CORRECTION BREVET BLANC

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1 Partie numérique Exercice 1 : CORRECTION BREVET BLANC Question 1 : on teste les trois valeurs en remplaçant x par la valeur. La solution est Question 2 : Les solutions sont et -2 Question 3 : on fait deux double distributivité, ATTENTION au entre les deux qui change les signes dans le deuxième calcul. Remarque, pour trouver la solution, il suffit de calculer les x², ils s annulent or le seul calcul sans x² est le 3). La solution est Question 4 : troisième identité remarquable. La solution est (5x-4) (5x+4) Question 5 : il parcourt 5km en 1h15 soit 1,25h. Il reste à diviser 5 par 1,25. La solution est 4 km/h Exercice 2 : 1) Pour 10 Pour -5 Pour 10 3 = = = ² = (-5)² = = ( = + = = = 20 2) On ne connait pas le nombre donc on l appelle x et on retraduit le programme en mathématique. Cela donne : x 3 = 3 x puis 3 x + x² puis (3 x + x² ) 2 = 6 x + 2 x². On cherche x tel que 6 x + 2 x² =0 6 x + 2 x² = 0 (on factorise) 2x (3 +x) = 0 Soit 2x = 0 soit 3 + x = 0 x = 0 x = -3 Les solutions sont 0 et -3 Exercice 3 : Il suffit de trouver un contre exemple. C'est-à-dire un nombre qui donne tort à la phrase. Ce nombre est 12. On peut aussi résoudre le problème. Ce calcul est la deuxième identité. On factorise. Cela donne (n 12)². On résoud (n-12)²=0. Certes vous n avez pas fait les carrés mais (n-12)² = (n- 12)(n-12). Cela fait le même calcul. On résoud n-12 = 0. La solution est 12.

2 Partie géométrique Exercice 1 1. Construire le triangle EFG tel que EF = 12 cm, EG = 5 cm et FG = 13 cm. 2. Prouver que le triangle EFG est rectangle en E. On sait que EFG triangle, l hypoténuse éventuelle est [FG] De plus EF 2 + EG 2 = = = 169 FG 2 = 13 2 = 169. Donc FG² = EF² + EG² L'égalité est bien vérifiée, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en E. 3. Calculer la mesure de l'angle. Le résultat sera arrondi au degré près. On sait que EFG triangle rectangle en E 4. Placer le point B sur le segment [EF] tel que EB = 7 cm. Tracer la droite passant par B et parallèle au côté [FG). Elle coupe le côté [EG] en M. (voir figure) 5. Calculer la valeur exacte de BM, puis en donner l'arrondi au mm près. On sait que E,B,F et E,M,G sont des points alignés tels que (BM) parallèle à (GF). D où, d'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles EBM et EFG, nous avons :

3 Exercice 2 1) Le triangle DBE est rectangle en B. Par hypothèses, - [DE] est un diamètre - B est un point du cercle. Si l'on joint un point d'un cercle aux extrémités d'un diamètre de ce cercle, alors le triangle formé est rectangle. ou Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un de ses côtés est un diamètre, alors ce triangle est rectangle. Donc le triangle DBE est rectangle en B. 2) Les droites (OA) et (BD) sont perpendiculaires. On sait que ABOD est un losange. Or si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont perpendiculaires. (OA) et (BD) sont perpendiculaires. 3) Les droites (OA et (EB) sont parallèles. On sait que : DBE est un triangle rectangle donc (EB) est perpendiculaire à (BD). D'après la question précédente, (OA) est perpendiculaire à (BD) Or si deux droites sont perpendiculaires à la même troisième, alors elles sont parallèles. Donc (OA) et (EB) sont parallèles. Problème Partie 1 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle en C. On sait que ABC triangle, l hypoténuse éventuelle est [AB] L'égalité est vérifiée, d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en C. 2. Montrer que le quadrilatère PRSC est un rectangle.

4 Par construction, (PR) est parallèle à (AC) et (RS) est parallèle à (BC) et RPCS quadrilatère. Or si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèle alors c est un parallélogramme. Le quadrilatère PRSC est donc un parallélogramme. De plus l'angle est droit Or un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Donc c'est un rectangle. 3. a. Calculer la longueur PR. Dans le triangle BAC, la droite (PR) est parallèle à (AC), B,P,C et B,R,A sont alignés. D'après le théorème de Thalès appliqué aux triangles BAC et BRP, nous avons : PR mesure 3,75 cm. donc, et b. Calculer l'aire du rectangle PRSC. B,P,C sont alignés doncpc = 14-5 = 9. L'aire du rectangle est : 9 x 3,75 = 33,75 cm 2. Partie 2 On déplace le point P sur le segment [BC] et on souhaite savoir quelle est la position du point P pour laquelle l'aire du rectangle PRSC est maximale. 1. Indiquer sur la copie les deux valeurs manquantes au tableau. Lorsque BP vaut 5, l'aire est de 33,75 cm2 (résultat du 3. b. de la première partie). lorsque BP vaut 10, calculons la longueur RP (on réapplique Thalès) : donc, et. PC = = 4. L'aire du rectangle est 7,5 x 4 = 30 cm Aire du rectangle PRSC en fonction de la longueur BP

5 a. Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm 2. On peut voir (tracé rouge) que l'aire mesure 18 cm2 lorsque le segment BP mesure 2 cm ou 12 cm. b. La valeur de BP pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale. L'aire semble maximale lorsque BP mesure 7 cm (tracé bleu). c. Un encadrement à 1 cm 2 près de l'aire maximale du rectangle PRSC. L'aire maximale est comprise entre 36 cm 2 et 37 cm 2 Partie 3 1. Exprimer PC en fonction de BP. B,P,C sont alignés donc PC = BC - BP donc PC = 14 - BP 2. Démontrer que PR est égale à 0,75 x BP. On réapplique Thalès comme dans la partie I donc. PR = 0,75 BP. 3. Pour quelle valeur de BP le rectangle PRSC est-il un carré? PRSC est un carré lorsque PR est égal à PC soit 0,75 BP = 14 - BP. 0,75 BP + BP = 14 1,75 BP = 14 BP = 14 / 1,75 = 8 PRSC est un carré lorsque BP mesure 8 cm.

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