Tests non paramétriques de spécification pour densité conditionnelle : application à des modèles de choix discret

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Tests non paramétriques de spécification pour densité conditionnelle : application à des modèles de choix discret"

Transcription

1 Tests o paramétriques de spécificatio pour desité coditioelle : applicatio à des modèles de choix discret Mémoire Koami Dzigbodi AMEGBLE Maîtrise e écoomique Maître ès arts (M.A.) Québec, Caada Koami Dzigbodi AMEGBLE, 2015

2

3 Résumé Das ce travail, ous étudios la performace statistique (taille et puissace) e échatillo fii de deux tests o paramétriques de spécificatio pour desité coditioelle proposés par Fa et al. (2006) et Li et Racie (2013). Ces tests permettet de vérifier si les probabilités coditioelles postulées das les modèles de choix discret (logit/probit multiomial à effets fixes ou aléatoires, estimateur de Klei et Spady (1993), etc) représetet correctemet les choix observés. Par rapport aux tests existats, cette approche a l avatage d offrir ue forme foctioelle flexible alterative au modèle paramétrique lorsque ce derier se révèle mal spécifié. Ce modèle alteratif est directemet issu de la procédure de test et il correspod au modèle o cotrait obteu par des produits de oyaux cotius et discrets. Les deux tests explorés ot ue puissace e échatillo fii supérieure aux tests existats. Cette performace accrue s obtiet e combiat ue procédure bootstrap et l utilisatio de paramètres de lissage des foctios oyaux par validatio croisée par les moidres carrés. Das otre applicatio, ous parallélisos les calculs de taille et de puissace, aisi que l estimatio des feêtres de lissage, sur u serveur multi-processeurs (Colosse, de Calcul Québec). Nous utilisos des routies "Ope MPI" pré-implémetées das R. Par rapport aux simulatios effectuées das les articles origiaux, ous postulos des modèles plus proches de ceux habituellemet utilisés das la recherche appliquée (logit et probit à variace uitaire otammet). Les résultats des simulatios cofirmet les boes taille et puissace des tests e échatillo fii. Par cotre, les gais additioels de puissace de la statistique lissée proposée par Li et Racie (2013) se révèlet égligeables das os simulatios. Mots clés : Bootstrap, choix discret, desité coditioelle, Mote Carlo, produit de oyaux, puissace, taille. iii

4

5 Table des matières Résumé Table des matières Liste des tableaux Avat-propos iii v vii ix Itroductio 1 1 Revue de littérature Tests de spécificatio pour desités coditioelles sas oyaux cotius et discrets Tests de spécificatio pour les desités coditioelles avec oyaux cotius et discrets Méthodologie d estimatio Démarche méthodologique Processus de géératio des doées sous les hypothèses ulle et alterative Estimatio paramétrique de la desité coditioelle Estimatio o paramétrique Simulatios Applicatio Calcul de la taille et la puissace des tests sur R Résultats et iterprétatio Coclusio 29 A Aexes 31 A.1 Lemme et théorèmes utilisés Bibliographie 33 v

6

7 Liste des tableaux 3.1 Taille basée sur le modele H 0 : y i = 1 + x i z i + u i avec M=1000, B=399 et σ u = Puissace basée sur le modele DGP H1a : y i = 1 + x i z i + si(0,5πx i ) + u i avec M=1000, B=399 et σ u = Puissace basée sur le modele DGP H1b : y i = 1 + x i z i + xi 2 + u i avec M=1000, B=399 et σ u = Puissace basée sur le modele DGP H1c : y i = 1+x i z i +x i u i avec M=1000, B=399 et σ u = Feêtres de lissage coditioelles, DGP H1a : y i = 1+x i z i +si(0,5πx i )+u i avec M=1000, u i N(0,1) vii

8

9 Avat-propos Ce travail aurait pu être réalisé sas l aide de mo directeur de recherche, le Professeur Carlos Ordás Criado, et de mo co-directeur, le Professeur Guy Lacroix. Je leur suis profodémet recoaissat pour leur assistace et leurs coseils. Je remercie le troisième lecteur de ce mémoire, Charles Bellemare, pour sa lecture et ses remarques. Je voudrais exprimer plus particulièremet ma gratitude au Professeur Carlos Ordás Criado pour so apport sur les méthodes o paramétriques, aisi que pour so gééreux support fiacier. Je suis recoaissat au corps professoral du départemet d écoomique pour l eseigemet de qualité qu il m a apporté. Pour fiir, je ties à remercier mes camarades de maîtrise, mes collègues de la Chaire de Recherche Aéroportuaire, mes amis, mes parets, ma femme aisi que ma fille pour leurs souties moral et psychologique, et efi au Créateur de l uivers pour m avoir accordé la vie et la saté. ix

10

11 Itroductio Les écoomistes utiliset différets types de modèles pour aalyser les choix de cosommatio des idividus. Lorsque ces choix sot de ature discrète (décisios liées aux modes de trasports, choix etre différetes politiques publiques, etrée ou o sur le marché du travail), le modèle le plus courammet utilisé est celui de l utilité aléatoire. Cette approche impose u certai ombre de restrictios qui permettet aux écoomistes de relier les choix observés à des mécaismes de décisio. À titre d exemple, les modèles classiques de choix discrets de McFadde (1974) ou Maddala (1983) postulet que les variables explicatives costituet u idice liéaire et que la probabilité coditioelle est logistique ou ormale (logit ou probit). Or, rie e garatit que cette formulatio e décrit adéquatemet les choix observés, coditioellemet aux variables explicatives qui sot pertietes du poit de vue de la théorie écoomique. U mécaisme comportemetal compatible avec la réalité observée est pourtat crucial pour valider les recommadatios de politiques écoomiques et les aalyses de bie-être issues des modèles d utilité aléatoire. De ombreux modèles de choix discret ot été proposés afi de permettre ue plus grade flexibilité das la foctio de probabilité et de réduire différetes sources de biais das l estimatio. Les formulatios flexibles les plus populaires sot l estimateur semi-paramétrique de Klei et Spady (1993), celui du score maximum de Maski (1975) ou la versio lissée proposée par Horowitz (1992), les algorithmes de Matzki (1992, 1993) ou ecore l estimateur de Blevis et Kha (2013). Plusieurs tests statistiques permettet de comparer des modèles paramétriques et semi-paramétriques das ce cotexte. O trouve égalemet das la littérature écoométrique des tests gééraux de spécificatio pour desités coditioelles. Par exemple, Adrews (1988a,b, 1997) propose différetes extesios du test de Khi-deux de Pearso et du test de Kolmogorov-Smirov. Ces tests sot éamois o costructifs, car ils offret pas d alterative satisfaisate e cas de rejet de la probabilité coditioelle postulée. De plus, ils obliget souvet le chercheur à utiliser des estimatios locales basées sur u faible ombre d observatios, sas exploiter de maière optimale l iformatio se trouvat das le voisiage des régios peu deses du support. De récets développemets sur l estimatio o paramétrique de desités par oyau ot permis de remédier à ces déficieces. Le premier pas a été doé par le travail pioier de Li et Racie (2003), qui propose d utiliser la méthode o paramétrique du oyau pour estimer de maière lisse les desités joites d u mélage de variables aléatoires discrètes et cotiues. La pricipale iovatio de cette 1

