Soit n un entier naturel non nul. 1. FAMILLES GÉNÉRATRICES

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1 COURS ALGÈBRE 1 COMPLÉMENTS D ALGÈBRE LINÉAIRE Dans tout le chapitre, K désigne R ou C, et E est un espace vectoriel sur K de dimension finie ou non, non réduit au vecteur nul. I - FAMILLES LIBRES, LIÉES, GÉNÉRATRICES, BASES (RAPPELS) FAMILLES GÉNÉRATRICES FAMILLES LIBRES ET LIÉES BASES II - SOMME DE SOUS-ESPACES VECTORIELS PRODUIT CARTÉSIEN D ESPACES VECTORIELS SOMMES ET SOMMES DIRECTES III - APPLICATIONS LINÉAIRES (RAPPELS ET COMPLÉMENTS) DÉFINITION D UNE APPLICATION LINÉAIRE NOYAU ET IMAGE RANG HYPERPLANS ET FORMES LINÉAIRES IV - MATRICES (RAPPELS ET COMPLÉMENTS) MATRICES SEMBLABLES TRACE D UNE MATRICE ET D UN ENDOMORPHISME V - SOUS-ESPACES VECTORIELS STABLES MATRICES-BLOCS SOUS-ESPACES VECTORIELS STABLES MATRICES TRIANGULAIRES PAR BLOCS MATRICES DIAGONALES PAR BLOCS OBTENTION DE SOUS-ESPACES VECTORIELS STABLES VI - POLYNÔMES D ENDOMORPHISMES ET DE MATRICES BASES CLASSIQUES DE K[X] POLYNÔMES DE LAGRANGE POLYNÔMES D ENDOMORPHISMES OU DE MATRICES EXEMPLES UTILISATION VII - DÉTERMINANT RAPPELS DE PREMIÈRE ANNÉE DÉTERMINANT D UNE MATRICE TRIANGULAIRE PAR BLOCS DÉTERMINANT DE VANDERMONDE I - FAMILLES LIBRES, LIÉES, GÉNÉRATRICES, BASES (RAPPELS) Soit n un entier naturel non nul. 1. FAMILLES GÉNÉRATRICES DÉFINITION 1 Soit (x i ) 1 i n une famille de n vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de la famille (x i ) 1 i n tout vecteur de E s écrivant sous la forme λ i x i où (λ i ) 1 i n K n. PROPOSITION 1 Soit (x i ) 1 i n une famille finie de vecteurs de E. L ensemble des combinaisons de ces vecteurs est le plus petit sous-espace vectoriel, pour la relation d inclusion, contenant l ensemble {x i /1 i n}. On le note Vect(x i ) 1 i n et on l appelle sous-espace vectoriel engendré par la famille (x i ) 1 i n. DÉFINITION 2 Une famille (x i ) 1 i n de vecteurs de E est dite famille génératrice de E si tout vecteur de E s écrit comme combinaison linéaire de (x i ) 1 i n, autrement dit si l on a E= Vect(x i ) 1 i n. DÉFINITION 3 Un espace vectoriel est dit de dimension finie s il admet une famille génératrice finie. 2. FAMILLES LIBRES ET LIÉES DÉFINITION 4 Une famille (x i ) 1 i n de vecteurs de E est appelée famille liée si et seulement si un des vecteurs de la famille s écrit comme combinaison linéaire des autres vecteurs de la famille. Une famille (x i ) 1 i n de vecteurs de E est appelée famille libre si et seulement elle n est pas liée. 1

2 PROPOSITION 2 Une famille (x i ) 1 i n de vecteurs de E est une famille libre si et seulement si tout (λ 1,...,λ n ) K n, on a λ i x i = 0 E = i 1,n, λ i = 0. PROPOSITION 3 pour Soient L = (x i ) 1 i n une famille libre de E et x un vecteur de E. La sur-famille de L obtenue en adjoignant à L le vecteur x est libre si et seulement si x Vect(x i ) 1 i n. COROLLAIRE 1 Dans un espace engendré par n vecteurs, toute famille de n+ 1 vecteurs est liée. EXEMPLE : La famille (P 0,...,P n ) de polynômes de K[X] est dite de degrés échelonnés si deg(p 0 )< < deg(p n ). Toute famille finie de polynômes non nuls à coefficients dans K et de degrés échelonnés est libre. 3. BASES DÉFINITION 5 Une famille (x i ) 1 i n de vecteurs de E est appelée base de E si et seulement c est une famille libre et génératrice de E. PROPOSITION 4 (Rappels de première année) 1. Toute famille libre de E se complète en une base. 2. De toute famille génératrice, on peut extraire une base. 3. Toutes les bases d un espace vectoriel de dimension finie ont le même cardinal. 