TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE : TFD. PRINCIPE des ANALYSEURS DE SPECTRE. "numériques".

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1 ESI Can - Informatiqu 1A TRASFORMEE DE FOURIER DISCRETE : TFD t PRICIPE d AALYSEURS DE SPECTRE "numériqu". M.FRIKEL - G.BIET 28 29

2 ESI Can - Informatiqu 1A I TRASFORMEE DE FOURIER DISCRETE....1 DEFIITIO MATHEMATIQUE:...1 Tranformation dirct:...1 Tranformation invr:...1 Réaliation pratiqu:...1 II. ESTIMATIO DE LA TRASFORMEE DE FOURIER DES SIGAU...2 II.1 PRICIPE:...2 II.2 CAS GEERAL :...3 III SIGAU PERIODIQUES : TFD ET SERIE DE FOURIER...3 III.1 SIGAU PERIODIQUES, SIGAU DISCRETS :...3 Signaux périodiqu:...3 Signaux dicrt:...4 III.2 SIGAU ECHATILLOES ET PERIODIQUES :...4 Tranformation d Fourir dirct :...4 Tranformation d Fourir invr :...5 Concluion :...5 III.3 LIE AVEC LA SERIE DE FOURIER:...5 Application pratiqu:...6 IV QUELQUES APPLICATIOS DE LA TFD...6 IV.1 AMELIORATIO DE LA PRECISIO FREQUETIELLE:...7 Problèm:...7 Intrpolation fréquntill ("zro padding"):...7 IV 2 ITERPOLATIO TEMPORELLE:...7 Problèm:...7 Propriété d ba:...7 xmpl:...8 Intrpolation tmporll:...9 Réaliation pratiqu:...1 Application:...1 V AALYSEUR DE SPECTE - FEETRES DE PODERATIO...11 V.1 AALYSEUR DE SPECTRE "UMERIQUE" (PRICIPE):...11 V.2 ELARGISSEMET DES RAIES:...11 Ca d inuoïd:...11 Explication:...12 Ca général :...13 V.3 LIMITE DE RESOLUTIO :...13 V.4 UTILISATIO D UE FEETRE :...14 Fnêtr rctangulair :...14 Fnêtr d Hanning :...15 Fnêtr d Hamming :...15 Autr fnêtr :...16 M.FRIKEL - G.BIET 28 29

3 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - 1 TRASFORMEE DE FOURIER DISCRETE (TFD). APPLICATIO aux AALYSEURS DE SPECTRE. La tranformé d Fourir dicrèt t la tranformé d Fourir «xact» d un ignal périodiqu t dicrt. Ell t trè impl à calculr à partir d éri mathématiqu limité t c calcul implant facilmnt ur calculatur ou circuit pécialié (DSP) avc un algorithm FFT(Fat Fourir Tranform) prmttant d n accélérr l tmp d calcul d pluiur cntain d foi. Moynnant qulqu précaution d mploi, ll prmt d approximr n un tmp rcord la tranformé d Fourir d un ignal continu à partir d a vrion échantillonné d où l grand intérêt d ctt tranformation pour l ingéniur, cintifiqu t traitur d ignaux. I TRASFORMEE DE FOURIER DISCRETE. DEFIITIO MATHEMATIQUE: Mathématiqumnt, la tranformé d Fourir dicrèt t un tranformation qui fait corrpondr dux éri d donné d point chacun: {x k } { n } avc k,n ntir [ ; -1] Tranformation dirct: 1 j2π kn n xk Tranformation invr: 1 j2π kn x k n 1 n Réaliation pratiqu: Pour calculr c éri il xit un algorithm d tranformé d Fourir rapid ou FFT (Fat Fourir Tranform) qui dan l ca où 2 M t particulièrmnt prformant (n utiliant ct algorithm pour 124, l tmp d calcul t divié par un factur nviron 1 par rapport à l'utiliation dirct d la définition. Implanté ur d ordinatur ou réaliation à ba d procur actul, il dur moin d'un µ). Ct algorithm trè célèbr t largmnt étudié dan l cour d'informatiqu t d'algorithmiqu. M.FRIKEL - G.BIET

