Lycée Pierre-Gilles de Gennes Mathématiques 2013/2014. Devoir 13. Problèmes d autobus A rendre la semaine du 17 Mars 2014.

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1 Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST2 Mahémaiques 213/214 Devoir 13 Problèmes d auobus A rendre la semaine du 17 Mars 214 Travail demandé : Le bu du ravail es de ravailler la modélisaion en probabiliés. Vous NE devez PAS faire la parie A qui consise en des calculs préparaoires que nous avons déjà fais par ailleurs. Vous devez par conre lire aenivemen cee parie e repérer (surlignez!) les résulas imporans qui serven dans la suie. Le bu de ce problème es la modélisaion du passage des bus à un arrê. On noera R l ensemble des nombres réels, R + l ensemble des réels posiifs, R + l ensemble des réels sricemen posiifs, N l ensemble des eniers naurels e N l ensemble des eniers naurels non nuls. λ désignera dans ou le problème un réel sricemen posiif. On rappelle qu une variable aléaoire à densié X sui la loi exponenielle de paramère λ si e seulemen si une de ses densiés es la foncion f λ définie sur R par : { λe λ.x si x > f λ : x si x Parie A Loi gamma A.1. Pour ou réel α >, on considère l inégrale généralisée Γ(α) = α 1 e d. 1.a. En uilisan lim + α 1 e 2, monrer qu il exise un réel A sricemen posiif el que, pour > A, α 1 e 2 1. En déduire que α 1 e d converge. A 1.b. En déduire que l inégrale Γ(α) converge. A.2. 2.a. Calculer Γ(1). 2.b. à l aide d une inégraion par paries, monrer que Γ(α + 1) = αγ(α). 2.c. En déduire que, pour ou enier naurel n non nul, Γ(n) = A.3. Soi U une variable aléaoire réelle, e soi n un enier naurel sricemen posiif (on rappelle que λ R +). On di que U sui la loi gamma de paramères n e λ si e seulemen si U es une variable aléaoire don une densié es donnée par la foncion ϕ n,λ définie par : { λ n (n 1)! ϕ n,λ : x xn 1 e λ.x si x > si x On noe alors U γ(n, λ) 3.a. Vérifier que la foncion ϕ n,λ ainsi définie es bien une densié de probabilié sur R. 3.b. Soi U une variable aléaoire de loi γ(n, λ). Monrer que U adme une espérance e une variance e les calculer. A.4. Soi un réel x >. Pour ou couple (p, q) d eniers naurels non nuls, on pose I(p, q) = x p 1 (x ) q 1 d 4.a. Calculer I(1, q). 4.b. Pour p > 2, calculer I(p, q) en foncion de p, q e I(p 1, q + 1). 4.c. En déduire que I(p, q) = (p 1)!(q 1)! (p+q 1)! x p+q 1. A.5. Soien p e q deux eniers naurels non nuls. On considère deux variables aléaoires réelles X p e X q indépendanes de lois respecives γ(p, λ) e γ(q, λ). On rappelle que si X e Y son deux variables aléaoires indépendanes e de densiés de probabilié respecives g e h définies sur R, alors X + Y adme pour densié la foncion θ définie sur R par : θ : x h()g(x ) d

2 5.a. Monrer que X p + X q γ(p + q, λ). 5.b. Soi n N. On se donne n variables aléaoires muuellemen indépendanes (U 1,, U n ) de même loi exponenielle de paramère λ. 5.b.i. Vérifier que la loi exponenielle de paramère λ es une loi gamma don on précisera les paramères. 