4. Toute famille libre de E se complète en une base. 5. Soit E un espace vectoriel de dimension n et soit F une famille de n vecteurs de E. Les propriétés suivantes sont équivalentes : a) F est une base de E ; b) F est une famille génératrice de E ; c) F est une famille libre de E. II - SOMME DE SOUS-ESPACES VECTORIELS 1. PRODUIT CARTÉSIEN D ESPACES VECTORIELS DÉFINITION 6 Soient E 1,...,E p des K espaces vectoriels. On définit une structure d espace vectoriel sur E=E 1 E p par : 0 E = (0 E1,...,0 Ep ) (x 1,..., x p )+λ (y 1,..., y p )=(x 1 + λ y 1,..., x p + λ y p ) PROPOSITION 5 (Base et dimension d un produit en dimension finie) Soient E 1,...,E p des K espaces vectoriels de dimensions finies n i munis de bases B 1,...,B p. La famille ( (e1 1,0,...,0),(e1 n 1,0,...,0),...,(0,...,0,e p 1 ),(0,...,0,ep n p ) ) est une base de E dime 1 E p = dime i. 2. SOMMES ET SOMMES DIRECTES a) Définitions DÉFINITION 7 (Somme de sev) Soient (F i ) 1 i p des sous-espaces { vectoriels de E. On appelle somme des F i l ensemble p F=F 1 + F F p défini par F= x i / (x 1,..., x p ) F 1 F p }. On note aussi F= F i. DÉFINITION 8 (Somme directe) On dit que la somme est directe si et seulement si la décomposition est unique ; c est-à-dire (x,,..., x p ),(y 1,..., y p ) F i, x i = y i = i 1, p, x i = y i. On note alors F=F 1 F 2 F p = p F i. b) Propriétés PROPOSITION 6 La somme (et la somme directe) de sous-espaces vectoriels est associative et commutative. 2

3 F i est un sous-espace vectoriel de E, c est le plus petit sous-espace vectoriel incluant PROPOSITION 7 tous les F i. THÉORÈME 1 (Caractérisation des sommes directes) Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. la somme F i est directe 2. (x i ) 1 i p F 1 F p, x i = 0 E = i 1, p, x i = 0 E F 1 F p F i Autrement dit : ϕ : est un isomorphisme. (x 1,..., x p ) x i ATTENTION : il ne suffit pas que F i F j = {0 E } pour i j. Prendre l exemple de 3 droites du plan. c) Cas où E est de dimension finie PROPOSITION 8 (Base adaptée à une décomposition en somme directe) Soient (F i ) 1 i n des sous espaces vectoriels de E ; on suppose que chaque F i est muni d une base B i. p E= F i la réunion de tous les vecteurs des bases (B i ) 1 i p forme une base de E. Une telle base de E est dite adaptée à la somme directe. PROPOSITION 9 (Dimension d une somme directe) p dim F i = dimf i On note F= F i. dim F i dimf i F= p F i dimf= dimf i PROPOSITION 10 (Caractérisation d une somme directe par la dimension) d) Cas particulier où p = 2 : sous-espaces supplémentaires PROPOSITION 11 (Sous-espaces supplémentaires) Les propriétés suivantes sont équivalentes : 1. E= F 1 F 2 2. x E,!(x 1, x 2 ) F 1 F 2, x = x 1 + x 2 3. F 1 F 2 = {0 E } et E= F 1 + F 2 et en dimension finie : 4. si B i une base de F i pour i {1,2} alors (B 1,B 2 ) est une base de E 5. F 1 F 2 = {0 E } et dime= dimf 1 + dimf 2 6. F 1 + F 2 = E et dime= dimf 1 + dimf 2 Exemples de sous-espaces vectoriels supplémentaires à connaître Espace vectoriel des fonctions paires et des fonctions impaires dans E= R R Espaces vectoriels des matrices symétriques et des antisymétriques dans M n (K) 2 droites distinctes en dimension 2 Un plan et une droite non incluse dans le plan dans l espace de dimension 3 Une droite et un sev de E qui n inclut pas la droite K[X]=P 0 K[X] K n [X] si P 0 est un polynôme de degré n+ 1. III - APPLICATIONS LINÉAIRES (RAPPELS ET COMPLÉMENTS) 1. DÉFINITION D UNE APPLICATION LINÉAIRE Une application linéaire d un espace vectoriel E dans un espace vectoriel F peut être définie par : la donnée de l image d un vecteur quelconque de E ; la donnée de l image des vecteurs d une base ; la donnée de sa matrice relativement à des bases de E et de F ; l utilisation d une décomposition en sous-espaces vectoriels supplémentaires. 3

