-x² ln x si x 0 et f(0) = x

Transcription

1 f est la fonction définie sur [ ;] par f(x) = -x² ln x si x et f() =. + x Le problème a pour objet, dans la partie A, d étudier la fonction f et dans la partie B, de calculer une valeur approchée de J = f(t) dt. Partie A : étude de f On note C la courbe représentative de f dans un repère orthogonal (O; i ; j )(unités graphiques : cm sur l axe des abscisses et 2 cm sur l axe des ordonnées.) I. Etude d une fonction auxiliaire u est la fonction définie sur ];] par u(x) = + x + ln x. 2 + x ) Etudier les variations de u. 2) En déduire que l équation u(x) = a une solution unique β dans ] ;[ telle que,54 < β <,55. II Etude de f ) a) Démontrer que f est continue sur [;]. b) Etudier la dérivabilité de f en. 2) Calculer f (x) pour tout réel x > et vérifier que f (x) et u(x) ont le même signe. 3) a) Dresser le tableau de variations de f. b) Construire C en précisant les tangentes en et. Partie B La continuité assure l existence de l intégrale J. On ne cherchera pas à calculer une primitive de f. I. Etude d une intégrale auxiliaire n est un entier naturel, n. On note g n la fonction définie sur [;] par : g n (t) = -t n ln t si t > et g n () =. ) Vérifier que g n est continue sur [;]. 2) On note G n la fonction définie sur [;] par : t n+ ln t - G n (t) = n+ n+ (n + )² si t > G n () =

2 a) Démontrer que G n est une primitive de g n sur [ ;]. b) En déduire J n = g n (t) dt II Etude de J ) t est un réel et n est un entier n. a) Calculer P n (t) = ()( t + t² + + (-) n- t n- ). b) En déduire que pour tout réel t - : = t + t² + (-)n- t n- + (-) n tn c) Démontrer que pour tout t dans [ ;] : f(t) = g 2 (t) g 3 (t) + + (-) n- g n+ (t) + (-) n g n+2 (t), puis que : J = J 2 J 3 + J (-) n- J n+ + (-) n g n+2 (t) dt d) En majorant g n+2(t), démontrer que : 2) n est un entier, n ; on note : a) Démontrer que lim S n = J. n + b) Démontrer que S 8 J S 9. g n+2 (t) dt (n + 3)² S n = 3² - 4² + + (-)n- (n + 2)². c) En déduire une valeur approchée de J à -3 près exprimée avec 3 décimales. 2

3 3

4 CORRECTION Partie A : étude de f I. Etude d une fonction auxiliaire ) u (x) = (2 + x) ( + x) + (2 + x)² x = (2 + x)² + > sur ];] x Donc la fonction u est croissante sur ] ;]. 2) limu(x) = - et u() = 2 x 3 3) La fonction u étant croissante et d après le théorème des valeurs intermédiaires, on en déduit que l équation u(x) = a une solution unique β dans ] ;[ (u() > ). u(,54) -99 < et u(,55), > Donc :,54 < β <,55. II Etude de f ) a) f est continue sur ] ;[ comme quotient de deux fonctions continues. lim x f(x) = limx² ln x = = f() x b) f(x) () = - x ln x x - + x lim x f(x) () = lim-x ln x = x - x Donc f est dérivable en et f () =. 2) f(x) = v(x) avec v(x) = -x² ln x et w(x) = + x w(x) v (x)w(x) v(x)w (x) f (x) = (w(x))² v (x) = -2x ln x x² = -2x ln x x x w (x) = f (x) = (- 2x ln x x)( + x) + x² ln x x[(- 2 ln x )( + x) + x ln x] x(- x ln x 2 ln x - x) = = ( + x)² ( + x)² ( + x)² 4

5 Pour x > f (x) est du signe de : -x ln x 2 ln x - x + x +2 ln x + x ln x u(x) = 2 + x Donc f (x) est bien du signe de u(x). 3) a) f (x) > -u(x) > u(x) < < x < β. x f' f(x) + β M M f(,54),7 b) f () = Equation de la tangente en : y = f () = - 2 Equation de la tangente en - : y = f ()(x ) + f() = - x

6 Partie B II. Etude d une intégrale auxiliaire ) g n est continue sur ] ;] comme produit de deux fonctions continues sur cet intervalle. lim t g n (t) = = g n () car lim-t n ln t = (n ). t Donc g n est continue en. Donc g n est continue sur [ ;]. 2) a) Si t >, G n (t) = -t n t n ln t n + n n + = -tn ln t = g n (t) En, G n(t) G n () = - tn ln t t - n + n (n + )² lim t G n (t) G n () = t - Donc G n () = = g n () Donc sur [ ;], G n (t) = g n (t) G n est bien une primitive de g n. b) J n = G n ()- G n () = (n + )² II Etude de J ) a) pour t -, P n (t) = () (-)n t n (-t) (somme des termes d une suite géométrique de raison -t) P n (t) = (-),n t n Pout t = -, P n (-) = b) Pour t -: P n(t) = - (-),n t n Donc : = P n(t) + (-),n t n Donc : = t + t² + (-)n- t n- + (-) n tn -t² ln t c) f(t) = f(t) = -t² ln t( t + t² + + (-) n- t n+ + (-)n t n ) 6

7 f(t) = - ln t(t² - t 3 + t (-) n- t n+ + (-)n t n+2 ) f(t) = g 2 (t) g 3 (t) + + (-) n- g n+ (t) + (-)n g n+2 (t) En intégrant membre à membre entre et, on obtient directement la relation : J = J 2 J 3 + J (-) n- J n+ + (-) n g n+2 (t) dt d) Pour t [;] tn ln t car ln t Donc g n+2 (t) dt Pour t [ ;] g n+2(t) g n+2(t) Donc ( en intégrant) : g n+2 (t) dt g n+2 (t)dt = (n + 3)² On a bien : g n+2 (t) dt (n + 3)² 2) a) En utilisant J n =, on obtient : (n + )² J = S n + g n+2 (t) dt Or : lim n g n+2 (t) dt = par utilisation du théorème des gendarmes dans l encadrement de la question précédente. Donc : lim S n = J n + b) J = S 8 + g (t) dt Donc J S 8 car g (t) dt J = S 9 - g (t) dt Donc J S 9 7

8 Donc : S 8 J S 9 c) S 8,68 et S 9,762 Donc S,72 à 5-3 près. 8