12 recherche est d itroduire des oyaux discrets lissés, qui permettet d estimer la probabilité joite sas réduire e sous-échatillos le support de la distributio. Cette méthode ajoute du biais das l estimatio de la desité mais elle réduit sa variace. Das des travaux ultérieurs, Hall et al. (2004), Racie et al. (2004) et Li et Racie (2008) étedet leurs estimateurs aux desités/probabilités coditioelles, à la régressio par oyaux et aux quatiles coditioels. Hall et al. (2004) motret que le choix du paramètre de lissage de la foctio oyau par validatio croisée par les moidre carrés permet d exclure asymptotiquemet les variables explicatives o pertietes das le cadre de l estimatio coditioelle. Ils motret égalemet que cette validatio croisée géère des gais de performace prévisioel hors-échatillo, même e échatillo fii. Des tests formels d adéquatio pour les desités coditioelles sot proposés par Fa et al. (2006), et par Li et Racie (2013), où les résultats mis e lumière par Hall et al. (2004) sot exploités. L objectif pricipal du préset travail de maîtrise est de répliquer les deux tests proposés par Fa et al. (2006) et Li et Racie (2013), afi de vérifier si les résultats publiés sur leur taille et leur puissace restet valides e échatillo fii das le cadre de l hypothèse stadard de variace uitaire des modèles probit et logit (polytomique ordoé et o ordoé). Fa et al. (2006) proposet u test qui omet de lisser le variable répose discrète de la desité coditioelle mais qui lisse les variables explicatives discrètes. Li et Racie (2013) proposet de lisser toutes les variables discrètes présetet das la desité coditioelle, la variable répose discrète icluse. L implémetatio de ces tests état pas dispoible sur R, ous décrivos les grades étapes de cette implémetatio. Les résultats de os simulatios e échatillo fii idiquet que les deux tests présetet ue boe taille et qu ils sot puissats cotre des alteratives o liéaires et hétéroscédastiques. Cepedat, ous obteos des différeces de puissace très faibles quad ous comparos la performace des deux tests. Ceci cotraste avec les résultats de Li et Racie (2013), qui obtieet systématiquemet des puissaces supérieures par rapport à la versio semi-lissée de la statistique de Fa et al. (2006), et ceci pour tous les seuils critiques. Ce travail est structuré e trois chapitres. Au chapitre 1, ous passos e revue les procédures mises e place pour tester l adéquatio des probabilités coditioelles des pricipaux modèles de choix discrets. Le chapitre 2 décrit les procédures d estimatios et de tests. Notos que les simulatios requièret l estimatio de paramètres de lissages par validatio croisée par les moidres carrés. Par coséquet, ue parallélisatio de la procédure est souhaitable, pour obteir des résultats das u délai raisoable. Le chapitre 3 commete les résultats et ous termios ce mémoire e récapitulat os résultats et e offrat quelques recommadatios pour l implémetatio du test sur R. 2

13 Chapitre 1 Revue de littérature La littérature écoométrique propose de ombreuses approches pour tester la spécificatio ou l adéquatio des desités coditioelles postulées par les chercheurs. O peut distiguer etre les approches qui se baset sur des foctios paramétriques sous l hypothèse alterative (Hausma, 1978; Hausma et McFadde, 1984; Horowitz et Louviere, 1993) et celles qui utiliset des formes foctioelles o paramétriques. Ces derières approches ayat l avatage d être plus robustes à des erreurs de spécificatio sous l hypothèse alterative, ous ous cocetros sur ces derières. Das cette classe de méthodes, ous distiguos ecore deux grades catégories : celles qui utiliset ue discrétisatio du support sas référece explicite à l estimatio par oyau et celles qui emploiet des oyaux (avec détermiatio d ue feêtre optimale de lissage). Sas être exhaustif, ce chapitre propose ue revue des pricipaux tests gééralemet discutés lorsque l o s itéresse aux tests o paramétriques de desités coditioelles. Nous mettos l accet sur l aspect le plus pratique de cette discussio : leur performace e échatillo fii. 1.1 Tests de spécificatio pour desités coditioelles sas oyaux cotius et discrets Das cette sectio, ous ous cocetros sur deux tests qui utiliset pas la méthode des oyaux, ceux proposés par Adrews das ses travaux de 1988 et Cet auteur dérive des tests qui utiliset des approches o paramétriques basées sur l idée géérale des tests de Khi-deux de Pearso et de Kolmogorov. Ils ot l avatage d être puissats cotre toute alterative locale à l hypothèse Test de Adrews (1988, 1997) Adrews (1988a,b) propose u test de Khi-deux coditioel pour vérifier la spécificatio de la desité coditioelle des modèles paramétriques (voir égalemet Heckma (1984)). Il s agit d ue extesio du test de Khi-deux de Pearso, applicable aux différets modèles (trasversaux) de réposes discrètes (logit et probit polytomiques, régressio SUR, équatios simultaées, etc). 3

14 Sous l hypothèse ulle, la desité coditioelle de Y i (variable dépedate pour l observatio i) sachat X i (vecteur de variables explicatives pour cette observatio) appartiet à la famille de desité coditioelle ( f (y x,θ) : θ Θ) qui respecte ue mesure σ-fiie. Le terme Θ représete l espace des paramètres. L hypothèse alterative est que la distributio coditioelle est mal spécifiée. Le test est basé sur le partitioemet du support de la desité coditioelle e cellules disjoites et la comparaiso etre les probabilités empiriques issues de l échatillo et les probabilités prédites par le modèle postulé pour ces cellules. Il ote par Γ u élémet aléatoire de la classe des partitios Y X, dot ˆΓ est l estimateur. La mesure de divergece utilisée est basée sur l écart etre les effectifs observés et les effectifs coditioels prédits. Plus précisémet, cette distace est doée par l expressio : v ( ˆΓ, ˆθ) = [ P ( ˆΓ) F ( ˆΓ, ˆθ) ], (1.1) où P représete la distributio coditioelle empirique du couple {(Y i,x i ),i = 1,...,}, F est la distributio coditioelle paramétrique estimée de Y i sachat X i. Soit Ŵ u estimateur coverget de l iverse gééralisé de Σ 0 (la vraie matrice de dispersio sous H 0 ). Sous l hypothèse ulle, la distributio asymptotique de l expressio (1.1) est ormale, de moyee ulle et de matrice de dispersio Σ 0. E utilisat la distace quadratique est e divisat par l écart-type, ous obteos la statistique de test : X 2 ( ˆΓ, ˆθ) = v ( ˆΓ, ˆθ)Ŵv ( ˆΓ, ˆθ) (1.2) Sous H 0, l expressio (1.2) est distribuée asymptotiquemet selo u Khi-deux dot les degrés de liberté sot doés par le rag de Σ 0. Adrews (1988b) vérifie la performace du test e échatillo fii à l aide d u modèle de régressio cesurée 1. Il teste le DGP sous H 0 cotre deux alteratives symétriques (à queues mice puis épaisse), ue versio asymétrique de ce même DGP, aisi que cotre le modèle cesuré proposé par Cragg (1971). Il calcule la taille du test avec 5000 réplicatios Mote Carlo sur des échatillos fiis de taille 100 et 250. Ses résultats révèlet que le test est de boe taille et puissat cotre toute alterative. Ce test o paramétrique se révèle plus puissat que les tests paramétriques développés par Hausma (1978), Hausma et McFadde (1984). Das la cotiuité de ses travaux, Adrews (1997) propose u test de spécificatio pour desités coditioelles de type Kolmogorov (appelé Kolmogorov Coditioel, KC). Ce test est ue extesio du test traditioel d adéquatio de Kolmogorov pour les distributios o coditioelles. L hypothèse ulle (de boe spécificatio du modèle paramétrique) s écrit : H 0 : H(y x) = F(y x,θ) pour u certai θ Θ, (1.3) où F(y x,θ) est la foctio de répartitio de Y i coditioellemet aux vecteurs de variables explicatives X i = x, et au vecteur de paramètres θ, Θ est l espace des paramètres, H(y x) est la vraie foctio de répartitio coditioelle, et f (y x,θ) est la foctio de desité respectat ue mesure σ-fiie (pas 1. Plus précisémet, le processus de géératio de doées est Y i = c + X i β +U i > 0 et 0 sio, avec (U i X i ) N(0,1) sous H 0. 4

15 écessairemet la mesure de Lebesgue). L auteur estime θ par u estimateur ˆθ qui coverge vers θ 0. La statistique de test est ue distace maximisée (Max), différete de l habituel supremum (Sup) utilisé das le test stadard de Kolmogorov : où ˆF (z, ˆθ) = 1 i=1 CK = max Hˆ (Z j ) ˆF (Z j, ˆθ) (1.4) j F(y X i,θ)i (Xi x) avec z = (y,x). Sous H 0 la distributio asymptotique de la statistique déped des paramètres de uisaces ˆθ (ou θ 0 quad il est cou) et de G, la foctio de répartitio empirique de X. La performace du test e échatillo fii s obtiet par ue procédure de bootstrap paramétrique. Das l article, l auteur utilise u modèle logit multiomial sous H 0. La taille du test est calculée avec 4000 réplicatios de Mote Carlo pour les échatillos de petite taille et 2000 réplicatios pour les échatillos de grade taille. Il utilise des bootstrap de taille 299 das les deux cas. Il motre que le test est puissat cotre les alteratives locales à 1 -coverget et cotre toutes alteratives fixes à l hypothèse ulle Tests de spécificatio pour les desités coditioelles avec oyaux cotius et discrets L u des défauts du test d Adrews (1997) est qu il e propose pas directemet d alterative à la desité coditioelle paramétrique rejetée. Les tests basés sur l estimateur du oyau offret directemet cette spécificatio alterative, mais leur performace déped du choix d u paramètre de lissage optimal. Ces derières aées, certaies méthodes de sélectio du paramètre de lissage ot révélé des propriétés itéressates : (i) elles permettet de combier de maière optimale de l iformatio sur des supports discrets et peu deses, (ii) elles détectet automatiquemet les variables pertietes das le coditioemet. Nous abordos à préset das cette sectio les tests proposés par Zheg (2000), Fa et al. (2006), et Li et Racie (2013). Tous ces tests utiliset ue approche o paramétrique basée sur l estimatio par oyau et ils se complètet das leur démarche méthodologique. Das cette sectio, ous utilisos les otatios origiales des auteurs, pour faciliter la comparaiso avec les articles origiaux Test proposé par Zheg (2000) Zheg (2000) est le précurseur de la série de tests o paramétriques qui utiliset l approche par la méthode du oyau pour tester l adéquatio de la desité coditioelle postulée par le chercheur. Soit {y i,x i } i=1,.., ue observatio d u échatillo aléatoire idépedate et idetiquemet distribuée proveat d ue famille de loi de desité joite p(y,x), où y i u vecteur de l variables dépedates, tel que y i R l et x i u vecteur de m variables explicatives, tel que x i R m. 2. C est ue séquece d alteratives de desité coditioelle q (y x) = f (y x,θ 0 ) + d(z), qui sot des perturbatios au voisiage de l hypothèse ulle. 5

