DM 03 : 3/2 sujet 1 ou (et) sujet 2 5/2 sujet 1 et (ou interdit) sujet 2 Sujet 1

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1 MP DM 03 Physique 1 DM 03 : 3/2 sujet 1 ou (et) sujet 2 5/2 sujet 1 et (ou interdit) sujet 2 Sujet 1 I) Etude d'un congélateur Le but de cette partie est d'étudier un congélateur. Sur la fiche technique (accessible sur les sites Internet des constructeurs) on peut relever les données suivantes pour un modèle standard : Volume utile : 230 L H x L x P : 130 x 60 x 60 (en cm) Consommation électrique : 0,70 kwh par jour A) Evaluation simple de l'efficacité 1) On suppose le congélateur parallélépipédique, l'épaisseur des parois notée e est supposée uniforme. A l'aide des données, évaluer e. Pour simplifier, on pourra supposer e petit devant H, L ou P. En régime permanent, la machine frigorifique du congélateur maintient une température intérieure θ i = -18 C pour une température extérieure θ e = 20 C. On suppose la conduction thermique comme unique responsable des fuites thermiques à travers les parois du congélateur de conductivité λ = 0,04 SI. 2) Donner l'unité de λ Est-ce un bon isolant? On citera des ordres de grandeur connus de λ à titre de comparaison. 3) Evaluer la puissance thermique de ces fuites. 4) A l'aide des données, calculer la puissance moyenne électrique consommée par le congélateur. 5) On suppose que le compresseur convertit l'intégralité de l'énergie électrique en travail mécanique reçu par le fluide. Evaluer l'efficacité de ce congélateur. B) Modélisation du cycle de fonctionnement de la machine frigorifique On modélise notre congélateur par une machine frigorifique contenant un fluide frigorigène tetrafluoroéthane R134a dont le diagramme Pression-Enthalpie massique (P - h) est joint. Sur ce diagramme apparaissent les courbes isothermes et isentropiques. Cette machine ditherme qui fonctionne en régime permanent échange de la chaleur avec une source chaude à 20 C (atmosphère extérieure) et une source froide à -18 C (intérieur du congélateur). On note T la température absolue et θ la température Celsius. Le schéma général de fonctionnement avec sens de circulation du fluide est défini ci-après : Echangeur condenseur 3 2 Source chaude Vanne de détente Compresseur à moteur électrique Source froide 4 1 Sens Echangeur de évaporateur circulation

2 MP DM 03 Physique 2 Le cycle décrit par le fluide présente les caractéristiques suivantes (4 transformations successives) : - la compression de 1 à 2 est adiabatique et réversible, - le passage dans les deux échangeurs (condenseur et évaporateur) est isobare (de 2 à 3 et de 4 à 1), - la vanne est considérée comme un tuyau indéformable et ne permettant pas les échanges de chaleur. Dans tout le problème, on supposera que l'état du fluide n'est pas modifié dans les tuyauteries de liaison entre 2 éléments consécutifs et on négligera les variations d'énergie cinétique. 6) Pour l'une des transformations du cycle et pour une masse unité de fluide, on pose : w : travail massique total échangé avec l'extérieur, q : chaleur massique échangée avec l'extérieur, h : enthalpie massique. Montrer que le premier principe de la thermodynamique peut s'écrire : h = w' +q Donner l'expression de w' en fonction de w et des variables pression P et volume massique u. 7) La masse unité, choisie comme système thermodynamique, subit l'une des transformations du cycle de P 1, u 1 à P 2, et u 2, les indices 1 et 2 se rapportant aux conditions d'entrée et de sortie de l'étape. Exprimer la différence w' 12 w 12 en fonction des pressions et volumes massiques. En faisant un bilan d'énergie interne, en régime permanent, en supposant l'écoulement lent, donner la signification physique de w' 1 2? Retrouver la caractéristique d'une détente de Joule Kelvin. 