5.b.ii. En déduire que n k=1 U k es une variable aléaoire de loi γ(n, λ). Parie B Modélisaion du passage des bus On s inéresse aux insans de passage successifs des bus à un arrê donné. Dans cee modélisaion, le passage d un bus à un arrê es considéré comme insanané (le bus arrive e repar au même insan). Le service commence à l insan T. Le premier bus du main passe à l insan T 1. On pose U 1 = T 1 T qui représene donc le emps enre l ouverure du service e le passage du premier bus de la journée. Le emps écoulé enre les passages du premier e du second bus de la journée es modélisé par une variable aléaoire U 2. T 2 désigne l insan auquel ce second bus arrive ; on a donc U 2 = T 2 T 1. Le bus suivan passe ensuie à l insan T 3 au bou d un emps U 3, e ainsi de suie... Pour n N, T n désigne l insan où le n-ième bus arrive à l arrê e U n+1 le emps écoulé enre les passages du n-ième e du (n + 1)-ième bus de la journée. On a donc, pour ou n N, U n+1 = T n+1 T n. Dans cee parie e la suivane, on suppose les variables T n e U n définies pour ou n N. On suppose que les variables aléaoires (U n ) n 1 son muuellemen indépendanes. On suppose de plus qu elles suiven la même loi exponenielle de paramère λ. On pose T =. Pour ou n N, on a donc T n = n k=1 U k. On défini enfin la foncion de compage N de la façon suivane : pour ou R +, N es le nombre de bus qui son passés à l arrê dans l inervalle [, ]. B.1. On cherche ou d abord à se faire une idée des propriéés élémenaires du modèle. 1.a. Soi R +. Monrer que 1.a.i. N = si e seulemen si < T 1, 1.a.ii. pour ou n N, N = n si e seulemen si T n < T n+1. 1.b. Tracer le graphe de N pour 3, 5 e des valeurs U 1 = 1, U 2 =, 5, U 3 = 1, 5, U 4 =, 25, U 5 = 1. B.2. Soi R + fixé e soi n N. On admera que N es une variable aléaoire réelle discrèe e on s inéresse ici à sa loi. 2.a. Donner la loi de T n. 2.b. Monrer que N n si e seulemen si T n. En déduire une expression de P[N n] uilisan une inégrale. 2.c. En déduire que N sui la loi de POISSON de paramère λ. (on pourra dériver la foncion x xn e λ.x ). B.3. On suppose que les bus de la ligne passan à l arrê considéré peuven avoir deux erminus A e B différens. Pour R +, on noe A (respecivemen B ) le nombre de bus allan au erminus A (respecivemen au erminus B) qui son passés enre l insan e l insan. N désigne comme ci-dessus le nombre oal de bus, ous erminus confondus. On a donc N = A + B. Lorsqu un bus se présene à l arrê, on suppose qu il a pour erminus A avec une probabilié p ]; 1[, e B avec la probabilié 1 p, indépendammen des aures bus. 3.a. Soi n N. Déerminer la probabilié condiionnelle P[A = k N = n] pour R + e k enier, k n. 3.b. En déduire la loi de A. Parie C Absence de mémoire Dans cee parie, on fixe un insan s R +. Pour des raisons d éude saisique, un employé de la compagnie de bus se pose chaque jour à l insan s à l arrê éudié e noe les heures de passage des bus à parir de ce insan. On appelle U 1 le emps que ce employé aend avan de voir passer un premier bus, puis U 2, U 3, ec... les inervalles de emps enre les passages de chacun des bus suivans. On pose T 1 = U 1 e plus généralemen, pour ou n N, T n = n k=1 U k. Enfin, on défini une nouvelle foncion de compage M, de sore que, pour ou R +, M représene le nombre de bus que l employé a vu passer à l arrê au bou d un emps à parir de son arrivée à l insan s, c es-à-dire dans l inervalle ]s, s + ]. Les variables N, T n, U n inervenan dans la suie de cee parie son définies dans la parie B. C.1. On cherche à déerminer la loi de T 1. 1.a. Soi R +. 1.a.i. Pour (a, b) (R + ) 2 fixés, a < b, que représene la quanié N b N a? En déduire que M = N +s N s. 1.a.ii. Monrer que l événemen [T 1 ] es la réunion des événemens [(T n s) (s < T n+1 s + )] lorsque n parcour N. 1.a.iii. Soi n N. Jusifier que T n e U n+1 son indépendanes ; déerminer la loi du couple (T n, U n+1 ). Monrer que P[(T n s) (s < T n+1 + s)] = λ n+1 A (n 1)! xn 1 e λ(x+y) dxdy. où A = {(x, y) R 2, x s, s x < y s + x}, e calculer cee probabilié. 1.b. En déduire que T 1 sui une loi exponenielle de paramère λ. 1.c. On admera que ce résula enraîne que pour ou n, T n a la même loi que T n, e que M a même loi que N pour ou. Cee dernière propriéé es appelée absence de mémoire. Pourquoi? C.2. paradoxe du bus