4 2 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - II. ESTIMATIO DE LA TRASFORMEE DE FOURIER DES SIGAU II.1 Princip: Echantillonnon à la périod T un ignal continu x c (t) pndant un tmp d'acquiition T a. C tmp d'acquiition dur échantillon d'où la rlation : T a.t L ignal échantillonné t : 1 k x(t) xc(t) δ(t kt ) x δ(t kt ) x k x (kt ) c x (t T ) c M.FRIKEL - G.BIET

5 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - 3 En prnant la tranformé d Fourir d dux mmbr : TF 1 [ x(t) ] c(f) f kf) f. c(f kf) x k j2πfkt Ctt rlation rappll l fait qu l pctr t continu t périodiqu. Si nou calculon point d c pctr pour l fréqunc f n.f / avc n [ ; -1] n abnc d rplimnt nou obtnon point du pctr fréquntil tl qu: 1 ) j 2 π kn nf f c( xk n rmarquant qu f / 1/T a, nou obtnon donc, i l fft du rplimnt t négligabl un bonn approximation d la tranformé d Fourir du ignal : n f. c (n/t a ) 1/T a t l'intrvall ntr dux point fréquntil ou pa fréquntil. 1/T t la largur d la band [ ; 1 ] ur laqull t ffctué l'timation ou muron point n tmporl t timon aini point n fréquntil. n II.2 Ca général : f c( k n ) T n T a a 1 x k j 2 π kn Il faut donc oignumnt évitr l rplimnt n n f c( n ) T a trm "principal" + f c( k ) T n n k a a T trm d rplimnt III SIGAU PERIODIQUES : TFD ET SERIE DE FOURIER III.1 Signaux périodiqu, ignaux dicrt : Signaux périodiqu: Un ignal périodiqu poèd un décompoition n éri d Fourir à trm complx: j2πnft x(t) Cn n avc TF[x(t)] Cn TF n j2πnf t n x(t) dt T 1 C (T ) j2πnft [ ] Cn nf) n la tranformé d Fourir d'un ignal périodiqu t dicrèt: Signal périodiqu TF dicrèt M.FRIKEL - G.BIET

6 4 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - Signaux dicrt: x (t) Un ignal échantillonné x(t) t obtnu à partir d'un ignal continu x c (t). xk δ(t kt ) xc(t). δ(t kt ) j2πkt f TF[x(t)] xk c(f) f nf) f c(f nf) n n la tranformé d Fourir d'un ignal dicrt t périodiqu: Signal dicrt TF périodiqu III.2 Signaux échantillonné t périodiqu : Hypothè: L nombr d échantillon par périod t uppoé ntir :T.T f.t 1/. Tranformation d Fourir dirct : L ignal périodiqu t échantillonné put êtr modélié par un motif dicrt d duré T.T périodié: T 2T t 1 x p (t) xk δ(t kt ) δ(t nt ) n T.T [ (t)] TF x p f n 1 xk p (f) 1 xk j2πknf T j2πkft.f nf) δ n f n (f nf ) 1 xk j2π kn nf) {x k } étant la éri d'échantillon du motif du ignal échantillonné périodiqu, nou voyon apparaîtr a tranformé d Fourir dicrèt { n } t: [ p(t) ] p(f) 1 j2π kn n xk TF x fn nf) n M.FRIKEL - G.BIET

