Introduction à la géométrie algorithmique

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1 Introduction à la géométrie algorithmique École Jeunes Chercheurs Informatique Mathématique Mars 2007 Xavier Goaoc

2 Géométrie algorithmique Traitement algorithmique des problèmes de nature géométrique. Exemples de problèmes : Déménageur de piano Ressource la plus proche Reconstruction de surface?

3 Objectifs Déterminer la complexité des problèmes. Pour un modèle de calcul (trad. Real RAM). Complexité asymptotique dans le cas le pire. Problèmes souvent polynomiaux ordre de grandeur precis? Mettre au point des solutions effectives. Sur des machines à arithmétique finie. Solutions efficaces pour les cas pratiques. Implantations robustes.

4 Exemples d applications Simuler Algorithmique Reconstruction Maillages Systèmes Prototypage Rendu (projet lad information croissance virtuel moléculaire ISA) 3D (projet (start-up de géographique plantes (projet GEOMETRICA) VSP) (projet GEOMETRICA). ISA).

5 Plan I. Quelques principes généraux (1h) Structures de données géométriques Techniques algorithmiques classiques II. Problèmes de robustesse (1/2h) Pourquoi les algorithmes géométriques plantent-ils? Comment y remédier? III. Zoom sur... (1/2h) Intersection exacte et rapide de deux quadriques Géométrie des droites intersectant des sphères

6 Quelques principes généraux

7 Deux problèmes similaires Déménageur de piano : Lancer de rayon :

8 Deux problèmes similaires Déménageur de piano Position du piano donnée par un point et un angle. Espace des configurations R d S d 1 Obstacles : O 1,..., O n T i : ensemble des positions où le piano est tangent à l obstacle O i. T i est une hypersurface de R d S d 1. T 1,..., T n subdivisent R d S d 1 en régions. Positions possibles du piano certaines régions. Le piano peut aller de (p 1, θ 1 ) à (p 2, θ 2 ) (p 1, θ 1 ) et (p 2, θ 2 ) appartiennent à la même région.

9 Deux problèmes similaires Lancer de rayon Rayon déterminé par un point et un vecteur. Espace des rayons R d S d 1 p u Objets : O 1,..., O n T i : ensemble des rayons tangents à l objet O i. T i est une hypersurface de R d S d 1. T 1,..., T n subdivisent R d S d 1 en régions. Rayons d une même région voient la même chose. La région de (p, u) détermine ce que voit ce rayon.

10 Une même structure sous-jacente F = {H 1,..., H n } une famille d hypersurfaces de R d. Arrangement de F : décomposition de R d induite par les hypersurfaces de F. Exemple : Description combinatoire (incidences) et géométrique (plongement).

11 Une même structure sous-jacente Discrétise une partition continue en respectant sa structure. Sous-jacent dans de nombreux problèmes : Déménageur de piano Lancer de rayon Union d objets Problèmes d optimization kème pente?

12 Étude des arrangements Nombre de faces (toutes dimensions confondues) Complexité Θ ( n d) pour un arrangement de n hyperplans dans R d. Étude plus difficile pour des objets autres que des hyperplans. Ex: une face dans un arrangement de n segments du plan est de taille Θ(nα(n)). Sous-structures Niveaux, enveloppes inférieures ou supérieures, régions sandwich... Algorithmes Incrémental Par balayage Ajouter les hypersurfaces une à une. Complexité bornée via un Théorème de la zone.

13 Balayage : principe Calcul des intersections d une famille de n segments dans le plan. Comment éviter une énumération en Θ ( n 2)? 4 Balayer le plan par une droite Maintenir la liste triée des segments rencontrés Anticiper les événements Traiter les événements dans l ordre Chercher les intersections entre segments voisins Segments : {4, 2, 3} Événements : {2 4, f 4, f 2, f 3, d 5, f 5 } Sortie : {2 4}

14 Balayage : analyse Analyse d un balayage de n segments avec k intersections. Algorithme de complexité O((n + k) log n). O(n log n) pour l initialisation (tri des extrémités). O(log n) pour chacun des 2n + k événements. Algorithme adaptatif. Nombreuses généralisations Balayage de R d par une hypersurface. Balayage topologique Balayage dans des espaces non-euclidiens.

