Lasers à fibre femtoseconde utilisant une paire de réseaux de Bragg à pas variable

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1 Lasers à fibre femtoseconde utilisant une paire de réseaux de Bragg à pas variable Mémoire Simon Duval Maîtrise en physique Maître ès sciences (M.Sc.) Québec, Canada Simon Duval, 2015

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3 Résumé Ce mémoire traite de la conception et de la mise en opération d un nouveau type de laser femtoseconde à fibre optique intégrant une paire de réseaux de Bragg à pas variable. La présence de ces éléments de dispersion opposée dans une cavité en anneau révèle une toute nouvelle dynamique temporelle en régime permanent. Une impulsion femtoseconde qui se propage dans une section de la cavité est localement transformée en une impulsion picoseconde grandement chirpée dans l autre section. Cette dernière section agit essentiellement comme une ligne à délai purement dispersive et peut donc être modifiée de façon à varier la dispersion nette ainsi que la cadence du laser sans pour autant accroître les effets non linéaires. Le laser à l erbium introduit dans ce mémoire, qui génère des impulsions sous la centaine de femtosecondes dans tous les régimes de dispersion étudiés, pourrait éventuellement devenir une source à impulsions ultrabrèves (< 50 fs) de très grande énergie (> 20 nj). Cette source serait donc une excellente alternative tout-fibre aux lasers à l état solide femtoseconde. iii

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5 Abstract In this master s thesis, we present a new type of femtosecond fiber ring laser that uses a pair of chirped fiber Bragg gratings with opposite dispersion. The presence of such elements in a ring cavity reveals a new mode locking regime where a femtosecond pulse evolving in one section of the cavity is locally transformed into a highly chirped picosecond pulse that propagates in the remaining part of the cavity. The section in which the highly chirped pulse propagates acts essentially as an all-fiber linear dispersive delay line. This portion can thus be modified in order to change the net cavity dispersion or the repetition rate of the laser without significantly increasing the nonlinear effects in the cavity. This erbium-doped fiber laser that generates sub-100 fs pulses in any dispersion regime can potentially produce highenergy ultrashort pulses (> 20 nj; < 50 fs). This source appears to be a practical all-fiber alternative to femtosecond solid-state lasers. v

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7 Table des matières Résumé Abstract Table des matières Liste des tableaux Liste des figures Remerciements iii v vii ix xi xvii Introduction 1 1 Les lasers à fibre femtoseconde Transmission non linéaire et formalisme de Jones Théorie analytique sur les lasers à synchronisation modale passive Principaux schémas antérieurs de cavité laser femtoseconde Sommaire Modèle de simulation numérique Propagation non linéaire dans les fibres optiques Modélisation du modulateur non linéaire (PAPM) Modélisation des réseaux de Bragg à pas variable Modélisation des coupleurs de sortie et pertes aux épissures Fonctionnement global du code de simulation et sommaire Résultats expérimentaux et simulations Présentation du schéma de cavité et dynamique de base Laser expérimental et résultats préliminaires Effets de la variation de la dispersion nette Bistabilité Sommaire Conclusion 51 A Propriétés des réseaux en fonction des paramètres du masque de phase 55 Bibliographie 57 vii

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9 Liste des tableaux 1.1 Performances typiques d un laser à 1.5 µm Performances typiques d un laser à impulsions 1.5 µm Performances typiques d un laser à 1 µm Performances typiques d un laser à similaritons 1.5 µm Performances typiques d un laser à solitons 1 µm Paramètres numériques pour l étude de la dynamique en régime permanent.. 34 ix

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11 Liste des figures 1.1 Modulateur non linéaire basé sur la rotation non linéaire de la polarisation Courbe de transmission non linéaire du système PAPM Spectre typique d un laser à solitons et condition d accord de phase Schéma simplifié d un laser à impulsions étirées Dynamique intracavité d un laser à similaritons Dynamique intracavité d un laser à solitons-similaritons Effet du filtrage spectral sur une impulsion grandement chirpée Effet des différents paramètres sur le spectre des impulsions dans un laser à solitons dissipatifs Modélisation numérique du modulateur non linéaire (PAPM) Principes de base d un réseau de Bragg à pas variable Modèle conceptuel de la cavité laser incluant une paire de CFBGs Dynamique intracavité du laser Caractéristiques des impulsions en régime permanent à deux endroits dans la cavité Schéma expérimental du laser Propriétés des réseaux de Bragg utilisés dans le laser expérimental Visualisation conceptuelle du couplage dans les modes de gaine Caractéristiques des impulsions obtenues dans les deux sections de la cavité expérimentale Schéma expérimental pour l étude de la variation nette de la dispersion Résultats expérimentaux et numériques pour une dispersion nette très anomale Résultats expérimentaux et numériques pour une dispersion nette quasi nulle Résultats expérimentaux et numériques pour une dispersion nette normale Étude numérique du laser en fonction de sa dispersion nette Schéma de cavité simplifié pour l étude de la bistabilité Dynamique temporelle des impulsions en régime permanent en fonction du critère de bistabilité xi

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13 À mes parents, Céline et Jacques xiii

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15 "Life is like riding a bicycle. To keep your balance, you must keep moving." Albert Einstein xv

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17 Remerciements Je tiens d abord à remercier mon directeur de recherche Michel Piché ainsi que mon codirecteur Michel Olivier pour leur grand soutien tout au long du projet. Grâce à son intuition physique inégalée et son impressionnant savoir, monsieur Piché m a permis d en apprendre énormément sur le domaine de l optique en général et m a inculqué une vision et un engouement pour la recherche qui me suivront tout au long de ma carrière. Michel Olivier a non seulement été une ressource extrêmement précieuse au niveau théorique et expérimental, mais il a également été une source de motivation incroyable. Les nombreuses discussions qui ont eu lieu grâce à leur grande disponibilité m ont permis d apprécier davantage mon projet de recherche, mais aussi de développer une relation de travail et d amitié qui, je l espère, durera encore longtemps. Ce projet n aurait jamais vu le jour sans notre importante collaboration avec Réal Vallée et Martin Bernier. Merci d avoir cru en notre projet et d avoir fourni et même fabriqué les réseaux de Bragg nécessaires au bon fonctionnement et à l amélioration du laser. Notre collaboration est évidemment loin d être terminée et j en suis bien heureux. Je tiens également à remercier Stéphane Gagnon pour son soutien technique incroyable au laboratoire et son impressionnante efficacité à effectuer n importe quelle tâche qui lui est assignée. Merci à Marc D Auteuil, qui a toujours pris le temps nécessaire pour répondre à mes questions parfois si évidentes au laboratoire. J aimerais remercier particulièrement Vincent Marceau, Jérôme Leclerc-Perron, Jean Filion, Karl-Alexandre Jahjah et Maxime Hardy pour toutes les discussions parfois endiablées et pour tout le temps que vous avez pris à m aider, à m écouter ou simplement à me tolérer dans ces deux dernières années. Finalement, je remercie par-dessus tout mon père et ma mère qui ont été victimes de mes longs monologues en lien avec les avancements ou les problèmes rencontrés dans ce projet. Merci d avoir toujours été là pour moi, vous avez grandement contribué à ma motivation et à mon bonheur. Simon Duval xvii