7 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - 5 Rmarqu: n t la tranformé d Fourir du motif tmporl échantillonné pri pour la valur f n.f. n+α n α la TF t périodiqu d périod fréquntill.f f oit la largur d la band d Shannon. (propriété déjà vu, typiqu d'un ignal dicrt). La TF t échantillonné avc la périodicité fréquntill f (propriété d'un ignal périodiqu). Tranformation d Fourir invr : La procédur t la mêm qu pour la tranformé dirct puiqu nou avon un pctr à la foi dicrt t périodiqu. La tranformé d Fourir p (f) t donc un motif fréquntil d largur f échantillonné à la cadnc f t périodié à la ditanc f. Cci put écrir mathématiqumnt ou la form : n p 1 xk (f) f n j2π kn n nf) 1 f n n nf) La tranformation d Fourir invr donn kf ) TF f x 1 [ (f)] T p p 1 (t) n xk 1 f n j2πnfkt n δ(t kt ) j2πnft n.t δ δ (t kt ) 1 (t kt ) 1 n j2π nk n δ(t kt ) d'où l'xprion d la tranformé d Fourir dicrèt invr (TFD -1 ) : 1 x k n 1 n j2π kn Concluion : La tranformé d Fourir Dicrèt (TFD) t la manièr rigouru d calculr la tranformé d Fourir d'un ignal à la foi périodiqu t dicrt. La TFD t a tranformation invr prmttnt d rlir l échantillon {x k } du motif du ignal périodiqu aux échantillon { n } du motif d a tranformé d Fourir. III.3 lin avc la éri d Fourir: Un ignal périodiqu décompo n éri d Fourir t nou pouvon l'échantillonnr n prnant échantillon par périod T T : j2πmf t (t) Cm xk xp(t kt ) C m m x p m j2π mk M.FRIKEL - G.BIET

8 6 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - Calculon la TFD: n 1 j2π kn 1 x k D'où la rlation: n 1 m m C m C m (m n)k j2π (m n) jπ(m n) jπ Cm m m j2π mk C 1 m in 2π(m n) 2π(m n) in j2π kn (m n)k j2π L cofficint d C m t tl qu: in 2π(m n) 2π(m n) in pour m n α pour m n α d'où: n.cn+ α.c n +. Cn+α α α trm "principal" trm d rplimnt Dan crtain condition lié à l abnc d rplimnt ubit ul l trm principal corrpondant à α t on aura la rlation : n.c n Application pratiqu: La TFD d échantillon d'un ignal périodiqu t un évaluation du cofficint d décompoition n éri d Fourir à trm complx d c ignal. Ctt timation ra rigouru i nou rpcton lor d l échantillonnag la condition d Shannon. Par aillur il n faut pa oublir la condition T.T c t à dir un nombr ntir d échantillon dan un périod du ignal (l non rpct,d ctt condition t vu plu tard dan l chapitr V) ou dipoon aini d un méthod numériqu d calcul d la éri d Fourir prmttant d rmplacr l calcul d un intégral par clui d un éri d nombr fini d trm. IV QUELQUES APPLICATIOS DE LA TFD Un foi l acquiition du ignal réalié, il n t pa toujour poibl d l rcommncr. Pour obtnir d "donné" upplémntair ur l ignal, il n't pa théoriqumnt nécair d rprndr l'acquiition car, i l'échantillonnag a été corrctmnt ffctué, l théorèm d rcontruction prouv qu l ignal échantillonné contint autant "d'indication" qu l ignal continu d'origin. L "donné" rchrché puvnt aini êtr obtnu dirctmnt à partir du fichir. D nombru application utilint c fait cpndant, ll ont déduit d dux grand méthod d'intrpolation prmttant d'augmntr oit la préciion fréquntill oit la préciion tmporll. M.FRIKEL - G.BIET