8) Lorsque la masse unité de fluide décrit un cycle, quelle est la relation entre w' cycle et w cycle? 9) Montrer que la détente est isenthalpique dans la vanne de 3 à 4. 10) Quelle propriété remarquable lie les isothermes et les isobares dans la zone mélange liquide-vapeur? 11) On donne les indications suivantes : - La température du fluide lors de l'évaporation dans l'évaporateur est - 30 C. - La pression de fin de compression en 2 est 8 bars. - Le point 3 est du liquide saturé. - La quantité de chaleur échangée dans l'évaporateur avec l'extérieur permet une évaporation complète du fluide venant de 4 et conduit la vapeur de façon isobare jusqu'à 1, état saturé. Placer les 4 points du cycle 1, 2, 3, 4 sur le diagramme joint, y représenter le cycle (diagramme à rendre avec la copie) et déterminer, par lecture et interpolation linéaire sur ce même diagramme, les valeurs de P, θ, h, s en ces différents points. Regrouper les résultats dans un tableau. 12) Si le compresseur était adiabatique mais non réversible, comment se situerait sa température de sortie sous la même pression P 2 par rapport à la température θ 2? 13) Comment peut-on trouver, de deux façons différentes, sur le diagramme la valeur de la chaleur latente massique h de vaporisation du fluide à une température T donnée? vap Application numérique : Pour une pression de 3 bars, quelles sont les valeurs de hvap, et de θ? 14) Peut-on trouver la valeur de vap h au point critique représenté sur le diagramme? Quelle est la nature de la transition de phase au point critique? 15) Si au lieu d'évaporer toute la masse de fluide on ne fait changer d'état qu'une fraction massique x donnée, comment peut-on trouver géométriquement le point correspondant au mélange liquide vapeur ainsi obtenu et réciproquement? x s'appelle le titre massique en vapeur. 16) Calculer le titre x en vapeur aux points 3, 4 et 1. Peut-on définir un titre y en liquide?

3 MP DM 03 Physique 3 17) En utilisant le tableau de résultats, calculer les quantités de chaleur massique q c et q f échangées par le fluide avec l'extérieur (q c est échangée de 2 à 3 et q f de 4 à 1). 18) Calculer de même le travail absorbé lors de la compression de 1 à 2 : w' 1 2 qf 19) Pourquoi définit-on l'efficacité de la machine frigorifique étudiée par η =? La w' 1 2 calculer numériquement. 20) Comparer les efficacités des parties I.A et I.B (relever les défauts des différents modèles utilisés et les erreurs qu'ils peuvent induire). Sujet 2 Le problème est consacré à la production de l'azote liquide (procédé CLAUDE) Remarques préliminaires importantes : Il est rappelé aux candidat(e)s que : les explications des phénomènes étudiés interviennent dans la notation au même titre que les calculs ; les résultats exprimés sans unité ne seront pas comptabilisés. dans tous les calculs, les gaz sont assimilés à des gaz parfaits (leurs pressions partielles sont notées en caractères italiques). Les indices suivants : (s) solide, (liq) liquide, (g) gaz seront utilisés. les données thermodynamiques sont répertoriées en fin de seconde partie. Les gaz peuvent être liquéfiés par refroidissement à basse température pour obtenir des fluides cryogéniques. Les propriétés cryogéniques de l'azote liquide sont utilisées dans des domaines aussi différents que les transports frigorifiques, la congélation rapide, la conservation d'organes et de produits biologiques, la réalisation d'assemblages métalliques ou l'amélioration du vide dans des circuits de pompage. Première partie : production et conservation de l azote liquide I / CHAINE DE PRODUCTION DE L'AZOTE LIQUIDE En 1902, l'ingénieur Georges Claude a mis au point un procédé qui porte son nom et dont les brevets furent à l'origine de la création de l'entreprise Air Liquide. Nous proposons ici d'en étudier les caractéristiques principales. Les grandeurs pertinentes pour une telle étude sont les débits massiques des fluides concernés et leur enthalpie massique. A. Les différents éléments d'une chaîne de production Une chaîne de production industrielle comporte de nombreux éléments permettant de modifier l'état des fluides qui y circulent, chaque élément fonctionnant en régime permanent. Sur une durée t, chacun de ces éléments est traversé par un certain volume de fluide. Les grandeurs «entrantes» dans un élément particulier seront notées par un indice «e» (masse m e, enthalpie H e ) et les grandeurs «sortantes» de ce même élément par un indice «s» (masse m s, enthalpie H s ), sur cet intervalle de temps. 1. Conservation de la masse L'étude dynamique de la production impose le recours au débit massique des fluides traités afin d'accéder au taux horaire de production d'azote liquide. Ce débit massique est mesuré en kg.h -1 et systématiquement représenté par le symbole D. Si une masse δ m de fluide traverse la section S d'une canalisation pendant la durée dt, le débit massique de cefluide se définit par D = δ m/dt. Un élément X de la chaîne peut être alimenté par une ou plusieurs tubulures, caractérisées par différents débits ; il peut à son tour renvoyer le fluide dans différentes directions. Un tel élément sera symboliquement représenté par :

4 MP DM 03 Physique 4 A.1. En identifiant le débit entrant D e et le débit sortant D s, écrire la relation qui existe entre les différents débits lorsque l'élément fonctionne en régime permanent. 2. Bilan enthalpique Un fluide en écoulement avec une énergie cinétique négligeable passe d'un milieu où la pression est P e, à un milieu où la pression est P s. Ce transfert s'effectue soit sous l'effet du simple écoulement du fluide (dans ce cas P e = P s ), soit sous l'effet d'un dispositif compresseur ou détendeur (dont l'étude particulière ne sera pas menée ici). Au cours du passage dans cet éventuel dispositif (élément 7), il reçoit, en plus du travail des pressions P e et P s, un travail W et une chaleur Q par unité de temps (figure 2). La canalisation de section S est isolée thermiquement et le fluide ne peut échanger de chaleur que lorsqu'il se trouve dans τ. A2*a. Quelle est l'unité des grandeurs W et Q? Considérons le transfert d'une masse δ m de fluide à travers le dispositif pendant dt. Avant le passage, l'état du fluide est caractérisé par sa pression P e, sa température T e, son volume δ Ve, son énergie interne δ U e et son enthalpie δ H e. Après son passage ces grandeurs sont devenues respectivement P S, T s, δ V s, δ U s et δ H s. A2*b. En considérant que le volume du fluide passe de δ V e à 0 sous l'effet de P e et de 0 à δ V S sous l'effet de P S, déterminer le travail δ W p des forces de pression lors de la transformation de la masse δ m? A2*c. Que valent le travail total δ W et la chaleur totale δ Q fournis au fluide par le dispositif entre t et t+dt? A2*d. En appliquant le premier principe de la thermodynamique, trouver une relation entre W, Q, P e, δ V e, δ U e, P S, δ V S, δ U S et dt. A2*e. Que vaut l'enthalpie δ H e de cette masse 8m à l'instant t en fonction de P e,δ V e et δ U e? Ecrire de même δ H S à l'instant t + dt, en fonction de P s, δ V S et δ U s. A2*f. Comment la relation établie en A2*d s'écrit-elle à l'aide de δ H e et δ H s?