15 Trois (autres) problèmes similaires Position optimale pour un nouveau magasin? Interpolation lisse d une fonction R d R? Simuler la robe d une girafe?

16 Trois (autres) problèmes similaires Position optimale pour un nouveau magasin? Critère : maximiser le nombre de clients dont ce sera le magasin le plus proche. p 1,..., p n les magasins existants. R i : ensemble des points plus proche de p i que de tout p j pour j i Soit une position p de nouveau magasin. R(p) : ensemble des points plus proche de p que de p 1,..., p n. Le point p optimal maximise l aire de R(p).

17 Trois (autres) problèmes similaires Interpolation lisse d une fonction φ : R d R? p 1,..., p n points en lesquels on connait φ R i : ensemble des points plus proche de p i que de tout p j pour j i p un point en lequel on interpole φ R(p) : ensemble des points plus proche de p que de p 1,..., p n. φ(p) = ( ) aire(ri R(p)) i φ(p i ) aire(r(p)) φ differentiable sur R d \ F.

18 Trois (autres) problèmes similaires Simuler la robe d une girafe Phénomènes de croissance. p 1,..., p n un ensemble de sites. Propage un front simultanément depuis chacun de ces sites. R i : l ensemble des points atteints par l extension de p i. R i : points plus proche de p i que de p j pour j i. Robe obtenue comme partition selon les distances à p 1,..., p n

19 Diagramme de Voronoï F = {p 1,..., p n } un ensemble d objets de R d Diagramme de Voronoï de F : partition de R d selon les distances aux p i. Divers objets... points, droites, segments, cercles, plans, sphères, polygones, polyèdres... Diverses notions de distance... Euclidienne, L 1, L, pondérée...

20 Diagramme de Voronoï - calcul F un ensemble de points du plan R 2. Triangulation de Delaunay. Caractérisée par la propriété du cercle vide. abc DT son cercle circonscrit est vide. Ces triangles forment une triangulation. Dual du diagramme de Voronoï. Algorithme incrémental randomisé pour calculer cette triangulation.

21 Algorithme incrémental aléatoire Principe : T i 1 Insérer p i dans la triangulation de Delaunay T i 1 de p 1,..., p i Localisation : trouver le triangle de T i 1 qui contient le point p i. 2. Subdivision : subdiviser ce triangle à partir de p i 3. Correction : rendre la nouvelle triangulation de Delaunay. Ordre d insertion aléatoire (limiter les comportements pathologiques).

22 Localisation On utilise une structure de localisation. Arbre de tous les triangles créés. Feuilles = triangles existants et noeuds = triangles détruits. Construction : α γ β α β γ α β 1 2 α β Localisation : parcours dans l arbre. Degré 3 coût nombre de triangles traversés.

23 Arête légale : il existe un cercle vide passant par ses 2 extrémités. Triangulation de Delaunay : toutes les arêtes sont légales. Correction Flip : Corriger la triangulation par flips successifs. Vérifier les arêtes opposées à p i dans les triangles contenant p i. Propager après chaque flip. Chaque flip augmente le plus petit angle terminaison.