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19 Introduction L idée de générer des impulsions laser ultrabrèves en utilisant le principe de synchronisation modale, qui remonte au début des années 60 [19], a fait naître un domaine de recherche encore très actuel qu on nomme l optique ultrarapide. Cette importante branche de l optique s est rapidement développée au cours des dernières décennies et ne cesse de prendre de l ampleur de par son énorme potentiel dans diverses applications scientifiques et commerciales. Les lasers à synchronisation modale sont des sources pouvant générer efficacement des impulsions de très courte durée (inférieure à 10 9 seconde) et dont la puissance crête peut facilement excéder les kilowatts. Les propriétés exceptionnelles de ces sources sont exploitées dans plusieurs domaines d application. D une part, le caractère temporel ultrarapide (10 12 à seconde) des impulsions laser générées par cette technique permet, entre autres, de sonder des processus naturels extrêmement rapides comme la réorganisation chimique de certaines molécules organiques. Le prix Nobel de chimie 1999 a d ailleurs été décerné à A.H. Zewail pour cette importante avancée [47]. T.W. Hänsch et J.L. Hall ont également reçu le prix Nobel de physique 2005 pour le développement des peignes de fréquence générés à partir de ces sources, ce qui a révolutionné la spectroscopie et la métrologie [24]. D autre part, les puissances extrêmes issues de ces sources en font des outils devenus indispensables en traitement des matériaux (micro-usinage laser) et en télédétection [15]. À noter que les impulsions sont généralement amplifiées à l extérieur de la cavité pour obtenir les puissances crêtes requises pour ces applications. Leur utilisation devient également de plus en plus répandue dans des domaines tels la microscopie et la médecine, notamment avec l avènement des chirurgies au laser en ophtalmologie. En parallèle avec le développement du laser est née une autre technologie qui a révolutionné l aire des télécommunications modernes : la fibre optique. Au début des années 70, les techniques de fabrication de ces guides d onde faits entièrement de verre se sont grandement raffinées. La technique de MCVD (Modified Chemical Vapor Deposition), introduite par des chercheurs de Bell Labs [4], a permis l incorporation de dopants de tous genres dans le coeur des fibres optiques, réduisant les pertes de propagation à moins de 1 db/km. Dans les années 80, les dopants dits actifs comme l erbium, le néodyme et l ytterbium ont fait leur apparition grâce à cette technique, donnant alors naissance aux amplificateurs et aux lasers à fibre optique [11]. 1

20 Le développement des sources laser femtoseconde s est rapidement répandu, entre autres, avec l arrivée d une nouvelle technique de synchronisation modale passive introduite en 1972 [10] et qui a été mise de l avant en 1989 par trois groupe différents à moins de six mois d intervalle [46, 22, 50]. Dû au prestige des groupes de Haus et Ippen au Massachussetts Institute of Technology, qui ont baptisé cette technique Additive Pulse Mode Locking, ce nom est resté. C est avec une variante de cette technique, exploitant la rotation non linéaire de la polarisation dans les milieux Kerr, que l idée de construire des lasers tout-fibre générant des impulsions femtoseconde émergea. Grâce à leurs propriétés exceptionnelles et leur énorme potentiel, les cavités laser fibrées ont été étudiées intensivement au cours des dernières décennies. Contrairement à leurs homologues à l état solide, ces sources sont généralement très compactes et peu coûteuses. De plus, le guidage contrôlé du signal dans les éléments fibrés constituant la cavité en font des lasers insensibles au désalignement qui sont simples d utilisation et dont le faisceau de sortie possède une excellente qualité spatiale (M 2 1.2). Ces caractéristiques en font des candidats idéaux pour la majorité des applications leur étant destinées, où la simplicité d utilisation, la dimension et le coût sont des éléments primordiaux. En contrepartie, le confinement extrême du mode se propageant dans de tels guides d onde accentue la présence d effets non linéaires indésirables. Ces non-linéarités sont en grande partie responsables des limitations de ces lasers en terme de performance (énergie, puissance crête et durée des impulsions générées). Malgré d importantes avancées dans le domaine, la nécessité de surpasser ces limitations afin d obtenir des performances comparables et même supérieures aux sources laser à l état solide demeure un défi de taille. Une solution pouvant surmonter ces limitations consiste à réduire la puissance crête des impulsions générées dans la cavité au moyen d éléments dispersifs tels des fibres optiques dispersives, des réseaux de diffraction ou des réseaux de Bragg à pas variable (CFBGs). Les CFBGs sont des éléments particulièrement intéressants pour répondre aux besoins des lasers à fibre puisque, en plus d être facilement intégrables dans un schéma de cavité tout-fibre, ceux-ci possèdent des propriétés réflectives et dispersives très intéressantes et surtout très flexibles. En contrepartie, la génération d impulsions sous la centaine de femtosecondes à partir de sources utilisant ce type d élément est difficilement réalisable ; la principale raison est que la dispersion induite par ces composants est généralement beaucoup trop grande pour être compensée par un quelconque élément fibré dans la cavité. Ceci complique le contrôle de la dispersion intracavité et limite la durée des impulsions générées à plus de 100 femtosecondes (à noter qu une revue des performances des lasers à fibre antérieurs intégrant un ou plusieurs CFBGs est présentée en conclusion). Ce mémoire présente un nouveau type de cavité en anneau basé sur l emploi d une paire de CFBGs de dispersion opposée. On montrera que ce schéma de cavité permet la génération d impulsions sous la centaine de femtosecondes, ouvrant ainsi la voie à l exploration d un régime d opération inédit pouvant améliorer les performances des lasers à fibre femtoseconde. 2

