Exercice 1 : Réponse d'un circuit (R, L, C) - Niveau 1/4. On considère le circuit (R, L, C) suivant (on suppose RC = L R = τ ) : d 2 i

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1 Exercices de cours Exercice 1 : Réponse d'un circuit (R, L, C) - Niveau 1/4 On considère le circuit (R, L, C) suivant (on suppose RC = L R = τ ) : 1. Donner la tension initiale aux bornes de la bobine et le courant initial la traversant. De même à l'inni. 2. Donner l'équation diérentielle sous la forme : On donnera la valeur de ω 0 et Q. d 2 i dt + ω 0 di 2 Q dt + ω2 0i = cte 3. Tracer l'allure de la courbe sans faire de calculs (la pente initiale est non nulle). Exercice 2 : Circuit RC à deux mailles - Niveau 1/4 On considère le montage de la gure ci-dessous. On ferme l'interrupteur à t = 0. Avant la fermeture, le condensateur C a est déchargé alors que la tension aux bornes de C b est V Établir les relations : C b dv dt = u v R b et i = C a du dt + u R a 1

2 2. Montrer que la tension u vérie l'équation diérentielle : d 2 u dt + ω 0 du 2 Q dt + ω2 0u = 0 où Q et ω 0 sont des constantes à déterminer en fonction de C a, C b, R a et R b. 3. Donner la méthode de résolution sans faire de calculs. On explicitera la manière de trouver les conditions initiales. Exercice 3 : Condensateur en parallèle sur une bobine et alimenté par un échelon de courant - Niveau 1/4 Une source de courant idéale délivre un échelon de courant : - i g (t) = 0 pour t 0, - i g (t) = I 0 pour t > 0, dans un circuit constitué d'un condensateur de capacité C, initialement déchargé, en parallèle sur une bobine d'inductance L et de résistance R, avec R < 2 1. Établir l'équation diérentielle du courant i(t) dans la bobine. Mettre cette équation sous forme canonique et déterminer l'expression de la pulsation propre ω 0 et du facteur de qualité Q. 2. Déterminer l'expression générale de i(t) faisant apparaître deux constantes. 3. Déterminer les conditions initiales permettant de trouver ces deux constantes. L C. 2

3 Exercices d'application Exercice 1 : Décharge d'un condensateur monté en parallèle avec une diode - Niveau 4/4 On se propose d'étudier la décharge d'un condensateur de capacité C en parallèle avec uen diode au silicum, le tout en série avec une bobine d'inductance L et une résistance R. Au début de l'étude, le condensateur est chargé sous une tension u = U 0. Aucun courant ne circule dans le circuit. On donne : C = 0, 47 µf, L = 0, 054 H et U 0 = 3, 5 V. On donne la caractéristique de la diode : On rappelle que sans diode, et pour les valeurs données en introduction, la tension u(t) est donnée par (g.2) : ( e λt U 0 cos(ωt) + λu ) 0 Ω sin(ωt) avec, λ = R 2L et Ω = 1 LC R2 4L 2 1. Étude de la tension aux bornes du condensateur (a) Au début de l'expérience, que vaut U AB? En déduire le domaine d'utilisation de la diode. Quelle est la conséqaunce sur u(t)? (b) Donner la relation permettant de trouver la date t 1 pour laquelle cette conclusion cesse d'être valable? Déterminer graphiquement cette date. (c) En déduire le domaine d'utilisation pour t > t 1. Que vaut u pour t > t 1? Modéliser graphiquement la diode. 2. Étude de la tension aux bornes de la bobine (a) Établir les équations diérentielles régissant l'évolution de la tension u (t) aux bornes de la bobine pour t < t 1 et t > t 1. (b) Les résoudre. On pourra exprimer le résultat pour t > t 1 en fonction, entre autres, de t 1 et u (t + 1 ). On prendra pour la suite u (t + 1 ) = 1, 35 V 3. Évolution pour t > t 1 (a) Jusqu'à quelle date les expressions précédentes sont-elles valables? Dans quelle domaine se retrouvera-t-on alors? 3