16 Soit p(y x) la desité coditioelle de y sachat x. Comme aocé plus haut, Zheg s itéresse à tester p(y x) à l itérieur d ue famille de desité coditioelle paramétrique. Soit Θ l espace des paramètres 3, u sous-esemble compact et covexe de R k. La desité coditioelle paramétrique de y sachat x état doé θ 0 est défiie par f (y x,θ 0 ). Zheg cherche ue procédure de test qui permet de départager les deux hypothèses suivates : H 0 : P(p(y x) = f (y x,θ 0 )) = 1, pour u θ 0 Θ doé, cotre H 1 : P(p(y x) = f (y x,θ)) < 1 θ Θ Pour mesurer la différece etre p(y x) et f (y x,θ 0 ) sous l hypothèse ulle, Zheg (2000) choisit le critère d iformatio de divergece de Kullback et Leibler (1951) e ecore la mesure d etropie relative. Ce critère est ue mesure de la dissimilarité etre deux distributios de probabilités, l ue théorique et l autre empirique. Il est défii das le cas préset par : { [ ]} p(yi x i ) I(p, f ) = E log f (y i x i,θ 0 ) (1.5) Il motre de faço géérale que I(p, f ) 0 et] ulle sous l hypothèse H 0. Par ailleurs, par le développemet de Taylor 4 d ordre 1 du log o a [ p(yi x i ) f (y i x i,θ 0 ) { } { } p(yi x i ) I(p, f ) = E f (y i x i,θ 0 ) 1 p(yi x i ) f (y i x i,θ 0 ) = E f (y i x i,θ 0 ) (1.6) Zheg (2000) prouve qu e podérat la desité coditioelle paramétrique par la desité margiale de x que l expressio (1.6) coserve les mêmes propriétés que I(p, f ) sous H 0 comme sous H 1. L expressio (1.6) deviet doc sous H 0 : { } p(yi,x i ) p 1 (x i ) f (y i x i,θ 0 ) I 1 (p, f ) = E (1.7) f (y i x i,θ 0 ) où p 1 (x) la desité margiale de x. Zheg propose d estimer les feêtres de lissage des estimateurs respectifs des desités p(y i,x i ) et p 1 (x i ) par l approche de Silverma (1986). De même, la desité joite p(y i,x i ) est estimée par le produit des oyaux. E effet, c est ue méthode qui permet de résoudre des problèmes o liéaires à l aide des méthodes liéaires e trasformat les espaces de doées e u espace de dimesio plus grade. Aisi, les estimateurs de desité ˆp(y i,x i ) et ˆp 1 (x i ) 3. L espace de paramètre e gééral différet de l espace des variables. Ils sot égaux si le ombre de variables pour l estimatio o paramétrique est exactemet égale à celui de l estimatio paramétrique. Voir les hypothèses alteratives pour le calcul de la puissace, chapitre log(x) x 1. 6

17 sot respectivemet défiis par les expressios suivates : ˆp(y i,x i ) = 1 ( ) ( ) 1 j=1 h l+m K yi y j xi x j 2 K 1 h h ˆp 1 (x i ) = 1 ( ) 1 h m K xi x j 1 h j=1 (1.8) (1.9) E outre, e estimat le paramètre θ 0 par la méthode de quasi maximum de vraisemblace, Zheg (2000) dérive l estimateur lissé de la desité p(y,x) de f (y i x i,θ)p 1 (x i ) qui est défii par : p(y i,x i ) = 1 1 j=1 h l+m ( ) ( ) yi y xi x j K 2 K 1 f (y x j, ˆθ)dy (1.10) h h où ˆθ est l estimateur quasi maximum de vraisemblace de θ, et h correspod au paramètre de lissage de x et y. Il déduit la statistique W du test et sa versio ormalisée T qui preet la forme : 1 1 W = ( 1) K ( yi y) ( ) xi x j 2 h K1 h ( K yi y) ( ) xi x j 2 h K1 h f (y x j, ˆθ)dy h l+m (1.11) f (y i x i, ˆθ) i=1 j=1 j i et l+m h 2 W T = (1.12) ˆσ Zheg (2000) motre sous certaies hypothèses de régularité que la statistique T coverge e loi vers ue loi ormale cetrée réduite sous l hypothèse ulle et que la statistique o stadardisée W coverge e probabilité vers I(p, f ) > 0 sous l hypothèse alterative. Zheg a abordé la puissace e se basat sur ue séquece d alteratives locales, c est-à-dire, H 1 : p(y x) = f (y x,θ 0 ) + d l(y,x), où l(.,.) est ue foctio cotiumet différetiable et uiformémet borée, avec l(x,y)dy = 0. Cet auteur vérifie la performace du test e échatillo fii sur les modèles de régressio liéaire et les modèles de régressio cesurée par ue simulatio Mote Carlo de 1000 réplicatios avec des échatillos de taille 50, 100, 200 et 300. La taille du test est calculée sous H 0 e spécifiat u modèle liéaire homoscédastique avec ue erreur ormale cetrée réduite, et la puissace avec quatre hypothèses alteratives, dot les deux premières sot liéaires avec des erreurs suivat respectivemet ue loi logistique et ue Studet à 5 degrés de liberté (à queues plus mices). Les deux derières sot respectivemet quadratique et hétéroscédastique avec des erreurs ormales stadards. Par ailleurs, Zheg soulige que le test de Adrews (1997) est localemet plus puissat que so test Test proposé par Fa et al. (2006) Le défaut du test de Zheg (2000) est qu il e cosidère que des variables cotiues das ses produits de oyaux. E outre, il e fourit pas de directives pour l estimatio des feêtres de lissage. Ces maquemets sot pris e compte par le test de Fa et al. (2006). Ils proposet d exploiter les produits de oyaux mixtes développés par Li et Racie (2003). 7

18 Soit x u vecteur de variables explicatives cotiues et discrètes (x c,x d ), tel que x c pour ue observatio doée est ue matrice q 1 et x d ue matrice r 1. Soit D k le support de x d ik de logueur c k allat de 0 à c k 1. Les valeurs prises par la k-ième composate de la i-ième observatio de x d sot otées xik d. Pour estimer la desité par la méthode de oyau, Fa et al. (2006) utiliset l estimateur de Aitchiso et Aitke (1976) pour la k-ième variable discrète défii par : l(x d ik,xd jk,λ k) = { 1 λk si x d ik = xd jk λ k c k 1 si xd ik xd jk La desité joite de l esemble de variables discrètes est doée par le produit de oyaux : L(x d i,x d j,λ) = r k=1 l(x d ik,xd jk,λ k) = r k=1 ( ) Nik (x) λk (1 λ k ) 1 N ik(x) c k 1 (1.13) (1.14) où N ik (x) est la foctio idicatrice doat 1 si xik d xd jk et 0 sio, λ k est le paramètre de lissage de la k-ième variable discrète, dot les valeurs sot comprises etre 0 et c k 1 c k. Pour les variables cotiues, la foctio oyau utilisée est le oyau d ordre 2 d Epaechikov défii par : w(u) = 3 4 (1 u2 )1 { u 1}. Aisi, l estimateur par oyau de la desité joite des variables cotiues est : W(x c i,x c j,h) = q k=1 ( 1 x c ik x c ) jk w h k h k (1.15) où h k est le paramètre de lissage de la k-ième variable cotiue x c. Par la suite, l estimateur par oyau de la desité joite des variables explicatives est le produit des desités margiales cotiues et discrètes (Fa et al., 2006) : K γ (x i,x j ) = W(x c i,x c j,h) L(x d i,x d j,λ) (1.16) Pour estimer les desités p(y i,x i ) et p 1 (x i ) au poit i, Fa et al. (2006) suggèret d omettre le poit i das l estimatio (estimateur "leave-oe-out"), coduisat à l estimateur : ˆp i (y i,x i ) = 1 1 j=1 j i ˆp 1, i (x i ) = 1 1 I(y i = y j )K γ (x i,x j ) (1.17) j=1 j i K γ (x i,x j ) (1.18) Aisi, l estimateur de lissage du produit de desité f (y i x i,θ)p 1 (x i ), p(y i,x i ) proposé par Fa et al. (2006) est défii par : p(y i,x i ) = 1 1 j=1 j i y D y I(y i = y)k γ (x i,x j ) f (y x j, ˆθ) (1.19) 8

