x x x + x.

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1 Dael aada Ocobre 3 NOTE - INÉGALITÉ EUCLIDIENNE wwwdael-saadaeu ource : hp://wwwles-mahemaquese/phorum/readphp?4,8748,page O rappelle qu u espace euclde es u espace vecorel (réel c de dmeso fe mu d u produ scalare < uv, >, la orme de u éa u < u, u> x, x,, x so veceurs d u espace ormé : x x x + x,, Démosrao Pour ou k alla de à, x x x + xk + xk + x ; o somme sur (,, k : x x x + x + x + x, d où x x x + xk + xk + x k k,, k,, k,, k x x x + x,, x, x,, x so réels : x x x + x,, e doc,, k, k Démosrao s xx a x + x x x m ( x, x s xx comme o le vérfe e dsgua les cas b Pour réel, o rodu les esembles d dces I { : x } e J { : x } < ; d après a : ( x + x x x m ( x, x + m ( x, x 4 m ( x, x,, I, J I, J m x, x < d < comme o le vérfe facleme c ( x x D aure par, x card( I, oé I, e > x card( J, oé J m, < x < x < x < x, I, I, I x x d d d ( ( x x I I parce que es posf, d où m ( x, x I d Or, ( < <, I, I De même, m ( x, x J d e m ( x, x I J d ; o remarquera, J I, J que I es ul s > max( x e J es ul s > max( x O a doc ( x + x x x ( I J d,

2 Dael aada Ocobre 3 L égalé a leu s e seuleme s I J pour ou, ce qu sgfe que la dsrbuo des x es symérque par rappor à Coséquece : x + x x, x + x + x x O par de x pour ou e o somme sur les couples (, : x + x + x x x, d où x x + x,,, Comme o a auss x + x x, o peu éocer :, la moyee arhméque des x + x dépasse ouours la moyee arhméque des x 3 X e Y so deux varables aléaores réelles dépedaes, de même lo e d espérace fe : a ( ( ( E X Y E X + Y X + Y X Y m X, Y sge( XY b Posos X + max(, X, X max(, X, Y + max(, Y, Y max(, Y : X ± e Y ± so posves, d espéraces fes, e forme quare couples de varables dépedaes c a ( m (, m (, m (, m (, X + Y X Y X + Y X Y X + Y X Y + : o s e assure e dsgua les cas d D abord E ( X + Y X Y E( m ( X+, Y+ + E( m ( X, Y E( m ( X, Y+ E( m ( X+, Y Pour oue varable aléaore Z posve, E( Z P( Z > d e doc ( m (, m (, ( ( ( par dépedace E X Y P X Y > d P X > P Y > d Or X+ X ou, doc X + > X > T pour ; de même Y+ > Y >, d ou E ( m ( X+, Y+ P( X > P( Y > d O opère as pour les ros aures espéraces, e o arrve à E ( X + Y X Y ( P( X > P( X < ( P( Y > P( Y < d e Comme X ey o même lo : E X + Y X Y P( X > P( X < d ce qu erme la démosrao ( ( Il fau compredre, par exemple, X+ ( ω max(, X( ω

3 3 Dael aada Ocobre 3 Coséqueces E( X Y + E( X + Y f E ( X E( X + Y g o X e Y dépedaes e de même lo sur{ x, x,, x } : PX ( x PY ( x p ; alors, E X + Y x + x pp dépasse E X Y x x pp ce qu élarg, 4 Das euclde, u C < u, v > dp( v où es la sphère ué de C ue cosae posve e dépeda que de la dmeso Pour la défo de p, sa cosruco e so ucé, o pourra cosuler, hp://wwwdael-saadaeu/noes/3-los-uformes-sur-la-spherepdf, p la mesure uforme sur, Exemple E dmeso, π d < uv, > dpv ( ucos u π π e docc π / / π O rappelle que λ ( B, λ désga la mesure de Lebesgue sur Γ ( + / O ulse hdλ λ( B h( x ddp( x B(,, où B B(, ], + [, vrae pour oue h égrable : hp://wwwdael-saadaeu/fchers/4-deses_d_u_couplepdf, paragraphe c o u o ul e hv ( < uv, > : < uv, > dλ( v λ( B ux, ddpx ( ( B ux, dpx ( B(, < > λ < > ], + [ + u Il exse ue base orhoormée, e,, e u e < uv, > x u e doc O a doc be u C < u, v > dp( v, avecc Pour, o vérfe que C π / : s v B B (,, u v x + xe + + xe avec u < u, v > dλ( v u (, B x dx dx x + + x < λ( B ( + x dx dx x + + x < x < Prouvos que C (( / π Γ + Γ( / : avec Fub, ( ( / π ( / x x < x + + x < x Γ ( /+ / O J x dx dx x dx dx dx x x dx J ( / π / Γ ( /+ / + e π Γ + πγ + πγ + C Γ ( + / ( / Γ ( + / Γ( / car Γ ( / Γ ( + / ( / / ( / / ( / / π