4 Exercice 2 : Circuit alimenté par un hacheur - Niveau 4/4 Un hacheur est un système électronique qui permet d'obtenir une tension continue réglable à partir d'une alimentation constante E. Dans le cas présent le hacheur est modélisé par un interrupteur K qui peut basculer entre la position (1) et la position (2). Le condensateur est supposé de capacité C susamment grande pour que la tension V c puisse être considérée constante. L'interrupteur K a les positions suivantes : - K est en (1) pour 0 < t < αt ; - K est en (2) pour αt < t < T. α est un nombre positif inférieur à 1 et T la période du hacheur. 1. (a) Dans un premier temps, K est position (1). Établir l'équation diérentielle reliant l'intensité i à E, V c et L. (b) On note I m l'intensité à t = 0. Déterminer l'expression de i(t) en fonction des données. (c) Déterminer l'expression de i(αt ), on note I M cette valeur. 2. (a) À l'instant t = αt, l'interrupteur bascule en position (2). Établir la nouvelle équation diérentielle à laquelle obéit i. (b) Déterminer l'expression de i(t) pour αt t T en fonction de α, T, E, V c, et I m. (c) L'intensité i est périodique en régime établi, et donc i(t ) = i(0) = I m. Calculer V c en fonction de E et α. 3. On donne la valeur moyenne d'une grandeur s(t) : < s >= 1 T T 0 s(t)dt (a) Montrer que la valeur moyenne de l'intensité dans C est nulle. Calculer la valeur moyenne de i et en déduire l'expression de I M + I m en fonction de E, α et R. (b) Déterminer I m puis I M en fonction de α, E, R, L et T. 4. Quelle valeur maximale peut prendre R pour que I m soit positif? 4

5 Exercice 3 : Circuit RL alimenté par une tension créneau, - Niveau 3/4 On se propose d'étudier la réponse d'un circuit RL à une tension en créneaux délivrée par un générateur basse fréquence (G.B.F.). Le circuit représenté sur la gure ci-dessous comporte une bobine parfaite d'inductance L, un résistor de résistance R et un G.B.F. délivrant une tension en créneaux u représentée sur la gure ci-dessous. 1. On dénit la constante de temps τ, exprimée en secondes, du circuit RL par une relation du type τ = L α R β, où α et β sont deux constantes réelles. Par analyse dimensionnelle rapide, déterminer la valeur des exposants α et β (on raisonnera à partir des relations entre u et i). 2. (a) Pour 0 t T, établir l'équation diérentielle régissant les variations de l'intensité 2 i dans le circuit. La résoudre en justiant soigneusement la détermination de la (des) constante(s) d'intégration. (b) En déduire l'expression de u L (t). (c) Tracer l'allure des courbes représentatives de i(t) et de u L (t) en précisant les valeurs vers lesquelles ces fonctions tendent en régime permanent, ainsi que l'équation des tangentes à l'origine. 3. Déterminer complètement l'expression de i(t) et u L (t) pour T 2 t T. 4. Le G.B.F. est réglé sur la fréquence f = 1, 0 khz, la bobine a pour inductance L = 1, 0 H et R = 1, Ω. Comparer la période T de la tension délivrée par le G.B.F. et la constante de temps τ du circuit. Tracer qualitativement l'évolution des graphes de i(t) et u L (t) sur quelques périodes. Commenter. 5

6 Exercice 4 (supplémentaire) : Deux condensateurs en série avec une résistance - Niveau 2/4 Deux condensateurs de capacités respectives C 1 et C 2 sont reliés par une résistance R. À l'instant initial, leurs charges respectives sont Q 10 = Q 0 et Q 20 = 0. On pose : τ = R C 1C 2 C 1 +C Établir l'expression à la date t de l'intensité i du courant dans la résistance R. 2. Déterminer les charges Q 1 (t) et Q 2 (t) des deux condensateurs à la date t. 3. Calculer la variation de l'énergie emmagasinée dans les deux condensateurs entre l'instant initial t i et l'instant nal t f. 4. Calculer l'énergie consommée par eet Joule dans la résistance entre les instants t = 0 et t. 6