19 où D y est le support de la variable dépedate y. Lorsque y i = y, l expressio (1.19) deviet doc : p(y i,x i ) = 1 1 K γ (x i,x j ) f (y i x j, ˆθ) (1.20) j=1 j i E remplaçat, les expressios de ˆp(y i,x i ), ˆp(x i ) et p(y i,x i ) das l expressio de I 1 (p, f ), Fa et al. (2006) déduiset l estimateur o lissé de la statistique W,γ : W s,γ = 1 ( 1) i=1 { Kγ (x i,x j ) [ I(yi = y j ) f (y i x j, ˆθ) ]} (1.21) j=1 f (y i x i, ˆθ) j i Ils proposet d estimer les paramètres de lissage par la méthode de validatio croisée par moidres carrés qui a la propriété asymptotique d élimier les variables o pertietes das le modèle. Aisi, sous les coditios de régularité de Hall et al. (2004) liées à la covergece des feêtres de lissage, Fa et al. (2006) motret sous H 0 que la statistique de l expressio (1.21) coverge e loi vers ue loi ormale cetrée réduite :, ˆγ = (ĥ 1 ĥ 2...ĥ q ) 1/2 W, s ˆγ d N(0,1) (1.22) ˆV, ˆγ T s où ˆV, ˆγ = 2 ( 1) i=1 j i { Kˆγ (x i,x j ) [ I(yi = y ˆf (y i x i, ˆθ) j ) f (y i x j, ˆθ) ]} 2 est u estimateur coverget de la variace asymptotique de (ĥ 1 ĥ 2...ĥ q ) 1/2 W s, ˆγ. Pour examier la performace du test e échatillo fii, Fa et al. (2006) utilise la statistique o stadardisée W, s ˆγ pour la simulatio Mote Carlo avec 5000 réplicatios pour le calcul de la taille et 2000 réplicatios pour le calcul de la puissace e 1000 bootstraps pour déduire la distributio asymptotique de W s sous H 0. Ils utiliset sous H 0 u PGD biaire caractérisé par ue variable latete qui suit ue loi ormale stadard (probit), qui est testé cotre deux alteratifs, dot les variables latetes sot respectivemet quadratique et hétéroscédastique. Ils obtieet de boes tailles et motret aussi que leur test est plus puissat que le test de Zheg (2000). De même, le test est plus puissat que celui de Adrews (1997) quad il s agit de tester l adéquatio de desités coditioelles paramétriques Test proposé par Li et Racie (2013) E échatillo fii, le lissage des variables discrètes apporte u gai d efficacité das l estimatio. Aisi, Li et Racie (2013) profite de cette propriété pour améliorer la performace e échatillo fii de la statistique proposée par Fa et al. (2006). Ils proposet de remplacer l idicatrice de la variable répose par u estimateur lissé selo la méthode de Aitchiso et Aitke (1976). Aisi, pour 9

20 ue variable dépedate discrète omiale, ils utiliset l estimateur suivat : l(y i,y j,λ 0 ) = (1 λ 0 )I(y i = y j ) + λ 0 c 0 1 I(y i y j ) (1.23) avec λ 0 compris etre 0 et c 0 1 c 0. Ils étedet la procédure du test égalemet aux variables réposes discrètes ordoées e utilisat l estimateur de Wag et va Ryzi (1981) : avec λ 0 compris etre 0 et 1. l(y i,y j,λ 0 ) = (1 λ 0 )I(y i = y j ) + λ y i y j 0 I(y i y j ) (1.24) 2 E itégrat l estimateur lissé de la foctio idicatrice, Li et Racie (2013) dérivet les estimateurs "leave-oe-out" des desités p(y i,x i ), p 1 (x i ), et p(y i,x i ) : ˆp i (y i,x i ) = 1 1 ˆp 1, i (x i ) = 1 1 p i (y i,x i ) = 1 1 j=1 j i j=1 j i j=1 j i l(y i,y j,λ 0 )K γ (x i,x j ) (1.25) K γ (x i,x j ) (1.26) y D y l(y i,y,λ 0 )K γ (x i,x j ) f (y i x j, ˆθ) (1.27) E utilisat les expressios (1.25), (1.26), (1.27), Li et Racie (2013) déduiset les statistiques lissées W,γ s et T,γ s (cotrepartie des équatios (1.21) et (1.22) ) : { [ W,γ s 1 K γ (x i,x j ) = ( 1) f (y i x i, ˆθ) i=1 j=1 j i l(y i,y j,λ 0 ) y D y l(y i,y,λ 0 ) f (y x j, ˆθ) ]} (1.28) T s, ˆγ = (ĥ 1 ĥ 2...ĥ q ) 1/2 W s, ˆγ ˆV, ˆγ (1.29) Ils motret que la statistique stadardisée T, s ˆγ coverge e loi vers ue loi ormale cetrée et réduite sous l hypothèse ulle (Li et Racie (2013), Théorème 2.1, voir aussi l aexe)). De plus, sous l hypothèse alterative, T, s ˆγ coverge e probabilité vers ue valeur strictemet positive (Li et Racie (2013), Théorème 2.2, voir aussi l aexe). Par ailleurs, pour obteir la performace du test e échatillo fii, ils utiliset ue procédure bootstrap paramétrique de 1000 réplicatios et 399 bootstraps, sur u modèle probit ordoé dot la variable latete est liéaire sous H 0 et u alteratif siusoïdal. Les résultats de la simulatio réalisée avec des tailles d échatillo 200, 300, 400 révèlet que le test possède ue boe taille qui e varie pas selo le type de statistique utilisée, et que la statistique lissée apporte u gai de puissace par rapport à la statistique de Fa et al. (2006). 10

21 Chapitre 2 Méthodologie d estimatio Lorsque des tests statistiques sot proposés, il est parfois possible d établir des règles de rejet et d acceptatio de l hypothèse ulle à la fois e grad échatillo et e échatillo de taille fixe. Fa et al. (2006) et Li et Racie (2013) établisset que leurs statistiques de test sot asymptotiquemet ormales sous l hypothèse ulle (sous-sectio 1.2.2, et sous-sectio 1.2.3), mais ils ajoutet que la ormalité de la distributio est aucuemet garatie e échatillo fii. Pour pallier cette déficiece, ils proposet ue procédure bootstrap qui possède de très boes propriétés e échatillo fii : (i) elle idetifie le vrai modèle au même seuil d erreur qu e grad échatillo lorsque le chercheur postule le vrai modèle, (ii) elle rejette avec ue probabilité suffisammet élevée le modèle utilisé par le chercheur lorsque le modèle postulé e correspod pas au vrai processus de géératio de doées (boe puissace du test). Das ce chapitre, ous décrivos e détail les différetes étapes qui permettet de démotrer ces résultats. 2.1 Démarche méthodologique Pour aalyser la taille du test e échatillo fii, ous commeços par choisir le vrai processus de géératio de doées (PGD) sous l hypothèse ulle et ous créos des échatillos de différetes tailles. Comme das les articles origiaux de Fa et al. (2006) et Li et Racie (2013), ous retiedros = {200, 300, 400, 500}. Pour ue taille fixe d échatillo, ous obteos ue première estimatio du vrai PGD à l aide des deux estimateurs paramétrique et o paramétrique par oyau. Nous calculos l écart d ajustemet des valeurs prédites par les deux estimateurs à l aide des statistiques W (voir les équatios (1.21) et (1.28)). De toute évidece, cette statistique est pas utile car il ous maque sa distributio e échatillo fii. Nous tiros doc 399 échatillos bootstrap de l échatillo origial et ous réestimos avec ces échatillos bootstrap les statistiques des deux tests (lissé et o lissé). Ceci ous doe 399 valeurs bootstrap des statistiques des tests, qui permettet de défiir ue desité empirique des statistiques(lissée et o lissée) pour l échatillo iitialemet gééré. Nous comparos fialemet les statistiques (lissée et o lissée) de otre échatillo origial à leurs distributios bootstrap. Si les statistiques échatilloales dépasset les quatiles 90%, 95% ou 99% des distributios 11

La classification de données quantitatives avec SPAD

La classification de données quantitatives avec SPAD La classificatio de doées quatitatives avec SPAD SPAD effectue toujours ue ACP de la matrice des doées quatitatives X " p avat de faire la classificatio des idividus. Les méthodes de classificatio s appliquet

Plus en détail

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local

Apprentissage: cours 3a Méthodes par moyennage local Appretissage: cours 3a Méthodes par moyeage local Guillaume Oboziski 1 er mars 2012 Réferece : chap. 6 of [Hastie et al., 2009] ad chap. 6 of [Devroye et al., 1996]. Algorithmes par moyeage local O cosidère

Plus en détail

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES

STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES STATISTIQUE AVANCÉE : MÉTHODES NON-PAAMÉTIQUES Ecole Cetrale de Paris Arak S. DALALYAN Table des matières 1 Itroductio 5 2 Modèle de desité 7 2.1 Estimatio par istogrammes............................

