en éliminant (u, v) dans le système d égalités. Définition 7 On appelle point simple de la nappe paramétrée (U, f), tout point M du support correspondant à un couple unique (u, v) de paramètres. Sinon, il est dit multiple. Définition 8 Soient S une nappe géométrique de classe C 1, de paramétrisation (U, f) et M = (a, f(a)) un point de S. ( ) f f On dit que M est un point régulier si rang (a), u v (a) = 2. ( ) f f On dit que M est un point singulier si rang (a), u v (a) < 2. On dit que S est une nappe régulière si tous ses points sont réguliers. Proposition 2 Toute nappe géométrique de classe C 1 admettant une paramétrisation cartésienne est simple et régulière. Définition 9 On considère S une nappe géométrique de classe C 1, de paramétrisation (U, f) et M = (a, f(a)) un point régulier de S. ( f f On appelle plan tangent en M à S le plan affine P = M + vect (a), u On appelle plan vectoriel tangent en M à S la direction : vect ) v (a). ) ( f f (a), u v (a) On appelle tangente en M à S toute droite affine passant par M incluse dans le plan tangent.. Définition 10 On considère S une nappe géométrique de classe C 1 de paramétrisation (U, f) et M = (a, f(a)) un point régulier de S. On appelle normale à S au point M la perpendiculaire au plan tangent passant par le point M. Remarque 4 Le vecteur N(a) = f f (a) (a) est un vecteur directeur de la normale. u v Cours PT - Jacques Delfaud - Page 2 sur 10

3 Proposition 3 Toute nappe géométrique de classe C 1 ayant une paramétrisation cartésienne admet une équation F (x, y, z) = 0 dont le vecteur gradient grad.f est un vecteur normal au plan tangent. 3 Intersection de deux surfaces Définition 11 Soient f et g deux applications de classe C k d un ouvert U de R 3 vers R de surfaces respectives S et S. Soit Γ = S S l ensemble des points M(x, y, z) de vérifiant f(x, y, z) = 0 et g(x, y, z) = 0 pour (x, y, z) U. On dit que Γ est la courbe définie par les équations f(x, y, z) ( = 0 et g(x, y, z) = 0. ) On dit qu un point M(a, b, c) de Γ est régulier si la famille grad f(m), grad g(m) est libre. Remarque 5 Si M(a, b, c) est un point régulier de Γ alors f x (M) g x (M) f y (M) g y (M) f z (M) g z (M) est de rang 2. Cela signifie qu il existe une sous matrice carrée de taille 2 ayant un déterminant non nul, ou bien que : ( ) grad f(m) grad g(m) 0. Théorème 1 Soit M un point régulier de la courbe Γ = S S avec S et S surfaces d équations respectives f = 0 et g = 0. La tangente à Γ en M est l intersection des plans tangents aux surfaces S et S en M. 4 Courbes tracées sur une surface Définition 12 Soit S une surface d équation F (x, y, z) = 0 avec F C p (U) (où U ouvert de R 3 et p 1). On dit que la courbe paramétrée Γ : t I M(x(t), y(t), z(t)) est tracée sur la surface S si : (où I est un ouvert de R). t I, on a F (x(t), y(t), z(t)) = 0, Proposition 4 Soient Σ une nappe de paramétrisation (U, f) de classe C p (où U ouvert de R 2 et p 1) et h une application de classe C q (q 1) sur un intervalle I telle que h : t I h(t) = (u(t), v(t)) avec h(t) U, t I. Alors l arc Γ de paramétrisation (I, f h) : t I f(u(t), v(t)) est tracé sur la nappe Σ. On note Γ = f(c). Définition 13 Soit Σ une nappe de paramétrisation (U, f). On appelle lignes de coordonnées en un point M 0 (u 0, v 0 ), l un des arcs tracés sur la nappe, de paramétrisation : u I f(u, v 0 ) ou v J f(u 0, v) avec I J U. Cours PT - Jacques Delfaud - Page 3 sur 10