21 L objectif du projet est d étudier et de concevoir expérimentalement ce type de source en plus de faire ressortir les principaux avantages y étant associés. Le premier chapitre propose une introduction théorique aux lasers à fibre ultrarapides. On y présente brièvement le principe de synchronisation modale passive par rotation non linéaire de la polarisation, technique utilisée dans ce projet pour la génération d impulsions ultrabrèves. On y décrit également les principaux schémas de cavité qui ont été développés dans le passé. Les simulations effectuées pour modéliser la dynamique des lasers à fibre femtoseconde sont présentées au deuxième chapitre. Le troisième chapitre se veut être une description générale du laser développé au cours de ce projet. On y retrouve une étude préliminaire de la dynamique intracavité des impulsions en régime permanent, qui est appuyée par des résultats numériques et expérimentaux. Une étude de l influence de la dispersion nette de la cavité sur les propriétés des impulsions générées en plus d une analyse de la bistabilité du laser sont également présentées dans ce dernier chapitre. 3

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23 Chapitre 1 Les lasers à fibre femtoseconde L élément clef à la génération d impulsions ultrabrèves dans un laser est la présence d un absorbant saturable ou, du moins, d un système qui agit au même titre qu un absorbant saturable. Cet élément ou ce système, dont les pertes sont une fonction de l intensité optique (les pertes diminuent à mesure que l intensité augmente), possède deux fonctions essentielles. D une part, celui-ci favorise l émergence d une impulsion à partir de bruit optique. D autre part, il assure une automodulation temporelle de l impulsion formée à chaque aller-retour dans la cavité. La présence d un absorbant saturable favorise donc une opération sous forme d impulsions courtes et intenses. Certains matériaux comme les semi-conducteurs et les colorants agissent intrinsèquement à titre d absorbant saturable, mais ceux-ci possèdent un temps de réponse supérieur à la centaine de femtosecondes, ce qui limite la génération d impulsion à des durées relativement longues. Un principe axé sur la non-linéarité dans les milieux Kerr, nommé Kerr Lens Mode Locking (KLM), peut agir très efficacement à titre d absorbant saturable quasi instantané. En fait, le temps de réponse de l effet Kerr est de l ordre de la femtoseconde [6]. Sous certaines conditions, cette technique permet la génération d impulsions dont la durée peut avoisiner cinq femtosecondes [32]. Cette technique de synchronisation modale est largement répandue dans les lasers à l état solide comme le Ti : saphir. Un autre principe nommé Additive Pulse Mode Locking (APM) est basé sur l utilisation d un interféromètre dans la cavité, dont la réponse dépend des effets non linéaires dans chacun de ses bras. La technique de Polarisation APM ou PAPM repose sur le déphasage non linéaire causé par la modulation de phase croisée (XPM) entre les deux polarisations dégénérées d un mode voyageant dans une fibre optique monomode. L ensemble des cavités laser présentées dans ce mémoire repose sur ce type de synchronisation modale, qui est le plus couramment utilisé dans les lasers à fibre femtoseconde. Ce système est détaillé dans le présent chapitre. On y présente également les principales cavités laser à fibre développées au cours des dernières décennies en mettant l accent sur les performances typiques de chacune. 5

24 1.1 Transmission non linéaire et formalisme de Jones Il est maintenant bien connu que, dans les milieux Kerr comme les fibres optiques, un faisceau lumineux polarisé elliptiquement subit une précession de son état de polarisation qui est dépendante de l intensité [29]. Ainsi, en plaçant judicieusement des contrôleurs de polarisation et un polariseur dans une cavité laser, il est possible de faire subir aux deux composantes de polarisation des déphasages non linéaires différents de façon à créer une transmission dépendante de l intensité du signal lors de son passage dans le polariseur. La configuration la plus utilisée et la plus simple permettant d obtenir l effet désiré est présentée à la figure 1.1. Cette configuration correspond à un tour simplifié dans une cavité en anneau et celle-ci sera utilisée dans le projet. À noter que d autres configurations qui permettent l optimisation de la transmission non linéaire peuvent être employées [42]. On définit le champ électrique du mode se propageant dans le laser en terme de ses deux composantes de polarisation transverses, qu on nomme E x et E y en base de polarisation linéaire et E + et E en base circulaire. Les relations de conversion d une base de polarisation à l autre peuvent être définies comme [42] : [ ] E+ E [ ] Ex E y = LC = CL [ ] Ex E y [ ] E+ E = 1 [ ] [ ] 1 j Ex, 2 j 1 E y (1.1) = 1 [ ] [ ] 1 j E+. 2 j 1 (1.2) E Les matrices de Jones associées aux lames d onde ainsi qu au polariseur en base de polarisation linéaire sont présentées à la page suivante. Lame λ/4 PAPM Milieu Kerr (fibre optique) Lame λ/2 Polariseur x y Figure 1.1: Configuration simplifiée pour l intégration d un modulateur non linéaire basé sur le principe de rotation non linéaire de la polarisation. 6

25 [ ] cos(2θ) sin(2θ) Lλ/2 =, sin(2θ) cos(2θ) (1.3) Lλ/4 = 1 j [ ] j + cos(2α) sin(2α), 2 sin(2α) j cos(2α) (1.4) [ ] 1 0 P OL =. 0 0 (1.5) α et θ sont les angles que font les axes de biréfringence des lames quart d onde (Lλ/4) et demi-onde (Lλ/2) par rapport à l axe du polariseur (P OL), qui est orienté vers l axe des x par simplicité. Il faut maintenant déterminer la matrice de Jones représentant la propagation dans un milieu Kerr qui est ici une fibre optique. Il sera plus facile de traiter ce milieu en base de polarisation circulaire (en termes des composantes E + et E ) puisque les termes non linéaires croisés qui interviennent dans la modélisation de l effet Kerr et qui sont difficiles à traiter en base linéaire s y simplifient grandement. Considérer l effet Kerr dans un milieu revient à ajouter une dépendance non linéaire à la réponse du milieu qui est proportionnelle à la troisième puissance du champ électrique. L équation d onde pour un tel milieu devient : 2 E 1 2 E c 2 t 2 = µ 2 ( 0 P (1) t 2 ( E) + P (3) ( E ) 3 ). (1.6) Il n y a aucun terme en P (2) ( E 2 ) puisque les fibres optiques de silice sont des milieux centrosymétriques, c est-à-dire que la réponse du milieu face au champ électrique de l onde possède une symétrie d inversion. En incluant les effets de couplage non linéaire croisé entre les deux polarisations, les termes de polarisation non linéaire sont donnés par [1] : P (3) + = 4χ (3) ( E E 2) E +, (1.7) P (3) = 4χ (3) ( E E + 2) E. (1.8) Ici, le terme χ (3) correspond à la susceptibilité non linéaire d ordre 3 du matériau. On voit que la deuxième composante a un impact important sur le terme de polarisation de la première dû au facteur 2 présent dans ces deux relations. Ce facteur est d une importance capitale, car il cause une asymétrie dans les équations et explique du même coup la rotation non linéaire de la polarisation. La réponse non linéaire du matériau induit un déphasage dans le domaine temporel sur chacune des composantes du champ qui est donné par : 7