Plus en détail

Estimations et intervalles de confiance

Estimations et intervalles de confiance Estimatios et itervalles de cofiace Estimatios et itervalles de cofiace Résumé Cette vigette itroduit la otio d estimateur et ses propriétés : covergece, biais, erreur quadratique, avat d aborder l estimatio

Plus en détail

STATISTIQUE : ESTIMATION

STATISTIQUE : ESTIMATION STATISTIQUE : ESTIMATION Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 202-203 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Estimatio poctuelle 5. Défiitios 5 2. Critères de comparaiso d estimateurs 6 3. Exemples

Plus en détail

Méthodes basiques en statistiques sous R

Méthodes basiques en statistiques sous R Méthodes basiques e statistiques sous R Master II Modélisatio Aléatoire - Paris VII Eseigat : Mme Picard Sébastie Le Berre 12 mai 2011 R est u logiciel de calcul largemet utilisé par la commuauté scietifique

Plus en détail

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES

STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES STATISTIQUE : TESTS D HYPOTHESES Préparatio à l Agrégatio Bordeaux Aée 203-204 Jea-Jacques Ruch Table des Matières Chapitre I. Gééralités sur les tests 5. Itroductio 5 2. Pricipe des tests 6 2.a. Méthodologie

Plus en détail

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1)

Chapitre 3 : Fonctions d une variable réelle (1) Uiversités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Aalyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 3 : Foctios d ue variable réelle (1) 1 Lagage topologique das R Défiitio 1 Soit a u poit de R. U esemble V R est u voisiage de a s

Plus en détail

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson

Loi binomiale. Niveau : Première S + SUP (Convergence) Prérequis : Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson 4 L E Ç O N Loi biomiale Niveau : Première S + SUP (Covergece) Prérequis : Variable aléatoire, espérace, variace, théorème limite cetral, loi de Poisso 1 Loi de Beroulli Défiitio 41 Loi de Beroulli Soit

Plus en détail

Devoir de statistiques: CORRIGE

Devoir de statistiques: CORRIGE CPP - la prépa des INP ( ème aée). Bordeaux, 6/04/04. Devoir de statistiques: CORRIGE durée h Doées: O rappelle que si Z suit ue loi N (0, ), o a P(Z.96) 0, 975 et P(Z.65) 0, 95. Exercice. θ et O cosidère

Plus en détail

Correction HEC III 2007

Correction HEC III 2007 HEC III 7 Voie Écoomique Correctio Page Correctio HEC III 7 Voie écoomique La correctio comporte 9 pages. Eercice. Par dé itio est ue valeur propre de t si et seulemet si est ue valeur propre de T: Et

Plus en détail

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques

Exercices - Variables aléatoires discrètes : corrigé. Variables discrètes finies - Exercices pratiques Variables discrètes fiies - Exercices pratiques Exercice - Loi d u dé truqué - L2/ECS -. X pred ses valeurs das {,..., 6}. Par hypothèse, il existe u réel a tel que P (X k) ka. Maiteat, puisque P X est

Plus en détail

B) CHAÎNES DE SOLIDES

B) CHAÎNES DE SOLIDES Chaîes de solides B) CHAÎNES DE SOLIDES Objectifs Cette théorie a pour but d'aalyser les comportemets statique et ciématique d'u mécaisme à partir d'u modèle défii par le schéma ciématique du mécaisme.

Plus en détail

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES

SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES 1 ) POSITION DU PROBLÈME - VOCABULAIRE A ) DÉFINITION SÉRIES STATISTIQUES À DEUX VARIABLES O cosidère deux variables statistiques umériques x et y observées sur ue même populatio de idividus. O ote x 1

Plus en détail

Statistique descriptive bidimensionnelle

Statistique descriptive bidimensionnelle 1 Statistique descriptive bidimesioelle Statistique descriptive bidimesioelle Résumé Liaisos etre variables quatitatives (corrélatio et uages de poits), qualitatives (cotigece, mosaïque) et de types différets

Plus en détail

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009

II LES PROPRIETES DES ESTIMATEURS MCO 1. Rappel : M1 LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 2009 M LA REGRESSION : HYPOTHESES ET TESTS Avril 009 I LES HYPOTHESES DE LA MCO. Hypothèses sur la variable explicative a. est o stochastique. b. a des valeurs xes das les différets échatillos. c. Quad ted

Plus en détail

Cours de méthodes de simulation

Cours de méthodes de simulation ECOLE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D ANALYSE DE L INFORMATION ( ESSAIT) Cours de méthodes de simulatio Préparé par Hasse MATHLOUTHI Aée uiversitaire 2014-2015 AVANT PROPOS Ce documet propose u cours sur

Plus en détail

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule

Plus en détail

Introduction to Econometrics

Introduction to Econometrics MPRA Muich Persoal RePEc Archive Itroductio to Ecoometrics Moussa Keita September 015 Olie at https://mpra.ub.ui-mueche.de/66840/ MPRA Paper No. 66840, posted. September 015 04:1 UTC INTRODUCTION A L ECONOMETRIE

Plus en détail

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING

PROJET DE MONTE CARLO SUJET 1: LE PRICING LE Age KHOURI Nadie M MMD PROJE DE MONE ARLO SUJE : LE PRIING Selim ZOUGHLAMI QUESION : Supposos d abord que X est u mouvemet browie W t G([ 0, ]) Alors W0 G( 0 ) suit ue loi N(0,0) et doc W 0ps 0 Esuite,

Plus en détail

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE

Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE A- Gééralités B- Précisio d u estimateur C- Exhaustivité D- iformatio E-estimateur sas biais de variace miimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d estimatio A-

Plus en détail

Organisme de recherche et d information sur la logistique et le transport LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS

Organisme de recherche et d information sur la logistique et le transport LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS LES PREVISIONS DES CONSOMMATIONS Les logiciels utilisés pour la gestio des stocks itègret de ombreuses foctios de calcul. L ue des plus importates est l exécutio des prévisios des cosommatios futures d

Plus en détail

Dénombrement - Combinatoire Cours

Dénombrement - Combinatoire Cours Déombremet - Combiatoire Cours La combiatoire (ou aalyse combiatoire) étudie commet compter des objets. Elle fourit des méthodes de déombremet particulièremet utiles e probabilité. U des pricipaux exemples

Plus en détail

Chapitre 4 Lois discrètes

Chapitre 4 Lois discrètes Chapitre 4 Lois discrètes 1. Loi de Beroulli Ue variable aléatoire X est ue variable de Beroulli si elle e pred que les valeurs 0 et 1 avec des probabilités o ulles. P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p = q, avec

Plus en détail

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1)

I. Quitte ou double. Pour n = 1 : C 0 + (2p 1) E (M k ) = C 0 + (2p 1) E (M 1 ) = E (C 1 ) d après le 1. Soit n N tel que E (C n ) = C 0 + (2p 1) Corrigé ESSEC III 008 par Pierre Veuillez Das certaies situatios paris sportifs, ivestissemets fiaciers..., o est ameé à miser de l arget de faço répétée sur des paris à espérace favorable. O se propose

Plus en détail

Inégalités souvent rencontrées

Inégalités souvent rencontrées Iégalités souvet recotrées Recotres Putam 004 Uiversité de Sherbrooke Jea-Philippe Mori Théorie Certaies iégalités sot deveues célèbres e raiso de leur grade utilité Elles sot aussi souvet au coeur de

