Mesures et durée - Correction

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1 Mesures et durée - Correction EXERCICE 1 : Connaissances 1. Convertir les durées suivantes en secondes : a) deux tiers d heure = 2400 secondes 3 b) 1,2 heure. 1, = 4320 secondes 2. Convertir tes durées suivantes en heures, minutes et secondes : a) 5532 secondes. On effectue deux divisions successives par 60 comme un changement de base : On obtient alors : = 1h b) 1,87 heure , 87 = 1 heure + 0, minutes = 1 heure + 52 minutes + 0, 2 60 secondes = 1h Quelle durée faut-il à la grande aiguille d une montre pour parcourir un angle de 54? L angle d une aiguille est proportionnel au temps. On sait que la grande aiguille fait un quart de tour (90 ) en 15 minutes donc pour 54, on a : = 9 minutes 4. Depuis sa position initiale à midi pile, la petite aiguille d une montre a parcouru un angle de 68. Quelle est la nouvelle heure indiquée? On sait que la petite aiguille fait un quard de tour pour 3 heures donc 180 minutes, donc pour 68, on a : = 136 minutes = 2h Arnaud part de Paris à 23h00 pour Rio de Janeiro. Son avion se pose à Houston à 03h00 (heure locale) pour une escale d une heure. Le vol entre Houston et Rio de Janeiro dure 10 heures. Houston est à l ouest de Paris et il y a 7 heures de décalage horaire entre ces deux villes. Rio de Janeiro est à l est de Houston et il y a 3 heures de décalage horaire entre ces deux villes. PAUL MILAN 1/ 5 2 février 2010

2 a) Quelle est la durée du vol entre Paris et Houston? Faisons un tableau permettant de rentrer les données : Paris Ar. Houston Dep. Houston Rio de Janeiro H de Paris 23h? H de Houston 3h 4 h 4+10 H de Rio? Comme Houston est à l ouest de Paris, l heure de Houston est en retard de 7 heures par rapport à l heure de Paris. Pour trouver l heure de Paris, il faut ajouter 7 heures à l heure de Houston. Arnaud arrive à Houston à = 13 h (heure de Paris). Le voyage à donc duré : = 14 heures. b) À quelle heure (heure locale) Arnaud arrive-t-il à Rio de Janeiro? Comme Rio est à l est de Houston, l heure de Rio est en avance de 3 heures sur l heure de Houston. Il faut donc ajouter 3 heures à l heure de Houston. Arnaud arrive à Rio à : = 17 h EXERCICE 2 : Echelle Sur une carte routière, un segment de 10 cm représente une longueur de 25 km dans la réalité. Quelle est l échelle de cette carte? Pour trouver l échelle, il faut convertir les km en cm : 25 km = m. L echelle est donc de : = EXERCICE 3 : Cycliste Deux cyclistes font une course consistant en un aller-retour entre deux villes A et B ; on appelle d la distance entre ces deux villes. Le premier cycliste est plein d ardeur et fait le trajet de A à B avec une vitesse v très honorable ; malheureusement, dans la ville B, sa bicyclette subit une avarie qui le contraint a revenir de B en A à une vitesse w très réduite. Quant au deuxième cycliste, il part de A en même temps que le premier ; il effectue les deux trajets de A à B puis de B à A avec la même vitesse constante x nettement inférieure à v, mais la malchance de son compagnon lui permet de terminer la course en A en même temps que lui. On précise : les vitesses v, w et x sont considérées comme constantes ; aucun temps d arrêt en B n est à prendre en compte. 1. On suppose d abord : d = 20 km, v = 40 km / h et w = 10 km / h. a) Combien de temps ont duré les deux trajets aller et retour du premier cycliste? Soit t le temps aller et retour des deux cycliste. Pour le premier cycliste le temps aller est : t A = d v PAUL MILAN 2/ 5 2 février 2010