3 On s inéresse à la quanié égale au emps écoulé enre le passage du dernier bus avan l insan s d arrivée de l employé e l insan s si au moins un bus es passé, égale à s sinon. On admera que es une variable aléaoire réelle. 2.a. Pour ou, que représene la quanié T N? Monrer que = s T Ns. 2.b. à quoi correspond l événemen [ = s]? Monrer que P[ s] = 1. 2.c. Calculer P[ = s]. Monrer que n es pas une variable aléaoire à densié. 2.d. Pour ], s[, monrer que < si e seulemen si N s N s 1. En déduire P[ < ]. En déduire que P( = ) =. 2.e. Donner la foncion de répariion F de. Monrer que F es dérivable sur ], s[, e que sa dérivée es prolongeable par coninuié sur [, s]. On noera g le prolongemen ainsi obenu. 2.f. On admera que possède une espérance donnée par la formule E( ) = g() d + sp[ = s]. Calculer cee espérance. 2.g. Monrer que, pour ou n N, E( ) + E(U 1) > E(U n ). En quoi ce résula es-il paradoxal? Ce résula es courammen appelé paradoxe du bus.

4 Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST2 Mahémaiques 213/214 Correcion DM 13 Correcion Ex. Parie B Modélisaion du passage des bus On défini enfin la foncion de compage N de la façon suivane : pour ou R +, N es le nombre de bus qui son passés à l arrê dans l inervalle [, ]. B.1. 1.a. Soi R +. 1.a.i. N = si e seulemen si aucun bus n es passé à l arrê dans l inervalle [, ], i.e. si e seulemen < T 1 vu que T 1 es l insan de passage du premier bus. 1.a.ii. Si n N, N = n équivau au fai que, avan (sens large) l insan, les n premiers bus son passés alors que le n+1-ième n es pas encore passé. Comme T n es l insan de passage du n-ième bus e T n+1 es l insan de pssage du n + 1-ième, ceci équivau à T n < T n+1. 1.b. Tracer le graphe de N pour 3, 5 e des valeurs U 1 = 1, U 2 =, 5, U 3 = 1, 5, U 4 =, 25, U 5 = 1. Avec ces valeurs de U i, on a, sachan que T =, T 1 = 1, T 2 = 1 +, 5 = 1, 5, T 3 = T 2 + U 3 = 1, 5 + 1, 5 = 3, T 4 = T 3 + U 4 = 3 +, 25 = 3, 25, T 5 = T 4 + U 5 = 3, = 4, 25. Il s agi de racer le graphe de N décrie dans le ableau suivan T = T 1 = 1 T 2 = 1, 5 T 3 = 3 T 4 = 3, B.2. Soi R + fixé e soi n N. On admera que N es une variable aléaoire réelle discrèe e on s inéresse ici à sa loi. 2.a. On a T n = n k= U k. Comme les variables aléaoires (U n ) n 1 son muuellemen indépendanes e suiven la même loi exponenielle de paramère λ, on a d après A T n γ(n, λ) 2.b. N n signifie que avan (sens large) l insan, au moins n bus son passés. Ceci équivau au fai que les n premiers bus son passés avan l insan sans préjuger de ce qui se passe pour les suivans, cela équivau donc au fai que l insan de passage du n-ième bus es, i.e à T n. On a donc, en ulisan la loi de T n, 2.c. On a, pour n N, Par ailleurs, pour n =, P[N n] = P[T n ] = λn x n 1 e λ.x dx P[N = n] = P[N n] P[N n + 1] = P[T n+1 > ] P[T n > ] = λn+1 = λn = λn x n e λ.x dx λn (λ.x n n.x n 1 )e λ.x dx = λn [ x n.e λ.x ) ] + = (λ.)n e λ. P[N = n] = P[T 1 > ] = λ x n 1 e λ.x dx d(x n.e λ.x ) dx e λ.x dx = e λ. = (λ.)n e λ. e donc N sui la loi de POISSON de paramère λ.. B.3. 3.a. Soi n N. Sachan que N = n, la loi du nombre de bus à desinaion A es une loi binomiale de paramères n e p. On a donc pour k n, ( ) n P[A = k N = n] = p k (1 p) n k k dx