4 PROPOSITION 12 Soit p N. Soit E= 1 i p E i et F un K-espace vectoriel. On considère des applications linéaires u i L (E i,f) pour i 1, p. Alors il existe une unique application linéaire u de E dans F dont la restriction à chaque E i est u i. PROPOSITION 13 On suppose que E= E i. Pour tout i 1, p, on note p i la projection sur E i parallèlement à 1 i p E j. Alors (i, j ) [[1, p]] 2 p i p j = δ j i p i et p i = Id E. j i PROPOSITION 14 (Décomposition d une al selon une somme directe) Soit E = p E i et F un K-espace vectoriel. Soit u i L (E i,f) pour tout i. Alors il existe une unique application linéaire u de E dans F dont la restriction à chaque E i est u i PROPOSITION 15 (Famille de projecteurs associés à une somme directe) Soit E= E i. On note p i la projection sur E i parallèlement à E j. 1 i p j i (i, j ) 1, p 2, p i p j = δ i j p i et p i = Id E 2. NOYAU ET IMAGE PROPOSITION 16 Soit (e i ) 1 i n une famille génératrice de E. Soit u L (E,F). La famille ( u(e i ),1 i n) est alors une famille génératrice de Imu. PROPOSITION 17 Soient E et F des espaces vectoriels. On suppose que E est de dimension finie. Soit u L (E,F). On a alors : u est injective si et seulement si l image d une base de E par u est une famille libre de F ; u est surjective si et seulement si l image d une base de E par u est une famille génératrice de F ; u est bijective si et seulement si l image d une base de E par u est une base de F. COROLLAIRE 2 Deux espaces vectoriels de dimension finie sont isomorphes si et seulement s ils ont la même dimension. PROPOSITION 18 Toute application linéaire induit un isomorphisme d un supplémentaire de son noyau sur son image. PROPOSITION 19 Soit E un espace vectoriel de dimension finie et F un espace vectoriel de dimension quelconque. Si u est une application linéaire de E dans F, alors Imu et keru sont des espaces vectoriels de dimension finie. De plus, dime= dimkeru+ dimimu (Formule du rang). Attention : Cela ne signifie pas que keru et Imu sont supplémentaires (cf exercices). PROPOSITION 20 Soit u L (E,F) où E et F sont des espaces vectoriels de même dimension finie. On a alors : u injective u surjective u bijective. REMARQUE : Ce résultat est faux en dimension infinie ; considérer par exemple les endomorphismes de R[X] définis par P P et P XP. 3. RANG DÉFINITION 9 Soit u L (E,F). On dira que u est de rang fini si et seulement si Imu est un sous-espace vectoriel de F de dimension finie. REMARQUE : Si E ou F est de dimension finie, toute application linéaire de E dans F est de rang fini. PROPOSITION 21 Soient E et F des espaces vectoriels de dimensions finies. Soit u L (E,F). Si f GL K (E) et g GL K (F), alors rg(u f )=rgu et rg(g u)=rgu. 4. HYPERPLANS ET FORMES LINÉAIRES DÉFINITION 10 (Hyperplan) On appelle hyperplan d un espace vectoriel E de dimension quelconque tout sousespace vectoriel de E admettant un supplémentaire de dimension 1. PROPOSITION 22 (Hyperplan = noyau d une forme linéaire non nulle) Soit H un sev de E. H est un hyperplan de E H est le noyau d une forme linéaire non nulle. 4

5 Remarques : si E est de dimension finie, H est un hyperplan de E dimh=dime 1. Exemples d hyperplan. Expression du projeté d un vecteur sur un hyperplan. Application : déterminer l expression analytique de la projection sur la droite dirigée par le vecteur u = (1, 2, 1) parallèlement au plan d équation 2x + y z = 0. PROPOSITION 23 Si ϕ est une forme linéaire non nulle, toute forme linéaire s annulant sur kerϕ est proportionnelle à ϕ. IV - MATRICES (RAPPELS ET COMPLÉMENTS) 1. MATRICES SEMBLABLES DÉFINITION 11 Soient A et B deux matrices de M n (K). On dira que A et B sont semblables si et seulement s il existe une matrice P GL n (K) telle que A= P 1 BP. Propriétés L application A P 1 AP définit un automorphisme de M n (K). La relation de similitude est une relation d équivalence. Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans des bases différentes. Deux matrices semblables ont même rang, la réciproque est fausse. 2. TRACE D UNE MATRICE ET D UN ENDOMORPHISME DÉFINITION 12 (Trace d une matrice) La trace d une matrice carrée est la somme des termes de la diagonale. Si A= (a i j ) i i,j n, la trace de A notée tr(a) vaut PROPOSITION 24 (propriétés) a ii La trace définit une forme linéaire non nulle sur M n (K). (A,B) ( M n (K) ) 2, tr(ab)=tr(ba) Deux matrices semblables ont même trace (la réciproque est fausse) DÉFINITION 13 (Trace d un endomorphisme) Soit u L (E). Soit B une base de E. On note A la matrice de u dans la base B. La trace de A ne dépend pas de la base de E choisie. On note alors tru= tr A. PROPOSITION 25 (Propriétés de la trace d un endomorphisme) La trace est une forme linéaire sur L (E) qui vérifie tr(u v)=tr(v u). Le rang d un projecteur est égal à sa trace. V - SOUS-ESPACES VECTORIELS STABLES 1. MATRICES-BLOCS DÉFINITION 14 (Matrice-blocs) Soit M M n1 +p 1,n 2 +p 2 (K). On définit la matrice M à l aide des 4 blocs A M n1 n 2 (K), ( ) A B B M n1 p 2 (K), C M p1 n 2 (K) et D M p1 p 2 (K) de telle sorte que M= C D Cas particuliers : Une matrice est diagonale par blocs si et seulement si les sous matrices situées en dehors de la diagonale sont toutes nulles et si les blocs diagonaux sont carrés. Une matrice est triangulaire supérieure (respectivement inférieure) par blocs si et seulement si tous les blocs strictement en dessous (resp au dessus) de la diagonale sont nuls et si les blocs diagonaux sont carrés. PROPOSITION 26 (Calcul par blocs) Les formules de calculs (somme, produit par un scalaire, produit matriciel) sur les matrices par blocs sont, à condition que la taille des blocs soit compatible, les mêmes que pour ( les matrices ) ( définies coefficients par coefficients. A B t A t ) C La transposée de est C D PROPOSITION 27 (Rang d une matrice triangulaire par blocs) t B t D Si M est triangulaire par blocs alors le rang de M est la somme des rangs des blocs diagonaux. 2. SOUS-ESPACES VECTORIELS STABLES DÉFINITION 15 (Sev stable par un endomorphisme) Un sous-espace vectoriel F de E est dit stable par un endomorphisme u de E si u(f) F. DÉFINITION 16 (Endomorphisme induit) Soit F un sev de E stable par un endomorphisme u. L application u 1 : F F définie par : x F u 1 (x) = u(x) est un endomorphisme de F, appelé endomorphisme induit par u sur F. 5

6 Application : À quelle condition une droite de E est-elle stable par u? 3. MATRICES TRIANGULAIRES PAR BLOCS PROPOSITION 28 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et F un sev stable par u. Dans une base B adaptée à F, c est-à-dire dont ( les premiers ) vecteurs forment une base A B de F, la matrice de u est de la forme suivante (triangulaire par blocs) où A est la 0 C matrice de u 1 dans la base de F formée par les premiers vecteurs de B (A est une matrice carrée). Réciproquement, si B est une base adaptée à F dans laquelle la matrice de u est de la forme précédente, alors F est stable par u. Généralisation : Soient F 1,F 2,,F p des sous-espaces vectoriels de E stables par u tels que F 1 F 2... F p = E. On peut construire une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure par blocs. DÉFINITION 17 En particulier, si p = dime et i 1, p, dimf i = i, il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure. On dit alors que l endomorphisme u est trigonalisable. PROPOSITION 29 Soit B= (e 1,e 2,,e n ) une base de E. On pose F i = Vect(e 1,e 2,,e i ) pour tout i 1,n. Soit u L (E). Mat(u,B) est triangulaire supérieure i 1,n, F i est stable par u. 4. MATRICES DIAGONALES PAR BLOCS PROPOSITION 30 