26 φ + = 2 3 γl ( E E 2), (1.9) φ = 2 3 γl ( E E + 2), (1.10) où L est la longueur du milieu et γ est le paramètre non linéaire de la fibre, défini comme : γ = ω 0n 2 ca eff. (1.11) Ici, ω 0 est la fréquence angulaire, n 2 est l indice non linéaire du milieu (n m 2 /W pour les fibres de silice) et A eff l aire effective du mode se propageant dans la fibre optique. On définit également le déphasage non linéaire Φ et le déphasage non linéaire différentiel Φ de la façon suivante : Φ = φ + + φ 2 Φ = φ + φ 2 ( = γl E E 2), (1.12) = γl 3 ( E + 2 E 2). (1.13) Ces deux définitions nous permettent finalement de définir la matrice de Jones représentant le milieu Kerr en base de polarisation circulaire de la façon suivante : [ ] e KERR + = e jφ j Φ 0 0 e j Φ. (1.14) On observe que, en présence d un état de polarisation linéaire à l entrée du milieu Kerr, on aura E + 2 = E 2 et donc Φ = 0. Dans ce cas, aucune rotation non linéaire de la polarisation ne sera observée puisqu il n y aura aucun déphasage entre les composantes. De là l importance de placer une lame quart d onde pour rendre la polarisation elliptique à l entrée du milieu. Évidemment, on a considéré ici un milieu Kerr (une fibre optique) qui ne présente aucune biréfringence, ce qui n est pas le cas en réalité. En fait, les fibres optiques standards possèdent toutes une biréfringence intrinsèque due à une légère ellipticité de leur cœur. Toutefois, cette biréfringence peut généralement être compensée par les lames d onde du système. Il n est donc pas pertinent de traiter théoriquement cet effet dans le cadre de ce projet. En utlisant les relations de conversion d une base de coordonnée à l autre (1.1) et (1.2), la matrice représentant le milieu Kerr en base linéaire devient : [ cos( Φ) KERR = CL KERR + LC = e jφ sin( Φ) ] sin( Φ). (1.15) cos( Φ) 8

27 On note que cette matrice est similaire à celle d une lame demi-onde (voir Éq. (1.3)). La propagation dans un milieu Kerr est donc bel et bien associée à une rotation non linéaire de la polarisation. En utilisant le schéma de la figure 1.1 et toutes les matrices de Jones développées, on peut calculer le champ électrique transmis par le système en considérant un champ initial avec E x = E 0 et E y = 0 (le point de départ se situe juste après le polariseur, dont l axe de polarisation est orienté parallèlement à l axe des x). On obtient alors : [ ] Ex E y = P OL Lλ/2 KERR Lλ/4 [ ] E0 0. Après un peu d algèbre et quelques identités trigonométriques, on obtient : E x = E 0e jφ 2 E y = 0. [ (cos α sin α)e j(α 2θ+ Φ) + (cos α + sin α)e j(α 2θ+ Φ)], (1.16) (1.17) La composante y est nulle vu que le polariseur est placé à la fin du système étudié. L équation de la transmission en puissance pour un tour de cavité est donc : T = E x 2 E 2 0 = 1 [1 + cos(2 (α 2θ + Φ)) cos(2α)]. (1.18) 2 On rappelle que α et θ sont les angles que font les axes principaux des lames quart d onde et demi-onde par rapport à l axe x. En variant ces angles, il est possible d observer différentes courbes de transmission qui dépendent de la puissance par l entremise de Φ (voir équation (1.13)). Après son passage dans la lame quart d onde, les normes des composantes de l onde à l entrée du milieu Kerr sont données par : E + 2 = E2 0 2 E 2 = E2 0 2 (1 sin (2α)), (1.19) (1 + sin (2α)). (1.20) En substituant ces deux équations dans l équation (1.13) et en se rappelant que la puissance du signal est donnée par P = E x 2 + E y 2 = E0 2, on obtient que Φ est simplement donné par : Φ = γl 3 P sin (2α). (1.21) 9

28 Transmission Puissance [W] Figure 1.2: Courbe de transmission non linéaire du système de la fig. 1.1 ; α = π 8 et θ = π 16 (ligne pleine) ; α = π 7π 16 et θ = 32 (ligne pointillée). Les équations (1.18) et (1.21) nous permettent donc d obtenir la courbe de transmission du système en fonction de la puissance du signal incident P pour des valeurs de α et θ données. Les courbes de transmission pour deux configurations d angle sont tracées à la figure 1.2 (on suppose une longueur du milieu Kerr L = 5 m et un paramètre non linéaire γ = 0.01W 1 m 1 ). Sur la figure 1.2, on remarque que la transmission du système varie de façon sinusoïdale avec la puissance. Cette variation s explique en se rappelant que la transmission au polariseur résulte de la rotation non linéaire et donc du transfert d énergie entre les deux composantes de polarisation du signal. Ce transfert est périodique puisqu il s effectue de la composante de puissance élevée à celle de faible puissance. Pour α = π 8 et θ = π 16, on voit que la pente est maximale pour des puissances très faibles. Cette combinaison d angles sera optimale pour faciliter l émergence d une impulsion de très faible puissance. Or, pour cette même combinaison d angles, la transmission atteint rapidement un maximum pour ensuite diminuer à des puissances élevées. Ceci implique qu à une certaine puissance limite, l effet sera inversé et le système aura tendance à atténuer les hautes puissances. On parlera d inversion de l effet d absorption saturable. Pour α = π 7π 16 et θ = 32, on obtient l inversion à une puissance plus élevée, mais la pente de transmission est quasi nulle pour des puissances faibles. Cette combinaison facilitera donc les régimes à hautes énergies, mais sera nuisible à l émergence d impulsions à partir de bruit optique de faible puissance. Même s il est possible de repousser le premier sommet de transmission à de plus hautes puissances, l inversion se produit généralement à des puissances relativement basses (< 5 kw). Ce problème est en fait l une des principales causes limitant la formation d impulsions de grande énergie dans les lasers à fibre. 10