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exo7 Logique, esembles et applicatios Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I :

Plus en détail

TP R : méthodes statistiques élémentaires

TP R : méthodes statistiques élémentaires M2 IFMA et MPE TP R : méthodes statistiques élémetaires À la fi de la séace vous déposerez vos scripts R das la boîte de dépôt de votre espace Sakai : http://australe.upmc.fr/portal. 1 Importatio des doées

Plus en détail

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours

TS Intervalle de fluctuation et estimation Cours Aée 2013/2014 TS Itervalle de fluctuatio et estimatio Cours est u etier aturel o ul et p est u réel de l itervalle 0 ; 1. I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue populatio, la proportio d idividus présetat

Plus en détail

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov

Promenades aléatoires : vers les chaînes de Markov AME Dossier : Matrices et suites 545 romeades aléatoires : vers les chaîes de Markov ierre Griho (*) Cet article propose ue mise e perspective de la otio de promeade ou de marche aléatoire itroduite das

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n =

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 juillet 2014 Enoncés 1. Exercice 6 [ 02475 ] [correction] Si n est un entier 2, le rationnel H n = [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 1 juillet 14 Eocés 1 Nombres réels Ratioels et irratioels Exercice 1 [ 9 ] [correctio] Motrer que la somme d u ombre ratioel et d u ombre irratioel est u ombre irratioel.

Plus en détail

Sciences Po Option Mathématiques

Sciences Po Option Mathématiques Scieces Po Optio Mathématiques Epreue 3 Vrai-Fau Questio FAUX La suite ( u ) état géométrique de raiso différete de, o a classiquemet, pour tout etier aturel : où q est la raiso de la suite ( u ) Ici,

Plus en détail

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS

1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS CHAPITRE 4 MATRICES ET SUITES 1/ ETUDE ASYMPTOTIQUE D'UNE MARCHE ALEATOIRE ENTRE DEUX ETATS 11/ Présetatio et modélisatio O cosidère u système ui peut se trouver soit das u état A, soit das u état, et

Plus en détail

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière

Correction des exercices sur la nature ondulatoire de la lumière CORRECTION EXERCICES TS /5 CHAPITRE 3 Correctio des exercices sur la ature odulatoire de la lumière Correctio exercice : idice d u verre et réfractio. La radiatio = 530 m est verte et la radiatio = 680

Plus en détail

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES

CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES CHAPITRE 2 SÉRIES ENTIÈRES 2. Séries etières Défiitio 2.. O appelle série etière toute série de foctios ( ) f dot le terme gééral est de la forme f ()=a, où (a ) désige ue suite réelle ou complee et R.

Plus en détail

Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique

Éléments finis de joint mécaniques et éléments finis de joint couplés hydromécanique Titre : Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fi[...] Date : 28/10/2014 Pae : 1/10 Élémets fiis de joit mécaiques et élémets fiis de joit couplés hydromécaique Résumé : Cette documetatio porte sur

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce

UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce UNIVERSITÉ DE SFAX École Supérieure de Commerce Aée Uiversitaire 2003 / 2004 Auditoire : Troisième Aée Études Supérieures Commerciales & Scieces Comptables DÉCISIONS FINANCIÈRES Note de cours N 3 Première

Plus en détail

Cours de Statistiques inférentielles

Cours de Statistiques inférentielles Licece 2-S4 SI-MASS Aée 2015 Cours de Statistiques iféretielles Pierre DUSART 2 Chapitre 1 Lois statistiques 1.1 Itroductio Nous allos voir que si ue variable aléatoire suit ue certaie loi, alors ses réalisatios

Plus en détail

Fluctuation et estimation

Fluctuation et estimation Fluctuatio et estimatio Table des matières I Idetificatio de la situatio........................................ II Échatilloage, itervalle de fluctuatio asymptotique........................ II. Itervalle

Plus en détail

Test de validité et d'hypothèse

Test de validité et d'hypothèse Test de validité et d'hypothèse 1 Vocabulaire Problème: Il s'agit à partir de l'étude d'u ou plusieurs échatillos de predre des décisios cocerat l'esemble de la populatio. O est alors ameé à émettre des

Plus en détail

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé :

Intégration et probabilités ENS Paris, 2012-2013. TD (20)13 Lois des grands nombres, théorème central limite. Corrigé : Itégratio et probabilités EN Paris, 202-203 TD 203 Lois des grads ombres, théorème cetral limite. Corrigé Lois des grads ombres Exercice. Calculer e cet leços Détermier les limites suivates : x +... +

Plus en détail

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4

UNIVERSITE MONTESQUIEU BORDEAUX IV. Année universitaire 2006-2007. Semestre 2. Prévisions Financières. Travaux Dirigés - Séances n 4 UNVERSTE MONTESQUEU BORDEAUX V Licece 3 ère aée Ecoomie - Gestio Aée uiversitaire 2006-2007 Semestre 2 Prévisios Fiacières Travaux Dirigés - Séaces 4 «Les Critères Complémetaires des Choix d vestissemet»

Plus en détail

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION

PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jean-Marie MARION Des PROBABILITES à la STATISTIQUE - APPLICATIONS - Jea-Marie MARION 1 STATISTIQUE DESCRIPTIVE (décrire ue populatio à l aide de caractéristiques et graphiques) STATISTIQUE INFERENTIELLE (étedre des résultats

Plus en détail

Limites des Suites numériques

Limites des Suites numériques Chapitre 2 Limites des Suites umériques Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Limite fiie ou ifiie d ue suite. Limites et comparaiso. Opératios sur les ites. Comportemet

Plus en détail

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures)

Bac Blanc Terminale L - Février 2015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Exercice 1 (5 poits) Bac Blac Termiale L - Février 015 Épreuve de Spécialité Mathématiques (durée 3 heures) Questio 1 : La populatio d'ue ville baisse de 1 % tous les as pedat 10 as. Elle est doc multipliée

Plus en détail

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse

Séquence 9. Sommaire. 1. Pré-requis 2. Intervalles de fluctuation 3. Estimation 4. Synthèse de la séquence 5. Exercices de synthèse Séquece 9 Itervalles de fluctuatio, estimatio Objectifs de la séquece Das le chapitre 2, o étudie des itervalles de fluctuatio des variables aléatoires X F =, fréqueces des variables aléatoires biomiales

Plus en détail

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1

. (b) Si (u n ) est une suite géométrique de raison q, q 1, on obtient : N N, S N = 1 qn+1. n+1 1 S N = 1 1 Premières propriétés des ombres réels 2 Suites umériques 3 Suites mootoes : à faire 4 Séries umériques 4. Notio de série. Défiitio 4.. Soit (u ) ue suite de ombres réels ou complexes. Pour N N, o ote S

Plus en détail

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011

DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 MÉTHODES NUMÉRIQUES POUR LE PRICING D OPTIONS DIDIER AUROUX POLYTECH NICE-SOPHIA MAM5 - OPTION IMAFA 2010-2011 Table des matières 1 Notatios et équatio de Black-Scholes 2 11 Notatios 2 12 Équatio de Black-Scholes

Plus en détail

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6

Corrigés TD Chapitre 2 : Variables aléatoires sur un univers fini 0 0 0 1/6 0 0 1 0 1/4 0 1/4 0 4 1/6 0 0 0 1/6 Corrigés TD Chapitre : Variables aléatoires sur u uivers fii Exercice : Soit X la VAR défiie par le tableau suivat : x i - - 0 p 6 4 6 4 6 i O ote Y = X ) Détermier la loi cooite de X et Y ) Détermier

Plus en détail

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015

Université de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème année. Scoring. Marie Chavent http://www.math.u-bordeaux.fr/ machaven/ 2014-2015 Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Scorig Marie Chavet http://www.math.u-bordeaux.fr/ machave/ 2014-2015 1 Itroductio L idée géérale est d affecter ue ote (u score) global à u idividu à partir

Plus en détail

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES. ITS Voie B Option Économie. MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures) ÉCOLE NATIONALE SUPÉRIEURE DE STATISTIQUE ET D ÉCONOMIE APPLIQUÉE ENSEA ABIDJAN AVRIL 2012 CONCOURS INGÉNIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Optio Écoomie MATHÉMATIQUES (Durée de l épreuve : 4 heures)

Plus en détail

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe

09 G 18bis AR Durée: 4 heures Séries : S1-S3 - Coeff. 8.. Epreuve du 1 er groupe UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR 1/ 9 OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fa-Séégal Serveur Vocal: 68 05 59 Téléfax (1) 864 67 39 - Tél : 84 95 9-84 65 81 M A T H E M A T I Q U E S 09 G 18bis AR Durée:

Plus en détail

Correction CCP maths 1 MP

Correction CCP maths 1 MP mai 4 Avertissemet : Il subsiste certaiemet quelques coquilles... Exercice : ue itégrale double Correctio CCP maths MP Pour calculer cette itégrale, o effectue le chagemet de variable e coordoées polaires

Plus en détail

Chapitre 3 Détermination de la taille de l'échantillon

Chapitre 3 Détermination de la taille de l'échantillon Chapitre 3 Détermiatio de la taille de l'échatillo Lorsqu o prélève u échatillo pour estimer u paramètre, o court toujours le risque de découvrir u peu trop tard que l'échatillo prélevé est trop petit

Plus en détail

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR

Application «Calculs» Application «Graphiques» Application «Tableur et listes» FR TI Nspire Documet de Formatio T3 Walloie TI-Nspire Le tout e u des mathématiques Suites umériques La loi de Verhulst Applicatio «Calculs» Applicatio «Graphiques» Applicatio «Tableur et listes» FR Formatios

Plus en détail

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels.