9 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - 7 IV.1 Amélioration d la préciion fréquntill: Problèm: Un ignal a été échantillonné n rpctant la condition d Shannon. ou avon acqui point d c ignal qui, grâc à la TFD, nou ont prmi d'obtnir un timation d a tranformé d Fourir n point réparti dan la band d fréqunc d Shannon. ou avon montré qu l'écart ntr dux d c point adjacnt t d f f /. f contitura aini notr préciion fréquntill. Ctt préciion n nou convint pa t nou ouhaiton l'améliorr an pour autant rprndr l'xpérinc. Et-c poibl? Intrpolation fréquntill ("zro padding"): L problèm précédnt t poibl t mêm trivial. Il uffit d'avoir rmpli un condition: évitr un troncatur tmporll lor d l'acquiition du ignal. L tmp d'acquiition du ignal t T.T. ou éviton la troncatur i à t T l ignal t trminé c't à dir uppoé pratiqumnt nul. Pour augmntr la préciion fréquntill il faut diminur f oit augmntr T. Si l ignal n'a pa été tronqué lor d la prmièr acquiition, augmntr T rvint à fair l'acquiition d'échantillon upplémntair d valur null. Inutil d rfair un manipulation pour cla, il uffit d l ajoutr à la fin du fichir d donné. Donc pour augmntr la préciion fréquntill, il uffit d'ajoutr autant d zéro qu ouhaité n fin d fichir ("zéro padding") pui d traitr clui-ci. prmir fichir point préciion fréquntill f /. duxièm fichir point + M zéro nouvll préciion fréquntill f /(+M). IV 2 Intrpolation tmporll: C't l mêm problèm qu précédmmnt mai n prmutant l rôl du tmp t d fréqunc. Cpndant cla n't pa évidnt au prmir abord t nou allon tntr d montrr c réultat aini qu l dipoition pratiqu qui prmttnt d l'obtnir. Problèm: Un ignal a été échantillonné n rpctant la condition d Shannon t nou avon acqui point d c ignal. En réalité c nombr d point t inuffiant t nou voulon d point "intrmédiair". Pour obtnir c réultat, il faudrait rcommncr l'acquiition avc un périod d'échantillonnag plu faibl cpndant, l ignal échantillonné contnant tout l information du ignal continu, il doit uffir pour rtrouvr c échantillon t évitr d rfair l'xpérinc. Propriété d ba: ou avon un ignal continu x c (t) échantillonné à un périod T 1 pndant un tmp d'acquiition T.T 1 c qui nou donn l ignal x1(t). M.FRIKEL - G.BIET

10 8 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - Suppoon l mêm ignal x c (t) échantillonné à la périod T 2 pndant l mêm tmp T M..T 2. Cci donn un autr ignal x2(t) poédant M foi plu d'échantillon qu x1(t). Qull ont l point commun t l différnc ntr x1(t) t x2(t)? L dux ignaux provinnnt du mêm ignal continu x c (t) t ont mêm duré T l'intrvall ntr l échantillon fréquntil t l mêm dan l dux ca f 1/T. Pour l dux la condition d Shannon t uppoé rpcté T 2 <T 1 <1/(2 f max ), (f max étant la plu haut fréqunc du pctr d x c (t)). La largur d la band d Shannon pour x1(t) t 1/T 1 /T. La largur d la band d Shannon pour x2(t) t 1/T 2 M./T oit M foi plu larg qu cll aocié à x1(t). L théorèm d Shannon étant rpcté dan l dux ca, l pctr d x2(t) t donc l mêm qu clui d x1(t) mai ur un band d Shannon plu larg l pctr d x2(t) t l pctr d x1(t) complété par d zéro. ou rtrouvon ici l'analogi avc l "zéro padding": pour intrpolr un ignal tmporl, il uffit d uréchantillonnr à la périod déiré t d fair n ort qu on pctr d fréqunc oit complété par d zéro. xmpl: x c (t)t 2 xp(-3.t) T 3. C ignal à la form ci-contr: En choiiant: T 1,15 T 2,5 2 M 3 L pctr t band d Shannon aocié ont l uivant: M.FRIKEL - G.BIET