29 1.2 Théorie analytique sur les lasers à synchronisation modale passive La démonstration qui sera exposée brièvement dans la présente section est d une importance capitale dans la théorie des lasers à fibre à synchronisation modale passive. En fait, celle-ci permet d obtenir les équations différentielles décrivant la dynamique intracavité des impulsions voyageant dans de tels lasers. Les solutions de cette équation permettent de prédire avec une bonne précision les caractéristiques des impulsions générées sous certaines conditions. On débute avec l équation différentielle représentant la dynamique d un laser à synchronisation modale active avec un modulateur en amplitude (AM) dans le domaine temporel. On associe généralement cette équation à la formule de Kuizenga-Siegman, qui est présentée dans le livre Lasers de Siegman [41]. On utilise ici la notation de Haus [19] : 1 A(T,t) = (g l)a(t,t) + g 2 A(T,t) T R T Ω 2 g t MΩ2 mt 2 A(T,t). (1.22) Dans cette équation, T R est la durée d un aller-retour. La variable T est une échelle temporelle longue associée à l évolution lente de l impulsion à chaque aller-retour dans la cavité. La variable t est l échelle temporelle "courte" permettant de représenter l évolution de l enveloppe de l impulsion à chaque tour de cavité, qu on nomme ici A(T,t) et qui est normalisée pour que le carrée de sa norme corresponde à la puissance instantanée de l impulsion. Le terme à gauche de l égalité décrit l évolution de l amplitude de l impulsion sur l échelle de temps T et ce terme sera nul en régime permanent puisque la dynamique temporelle sera la même à chaque tour. Le terme (g l)a(t,t ) représente le coefficient de gain net par aller-retour (le gain moins les pertes). L expression g Ω 2 g 2 A(T,t) t 2 considère l effet de filtrage spectral imposé par le gain, dont la largeur spectrale est donnée par Ω g. Le dernier terme tient compte de la modulation temporelle avec M et Ω m, la profondeur et la fréquence de modulation respectivement. On a vu que le PAPM est, à peu de chose près, l équivalent d un absorbant saturable instantané. La fonction permettant de représenter son effet dans le domaine temporel peut donc être approchée par : s(t) = s I(t)/I sat, (1.23) où s 0 est le coefficient de perte non saturé, I(t) est le profil d intensité de l impulsion et I sat est l intensité de saturation de l absorbant saturable. On considère une impulsion dont l intensité crête est faible par rapport à I sat. On peut alors approximer s(t) par : s(t) s 0 (1 I(t)/I sat ). 11

30 Le profil d intensité I(t) d un mode d aire effective A eff normalisée A(t,T ) comme : est donné en terme d amplitude I(t) = A(t,T ) 2 A eff. Donc : s(t) s 0 ( 1 ) A(t,T ) 2 s 0 η A(t,T ) 2, I sat A eff où η est défini comme le coefficient d automodulation en amplitude (SAM). On remplace le terme de modulation AM par s(t)a(t,t ) dans l équation (1.22). Le coefficient de perte non saturée s 0 est incorporé dans le paramètre l, représentant les pertes par aller-retour. On y ajoute également deux termes pour tenir compte des effets de SPM et de la GVD lors de la propagation dans les fibres, qui sont donnés par [41] : GV D jβ 2L 2 A(t,T ) 2 t 2, (1.24) SP M jγl A(t,T ) 2 A(t,T ), (1.25) où β 2 est le paramètre de GVD de la fibre, L est la longueur de la cavité et γ est le paramètre non linéaire défini en (1.11). Avec toutes ces considérations, l équation (1.22) devient, en régime permanent : (g l)a(t) + ( g Ω 2 f ) 2 A(t) + jβ 2 L/2 t 2 + (η jγl) A(t) 2 A(t) = 0. (1.26) Cette équation est d une richesse incroyable, puisque l adaptation de celle-ci (ou une variante de celle-ci) à divers types de laser à fibre permet une description assez précise de la dynamique intracavité de tels lasers. Cette équation possède une solution exacte qui a été introduite par Martinez en 1984 [30] : ( )] t 1+jβ A(t) = A 0 [sech, (1.27) τ où τ est la durée de l impulsion normalisée (dans le cas d une sécante hyperbolique, τ t 1/2, où t 1/2 est la largeur à mi-hauteur) et β est le paramètre de chirp. Cette solution correspond à un profil en amplitude sous forme de sécante hyperbolique. En transformant 12

31 légèrement l équation (1.27) pour isoler la phase, on constate que le profil de chirp est quasilinéaire au centre et tend graduellement vers des asymptotes horizontales. Il est cependant possible de trouver des solutions plus simples sous certaines conditions. Cette équation peut également être généralisée davantage en ajoutant une dépendance en z pour tenir compte des variations possibles des paramètres selon la position dans la cavité. 1.3 Principaux schémas antérieurs de cavité laser femtoseconde Dans cette section, les principaux types de cavité laser à fibre développés au cours des 25 dernières années seront présentés brièvement. On y décrira la dynamique intracavité et les caractéristiques propres à chacun, en passant par le laser à solitons et le laser à impulsions étirées jusqu aux schémas introduits récemment, comme le laser à similaritons passifs, le laser à solitons dissipatifs et le laser à similaritons amplificateurs Le laser à solitons Les débuts du laser à solitons remontent au milieu des années 80 [31], mais ce n est qu au début des années 90 que la première démonstration d un laser à solitons à synchronisation modale passive a été effectuée [20]. Ce type de laser constitue le premier de sa génération à produire des impulsions stables de durée inférieure à la picoseconde. En régime de dispersion anomale (β 2 < 0), la théorie décrivant la propagation dans les fibres optiques prédit la formation d impulsions sous forme de sécante hyperbolique sans chirp par la compensation de l automodulation de phase (SPM) avec la dispersion de la vitesse de groupe (GVD) [1]. Il existe une famille de solutions possibles à l équation différentielle prenant en compte les effets de SPM et de GVD en l absence de gain ou de perte. Ces solutions sont appelées solitons. L amplitude de la solution d ordre 1 de cette famille, qu on nomme soliton fondamental, est donnée par l équation suivante : A(z,t) = ( ) t P s sech e jksz, (1.28) τ P s = β 2 γτ 2, (1.29) k s = π, 4Z 0 (1.30) Z 0 = πτ 2 2 β 2. (1.31) Dans ces équations, t représente le temps dans le repère de l impulsion, k s z correspond à la phase accumulée par le soliton sur une distance z, P s est sa puissance crête et Z 0, sa période. 13