5 MP DM 03 Physique 5 L'enthalpie massique d'une masse δ m de fluide se définit par h = δ H/ δ m. Soit D le débit massique à travers le dispositif. A2*q. En reprenant la définition du débit massique, montrer que : D(h s - h e ) = W + Q (bilan enthalpique) Ces résultats seront maintenant appliqués aux différents éléments de la chaîne de production. 3. Mélanqeur Μ et séparateur Σ Les fluides entrant et sortant sont caractérisés par leur débit massique, leur enthalpie massique, leur pression et leur température. Les schémas de principe sont représentés sur les figures 3 et 4. Ces éléments ne contiennent aucune partie mobile et ils ne fournissent ni travail ni chaleur au fluide qui les traverse. Ils fonctionnent de façon isobare. séparateur s Les résultats seront exprimés en fonction des paramètres des figures 3 et 4. A3*a. Déterminer l'enthalpie He qui entre dans le mélangeur par unité de temps ainsi que l'enthalpie Hs qui en sort par unité de temps. A3*b. Déterminer la masse me qui entre dans le mélangeur par unité de temps ainsi que la masse ms qui en sort par unité de temps. A3*c. Quelles sont alors les deux relations régissant le fonctionnement du mélangeur, le régime étant permanent? Le séparateur s peut séparer deux phases d'un même fluide (ici, la phase gazeuse de la phase liquide) ou séparer un fluide homogène en deux courants distincts. A3*d. Quelles sont les relations générales applicables à ces deux cas? Que dire de toute façon sur les températures T 4, T 5 et T 6? Lorsque le dispositif divise un fluide homogène en deux courants (embranchement de tubulures), l'état du fluide n'est pas modifié entre l'entrée et la sortie du séparateur. Les fonctions d'état qui le caractérisent restent donc inchangées et h 4 = h 5 = h 6. A3*e. Quelle est alors la seule relation régissant le fonctionnement du séparateur? 4. Compresseur isotherme et détendeur adiabatique Les schémas de principe de ces appareils réversibles sont représentés ci-dessous :

6 MP DM 03 Physique 6 Le compresseur isotherme C vérifie P I < P 2 et T I = T 2 ; la puissance thermique Q C est fournie à l'extérieur. Pour le détendeur adiabatique D, Q d = 0 et P I > P 2 ; la puissance W d est fournie à l'extérieur. A4*a. Comparer les débits D 1 et D 2. A4*b. Appliquer le bilan enthalpique au fonctionnement du compresseur. A4*c. Appliquer le bilan enthalpique au fonctionnement du détendeur. 5.Échangeur thermique Son schéma de principe est indiqué ci-contre (figure 7). Les deux fluides suivent des circuits séparés et ne se mélangent pas ; les parois qui les séparent à l'intérieur de l'échangeur sont parfaitement rigides mais diathermes. L'échangeur E ne contient aucune autre partie mobile et il est thermiquement isolé de l'extérieur. Soit Q ech la chaleur passant du fluide (1 2) au fluide (3 4) par unité de temps. A5*a. Quelles sont les relations entre D I et D 2 d'une part, entre D 3 et D 4 d'autre part? A5*b. Ecrire le bilan enthalpique pour le fluide (1 2) d'une part, pour le fluide (3 4 ) d'autre part, en fonction de Q ech, D I, D 3, h 1, h 2, h 3 et h 4. A5*c. Éliminer Q ech entre ces deux équations pour établir le bilan de l'échangeur Ε. A5*d. Quelle relation lie T 2 et T 4 si les fluides restent suffisamment longtemps dans l'échangeur pour que l'équilibre thermique s'établisse entre eux? (l'échangeur fonctionnera alors de façon idéale) 6. Réchauffeur et robinet de laminage (figures 8 et 9) A6*a. Dans un réchauffeur, le fluide s'écoule à pression constante en recevant uniquement une chaleur Q h par unité de temps. Quel y est le bilan enthalpique? A6*b. Dans un robinet de laminage Ç adiabatique, le fluide se détend sans action extérieure. Quel y est le bilan enthalpique?