Soit E un espace vectoriel de dimension finie tel que E= F 1 F 2 où F i est un sous-espace vectoriel stable par u pour i = 1 ou 2. Dans une base B adaptée à cette somme directe, la matrice de u est une matrice diagonale par blocs. Réciproquement, si B est une base adaptée à la somme directe et dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs, alors F i est stable par u pour tout i {1,2}. Généralisation : Soient F 1,F 2,,F p des sous-espaces vectoriels de E stables par u tels que E= F i. On peut construire une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par 1 i p blocs. DÉFINITION 18 En particulier, si p= dime et i 1, p, dimf i = 1, il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale. On dit alors que l endomorphisme u est diagonalisable. PROPOSITION 31 Soit B= (e 1,e 2,,e n ) une base de E. Soit u L (E). Mat(u,B) est diagonale si et seulement si u(e i ) est colinéaire à e i pour tout i 1,n. 5. OBTENTION DE SOUS-ESPACES VECTORIELS STABLES PROPOSITION 32 Soient u et v des endomorphismes de E tels que u v = v u. Alors keru et Imu sont stables par v. Remarque : un endomorphisme u commute avec toute combinaison linéaire de ses puissances successives. VI - POLYNÔMES D ENDOMORPHISMES ET DE MATRICES 1. BASES CLASSIQUES DE K[X] (X n ) n N, ((X a) n ) n N, a K, forment des bases de K[X]. PROPOSITION 33 Soit (P 0,P 1,,P n ) une famille de polynômes non nuls tels que degp 0 < degp 1 < < degp n. Alors cette famille est libre. COROLLAIRE 3 (Famille de polynômes de degrés échelonnés) Si k 0,n, degp k = k alors la famille (P k ) 0 k n est une base de K n [X]. Si k N, degp k = k alors la famille (P k ) k N est une base de K[X]. 2. POLYNÔMES DE LAGRANGE En marge du programme officiel, ces polynômes jouent un rôle important. PROPOSITION 34 Soient (a 0,, a n ) une famille de n+ 1 éléments de K 2 à 2 distincts. L application u : K[X] K n+1 définie par u(p) = ( P(a 0 ),,P(a n ) ) est une application linéaire surjective dont le noyau est l ensemble des polynômes multiples de (X a 0 )(X a 1 )... (X a n ). De plus, la restriction de u à K n [X] définit un isomorphisme de K n [X] sur K n+1 6

7 COROLLAIRE 4 (Polynômes de LAGRANGE) Soient (a 0,, a n ) une famille de n+ 1 éléments de K 2 à 2 distincts. Soit i 0 0,n. Il existe un unique polynôme L i0 de degré inférieur ou égal à n tel que j 0,n, L i0 (a j )=δ i0 j On a L i0 = X a j a i0 a j j i 0 PROPOSITION 35 Soient (a 0,, a n ) une famille de n+ 1 éléments de K 2 à 2 distincts. Soient (y 0,, y n ) une famille d éléments de K quelconques. Il existe un unique polynôme P de degré inférieur ou égal à n tel que j 0,n, P(a j )= y j. P= y j L j PROPOSITION 36 Soient (a 0,, a n ) une famille de n+ 1 éléments de K 2 à 2 distincts et f : R K. Il existe un unique polynôme P de degré n tel que j 0,n, P(a j )= f (a j ). P est appelé polynôme d interpolation de LAGRANGE de f associé aux points a j. 3. POLYNÔMES D ENDOMORPHISMES OU DE MATRICES a) Définition DÉFINITION 19 Soient P= a k.x k K[X] et u L (E). k=0 j=0 On note P(u) l endomorphisme de E défini par P(u)= a k.u k. Soit A M n (K). on note P(A) la matrice de M n (K) définie par P(A)= k=0 a k.a k. k=0 b) Propriétés PROPOSITION 37 Soient P et Q des polynômes de K[X], λ un scalaire, u L (E) et A M n (K). (P+ Q)(u)= P(u)+Q(u), (PQ)(u)=P(u) Q(u) et (λp)(u)=λp(u). (P+ Q)(A)= P(A)+Q(A), (PQ)(A)=P(A) Q(A) et (λp)(a)=λp(a). Soient u L (E) et A M n (K). Les applications P P(u) et P P(A) sont des morphismes d algèbre c est-à-dire linéaires et respectant les produits. Les endomorphismes P(u) et Q(u) commutent ainsi que les matrices P(A) et Q(A). kerp(u) et ImP(u) sont stables par u. Si A et B sont deux matrices semblables, P(A) et P(B) sont semblables pour tout polynôme P. c) Polynôme annulateur DÉFINITION 20 (Polynôme annulateur) Soit u L (E). Un polynôme P tel que P(u)=0 est dit polynôme annulateur de u Soit A M n (K). Un polynôme P tel que P(A)=0 est dit polynôme annulateur de A On dira qu on a un annulateur minimal s il est de degré minimal. 