32 Les autres constantes ont été définies précédemment. Une importante propriété du soliton fondamental est que celui-ci possède une aire constante A s, qu on relie à sa puissance crête P s et sa durée τ ( t 1/ τ ; t 1/2 = durée à mi-hauteur) par la relation : A s = A(0,t)dt = πτ P s. (1.32) Cette caractéristique implique que la durée d un soliton est toujours inversement proportionnelle à la racine de sa puissance crête. Son énergie est donnée par : E s = 2P s τ = 2 β 2 γlτ, (1.33) E s 1.13P s t 1/ β 2 γl t 1/2. (1.34) Ainsi, plus le soliton est de courte durée, plus son énergie sera grande et inversement. On considère maintenant l équation (1.26), qui présente non seulement les effets reliés à la SPM et à la GVD, mais également aux pertes et au gain dans la cavité. En réglant la dispersion moyenne de la cavité en régime anomal (β 2 < 0), il est possible d obtenir une solution ayant la forme de sécante hyperbolique, comme celle présentée à l équation (1.28). Cette solution ne décrit cependant que la forme moyenne de l impulsion dans la cavité. En fait, celle-ci subit de faibles perturbations périodiques dues au gain et aux pertes qui modifient son profil local. À noter que seul le soliton fondamental peut être formé dans la cavité puisque les solitons d ordre supérieur sont généralement instables en présence de telles perturbations. L énergie du soliton formé en régime permanent est limitée par plusieurs facteurs. L inversion de l effet du système PAPM fixe certainement une puissance et donc une énergie maximale pour l impulsion. Par contre, la plus importante cause limitant l énergie par impulsion est liée à la présence d importantes instabilités résonantes issues des perturbations périodiques du soliton dans la cavité. Plus l impulsion subit un gain important, plus celle-ci s ajuste en conséquence pour retrouver sa forme en transférant de l énergie à des ondes dispersives [26]. Les ondes dispersives qui subsisteront dans la cavité sont celles dont la fréquence est telle qu il y aura accord de phase avec le soliton à chaque tour de cavité. Celles-ci sont appelées résonances de Kelly et sont typiquement visibles dans le spectre du signal de sortie. La figure 1.3 illustre grossièrement le spectre typique d un tel laser en plus d expliquer qualitativement la position des résonances. De par les relations (1.34) et (1.32), on peut également en déduire qu une limitation en puissance causée par le PAPM entraîne nécessairement une limitation en terme d énergie et durée des impulsions. Les performances typiques pour ce type de laser sont présentées au tableau

33 Figure 1.3: Spectre typique d un laser à solitons et illustration de la condition d accord de phase avec les ondes dispersives (k s = constante de propagation du soliton, k lin = constante de propagation des ondes dispersives et k p = constante de phase des perturbations) [33] Le laser à impulsions étirées Au début des années 90, Kohichi Robert Tamura travaillait au MIT sur une cavité en anneau tout-fibre alors qu il était sous la supervision des professeurs Haus et Ippen. Il plaça une fibre d erbium à dispersion positive dans sa cavité qui, sans qu il s en attende, compensait presque la dispersion des fibres passives. À sa grande surprise, il observa un signal de sortie très différent de ceux produits par un laser à solitons standard. C est à ce moment que naquit un laser à fibre révolutionnaire : le laser à impulsions étirées [43]. Pour bien comprendre la dynamique de ce type de laser, considérons d abord une impulsion gaussienne initialement limitée par sa transformée de Fourier. En négligeant les effets non linéaires, si on propage cette impulsion dans deux milieux de dispersion opposée, on observe un étalement suivi d une compression temporelle pour ensuite retrouver la forme initiale de l impulsion. C est ce même genre de comportement qui est observé à deux reprises lors d un tour de cavité en régime permanent dans un laser à impulsions étirées. La figure 1.4 illustre cette dynamique. Contrairement au laser à solitons, ce sont donc les effets dispersifs qui régissent en grande partie la dynamique dans la cavité. C est pour cette raison qu on emploie généralement le terme Dispersion-Managed Soliton pour décrire les impulsions circulant dans ce type de laser. La cavité considérée est symétrique et on suppose une compensation parfaite de la dispersion pour simplifier l analyse. En réalité, cela est rarement le cas, mais la dyna- Table 1.1: Performances typiques d un laser à 1.5 µm Énergie Largeur Durée Facteur d étirement des par impulsion spectrale minimale impulsions dans la cavité 0.1 nj 15 nm 200 fs 3 15

34 Absorbant saturable Plan de symétrie Figure 1.4: Schéma simplifié d un laser à impulsions étirées typique. mique reste tout de même très similaire. On remarque d abord que l impulsion est de durée minimale à deux endroits, soit à l absorbant et à un plan symétriquement opposé. Ceci n est pas un hasard, puisque les pertes dans la cavité sont minimales lorsque l impulsion traversant l absorbant saturable est de durée minimale et donc la cavité va privilégier cette dynamique (Nous verrons toutefois avec le laser utilisant des réseaux de Bragg que dans le cas d un système PAPM, ceci n est pas toujours vrai puisque la transmission non linéaire au polariseur dépend plutôt de l effet cumulé de la rotation non linéaire dans la cavité). L impulsion subit ensuite un étalement temporel en acquérant un chirp suivi d une compression pour retrouver à nouveau une durée minimale au milieu du segment de fibre à dispersion positive. Un autre cycle d élargissement-compression de l impulsion est observé à partir de cet endroit jusqu à incidence sur l absorbant saturable. Le facteur d étirement temporel de l impulsion en régime permanent peut atteindre des valeurs supérieures à 10. L impulsion est donc de durée minimale seulement à deux endroits dans la cavité et sur une très courte distance par rapport à la longueur de la cavité. L accumulation de phase non linéaire est ainsi grandement réduite en comparaison avec le laser à solitons pour une énergie par impulsion comparable. En effet, vu que l impulsion est étalée temporellement durant la majeure partie de sa propagation, sa puissance crête moyenne est beaucoup plus faible. C est grâce à ce principe que les lasers à impulsions étirées produisent en général des impulsions d énergie 10 fois plus grande que leurs prédécesseurs. Ce principe d étalement temporel de l impulsion sera utilisé dans tous les schémas futurs de ce type de laser. Ce laser a donc été un tournant dans l histoire des lasers à fibre femtoseconde. Cette alternance de la dispersion des fibres constituant la cavité va également réduire signifi- 16

