COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE

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1 Première L COMPOSITION DE MATHEMATIQUES - INFORMATIQUE Février 2007 Durée de l épreuve : 1 h 30 Le candidat doit traiter les 2 exercices La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des justifications entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage de la calculatrice est autorisé. Le sujet comporte 5 pages, y compris celle-ci. 1

2 Exercice 1 : Croissances de plantes (8 points) Des chercheurs se proposent d étudier la croissance de deux plantes, le Linéal et l Exposa, en comparant leur hauteur. Voici présentés ci-dessous les premiers relevés en centimètres arrondis à 10-1 près. Plante Hauteur Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 initiale Linéal 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 Exposa 20,0 23,0 26,5 30,4 35,0 Partie A : Etude des relevés 1) Montrer que la hauteur de la plante Linéal suit une progression arithmétique dont on précisera la raison notée r. 2) Quel est le pourcentage d augmentation de la hauteur de la plante Exposa pendant la première semaine? 3) Montrer que la hauteur de la plante Exposa est proche d une progression géométrique de raison 1,15. Partie B : Modélisation Les chercheurs se proposent de prévoir les hauteurs des deux plantes pour les semaines suivantes, à partir des relevés des premières semaines. Ils admettent que la suite des tailles de la plante Linéal est arithmétique de raison r et que la suite des tailles de la plante Exposa est géométrique de raison 1,15 et de premier terme 20. On note respectivement L n et E n la taille des plantes Linéal et Exposa après n semaines d observation. 1) Donner une expression de L n en fonction de L 0 et de n, et calculer ainsi L 5 et L 6. Les résultats en centimètres seront arrondis à 10-1 près. 2) Donner une expression de E n en fonction de E 0 et de n, et calculer ainsi E 5 et E 6. On utilise ensuite un tableur pour faire des prévisions de croissance dans les semaines à venir. Voici représentée ci-après une feuille de calcul servant à calculer des prévisions. Les valeurs manquantes dans les colonnes 3 et 5 ont été calculées dans les questions précédentes. 3) On donne la formule qui a été saisie dans la cellule L4C3 pour la suite arithmétique : cette formule est = L(-1)C + 5 où L(-1)C désigne la cellule de la ligne précédente dans la même colonne. En déduire une formule qui a été saisie dans la cellule L4C5 pour la suite géométrique. 2

3 Exercice 2 : Miel et confiture (12 points) Un artisan vend des pots de miel et des pots de confiture artisanale à des supermarchés et à des magasins spécialisés en produits du terroir. Partie A Au cours du mois de janvier, l artisan a vendu 900 pots. On sait que : 2/3 sont des pots de miel dont 55 % sont vendus à des magasins spécialisés. 20 % des pots de confiture sont vendus aux supermarchés. Compléter le tableau figurant en annexe. Partie B 1) Fabrication et conditionnement de la confiture On considère la fonction f définie sur l intervalle [0 ;160] par f(x) = 0,25x² La fabrication complète de la confiture et son conditionnement en cartons représentent un coût pour l artisan. Pour x cartons, prêts à la vente, ce coût (en euros) est donné par f(x). a) Quelle formule peut-on saisir dans la cellule B2 du tableau suivant (obtenu avec un tableur) pour obtenir par recopie automatique vers le bas les nombres f(x)? Compléter la colonne B dans le tableau figurant en annexe. b) La représentation graphique, notée F, de la fonction f est l une des deux courbes du graphique figurant en annexe. Identifier la courbe F sur le graphique de l annexe. 2) Vente de la confiture Un carton de confiture est vendu 30 euros. On considère la fonction g qui, au nombre entier x de cartons vendus, associe le prix de vente g(x), en euros, de ces x cartons (pour x appartenant à l intervalle [0 ;160]). a) Exprimer g(x) en fonction de x. b) Tracer sur le graphique fourni en annexe la courbe représentative G de la fonction g. c) Par lecture graphique indiquer pour quelles valeurs de x on a g(x) f(x). 3) Etude du bénéfice On considère la fonction bénéfice b définie sur l intervalle [0 ;160] par b(x) = 30x f(x) a) Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C2 du tableau suivant pour obtenir par recopie automatique vers le bas les nombres b(x)? 3

4 Compléter alors la colonne C dans le tableau de l annexe. b) Sur le graphique de l annexe, identifier la courbe représentative de la fonction b et noter cette courbe E. En s aidant du graphique et de la colonne C du tableau précédent, donner le tableau de variation de la fonction b. c) Déduire de la question précédente le nombre de cartons à vendre pour que le bénéfice réalisé soit maximum. Quel est ce bénéfice maximum? Barème : Ex 1 : 8 points( ) Ex 12 : 6 points( ) 4

5 Annexes NOM : Prénom : Tableau de l exercice 2 Partie A à compléter : Pots de miel Pots de confiture artisanale Total Supermarchés Magasins spécialisés Total Tableau de l exercice 2 Partie B à compléter : Graphique de l exercice 2 partie B à compléter 5

6 CORRECTION Exercice 1 : Croissances de plantes (8 points) Partie A : Etude des relevés 1) La différence de hauteur entre deux semaines consécutives est constante et égale à 5. La hauteur de la plante Linéal suit donc une progression arithmétique de raison r égale à 5. 2) Le pourcentage d augmentation de la hauteur de la plante Exposa pendant la première semaine est Valeur finale valeur initiale donné par la formule : 100 valeur initiale Soit = Le pourcentage d augmentation cherché est donc 25 %. 3) Montrer que la hauteur de la plante Exposa est proche d une progression géométrique de raison 1,15. 3) Les quotients des hauteurs de la plante entre deux semaines successives sont : Plante Hauteur Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 initiale Linéal 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 Exposa 20,0 23,0 26,5 30,4 35, = 1,15 26,5 23 1,15 30,4 26,5 1, ,4 1,15 Ces quotients sont approximativement égaux à 1,15. On en déduit que la hauteur de la plante Exposa est proche d une progression géométrique de raison 1,15. Partie B : Modélisation 1) L n = L 0 + n r = r On en déduit L 5 = = 45 et L 6 = = 50 2) E n = E 0 q n avec q = 1,15 Soit E n = 20 1,15 n On en déduit E 5 40,3 et E 6 46,6 3) Formule saisie en L4C5 : = L(-1)C * 1,15 Exercice 2 : Miel et confiture (12 points) Partie A Pots de miel Pots de confiture Total artisanale Supermarchés Magasins spécialisés Total

7 CORRECTION Partie B b) 1) a) Formule saisie en B2 : = 0,25*A2*A2+500 x f(x) F 2) Vente de la confiture Un carton de confiture est vendu 30 euros. On considère la fonction g qui, au nombre entier x de cartons vendus, associe le prix de vente g(x), en euros, de ces x cartons (pour x appartenant à l intervalle [0 ;160]). a) g(x) = 30x b) G 7

8 CORRECTION c) On a g(x) f(x).lorsque la courbe G est au dessus de la courbe F soit pour x appartenant à l intervalle [20 ;100]. 3) Etude du bénéfice a) Formule saisie en C2 : =30*A2 B2 b) x f(x) g(x) G E Tableau de variation de la fonction b : x f(x) c) Le bénéfice est maximum pour 60 cartons vendus. Il est égal à b(60) =