4 4 Dael aada Ocobre 3 emarque de Gérard Leac O peu prouver f : u < u, v > dp( v es ue cosae C sur ; comme f ( λu λf( u s λ, l ve f ( u u f( u/ u C u Prouvos que f es cosae sur Fxos a : pour ou u de l exse O orhogoale elle que u O( a O a alors f ( u f ( Oa ( < Oa (, v > dpv ( < ao, ( v > dpv ( f u f a e veru de la formule du chageme de varable relaos O O, O (, d où ( ( gdp g O de O dp applqué à gv ( av, O ( A A e de( O ± < > e des 5 x, x,, x so veceurs d u espace euclde : E effe, + ( < + > < > x x x + x,, x x x x C x x, v x x, v dp( v x x x x C x x, v x x, v dp( v x + x x x C ( < x, v > +< x, v > < x, v > < x, v > dp( v + ( < + > < >,,,,,, égrale posve e veru de 6 X ey so deux varables aléaores à valeurs das u espace euclde, dépedaes, de même lo e E X Y E X + Y d espérace fe : ( ( ω ω ω Il ve alors : O sa que X ( ω + Y( ω C < X( ω + Y( ω, s > dp( s Il e résule que ( + ( < + > Ω E ( X + Y C ( < X( ω + Y( ω, s> dp( ω dp( s E X Y C X( Y(, s dp( s dp(, ( + ( < + > Ω E X Y C E X Y, s dp( s, E( X + Y X Y C E( < X + Y, s> E( < X Y, s> dp( s Or < X + Y, s> < X Y, s>< X, s>+< Y, s> < X, s>< Y, s> E X Y, s E X Y, s E X + Y E X Y doc ( < + > ( < > pour ou s, doc ( ( 7 X e Y so des varables aléaores réelles, dépedaes e d espérace fe, s X ' e Y ' so des copes dépedaes (respecveme de X e Y, alors E X Y E X X ' + E Y Y ' O ulse ( + a<< b b<< a, auss ( ω ( ω ( X( Y( Y( X( ω << ω + ω << ω a b d X Y d E X Y E( X( ω Y( ω Y( ω X( ω << + << d e doc

5 5 Dael aada Ocobre 3 Or E( P( A A e doc E( X( ω << Y( ω P( ( X < ( Y > e E( Y( ω X( ω P( ( X ( Y E X Y ( P X< PY> + P X> PY< d << > < Pusque X ' es ue cope dépedae de X : E X X ' P ( X < P( X > d De même, E Y Y ' P ( Y < P( Y > d, e doc E X Y E X X ' E Y Y ' ( P( X P( Y d < < Comme X e Y so dépedaes : ( ( ( ( Coséquece E fasa Y X ', o obe E X + X ' E X X ' + E X ' + Y ' ; comme X ' + Y ' a même lo que X + Y X X ', o rerouve E X + X ' E X X ' pour deux los varables aléaores X e X ' dépedaes e de même lo 8 X e Y so des varables aléaores à valeurs das u espace euclde, dépedaes e d espérace fe e s X ' e Y ' so des copes dépedaes (respecveme de X e Y, alors E X Y E X X ' + E Y Y ' Nous savos que E X X ' C E ( < X X ', s > dp( s, ( < > E X Y C E ( < X Y, s > dp( s X s E Y Y ' C E Y Y ', s dp( s, Pour ou s, < ', > es ue cope dépedae de < X, s > e < Y ', s > es ue cope dépedae de < Y, s > D après 7, pour ou s E < X, s > < Y, s > E < X, s> < X ', s> + E < Y, s> < Y ', s > O e dédu doc E X Y E X X ' + E Y Y ' Applcao géomérque o e deux esembles fs de pos de de cardaux respecfs p e q : { A, A,, A } p, { B, B,, Bq} Il exse X e X ' uformes e dépedaes sur { OA, OA,, OAp} e l exse Y, Y ' uformes e dépedaes sur { OB, OB,, OB q} Naurelleme, E X X ' AA, E Y Y ' e BB p q E X Y AB pq D où l égalé géomérque ere dsaces eucldees :, AB AA BB +,,,,,