35 Table 1.2: Performances typiques d un laser à impulsions 1.5 µm Énergie Largeur Durée Facteur d étirement des par impulsion spectrale minimale impulsions dans la cavité 1 nj 35 nm 60 fs 10 à 20 cativement la formation de résonances spectrales, car les changements temporels importants dans la forme de l impulsion vont rendre la condition d accord de phase beaucoup moins probable que dans le cas du laser à solitons [23]. Les facteurs limitant l énergie des impulsions dans ce laser seront donc plutôt associés à l accumulation excessive de phase non linéaire à de hautes puissances, menant au phénomène de wave breaking [1] et à l inversion de l effet du PAPM. Il est possible de développer une solution approximative de forme gaussienne avec l équation (1.26) en supposant que la dispersion d ordre 2 est l effet dominant dans la cavité. Les détails de l analyse sont assez complexes et très bien détaillés dans la thèse de Tamura [42]. Finalement, les caractéristiques typiques pour ce type de laser sont présentées au tableau Le laser à similaritons passifs En parallèle au développement du laser à impulsions étirées, plusieurs travaux théoriques sur la propagation d impulsions dans les fibres optiques ont été effectués. Certains commençaient à s intéresser à de nouvelles solutions à l équation de Schrödinger non linéaire en présence de gain, dont les propriétés très intéressantes peuvent être exploitées dans les amplificateurs et les oscillateurs à fibre. On nomma ces solutions les similaritons. Pour trouver ce type de solution, on considère l équation représentant l évolution d impulsions dans un milieu en présence de gain. La saturation du gain ainsi que le filtrage spectral imposé par le gain ne sont pas pris en compte dans l équation. En fait, on suppose que la largeur spectrale de l impulsion est très petite par rapport à la largeur de bande du gain. On a alors l équation de propagation suivante : A(z,t) z = iβ A(z,t) t 2 + iγ A(z,t) 2 A(z,t) + ga(z,t). (1.35) Ici, A(z,t) est l enveloppe de l impulsion, β 2 est le paramètre de GVD, γ est le paramètre non linéaire et g est le coefficient de gain non saturé en amplitude. On suppose que cette équation possède une solution de la forme : A(z,t) = a(z,t) exp (iφ(z,t)), où a(z,t) et Φ(z,t) sont réels. Cette équation se réduit à 2 équations couplées, qui peuvent être résolues en posant des formes de solution soigneusement choisies pour A(z,t) et Φ(z,t). Plus 17

36 particulièrement, on recherche une forme dite "autosimilaire" pour A(z,t) et quadratique pour Φ(z,t) de façon à obtenir un chirp linéaire. Pour plus de détail sur la résolution, se référer à l excellent article de Kruglov et al. [27]. Pour une dispersion normale et un paramètre non linéaire positif (β 2 > 0, γ > 0), la solution trouvée pour A(z,t) est présentée aux équations (1.36) à (1.38). ( ) 2g a(z,t) = A 0 exp 3 z 1 t2 Tp 2 (z), (1.36) T p (z) = 3 γβ 2 A 0 2g A 0 = 1 2 exp ( 2g 3 z ), (1.37) ( 2gUin γβ2 /2) 1/2. (1.38) Ici, a(z,t) = 0 pour t > T p (z). T p (z) est donc la largeur totale de l impulsion à une position z donnée. A 0, qui est l amplitude maximale de l impulsion à z = 0, dépend de U in, son énergie initiale. La solution trouvée pour Φ(z) est : ( ) Φ(z,t) = φ 0 + 3γA2 0 4g 4g exp 3 z g t 2, (1.39) 3β 2 où le terme φ 0 est un terme de phase constant. Plusieurs constatations importantes découlent des équations (1.36) à (1.39). D abord, l amplitude maximale (à t = 0) ainsi que la durée de l impulsion varient selon la même relation exponentielle en z. L impulsion garde ainsi sa forme, à un facteur d échelle près, tout au long de sa propagation. On dit alors que l impulsion évolue de façon autosimilaire, d où le terme similariton. Pour un z donné, l enveloppe de forme parabolique ne dépend que de l énergie initiale de l impulsion. On peut montrer que, peu importe la forme initiale de l enveloppe, l impulsion évoluera vers une forme parabolique. Le profil initial de l impulsion aura plutôt un impact sur la rapidité de convergence vers cette solution. La convergence peut être optimisée en contrôlant soigneusement les paramètres de dispersion, de non-linéarité et de gain de l amplificateur [27]. On remarque également que le chirp est linéaire et constant selon z et t : C = 1 2 Φ(z,t) 2 t 2 = g. (1.40) 3β 2 Comme l impulsion s élargit temporellement en z et que le chirp reste constant, ses extrémités vont devenir de plus en plus décalées en fréquence par rapport à la fréquence centrale. Il y a donc un élargissement exponentiel du spectre de l impulsion lors de la propagation : 18