5 e, pour k > n, P[A = k N = n] =. De façon plus calculaoire, Appelons G k la variable aléaoire valan 1 si la desinaion du k-ième bus arrivan à l arrê es A e sinon. D après l enoncé P(G k = 1) = p e P(G k = ) = 1 p L hypohèse d indépendance indique (G k ) k 1 es une famille de variables de BERNOULLI indépendanes e A = N k=1 G k. La loi condiionnelle de A sachan N = n es la loi de n k=1 G k, c es à dire la loi binômiale précédemmen évoquée. 3.b. Bref, pour k N, par la formule des probabiliés composées (cas dénombrable), puis en uilisan la probabilié condiionnelle ou juse éablie e la loi de N, + P[A = k] = P[A = k N = n]p[n = n] = e ( n )p λ. k n k (λ.)n (1 p) k n= n=k = e λ k! pk (n k)! (1 p)n k (λ.) (n k)+k n=k Après décalage d indice e reconnaissance la série exponenielle e donc P[A = k] = e λ. 1 k! pk (λ.) k + n = 1 n (1 p)n (λ.) n! = e λ. 1 k! pk (λ.) k e (1 p)(λ.) = e λ.p. 1 k! (p.λ.)k Ce qui monre que A es disribuée suivan une loi de POISSON de paramère p.λ.. Remarque : De façon symérique, B es disribuée suivan une loi de POISSON de paramère (1 p).λ.. Parie C Absence de mémoire Dans cee parie, on fixe un insan s R +. Pour des raisons d éude saisique, un employé de la compagnie de bus se pose chaque jour à l insan s à l arrê éudié e noe les heures de passage des bus à parir de ce insan. On appelle U 1 le emps que ce employé aend avan de voir passer un premier bus, puis U 2, U 3, ec... les inervalles de emps enre les passages de chacun des bus suivans. On pose T 1 = U 1 e plus généralemen, pour ou n N, T n = n k=1 U k. Enfin, on défini une nouvelle foncion de compage M, de sore que, pour ou R +, M représene le nombre de bus que l employé a vu passer à l arrê au bou d un emps à parir de son arrivée à l insan s, c es-à-dire dans l inervalle ]s, s + ]. Les variables N, T n, U n inervenan dans la suie de cee parie son définies dans la parie B. C.1. On cherche à déerminer la loi de T 1. 1.a. Soi R +. 1.a.i. Pour (a, b) (R + ) 2 fixés, a < b, la quanié N b N a es le nombre de bus passés pendan l inervalle ]a, b]. Le nombre M de bus que l employé voi donc passer enre son arrivée à l insan s e l insan + s es donc N +s N s. 1.a.ii. L événemen [T 1 ] marque le fai que le premier bus vu par l employé es passé avan l insan + s. Si ce bus es le n + 1-ième de la journée (pour un cerain enier naurel n, cela signifie donc que T n s (le n-ième bus es passé avan l arrivée de l employé) e s < T n+1 (le n+1-ème bus es vu par l employé) e T n+1 s+ (il es vu avan l insan +s). L évenemen le premier bus vu par l employé pore le numéro n+1 e ceci se déroule avan l insan +s es donc [(T n s) (s < T n+1 s+)]. Comme on ne conrôle par le nméro de bus vu, celui-ci peu porer un numéro enier quelconque e donc l événemen l employé a vu son premier bus avan l insan + s se reformule 1 en «il exise un bus (poran un cerain numéro n + 1) el que ce bus es le premier vu par l employé e ceci s es déroulé avan l insan + s». Le quanificaeur exiseniel se radui en une réunion. (T 1 ) = n N [(T n s) (s < T n+1 s + )] 1.a.iii. Soi n N. T n es foncion de U 1,..,U n (c es leur somme e, comme, (U 1,..., U n+1 es une famille de v.a indépendanes, T n e U n+1 son indépendanes (lemme des coaliions) Le couple (T n, U n+1 ) es donc un couple à densié sur R 2, une densié en es, par indépendance, (τ, u) φ λ,n (τ) }{{}. φ λ,1 (u) }{{} densié de T n en τ densié de U n+1 en u P[(T n s) (s < T n+1 + s)] = P[(T n s) (s < T n + U n+1 + s)] = ϕ λ,n (τ).ϕ λ,1 (u) dτdu B 1. ce n es pas de la grande liéraure!