4. EXEMPLES Recherche de polynôme annulateur minimal lorsque : 1. A= ( ) UTILISATION A= u est un projecteur 4. u est une symétrie Si P est un polynôme minimal annulateur de u tel que P=P 1 P 2 où degp 1 1 et degp 2 1. Alors kerp 1 (u), ImP 1 (u), kerp 2 (u), ImP 2 (u) sont des sous-espaces vectoriels stables par u non triviaux. 7

8 VII - DÉTERMINANT 1. RAPPELS DE PREMIÈRE ANNÉE THÉORÈME 2 Il existe une unique application f : M n (K) K vérifiant les trois propriétés suivantes : 1. f est linéaire par rapport à chacune des colonnes de sa variable ; 2. f est antisymétrique par rapport aux colonnes de sa variable ; 3. f (I n )=1. On notera det(a) le nombre f (A) pour toute matrice A de M n (K). NOTATION : Étant donné une matrice A M n (()K) ainsi que des entiers i et j de 1,n, on note i,j le scalaire det ( A i,j ) où Ai,j est la matrice extraite de A obtenue en supprimant la i e ligne et la j e colonne. PROPOSITION 39 (Développement suivant une rangée) Soit A= (a i,j ) 1 i,j n M n (()K). On a j 1,n det A= a i,j ( 1) i+j i,j. (dvpt selon la colonne j ) det A= a i,j ( 1) i+j i,j. (dvpt selon la ligne i ) j=1 PROPOSITION 38 (Propriétés du déterminant) Le déterminant d une matrice ayant deux colonnes égales est nul. det(λa)= λ n det(a) pour tout (λ, A) K M n (K). Le déterminant d un produit de matrices carrés est égal au produit des déterminants. Une matrice carrée A est inversible si et seulement si det(a) 0. Lorsque A est inversible, on a det(a 1 )=det(a) 1. Une matrice carrée et sa transposée ont le même déterminant. Le déterminant d un endomorphisme de E est le déterminant de la matrice de cet endomorphisme dans n importe quelle base de E. Règles usuelles de calcul Le déterminant d une matrice qui a deux colonnes (resp. deux lignes) identiques est nul. L échange de deux colonnes (resp. deux lignes) dans le calcul du déterminant d une matrice multiplie le déterminant par 1. Le déterminant d une matrice dont une colonne (resp. une ligne) est combinaison linéaire des autres colonnes (resp. des autres lignes) est nul. Le déterminant d une matrice dont une colonne (resp. une ligne) est formée de 0 est nul. La valeur du déterminant d une matrice est inchangée si l on ajoute à une colonne de cette matrice (resp. à une ligne) une combinaison linéaire des autres colonnes (resp. des autres lignes). Si l on multiplie une colonne (resp. une ligne) d une matrice par un scalaire λ, le déterminant est multiplié par λ. Donc, si l on multiplie par λ tous les coefficients d une matrice n n, le déterminant est multiplié par λ n. Le déterminant d une matrice est nul si et seulement si ses vecteurs colonnes (resp. lignes) sont linéairement dépendants. 2. DÉTERMINANT D UNE MATRICE TRIANGULAIRE PAR BLOCS PROPOSITION 40 Soit M une matrice de M n (K). On suppose que M peut s écrire sous la forme ( suivante ) : A C M=, 0 B où A M n (K), C M n,n n (K), B M n n (K). On a alors det M=det A detb. REMARQUE : On retrouve ainsi le cas particulier des matrices triangulaires et des matrices diagonales dont le déterminant est égal au produit des termes de la diagonale. 3. DÉTERMINANT DE VANDERMONDE PROPOSITION 41 Étant donné des scalaires x 0, x 1,..., x n, on note V(x 0, x 1,..., x n ) le déterminant d ordre n+ 1 défini par : x 0 x 1 x n V(x 0, x 1,..., x n )= x0 2 x1 2 xn x0 n x1 n xn n On a : V(x 0, x 1,..., x n )= (x i x j ). 0 j<i n On en déduit que : V(x 0, x 1,..., x n )=0 (i, j ) 0,n 2 i j { x i = x j. 8