11 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - 9 Intrpolation tmporll: Il faut donc changr d périod d'échantillonnag, la diminur. La méthod t baé ur la propriété qu nou vnon d voir t fait n troi étap illutré par l'xmpl choii: étap 1: Echantillonnag du ignal à la périod T 1 conformémnt au théorèm d Shannon. Etap 2: Changmnt d périod d'échantillonnag, nou intrcalon (M-1) zéro ntr l échantillon du fichir nouvll périod d'échantillonnag T 2 T 1 /M t xtnion d la band d fréqunc d Shannon. En fft, l donné numériqu ont inchangé (d zéro n donnnt rin dan la TFD). Soit x(t) l ignal échantillonné à la périod T 1 ( échantillon) t y(t) l ignal obtnu avc d zéro intrcalé donc d périod d'échantillonnag T 2 (M. échantillon). y(t) t tl qu : y p x k pour p M.k t y p pour p M.k l calcul d la TFD nou donn : 1 j2π kn n xk n [ ; - 1 ] M. 1 pq j2π Y M. q yp q [ ; M. - 1 ] p l ul échantillon y p non nul étant pour p M.k nou pouvon ffctur l changmnt d variabl t: 1 M.kq 1 kq j2π j2π Y M. q ym.k xk q q [ ; M. - 1 ] l nouvau ignal aini obtnu a donc mêm tranformé d Fourir qu l précédnt, ul la band d fréqunc d Shannon t changé puiqu multiplié par M. ou rprénton donc M band d Shannon du ignal x(t). M.FRIKEL - G.BIET

12 1 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - Etap 3: ou ffctuon un filtrag pa-ba d fréqunc d coupur 1/(2.T 1 ) largur d la band d Shannon du prmir ignal nou mtton à zéro l échantillon fréquntil ajouté. Réaliation pratiqu: Signal continu x c (t) Filtr antirplimnt T 1 Signal x 1 (t) dicrt Stockag x 1 (t) échantillonné T 1 Filtr pa-ba T 2 Zéro intrcalé Signal x 1 (t) dicrt Zéro Application: C't un méthod d comprion du ignal dicrt, il uffit d tockr jut l donné nécair corrpondant à un périod d'échantillonnag T 1 voiin d l'échantillonnag critiqu. Si un boin d'échantillon fait rntir, la tchniqu ci-du prmt d l rtrouvr n tmp rél. L'un d domain d'utiliation d c procédé t l CD audio. A l'hur actull, un nrgitrmnt muical t ffctué à la limit d la fréqunc d Shannon mai cla t inuffiant pour obtnir un rtitution atifaiant car il faut rcontruir un ignal continu n tmp rél. Pour cla, à la lctur du CD il t procédé à un intrpolation avc M 8 pour fournir l ignal d qualité atifaiant. L tockag ur l CD y a quand mêm gagné c factur 8. M.FRIKEL - G.BIET

13 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - 11 V AALYSEUR DE SPECTE - FEETRES DE PODERATIO. V.1 Analyur d pctr "numériqu" (princip): Au chapitr III nou avon montré qu i nou calculon la TFD d échantillon d'un ignal continu x c (t) d tranformé d Fourir c (f),cll-ci nou donn: n f c(nf) + f c(nf kf) k trm "principal" trm d rplimnt Si l fft du rplimnt t négligabl, la TFD dvint un bonn approximation d la tranformé d Fourir du ignal : n f c (nf ) Déjà dicuté, l réultat précédnt montr qu: La TFD appliqué à un ignal qulconqu prmt d'avoir un timation d la valur d a tranformé d Fourir n point ditant d f f /. Pour cla, la TFD prmt d rmplacr un intégral par un éri à nombr fini d trm c qui t un méthod numériqu qui implant trè facilmnt ur calculatur, microprocur ou procur d ignal (DSP). Il a été dévloppé d algorithm mathématiqu dit FFT (Fat Fourir Tranform) qui accélèrnt l tmp d calcul dan crtain ca par d factur 1 voir 1 t calculr un TFD ur 124 point put êtr un opération qui n prnd qu qulqu µ. D c fait, la TFD t FFT ont dvnu d outil puiant d traitmnt d ignal. ou avon ici tou l ingrédint prmttant d dévloppr un apparil prformant pour l'analy d Fourir: analyur d pctr. V.2 Elargimnt d rai: Ca d inuoïd: L ignal dont l pctr d fréqunc t l plu impl t l ignal inuoïdal d périod T p. Son pctr n contint théoriqumnt qu dux rai aux fréqunc 1/T p t 1/T p. Cci t montré ur la figur ci-dou. M.FRIKEL - G.BIET