37 ω p (z) = ( ) 2δ 2g A 0 exp β 2 3 z, (1.41) où ω p (z) est la largeur spectrale totale de l impulsion à différentes positions z. Le chirp a tendance à demeurer linéaire, même en présence de grande non-linéarité, ce qui réduit énormément les effets de wave-breaking pour ce type de solution. Cette propriété assure également une compression efficace de l impulsion par un élément purement dispersif comme une paire de réseaux de diffraction. Par conséquent, la formation de similaritons dans une cavité laser est devenue un sujet très étudié au début des années 2000 et le demeure même encore aujourd hui. Contrairement aux solitons, les similaritons varient continuellement en se propageant et ne retrouvent jamais leur forme initiale, ce qui va à l encontre de la condition de périodicité nécessaire à la survie d une impulsion en régime permanent dans une cavité. Un laser intégrant des similaritons nécessite donc un mécanisme permettant de restaurer la forme de l impulsion à chaque tour de cavité. De plus, il a été démontré que l évolution asymptotique vers un similariton peut être interrompue lorsque l impulsion rencontre une quelconque limitation à son spectre, ce qui est généralement le cas dans une cavité puisque les fibres de gain agissent comme filtres spectraux [36]. En 2004, Ilday et al. proposent un schéma de cavité permettant de surmonter ces difficultés et montrent la possibilité d y observer des similaritons, donnant alors naissance au laser à similaritons [21]. Un diagramme de l évolution de l impulsion à travers les divers composants de la cavité proposée par Ilday et al. est présenté à la figure 1.5. À Figure 1.5: Graphique du produit durée-largeur de bande de l impulsion ainsi que sa largeur spectrale en fonction de sa position dans la cavité [21]. 19

38 Table 1.3: Performances typiques d un laser à 1 µm Énergie Largeur Durée Facteur d étirement des par impulsion spectrale minimale impulsions dans la cavité 15 nj 40 nm 100 fs 5 noter que le laser est opéré à 1 µm et la fibre de gain utilisée est dopée à l ytterbium. On utilise une fibre standard à dispersion positive (les fibres de SMF ont un β 2 > 0 à 1 µm) suivie d une fibre de gain de très faible longueur pour limiter l influence du filtrage spectral par le gain sur l évolution autosimilaire. Une ligne à délai dispersive (DDL), c est-à-dire un système purement dispersif composé de réseaux de diffraction, est présente pour compenser en partie la dispersion et, de ce fait, le chirp linéaire accumulé lors de la propagation afin de restaurer la forme de l impulsion. La dispersion totale dans ce type de cavité est très faiblement normale. Comme la figure 1.5 nous l indique, la largeur spectrale de l impulsion reste sensiblement constante dans la cavité alors que sa durée varie continuellement. L impulsion s élargit temporellement de façon linéaire dans la fibre SMF, ce qui est typique d une évolution autosimilaire, alors que la ligne à délai vient compenser cet élargissement. L impulsion est alors de durée minimale au début du segment de fibre SMF et celle-ci est très large lors de son passage dans la fibre de gain, où l énergie est maximale. Contrairement au laser à impulsions étirées, l impulsion ne subit qu un seul cycle d élargissement-compression. Le modulateur non linéaire (PAPM) est placé à la suite de la fibre de gain. Cette nouvelle dynamique intracavité présente de nombreux avantages. Tout d abord, les effets non linéaires sont grandement réduits par rapport aux schémas utilisés précédemment puisque l impulsion demeure en moyenne très étirée dans la cavité. En fait, si on augmente davantage la dispersion nette (en diminuant la dispersion induite par la ligne à délai par exemple), la durée minimale de l impulsion dans la cavité sera de plus en plus grande, vu que celle-ci possèdera un chirp résiduel de plus en plus important. Il est donc possible d augmenter l énergie des impulsions intracavité à des valeurs environ 10 fois plus élevées que dans le cas du laser à impulsions étirées. En plus, l impulsion à la sortie du laser possède un chirp très linéaire, permettant ainsi une compression très efficace à l extérieur de la cavité. Les caractéristiques typiques du laser à similaritons sont présentées au tableau Le laser à similaritons amplificateurs Comme détaillée dans la section précédente, l évolution asymptotique vers un similariton est interrompue si l impulsion rencontre une quelconque limitation à son spectre. Ceci oblige donc l utilisation d une fibre de gain très courte et des fibres passives à dispersion positive, ce qui limite principalement l utilisation de ce type de cavité aux lasers à l ytterbium (à 1 µm). Cette problématique a mené au développement d un autre type de laser utilisant cette fois-ci la formation de similaritons dans les fibres de gain. Ce concept peut facilement être adapté 20

39 Figure 1.6: a) Largeurs à mi-hauteur temporelles et spectrales. b) Profils temporels et spectres des impulsions en régime permanent à différents endroits dans un laser à solitonssimilaritons [34]. aux lasers à l erbium, où l emploi de fibres amplificatrices ayant une dispersion positive est très répandu. Proposée pour la première fois par Oktem et al. en 2010 [34], l idée consiste à placer un filtre spectral très étroit (< 15 nm de bande passante) tout juste après la fibre de gain de façon à ce que les impulsions aient un spectre étroit lorsqu elles retournent dans cette fibre. La fibre de gain agit alors comme attracteur non linéaire vers une impulsion de forme parabolique évoluant de façon asymptotique. Un exemple de la dynamique intracavité est présenté à la figure 1.6. Sur cette figure, on remarque d abord que les largeurs à mi-hauteur temporelles et spectrales évoluent de façon exponentielle dans la fibre de gain. De plus, les impulsions sortant de la fibre active ont un profil temporel parabolique en plus d un chirp linéaire. Bien entendu, les paramètres de la fibre de gain et du filtre spectral doivent être réglés correctement pour que l impulsion ne rencontre que peu ou pas de limitation à son spectre lors de sa propagation dans la fibre active. Ce laser très actuel, initialement connu sous le nom de laser à solitons-similaritons, a été rapidement généralisé à différentes longueurs d onde et pour différents régimes de dispersion [38]. Il a également été démontré que la formation de solitons dans la fibre passive n est pas nécessaire, voire nuisible à l obtention d impulsions de grande énergie [39]. C est pourquoi on parle plutôt maintenant de laser à similaritons amplificateurs. L avantage associé à ce type de cavité est que les propriétés de l impulsion à la sortie de la fibre de gain ne dépendent que de son énergie à l entrée de cette même fibre. Vu que la fibre active agit comme attracteur, ce type de laser n est donc que très peu sensible aux perturbations et aux autres paramètres de la cavité. Cette propriété a même été exploitée en plaçant une fibre hautement non linéaire juste avant la fibre de gain de façon à créer un important élargissement spectral. La fibre de gain agit ensuite comme attracteur vers un régime asymptotique de forme parabolique et permet l obtention d un régime stable générant des impulsions de très large spectre pouvant être comprimées à des durées de l ordre de 20 fs [8]. 21

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