4 5 Exemples de surfaces 5.1 Surfaces réglées Définition 14 Soient I un intervalle de R, f et g deux applications continues de I sur R 3 avec g(t) 0, t I. On appelle nappe réglée une nappe S qui admet pour paramétrisation : I R E (t, u) f(t) + u.g(t) On appelle courbe directrice de S la courbe paramétrée C = (I, f). On appelle génératrices de S les droites : D t = {M = f(t) + u.g(t)/u R}, t R. Remarque 6 1. D t a pour vecteur directeur g(t). 2. D t C = {f(t)}. 3. S = D t (d où son nom de surface réglée). t I Exemple 1 Nappe engendrée par les tangentes à une courbe gauche Soit Γ = (I, f) une courbe régulière. La nappe S engendrée par les tangentes à Γ admet pour paramétrisation : S : I R E (t, u) f(t) + u.f (t) Théorème 2 Soit S une nappe réglée de paramétrisation : I R E (t, u) f(t) + u.g(t) En tout point simple et régulier de S le plan tangent contient la génératrice de ce point. 5.2 Surfaces cylindriques Définition 15 On appelle nappe réglée cylindrique Σ de direction k, de directrice Γ de paramétrisation (I, f) où I est un intervalle de R et f une fonction de classe C 1 sur I, la nappe définie par : I R E (t, u) f(t) + u k Remarque 7 Toutes les génératrices de S ont la même direction. Proposition 5 Si on se place dans un repère (0, i, j, k ), où k dirige l axe du cylindre, alors l équation du cylindre peut s écrire sous la forme F (x, y) = 0, où F est une fonction de classe C 1 sur un ouvert U connexe de R 2. Si P (x, y) est un point régulier de la courbe C d équation F (x, y) = 0 (dans le plan (0, i, j )), alors tout point de la génératrice passant par P est régulier et le plan tangent en un point M de Σ est défini par la génératrice et la tangente en P à la courbe C. Cours PT - Jacques Delfaud - Page 4 sur 10

5 Définition 16 On appelle base droite d un cylindre, toute directrice située dans un plan perpendiculaire à son axe. Comment obtenir l équation d un cylindre? 1. On connaît la direction de son axe et les équations cartésiennes d une directrice Soient u α β γ On a alors : un vecteur dirigeant l axe du cylindre Σ et C la directrice d équations : { F (x, y, z) = 0 G(x, y, z) = 0. M Σ λ R, tel que M + λ u C λ R, tel que F (M + λ u ) = G(M + λ u ) = 0. On obtient ainsi une équation du cylindre en éliminant le paramètre λ, c est-à-dire en trouvant une CNS sur (x, y, z) pour que les deux équations précédentes aient une solution commune en λ. 2. On connaît la direction de l axe et les équations paramétrées d une directrice. Soient u α β γ un vecteur dirigeant l axe du cylindre Σ et C la directrice admettant pour paramétrisation : x = f(t) y = g(t) z = h(t), t I. On a alors : M Σ λ R, tel que M + λ u C λ R, t I, tels que x + λα = f(t) y + λβ = g(t) z + λγ = h(t). On obtient ainsi une équation du cylindre en éliminant les deux paramètres λ et t, c est-à-dire en trouvant une CNS sur (x, y, z) pour que les deux équations précédentes aient une solution commune en λ. 3. On cherche le cylindre circonscrit à une surface S donnée d équation F(x,y,z)=0 et de direction u Définition 17 Etant donnée une surface S et un vecteur non nul u, on appelle cylindre circonscrit Σ à la surface S de direction u la réunion des tangentes à S dirigées par le vecteur u. On appelle contour apparent cylindrique de S dans la direction u, l ensemble Γ des points de S en lesquels la direction du plan tangent contient u, c est-à-dire l intersection de S avec le cylindre circonscrit Σ. Méthode Le contour apparent est défini par : Γ = {m S tel que le vecteur normal en m à S est orthogonal à u}. On obtient alors : M Σ m Γ, λ R / Mm = λ u. Cours PT - Jacques Delfaud - Page 5 sur 10