7 MP DM 03 Physique 7 B. Procédé CLAUDE Le procédé de production d'azote liquide est schématisé ci-dessous (figure 10). L'azote gazeux est admis dans la chaîne en [1], sous P 1 = 1 bar et à T 1 = 300 K avec un débit D 1. Le compresseur (Χ) amène l'azote à 200 bar de façon isotherme ; le débit d'entrée vaut D 2. Il est ensuite refroidi en passant par les deux échangeurs thermiques (E1) et (E 2 ). Un robinet de laminage ( Ρ 2 ) ramène ensuite l'azote à la pression atmosphérique ; au cours de cette dernière opération, une partie de l'azote se liquéfie. Le séparateur (S2) permet de récupérer la phase liquide (dont le débit d'écoulement est D 16 = 100 kg.h -l ) en la séparant de la phase gazeuse (orientée en [8] avec un débit D 8 ). La phase gazeuse est utilisée pour refroidir le système. Elle est mélangée par ( Μ 2 ) à la partie de l'azote qui a été prélevée entre (E 1 ) et (E 2 ), au niveau du séparateur (Si) avec un débit D 9. Ce gaz prélevé est tout d'abord détendu par un robinet de laminage (W.1 ) jusqu'à une pression P 10 puis détendu de façon adiabatique et réversible dans (D), qui le ramène à la pression de 1 bar. Les gaz froids, une fois mélangés, s'écoulent avec un débit D 12 à travers les deux échangeurs, puis ils sont réchauffés en ( Η ) pour retrouver la température T 15 = 300 K. Ils sont ensuite recyclés dans le circuit de liquéfaction parle mélangeur isotherme ( Μ 1 ). 1. Débits B1*a. Etablir quatre relations entre D 1, D 2, D 5, D 8, D 9, D 12 et D 16. B1*b. En déduire que D 1 = D 16. B1*c. Soit x L la fraction massique du liquide après le robinet de laminage ( Ρ 2 ). Exprimer D 5 et D 8 en fonction de x L et D 16. A.N.: le fonctionnement du circuit est tel que x L = 35 %. Calculer D 5 et D 8. B1*d. Le débit total est D 2 = 1000 kg.h -1. Déterminer D 9 et D t2. 2. Enthalpies Les enthalpies massiques peuvent être déterminées tout au long du processus. B2*a. Expliquer l'origine de la relation h 1 = h2 = h 15.

8 MP DM 03 Physique 8 Le tableau ci-dessous précise leurs valeurs en différentes parties du système de production. point [1] [3] [8] [16] h (kj.kg -1 ) B2*b. Quelle autre relation lie h 4, h 9 et h 5? Que vaut h 1o? B2*c. Exprimer h 7 en fonction de h 8, h 16 et x L. Calculer numériquement h 7 ; en déduire h 6. B2*d. L'échangeur (E l ) fonctionne de façon idéale. Sachant que la chaleur échangée entre les fluides dans cet échangeur est Q 1= 90 MJ.h -1, déterminer h 4 et trouver une relation entre h 13 et h 14. Dans le domaine de température étudié et sous une pression de 1 bar, l'enthalpie massique peut s'écrire : h = ,856T + 4,63 x 10-4 T 2 (kj.kg -1 ). B2*e. Sachant que T 13 = 135 K, calculer h 13 puis, à l'aide de la relation précédente, déterminer h 14. En déduire T 14. B2*f. L'échangeur (E 2 ) fonctionne aussi de façon idéale ; calculer h 12. B2*q. En déduire h 11 à l'aide d'un bilan appliqué au mélangeur ( Μ 2 ). 3. Énerqies B3*a. À l'aide du tableau d'enthalpies massiques donné au B.2, déterminer la chaleur latente massique de vaporisation L v de l'azote sous 1 bar. La température de liquéfaction de l'azote sous 1 bar est de T L = 77 K. Globalement, en une heure, la machine (procédé CLAUDE) fait passer une masse D 16 d'azote de l'état gazeux à l'état liquide. Pour évaluer les échanges d'énergie, il est possible d'envisager une liquéfaction directe de cette masse en l'amenant, par un processus non développé ici, de la température ambiante (T 1 = 300 K) à la température de liquéfaction (77 K) puis en effectuant la liquéfaction totale. B3*b. Quelle puissance P r est récupérée lors du refroidissement de T 1 à T L d'une masse horaire égale à D 16? Même question pour la liquéfaction totale de cette masse. B3*c. Quelle est la puissance totale P tot prélevée sur l'azote au cours de ce processus? B3*d. En réalisant le bilan enthalpique du détendeur adiabatique, calculer W d. B3*e. Quelle est la puissance Q h consommée par le réchauffeur? B3*f. En utilisant les propriétés des fonctions d'état, trouver une relation entre W d, Q h, W c, Q c et P tot. Le compresseur consomme une puissance W c = 132 kw. B3*q. En étudiant le bilan enthalpique du compresseur, déterminer Q c en kw. B3*h. Quel lien existe-t-il entre W c et Q c pour un gaz parfait? Pourquoi l'azote ne peut-il être considéré ici comme un gaz?