6 où B = {(τ, u) R 2, τ s, s < τ + u < + s}, soi en réécrivan en subsiuan x à τ, y à u e en remarquan que ϕ λ,n (x) = pour x <, ϕ λ,1 (y) = pour y < P[(T n s) (s < T n+1 + s)] = A λ n xn 1 e λ.x.λ.e λ.y dxdy où A = B {(x, y) R 2, x, y } = {(x, y) R 2, x s, s < x + y < + s, y} es finalemen l ensemble proposé par l énoncé. Calculons cee inégrale : on a P[(T n s) (s < T n+1 + s)] = = = λ n+1 λ n+1 λ n 1.b. On a donc, pour, par la formule des probabiliés oales, P[T 1 ] = + n= λ n s n = 1 e λ. λ n x= x= x= ( +s x y=s x ) x n 1 e λ.x e λ.y dy dx x n 1 e λ.x ( +s x y=s x ) e λ.y dy dx x n 1 e λ.x ( e λ.(s x) e λ.(+s x)) dx ( = x n 1 e λ.s e λ.(+s)) dx x= = λn s n (e λ.s e λ.(+s)) (e λ.s e λ.(+s)) = e s.λ ( e λ.s e λ.(+s)) On voi finalemen que la foncion de répariion de T 1 es celle d une loi exponenielle de paramère λ. En déduire que T 1 sui une loi exponenielle de paramère λ. 1.c. En observan la répariion des arrivées des bus, on ne peu déerminer quand à commencé le processus, puisque ces observaions on même lois que l on commence à l insan ou à un insan s ulérieur. C es p ê bien ça, l absence de mémoire, ne pas savoir quand les choses on commencé? C.2. paradoxe du bus On s inéresse à la quanié égale au emps écoulé enre le passage du dernier bus avan l insan s d arrivée de l employé e l insan s si au moins un bus es passé, égale à s sinon. On admera que es une variable aléaoire réelle. 2.a. Pour, si N >, N es le numéro du dernier bus passan avan(au sens large) l insan. La quanié T N es donc l insan de passage du dernier bus avan l insan e T N es donc, à l insan la durée écoulée depuis le passage du dernier bus, s il y en a un. Si N =, cela signifie qu aucun bus n es passé avan l insan e T N = T =, dans ce cas N T =. Pour = s, ce que nous venons de dire monre que = s T Ns. 2.b. [ = s] signifie que T Ns =, ce qui signifie qu aucun bus n es passé avan l insan s. On a P[ s] = P[T Ns ] = 1 car T Ns es une v.a à valeurs posiives. 2.c. On a, la dernière ligne éan due au calcul de la foncion de répariion de la variable T 1, exponenielle de paramère λ >. P[ = s] = P[T Ns = ] = P[T 1 > s] = e λ.s > On en dédui que n es pas une variable aléaoire à densié, car pour une elle v.a. la probabilié d égalié à une valeur fixée es oujours nulle. Remarquons que n a aucune raison d êre une variable discrèe!! il y a des v.a. don la loi es un mélange discre/à densié, considérer par exemple, pour X une v.a normale cenrée, réduie à la loi de X + = max(x, ). 2.d. Soi ], s[, < équivau à T Ns > s, i.e l insan de passage du dernier bus avan l insan s es sricemen plus grand que s. Cela signifie exacemen qu il y a eu au moins un bus don l insan de passage es dans l inervalle ]s, s]. ce qui équivau à N s N s 1 car N s N s es exacemen le nombre de bus passés au cours de ce inerval emporel cf quesion C.1.a.i. On a donc, cf quesion C.1.a.i pour la définiion de M e la propriéé d absence de mémoire qui perme de gérer la légère variane e de remplacer M par N. P[ < ] = P[N s N s 1] = P[M 1] = P[N 1] = 1 P[N = ] = 1 e λ.