24 Complexité Complexité moyenne selon l ordre d insertion des points (aléatoire). En moyenne, O(n) triangles crées. X i : nombre de triangles créés à l insertion de p i. k i : degré de p i dans T i. L insertion de p i crée au plus 2k i + 3 nouveaux triangles. Degré moyen dans T i est au plus 2(3i 3) i 6. E[X i ] 15 { 3 à l insertion. 2 par flip arête flippée incidente à p i. La complexité moyenne de l algorithme est O(n log n). L i : nombre d opérations pour localiser p i. Amortisation : E [ i L i] = O(n log n)

25 Conclusion Structures géométriques récurrentes et générales. Arrangements et leurs sous-structures : faces, niveaux, enveloppes... Diagrammes de Voronoï / triangulations de Delaunay et leurs variations... ɛ-nets, cuttings... Algorithmes tirant parti de la géométrie des objets. Balayage, amortisation... Base de problèmes bien compris. Aléatoirisation d algorithmes géométriques. Optimisation type programmation linéaire Recherche multidimensionnelle Implantations disponibles CGAL, triangle, qhull, etc...

26 Problèmes de robustesse

27 Un algorithme géométrique, ca plante souvent... Exemple : calcul de l enveloppe convexe de points du plan. parfois En théorie : En pratique :

28 Pourquoi? Exécution d un algorithme parcours dans un arbre P? Branchement prédicat, évalué via un calcul numérique Exemple : orientation d un triplet (ordonné) de points p r q orientation(p, q, r) = sign x p x q x r y p y q y r Calcul à précision fixée erreurs de prise de décision

29 L action au ralenti... Float xp,yp,xq,yq,xr,yr; Orientation = sign((xq-xp)*(yr-yp)-(xr-xp)*(yq-yp));

30 Perte de cohérence globale Principal problème : perte de cohérence globale. Exemple : localisation hiérarchique d un point dans une triangulation. au niveau i au niveau i + 1 Les théorèmes garantissant la correction de l algorithme ne sont plus vérifiés.

31 Errare machinum est? Un code apparement correct peut prendre de mauvaises décisions. Erreurs d approximation, i.e. d arrondis. Quelles conséquences pour l algorithme? Boucles infinies ( plantage ou crash) Résultats incorrects Pas de message d erreur.

32 Calcul symbolique Un ordinateur calcule dans Z/2Z et pas dans R. Le calcul symbolique est néanmoins possible : Comparer 28 et 5 43 revient à comparer 28 5 et 43 2 Cette approche a ses limites. Est-ce simple de comparer e 3 logπ (sin( 3 10 ) et 1? Certaines formes du test à 0 sont NP-difficiles.

33 Nombres algébriques Nombre algébrique racine d un polynome à coefficients entiers. Nombre non-algébrique : transcendant. Ex: π, e... Proportionnellement, peu de nombres réels sont algébriques. Suffisants pour traiter un grand nombre de problèmes géométriques. Droite, cercle, sphère, patchs de Bezier... équations polynomiales. Ex: intersections de 2 cercles de centres/rayons rationnels points algébriques.

34 Représenter des nombres algébriques Représentation symbolique simple : y y = P (x) x Nombre algébrique a. Représenté par (I, P ). I : intervalle qui ne contient qu une seule racine de P, à savoir a. Ex: 2 peut être représentée par ([1, 2], X 2 2). Variantes : (k, P ) et a est la k eme racine de P (en partant de ).

35 Calcul sur des nombres algébriques +,,, / et k peuvent être calculées sur cette représentation par intervalle. Algorithmes implantés, par ex. dans la bibliothèque CORE. Les ordinateurs peuvent calculer avec des nombres algébriques. Core::Expr xp,yp,xq,yq,xr,yr; Orientation = sign((xq-xp)*(yr-yp)-(xr-xp)*(yq-yp)); De tels calculs sont lents : Ralentissements d un facteur 100 à Techniques de filtrage : Faire du calcul approché en controlant l erreur. Si l erreur est trop grande, basculer sur du calcul exact.

36 En résumé La gestion des erreurs numériques pose des problèmes théoriques. Bornes de séparation. Stratégies optimales pour l évaluation de prédicats. Des solutions pratiques commencent à être disponibles. Bibliothèques de calcul sur nombres algébriques (CORE). Filtrage des prédicats (CGAL). D autres problèmes se posent... Gestions des configurations dégénérées.