Université de Provence 2011 2012. Planche 6. Nombres réels. Suites réelles. Nombres réels. Uiversité de Provece 011 01 Mathématiques Géérales I Plache 6 Nombres réels Suites réelles Nombres réels Exercice 1 Mettre sous forme irréductible p/q les ratioels suivats (les chiffres souligés se répètet

Plus en détail

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée

DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités conditionnelles - Suites géométriques - fonctions exponentielles Calculatrice autorisée DEVOIR SURVEILLE DE MATHEMATIQUES 3 heures Probabilités coditioelles - Suites géométriques - foctios epoetielles Calculatrice autorisée Termiale ES123 Eercice 1 : 5 poits Partie A : Ue agece de locatio

Plus en détail

CHAPITRE 22. Machines à sous

CHAPITRE 22. Machines à sous CHAPITRE 22 Machies à sous 22. Corrigé possible du texte 22.. Eocé du problème et défiitio du modèle statistique associé O étudie ici u modèle statistique avec observatios icomplètes : o dispose d observatios

Plus en détail

Les Nombres Parfaits.

Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits. Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2 de Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexadre DEVERT, Pierre Damie DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC) La première partie

Plus en détail

La Méthode de Monte Carlo

La Méthode de Monte Carlo La Méthode de Mote Carlo Etiee Pardoux UMR 6632 Laboratoire d Aalyse, Topologie, Probabilités et EA 3781 Evolutio Biologique Uiversité de Provece Etiee Pardoux (LATP) Marseille, 13/09/2006 1 / 33 Cotets

Plus en détail

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h

Entrée à Sciences Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h Etrée à Scieces Po ADMISSION AU COLLÈGE UNIVERSITAIRE 2014 MATHÉMATIQUES durée de l épreuve : 3 h A P M E P Les calculatrices sot autorisées Exercice Vrai-Faux 8 poits Pour chacue des affirmatios suivates,

Plus en détail

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f.

Intervalle de fluctuation des fréquences. Estimation CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. fréquence F n. fréquence obtenue f. Chapitre 14 Itervalle de fluctuatio des fréqueces. Estimatio Termiale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Itervalle de fluctuatio Estimatio Itervalle de cofiace (*). Niveau

Plus en détail

Notions de base pour l analyse d un tableau de contingence

Notions de base pour l analyse d un tableau de contingence Uiversité de Bordeaux - Master MIMSE - 2ème aée Notios de base pour l aalyse d u tableau de cotigece Marie Chavet http://wwwmathu-bordeauxfr/ machave/ 204-205 Notatios et défiitios U tableau de cotigece

Plus en détail

École de technologie supérieure

École de technologie supérieure École de techologie supérieure Mat 165-04 Algèbre liéaire et aalyse vectorielle A-015 Michel Beaudi michel.beaudi@etsmtl.ca Liste d exercices à faire e T.P./Caledrier des évaluatios Itroductio au cours

Plus en détail

Statistique Numérique et Analyse des Données

Statistique Numérique et Analyse des Données Statistique Numérique et Aalyse des Doées Arak DALALYAN Septembre 2011 Table des matières 1 Élémets de statistique descriptive 9 1.1 Répartitio d ue série umérique uidimesioelle.............. 9 1.2 Statistiques

Plus en détail

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI

FEUILLE D EXERCICES 17 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI FEUILLE D EXERCICES 7 - PROBABILITÉS SUR UN UNIVERS FINI Exercice - Lacer de dés O lace deux dés à 6 faces équilibrés. Calculer la probabilité d obteir : u double ; ue somme des deux dés égale à 8 ; ue

Plus en détail

Cours VII. Tests de randomisation - Tests de contingence P. Coquillard 2015

Cours VII. Tests de randomisation - Tests de contingence P. Coquillard 2015 1 TESTS DE RANDOMISATION Cours VII. Tests de radomisatio - Tests de cotigece P. Couillard 2015 Das ue majorité de cas e biologie o cosidèrera certaies hyothèses comme des alteratives à l hyothèse ulle.

Plus en détail

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON MATHEMATIQUES II CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L ENSEIGNEMENT Directio des Admissios et cocours ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON CONCOURS

Plus en détail

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR.

55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. 55 - EXEMPLES D UTILISATION DU TABLEUR. CHANTAL MENINI 1. U pla possible Les exemples qui vot suivre sot des pistes possibles et e aucu cas ue présetatio exhaustive. De même je ai pas fait ue étude systématique

Plus en détail

1 Mesure et intégrale

1 Mesure et intégrale 1 Mesure et itégrale 1.1 Tribu boréliee et foctios mesurables Soit =[a, b] u itervalle (le cas où b = ou a = est pas exclu) et F ue famille de sous-esembles de. OditqueF est ue tribu sur si les coditios

Plus en détail

Développement du modèle log-normal nonstationnaire et comparaison avec le modèle GEV non-stationnaire

Développement du modèle log-normal nonstationnaire et comparaison avec le modèle GEV non-stationnaire Hydrological Scieces Joural ISSN: 06-6667 (Prit) 150-3435 (Olie) Joural homepage: http://www.tadfolie.com/loi/thsj0 Développemet du modèle log-ormal ostatioaire et comparaiso avec le modèle GEV o-statioaire

Plus en détail

Econométrie. Bernard Lejeune. Notes à l usage des étudiants de 3ème année de bachelier en sciences économiques et de gestion. HEC-Université de Liège

Econométrie. Bernard Lejeune. Notes à l usage des étudiants de 3ème année de bachelier en sciences économiques et de gestion. HEC-Université de Liège Ecoométrie Berard Lejeue HEC-Uiversité de Liège Notes à l usage des étudiats de 3ème aée de bachelier e scieces écoomiques et de gestio Aée académique 015-016 i Préambule E parallèle des présetes otes

Plus en détail

Maîtrise de Mathématiques TER Le bandit manchot à deux bras

Maîtrise de Mathématiques TER Le bandit manchot à deux bras Maîtrise de Mathématiques TER Le badit machot à deux bras Deis Cousieau Sous la directio de Jea-Michel Loubes Septembre 2003 Table des matières 1 Présetatio du problème 2 1.1 Exemple de la machie à sous,

Plus en détail

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( )

La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte un total de 5 exercices. ( ) ( ) ( ) Aée 01-013 Mathématiques Décembre 01 Durée : 3 heures BAC blac N 1 La calculatrice est autorisée. Le sujet comporte u total de 5 exercices. Les élèves e suivat pas l eseigemet de spécialité traiterot les

Plus en détail

Correction Bac ES France juin 2010

Correction Bac ES France juin 2010 Correctio Bac ES Frace jui 010 Exercice 1 (4 poits) (Commu à tous les cadidats) Pour ue meilleure compréhesio, les réposes serot justifiées das ce corrigé. Questio 1 Le ombre 3 est solutio de l équatio

Plus en détail

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE

ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE ADMISSION AU COLLEGE UNIVERSITAIRE Samedi mars 204 MATHEMATIQUES durée de l'épreuve : 3h - coefficiet 2 Le sujet est uméroté de à 5. L'aexe est à redre avec la copie. L'exercice Vrai-Faux est oté sur 8,

Plus en détail

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité

Processus géométrique généralisé et applications en fiabilité Processus géométrique gééralisé et applicatios e fiabilité Lauret Bordes 1 & Sophie Mercier 2 1,2 Uiversité de Pau et des Pays de l Adour Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applicatios - Pau UMR

Plus en détail

PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS

PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS PRINCIPALES DISTRIBUTIONS DE PROBABILITÉS INTRODUCTION De ombreuses situatios pratiques peuvet être modélisées à l aide de variables aléatoires qui sot régies par des lois spécifiques. Il importe doc d

Plus en détail

Travaux dirigés G33 Dimensionnement 2 séances Enseignant : Anthony Busson.