7 Soi l N, suffisammen grand pour que < 1 l < + 1 l < s. On a P[ = ] P[ 1 l < + 1 l ] P[ < + 1 l ] P[ < 1 l ] = e λ( 1 l ) e λ(+ 1 l ) e λ. (e +λ( 1 l ) e λ( 1 l ) ) Ceci es valable lorsque l + e, comme le membre de droie de l inégalié end vers dans ce cas, que le membre de gauche es minoré par (c es une probabilié), on en dédui que P( = ) =. 2.e. La foncion F es définie, pour R par F () = P[ ]. Résumons ce que nous avons obenu 1. F (s) = 1 e donc F () = 1 pour ou s. (quesion C.2.b) 2. F () = 1 e λ. si ], s[. (quesion C.2.d, qui perme de dire que P[ ] = P[ < ] + P[ = ] = P[ < ]) 3. La foncion F, foncion de répariion, es croissane,. Du poin précéden, on dédui que lim + F () =. On a donc, pour ou, F () =. (Là encore le hm des gendarmes) La formule donnée monre clairemen que F es dérivable sur ], s[ avec, pour ], s[, F () = λ.e λ. Pour suivre l énoncé, il suffi de poser g() = λ.e λ. pour [, s] : on défini de la sore une foncion coninue sur [, s] valan F sur ], s[. 2.f. On a, en uilisan la formule donnée e C.2.c E( ) = g() d + sp[ = s] = λ. Calculons l inégrale à l aide d une inégraion par paries, on a }{{} v(). } λ.e {{ λ. } d = [.e λ.] =s u () = s.e λ.s 1 λ + e λ. d = [ e λ. ] =s e λ. d + s.e λ.s = = s.e λ.s 1 λ ( e λ.s 1 ) e donc E( ) = 1 λ ( 1 e λ.s ) 2.g. Pour n N, E(U n ) = 1 λ = E(U 1), c es l espérance d une variable exponenielle de paramère λ. Comme E( ) >, on a bien E( ) + E(U 1) > E(U n ). Ce qui es éonnan, c es que + U 1 es l écar emporel enre le dernier bus non vu par l employé e le premier qu il voi. Il s agi donc de U Ns+1. On vien de monrer que, pour ou n, E(U Ns+1 ) > E(U n ) Cela peu sembler paradoxal car après ou N s+1 es l un des eniers... Ce résula es courammen appelé paradoxe du bus. Le paradoxe de l auobus habiuel (on en rouve plein d explicaions semi convaincanes sur qui-vous-savez) es pluo le fai que E(U 1) = E(U n ) = 1 λ. Il peu semble curieux que l espérance du emps d aene soi la même que l espérance de l écar enre deux passages. C es, on l a vu, le phénomène d absence de mémoire qui es responsable de cela.