14 12 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - Pour obtnir c réultat, nou avon utilié un tmp d'acquiition T a du ignal égal à un nombr ntir d foi la périod T p d la inuoïd. Si ctt condition n't pa vérifié nou obtnon l réultat uivant : nou n rtrouvon plu dux rai mai un pctr dit élargi. Explication: L'un d réultat fondamntaux d l'analy Fourir t l princip d'incrtitud. Si T t l'étalmnt d la ditribution d'énrgi dan l tmp t F l'étalmnt aocié dan l domain fréquntil nou avon qu: T. F ou pouvon traduir ctt rlation par : plu un ignal t étndu dan l domain tmporl, moin il l ra dan l domain fréquntil. L utiliation d la TFD impliqu un nombr fini d échantillon t donc un ignal d duré fini. Pour l ignaux d longu duré (ignaux tndant aymptotiqumnt vr un valur non null, ignaux périodiqu ) l utiliation d la TFD introduira un troncatur tmporll plu ou moin important dont l fft put êtr indéirabl ur l rai du pctr du ignal. 4 1 π Exmpl d un inuoïd : C typ d ignal trè étndu dan l tmp donn théoriqumnt liu à un pctr avc dux rai pctral d largur null (étalmnt fréquntil faibl). x(t) xkδ(t kt ) TF[x(t)] a 2 x a co(2πf kt ) [ f ) + + f )] p k p Si nou timon on pctr grâc à un TFD calculé ur point, cla rvint à ffctur un troncatur ur l'intrvall d tmp T a.t c qui limit l'étalmnt tmporl du ignal t doit conduir à un étalmnt fréquntil. L ignal rél t a tranformé d Fourir ront : p (f) a/2 a/2 -f /2 -f p f p f /2 (f) at /2 at /2 -f /2 -f p f p f /2 f f x(t, t Ta Ta ) x(t). rct Ta (f, T ) a a 2 / 2 jπft TF[x(t, Ta )] TF[x(t)] Ta in( π(f fp)ta ) Ta π(f f p)ta in( π(f + fp)ta ) + π(f + fp)ta a in( πft πft a a ) M.FRIKEL - G.BIET

15 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - 13 La troncatur d'un ignal inuoïdal a dux conéqunc: Plutôt qu dux rai "fin", nou trouvon d rai "élargi" corrpondant aux dux inu cardinaux. La largur du lob cntral (pri ntr l dux prmir minima nul) d rai t 2 f 2/T a 2/(T ). Outr c phénomèn d élargimnt d la rai, il apparaît d lob latéraux qu nou pourrion êtr tnté d intrprétr comm d autr rai prént au pid d la rai principal (phénomèn d apodiation d rai par troncatur). Pour un inu cardinal, l prmir lob condair a un amplitud rlativ d'nviron 22% c qui t loin d'êtr négligabl. Ca général : Un ignal qulconqu t un uprpoition d ignaux inuoïdaux t l utiliation d la TFD a dux conéqunc ur l rai pctral : Un élargimnt d autant plu grand qu la troncatur t important. Cla nou limit dan la éparation (la réolution) d rai voiin. L apparition d rai condair qui puvnt cachr d rai principal d un autr compoant du ignal. V.3 Limit d réolution : Si l ignal t compoé d dux inuoïd d fréqunc voiin : x(t)a 1 co(2πf 1 t) + a 2 co(2πf 2 t) L pctr d c ignal doit comportr dux rai qui vont trouvr élargi par la troncatur du ignal. Quand put-on diocir (éparr) c dux rai? ou pouvon timr cla n utiliant un critèr corrpondant à un ca limit : c t l critèr d réolution d Rayligh. Critèr : Dux rai d un pctr ont conidéré comm éparabl, i l maximum d l un corrpond au prmir minimum nul d l autr. En applant 2f la «largur» d un rai pri par convntion comm étant l écart ntr l fréqunc corrpondant aux dux prmir minima nul ncadrant l maximum d la rai, la d réolution ra donc tll qu f 2 -f f. limit Cci t illutré par l figur uivant (ll corrpondnt à d rai avc fnêtr d Hamming étudié nuit). M.FRIKEL - G.BIET