6 On peut écrire aussi, pour u = α i + β j + γ k et S : F (x, y, z) = 0 : λ R / F (x + λα, y + λβ, z + λγ) = 0 M Σ α F F F (m) + β (m) + γ (m) = 0, pour m(x + λα, y + λβ, z + λγ) x y z Dans le cas particulier où F est une fonction polynôme, il suffit d écrire que λ est racine double du système précédent. 5.3 Surfaces coniques Définition 18 On appelle nappe conique Σ de classe C 1, de sommet A, la nappe paramétrée : I R E (t, u) A + u, g(t) avec g C 1 (I). Remarque 8 Toutes les génératrices de Σ passent par { A (sommet) et la directrice de Σ est réduite au point A. } On supposera que : t I, la famille g(t), g (t) est libre. Proposition 6 Tout point de la nappe Σ, sauf le sommet A, est régulier. Définition 19 (Contour apparent conique vu d un point) Etant donnée une surface S et un point A, on appelle cône de sommet A circonscrit à la surface S la réunion Σ des tangentes à S passant par A. On appelle contour apparent de S du point de vue de A l ensemble des points de Σ en lesquels le plan tangent contient le point A, c est-à-dire l intersection de S avec le cône circonscrit précédent. Méthode Le contour apparent est : C = {m S tel que le vecteur normal en m à S est orthogonal à Am}. Cours PT - Jacques Delfaud - Page 6 sur 10

7 On a donc : M Cône m C, λ R / AM = λ Am. 5.4 Surfaces de révolution Définition 20 Soient un arc Γ de classe C p (p 1) et une droite D. Pour tout α R, on désigne par Γ α l arc déduit de Γ par la rotation autour de D d angle α. Alors la famille (Γ α ) α R est appelée nappe de révolution d axe D et de courbe directrice Γ. Représentation : Remarque 9 (Paramétrisation) ( On se place dans le repère orthonormé O, i, j, ) k où k dirige la droite D. On obtient des paramétrisations des nappes de révolution d axe D sous la forme : avec ρ et ϕ applications de classe C 1 sur I. (t, θ) I R M(t, θ) = ρ(t)(cos θ i + sin θ j ) + ϕ(t) k, Cours PT - Jacques Delfaud - Page 7 sur 10

8 Définition 21 Pour tout point M d une nappe de révolution d axe D, on appelle parallèle en M, le cercle perpendiculaire à D passant par M. Tout plan contenant D est appelé plan méridien. Il coupe la nappe en deux arcs symétriques par rapport à D, appelés méridiennes. Remarque 10 Le plan méridien passant par un point M(t, θ) d une surface de révolution est : M + V ect(cos θ i + sin θ j ; k ). Théorème 3 Soit Σ une nappe de révolution de classe C 1. En tout point régulier M de cette nappe, le plan tangent est perpendiculaire au plan méridien en M et la normale à la nappe est la normale à la méridienne. Méthode : 1. On caractérise la droite par un point A et un vecteur directeur normé. Cours PT - Jacques Delfaud - Page 8 sur 10

9 2. Soit M 0 (x 0, y 0, z 0 ). On cherche l équation du cercle d axe passant par le point M 0, en écrivant : { M Plan orthogonal à passant par M0 d(m 0, ) = d(m, ) 3. M Surface M 0 Γ / M 0 et M sont sur le même cercle d axe. 4. Pour trouver l équation de la surface de révolution, on élimine les paramètres x 0, y 0, z 0. Théorème 4 (Condition pour qu une surface soit de révolution) On se place dans un repère orthonormé. Soit g une application de V R, de classe C p (p 1), où V est un ouvert de R 2. La surface d équation g(s(x, y, z), P (x, y, z)) = 0 est une surface de révolution dont l axe est la perpendiculaire menée du centre de la sphère S(x, y, z) = 0 au plan P = 0. Exemple 2 1. Le paraboloïde de révolution Il est obtenu par rotation d une parabole autour de son axe. Soit D(O, k ) l axe. Equation : x 2 + y 2 = 2pz Méridienne : { y = 0 x 2 = 2pz. Cours PT - Jacques Delfaud - Page 9 sur 10

10 2. L ellipsoïde de révolution Elle est obtenue par rotation d une ellipse autour d un axe D(O, k ). Equation : x2 + y 2 3. L hyperboloïde de révolution à une nappe a 2 + z2 b 2 = 1 Méridienne y = 0 x 2 a 2 + z2 b 2 = 1. Elle est obtenue par rotation d une hyperbole autour de son axe non focal D(O, k ). Equation : x2 + y 2 a 2 z2 b 2 = 1 Méridienne y = 0 x 2 a 2 z2 b 2 = L hyperboloïde de révolution à deux nappes Elle est obtenue par rotation d une hyperbole autour de son axe focal. Equation : x2 + y 2 a 2 z2 b 2 = 1 Méridienne y = 0 x 2 a 2 z2 b 2 = 1. Cours PT - Jacques Delfaud - Page 10 sur 10