Travaux dirigés G33 Dimensionnement 2 séances Enseignant : Anthony Busson. Travaux dirigés G33 Dimesioemet 2 séaces Eseigat : Athoy Busso. Exercice 1 : O cosidère u web switch et 3 serveurs web. Le web switch reçoit les requêtes http proveat des cliets et les répartit de maière

Plus en détail

Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques (François Delarue) MÉTHODE DE MONTE-CARLO

Université Paris VII - Agrégation de Mathématiques (François Delarue) MÉTHODE DE MONTE-CARLO Uiversité Paris VII - Agrégatio de Mathématiques Fraçois Delarue) MÉTHODE DE MONTE-CARLO Ce texte vise à préseter l utilisatio de la méthode de Mote-Carlo das le calcul du prix d ue optio. 1. Positio du

Plus en détail

Statistique mathématique pour le Master 1 Cours de l ENS Cachan Bretagne. Benoît Cadre

Statistique mathématique pour le Master 1 Cours de l ENS Cachan Bretagne. Benoît Cadre Statistique mathématique pour le Master 1 Cours de l ENS Cacha Bretage Beoît Cadre 4 jui 2010 2 Table des matières 1 Modélisatio statistique 5 1.1 U exemple............................. 5 1.2 Pricipe fodametal

Plus en détail

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 16 octobre 2015 Enoncés 1. Exercice 7 [ 02253 ] [Correction] Soient (u n ) et (v n ) deux suites telles que [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 octobre 05 Eocés Suites umériques Covergece de suites Exercice [ 047 ] [Correctio] Soiet u ) et v ) deux suites réelles covergeat vers l et l avec l < l. Motrer

Plus en détail

CONCOURS EXTERNE POUR l ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES AFFECTÉ AU TRAITEMENT DE L INFORMATION EN QUALITÉ D ANALYSTE

CONCOURS EXTERNE POUR l ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES AFFECTÉ AU TRAITEMENT DE L INFORMATION EN QUALITÉ D ANALYSTE J. 3 398 CONCOURS EXTERNE POUR l ACCÈS AU GRADE D INSPECTEUR DES FINANCES PUBLIQUES AFFECTÉ AU TRAITEMENT DE L INFORMATION EN QUALITÉ D ANALYSTE ANNÉE 04 ÉPREUVE ÉCRITE D ADMISSIBILITÉ N 3 Durée : 3 heures

Plus en détail

La fonction de la maîtrise des vitesses est d assurer un temps

La fonction de la maîtrise des vitesses est d assurer un temps sas frotière OÎTE À OUTILS Guide de dimesioemet La maîtrise des vitesses hydrauliques JEN ROUSSEU 1 La oîte à outils du précédet uméro de Techologie traitait du choix d u distributeur pour l actioeur hydraulique.

Plus en détail

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives

c. Calcul pour une évolution d une proportion entre deux années non consécutives Calcul des itervalles de cofiace our les EPCV 996-004 - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio e oit das la oulatio totale des méages - Cas d u ourcetage ou d ue évolutio das ue sous oulatio das les méages

Plus en détail

Chapitre 1: Calcul des intérêts

Chapitre 1: Calcul des intérêts Chapitre 1: Calcul des itérêts Ce chapitre vise à familiariser le lecteur avec les otios suivates : Itérêt Taux d itérêt omial Taux d itérêt périodique Valeur acquise Valeur actuelle Capitalisatio Le lecteur

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Statistiques inférentielles BTS Mécaique et Automatismes Idustriels Statistiques iféretielles, Aée scolaire 2005 2006 Statistiques iféretielles 1. Itroductio vocabulaire Pour étudier ue populatio statistique, o a recours à deux méthodes

Plus en détail

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015)

Concours de l Iscae. Épreuve Commune de Mathématiques (2015) Mohiieddie Beayad Cocours de l Iscae Épreuve Commue de Mathématiques (5) Voici l éocé de l épreuve commue de Mathématiques du cocours d etrée à l ISCAE de l aée 5, aisi que l itégralité du corrigé. Les

Plus en détail

Principes et Méthodes Statistiques

Principes et Méthodes Statistiques Esimag - 2ème aée 0 1 2 3 4 5 6 7 0 5 10 15 x y Pricipes et Méthodes Statistiques Notes de cours Olivier Gaudoi 2 Table des matières 1 Itroductio 7 1.1 Défiitio et domaies d applicatio de la statistique............

Plus en détail

Utilisation du bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l estimation des paramètres

Utilisation du bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l estimation des paramètres B A S E Biotechol Agro Soc Eviro 00 6 (3) 43 53 Utilisatio du bootstrap pour les problèmes statistiques liés à l estimatio des paramètres Rudy Palm Uité de Statistique et Iformatique Faculté uiversitaire

Plus en détail

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire

Séquence 8. Suites arithmétiques et géométriques. Sommaire Séquece 8 Suites arithmétiques et géométriques Sommaire Pré-requis Suites arithmétiques Suites géométriques Sythèse du cours Exercices d approfodissemet Séquece 8 MA Ced - Académie e lige Pré-requis A

Plus en détail

Probabilités & Statistiques L1: Cours. December 20, 2008

Probabilités & Statistiques L1: Cours. December 20, 2008 Probabilités & Statistiques L1: Cours December 20, 2008 Chapter 1 Déombremets I 1.1 Pricipes gééraux Règle du produit O fait deux expérieces, successives ou simultaées. Si la première doe 1 résultats possibles

Plus en détail

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1

Statistiques appliquées à la gestion Cours d analyse de donnés Master 1 Aalyse des doées Statistiques appliquées à la gestio Cours d aalyse de doés Master F. SEYTE : Maître de coféreces HDR e scieces écoomiques Uiversité de Motpellier I M. TERRAZA : Professeur de scieces écoomiques

Plus en détail

4 Approximation des fonctions

4 Approximation des fonctions 4 Approximatio des foctios Ue foctio f arbitraire défiie sur u itervalle I et à valeur das IR peut être représetée par so graphe, ou de maière équivalete par la doée de l esemble de ses valeurs f(t) pour

Plus en détail

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

PROBABILITÉS. A cette expérience aléatoire, on associe l ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. PROBABILITÉS I. PROBABILITÉS ( RAPPELS) a. Expérieces aléatoires et modèles Le lacer d ue pièce de moaie, le lacer d u dé sot des expérieces aléatoires, car avat de les effectuer, o e peut pas prévoir

Plus en détail

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario

Mathématiques. Terminale S Corrigés des exercices. Rédaction : Laurent Beroul Isabelle Tenaud Sébastien Cario. Coordination : Sébastien Cario Mathématiques Termiale S Corrigés des eercices Rédactio : Lauret Beroul Isabelle Teaud Sébastie Cario Coordiatio : Sébastie Cario Ce cours est la propriété du Ced Les images et tetes itégrés à ce cours

Plus en détail

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X

Exo7. Déterminants. = 4(b + c)(c + a)(a + b). c + a c + b 2c Correction. b + a 2b b + c. Exercice 2 ** X a b c a X c b b c X a c b a X Exo7 Détermiats Exercices de Jea-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-fracefr * très facile ** facile *** difficulté moyee **** difficile ***** très difficile I : Icotourable T : pour

Plus en détail

Questions Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1

Questions Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1 Questios Chapitre 2 L approche statistique de la réalité 1 Expliquer la otio de variable et défiir les différets types de variables Décrire les échelles de classificatio et trasformer les doées pour passer

Plus en détail

REQUÊTES. Il est possible de créer des formulaires ou des états à partir de requête.

REQUÊTES. Il est possible de créer des formulaires ou des états à partir de requête. Cliclasolutio Aée 2006/2007 REQUÊTES Utilité des requêtes QUESTIONNER LA BASE DE DONNÉES La foctio classique d'ue requête est de répodre à ue questio sur la base de doées. "Quels sot les cliets habitat

Plus en détail

Mathématiques. Cours. BTS Informatique de gestion 2 e année. Denis Jaudon. Directrice de publication : Valérie Brard-Trigo

Mathématiques. Cours. BTS Informatique de gestion 2 e année. Denis Jaudon. Directrice de publication : Valérie Brard-Trigo BTS Iformatique de gestio e aée Deis Jaudo Mathématiques Cours Directrice de publicatio : Valérie Brard-Trigo Les cours du Ced sot strictemet réservés à l usage privé de leurs destiataires et e sot pas

Plus en détail