37 Zoom sur... Intersection exacte et rapide de deux quadriques

38 CSG-Brep Modèles de CAO souvent conçus par CSG. Cavalier = V 1 V 2 (V 3 (V 4 V 5 )) V 1 V 2 V 3 Volumes élémentaires V 4 V 5 Utilisation : représentation par bords. Pour convertir, il faut pouvoir intersecter les surfaces V i entre elles.

39 Intersection de quadriques Input : deux équations de degré 2 en x, y et z à coefficients entiers. Output : paramétrisation de la courbe intersection (de degré 4). Algorithme de Levin (1976) pour le cas général. Quadriques naturelles étudiées plus finement. Plans, cones droits, cylindres circulaires, sphères [SJ92] [MG 95]

40 Calcul approché Que donne une implantation numérique de l algorithme de Levin? Peu fiable. Peut détecter une intersection inexistante. Peut rater une intersection existante... La topologie de la courbe intersection peut être fausse. Prise en compte des situations dégénérées incertaine. Surfaces tangentes Crash à l étape suivante (CSG-Brep par ex.) faute de cohérence.

41 Calcul exact Que donne une implantation symbolique (Maple) de l algorithme de Levin? Les expression manipulées comportent jusqu à 5 niveaux de imbriquées. Les calculs n aboutissent pas toujours... Décider le signe de Quand ils aboutissent, le résultat peut s avérer inexploitable. Hyperboloide : x 2 y 2 + z 2 xy y + 1 = 0 Ellispoide : 2x 2 + y z 2 4yz + 4y 20z 20 = 0 Résultat : fichier texte de 20 Mo...

42 Étude fine du problème Première solution correcte et efficace : QI [DLLP 04]. Clef : meilleure compréhension de la géométrie du problème. Catalogue complet des (55) types d intersection. Selon le nombre de composantes algébriques et leur type. Premier catalogue complet. Ex : une quartique lisse, deux coniques, deux droites et une conique, etc... Algorithme de détection du type d intersection. Nombre et type des quadriques singulières du faisceau λp + µq. Via les racines du polynôme caractéristique φ(λ, µ) = det (λm P + µm Q ) Dans chaque cas, paramétrage ad hoc des composantes algébriques. Paramétrage utilisant un nombre quasi-optimal de.

43 Résultats Hyperboloide : x 2 y 2 + z 2 xy y + 1 = 0 Ellispoide : 2x 2 + y z 2 4yz + 4y 20z 20 = 0 Temps de calcul : 10ms (via le serveur web). quartique lisse, 2 composantes Exemple de paramétrage de composante : x(u) = u u u (513576u u u ) 10 + ( 50u 35u 10) y(u) = u u u ( u u u) u z(u) = u u u (57960u u u) 10 + (248u u 10) w(u) = u u u (12600u u u) 10 + (278u u 10) Avec : = u u u u ( u u u u ) 10

44 Intersection de quadriques Questions de base sur des objets non-linéaires de faible degré mal résolues. Difficulté : comprendre les questions mathématiques sous-jacentes. La géométrie algorithmique non-linéaire reste à développer.

45 Zoom sur... Géométrie des droites intersectant des sphères

46 Droites transversales B 1,..., B n des boules de R 3. Existe-t-il une droite qui intersecte toutes les B i? Applications : analyse statistique, métrologie... Algorithme de complexité O(n 3 ) [AAS 97]. Peut-on faire mieux?

47 Programmation linéaire Programmation linéaire : Optimiser une fonction linéaire ϕ(x 1,..., x d ). Tout en satisfaisant des contraintes linéaires : AX B Interprétation géométrique : Trouver un point extrémal d un polytope pour une direction donnée. Dimension d = nombre de variables. Solution = sommet du polytope = intersection de d contraintes. Algorithme incrémental randomisé [Seidel 91] Ajouter les contraintes une à une dans un ordre aléatoire en maintenant la solution. Une solution est l intersection de d contraintes. Si la solution s i 1 viole la contrainte (C i ) (C i ) contribue à définir la nouvelle solution s i. On est ramené à résoudre un problème de dimension d 1. Complexité : O(n) en moyenne (exponentielle en d).