3 Le temps retour est : t R = d w Le temps total est donc : t = t A + t R = d v + d w = = 2h1 2 b) Quelle était la vitesse x du deuxième cycliste? Pour le deuxième cycliste le temps aller et retour est : t = 2d x On a donc : 2d x = 2, 5 donc x = 2d 2, 5 = 40 2, 5 = 16 km/h 2. Établissez maintenant une formule générale qui permet de calculer x en fonction de d, v et w. t A + t R = 2d x d v + d w = 2d x d(w + v) = 2d vw x v + w vw = 2 x x = 2vw v + w EXERCICE 4 : Livres dans une boîte On met des livres identiques de dimensions 20 cm 10 cm 1 cm dans une boite de dimension 44 cm 21 cm 11 cm. On souhaite connaître le nombre maximum de livres qu il est possible de placer dans cette boîte. 1. Calculer le volume de la boite et le volume d un livre. Le volume de la boîte est : = cm 2 Le volume d un livre est : = 200 cm 2 2. En déduire un nombre théorique l de livres que l on ne pourra pas dépasser. l = = 50, 82. On pourra donc mettre au maximum 50 livres Peut-on placer ces l livres dans la boites? justifier la réponse. On peut effectivement placer les 50 livres dans la boîte. On met 44 livres debout et 4 livres derrière. On place ensuite 4 livres sur le dessus. 4. Conclure. On peut effectivement placer le nombre théorique de livres dans la boîte. PAUL MILAN 3/ 5 2 février 2010

4 5. Exprimer en pourcentage le volume de la boite non utilisé. On donnera une approximation de la forme x % avec entier compris entre 0 et 100. Soit p ce pourcentage. p = volume total volume utilisé volume total 100 = Ce pourcentage est donc approximavement de 2 %. EXERCICE 5 : Emballage , 61 On s intéresse à la fabrication d emballages ayant la forme d un parallélépipède rectangle, appelés «bricks». On néglige l épaisseur de la matière utilisée pour ces emballages. 1. Une des faces rectangulaires d un «brick» de 1 litre de lait a pour dimensions 19 cm et 9,4 cm. Calculer la troisième dimension du «brick» et en donner une valeur approchée par excès au millimètre près. Soit d cette troisième dimension. De plus, on sait que : 1 litre vaut 1 dm 3 soit 1000 cm 3. On a donc : d = , 4 5, 6 La troisième dimension est de 5,6 cm au millimètre près. 2. a) La hauteur d un «brick» à base carrée de 1 litre de jus d orange mesure 20 cm. Calculer la longueur du côté du carré. En donner une valeur approchée par excès au millimètre près. Soit x la longueur du côté. On a : x 2 = = 50 soit x = 50 = 5 2 7, 1 La longueur du côté est donc de 7,1 cm au millimètre près. PAUL MILAN 4/ 5 2 février 2010

5 b) On souhaite modifier la hauteur du brick précédent pour que, en conservant la même base, il contienne 20 % de jus d orange en plus. Déterminer la nouvelle hauteur. Comme la base est inchangée, le volume est proportionnel à la hauteur. Donc, on a : h = 1, 2 20 = 24 La hauteur est alors de 24 cm 3. On considère les «bricks» de volume 1 dm 3 dont les mesures en centimètre des arêtes sont des entiers supérieurs à 3. Déterminer toutes les possibilités. Justifier. Soit a, b et c les trois dimensions du «brick» avec c b a > 3. On a alors : a b c = Si a est la plus petite dimension alors a donc a 10. On a donc 3 < a 10. Les diviseurs de 1000 entre 3 et 10 inclus sont : 4, 5, 8 et Si a = 4 alors cb = 250 on a alors : b donc 4 b 15 Les diviseurs de 250 compris entre 4 et 15 sont : 5 et 10 On obtient deux solutions : Si a = 5 alors bc = 200 on a alors : b donc 5 b 14 Les diviseurs de 200 compris entre 5 et 14 sont : 5, 8 et 10 On obtient trois solutions : Si a = 8 alors bc = 125 on a alors : b 2 11 donc 8 b n a pas de diviseurs compris entre 8 et 11. Il n y a donc pas de solution avec a = 8 4 Si a = 10 alors bc = 100. On trouve alors la solution triviale : a = b = c = 10 Conclusion : Il existe 6 solutions : PAUL MILAN 5/ 5 2 février 2010

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