16 14 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - V.4 Utiliation d un fnêtr : Pour évitr c inconvénint, nou pouvon réalir un troncatur avc pondération d échantillon : fnêtr d pondération. La fnêtr doit êtr choii d manièr à c qu a tranformé d Fourir ait un lob cntral l plu étroit poibl t d lob latéraux d amplitud la plu faibl poibl. L compromi ntr c dux xignc t réalié par un crtain nombr d fnêtr : Hanning, Hamming, tc Fnêtr rctangulair : C t la troncatur impl, on lob cntral t d largur 2f 2/T 2/T t l amplitud du prmir lob d l ordr d 22%. L fft d lob latéraux mt n évidnc ur l traitmnt d un ignal compoé d dux rai théoriqumnt réolu mai d amplitud d rapport 1. La TFD donn l réultat ci contr où la "ptit" rai t non détctabl. M.FRIKEL - G.BIET

17 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - 15 Fnêtr d Hanning : Fnêtr dit n «coinu», on lob cntral t d largur 2f 4/T t on prmir lob latéral d amplitud rlativ d nviron 3% f(t),5 +,5co( 2 π rct( t ) T t ) T in( πft ) TF[f(t)] F(f) 1 ) + 1 ) + + ) T 2 4 T 1 T 1 ( πft ) ou prdon un factur 2 n réolution pctral mai l importanc d lob latéraux t moindr c qui prmt par rapport à la troncatur d miux éparr l rai d amplitud différnt. Cci t montré ur la figur ci-contr qui rprnd l traitmnt par TFD avc fnêtr d Hanning d l xmpl précédnt d dux rai théoriqumnt réolu t d amplitud d rapport 1 Fnêtr d Hamming : Dit n «coinu rhaué», on lob cntral t d largur 2f 4/T t lob latéraux d amplitud rlativ infériur à 1%. f(t) (1 )co( 2 rct( t ) T t ) α + α π. L paramètr α t ajuté pour minimir l lob latéraux n particulir T l cond > α,54 > f(t),54,46co( 2 rct( t ) T t ) + π. T M.FRIKEL - G.BIET

18 16 ESI CAE Informatiqu 1A - La tranformé d Fourir dicrèt - Tout n concédant toujour un factur 2 ur la réolution d la fnêtr rctangulair, l importanc d lob latéraux t moindr c qui amélior l réultat d la fnêtr d Hanning pour la détction d rai d'amplitud différnt. La figur ci-contr rprnd l traitmnt par TFD d l xmpl d dux rai théoriqumnt réolu t d amplitud d rapport 1 avc un fnêtr d Hamming Autr fnêtr : D nombru autr fnêtr ont été dévloppé. Ell ont aui utilié dan l méthod d ynthè d filtr RIF. Ell ont traité à c nivau, l analyur d pctr contntant largmnt d cll qu nou vnon d'étudir. Signalon un fnêtr dit à «toit plat» (flat top) utilié dan l analyur d pctr travaillant par TFD. Lor d la rtitution du pctr, t donc d différnt rai, l utiliation d un fnêtr put introduir un incrtitud ur la mur d l amplitud d la rai. Pour comparr avc préciion l amplitud d divr rai d un pctr, il vaut miux utilir un fnêtr d pondération qui l prérv : c t l rôl d ctt fnêtr à «toit plat». M.FRIKEL - G.BIET

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