48 Programmation linéaire généralisée Plus petit cercle contenant un ensemble de points du plan. Problème d optimisation programmation linéaire. Algorithme de Seidel le résoud correctement. Programmation linéaire généralisée (PLG). Ensemble H et une fonction φ : 2 H Ω avec Ω ordonné. Question : calculer f(h). 2 axiomes : Monotonie : F G H φ(f ) φ(g). Localité : F G H et φ(f ) = φ(g) alors h H, φ(f {h}) φ(f ) φ(g {h}) φ(g) Base de F : B F minimal tel que φ(b) = φ(f ). Dimension de (H, φ) : cardinalité maximale d une base.

49 Théorèmes à la Helly Théorème [Helly, 1923]. n convexes de R d ont un point en commun ssi toute sous-famille de d+1 a un point en commun. Nombreux théorèmes similaires : théorèmes à la Helly. F satisfait P ssi ses sous-famille de taille (au plus) k satisfont P. Propriétés observables sur les sous-parties de taille bornée. Correspondance problèmes PLG Théorèmes à la Helly [Amenta 93]. φ(h) λ φ(f ) λ pour toute F d + 1. Inversement, théorèmes à la Helly formulations PLG de problèmes.

50 Théorèmes à la Helly pour transversales Theorem [Danzer, 1957]. n disques unité disjoints de R 2 ont une transversale ssi chaque famille de 5 a une transversale. Conjecture : généralisable en dimension quelconque. Théorème [Hadwiger, 1957]. n convexes disjoints de R 2 ont une transversale ssi pour un ordre donné tout triplet a une transversale. Pas de généralisation en dimension d 3 [HM04]

51 Cone des directions B 1,..., B n : boules disjointes de R d. K(B 1... B n ) : directions of transversales à B 1... B n Théorème [Borcea, G., Petitjean 07] : K(B 1,..., B n ) est convexe. l K les projections selon l s intersectent. K(B 1... B n ) = i<j<k K(B ib j B k ) l l K les projections selon l s intersectent en un seul point.

52 Cone des directions - preuve Identifier les arcs extérieurs. Prouver que la Hessienne ne les rencontre pas. le bord est localement convexe. Par ailleurs, montrer que le cone est contractible.

53 Conséquences Théorème [Cheong, G., Holmsen, Petitjean, 2006]. n boules unité disjointes de R d ont une transversale ssi chaque famille de 4d 1 a une transversale. tester en O(n) si des boules unité disjointes admettent une transversale. Théorème [CGHP BGP 07]. n boules disjointes de R d ont une transversale dans un ordre donné ssi toute famille de 2d a une transversale dans cet ordre. tester en O(n) si des boules disjointes admettent une transversale dans un ordre donné.

54 Transversales à des boules Questions élémentaires sur des objets non-linéaires de faible degré mal résolues. Difficulté : comprendre les questions mathématiques sous-jacentes. La géométrie algorithmique non-linéaire reste à développer.

55 Références

56 Géométrie algorithmique classique Computational geometry, algorithms and applications. de Berg, Van Kreveld, Overmars, Shwarzkopf/Cheong

57 Problèmes de robustesse Des arithmétiques pour la géométrie, Sylvain Pion (Interstices). Un joli algorithme géométrique et ses vilains problèmes numériques, Olivier Devillers (Interstices). Interstices : Classroom Examples of Robustness Problems in Geometric Computations Lutz Kettner, Kurt Mehlhorn, Sylvain Pion, Stefan Schirra et Chee Yap. Computational geometry: theory and applications. Sources des illustrations utilisées.