DEVOIR D'ENTRAÎNEMENT N 9

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1 DEVOIR D'ENTRAÎNEMENT N 9 Problème 1 : Étude du comportement routier d'une automobile L amortisseur est un des éléments mécaniques essentiels de la voiture en matière de sécurité. En effet, il permet de maintenir vos roues en contact avec le sol et assure la tenue de route du véhicule. On se propose de modéliser une suspension automobile pour ensuite étudier son comportement sur une route difficile. Une analogie électrique permettra ensuite de déterminer les équivalents au modèle mécanique. Obj A. Réglage des amortisseurs de la voiture La suspension d une automobile est habituellement assurée par quatre systèmes identiques indépendants montés entre le châssis du véhicule et chaque arbre de roue, et constitués chacun : - d un ressort métallique hélicoïdal, de constante de raideur k et de longueur à vide L 0, exerçant une force de rappel qui s'écrit : T = k (L (t) L O ) e z - d un amortisseur tubulaire à piston à huile fixé parallèlement au ressort, exerçant une force de frottement fluide de coefficient d amortissement a qui s'écrit : R F = a( d z C dt d z A ) e dt z On suppose que la masse M du châssis est également répartie entre les quatre systèmes. De ce fait une suspension n agit que sur le quart de la masse totale du châssis. figure 1 : Modélisation de la suspension Les pneus, de rayon extérieur R, sont considérés comme entièrement rigides et n interviennent pas dans l étude. Les déplacements verticaux seront comptés algébriquement vers le haut ( e z est le vecteur unitaire vertical) Après avoir traduit la condition d'équilibre mécanique pour le système étudié, montrer que la longueur L éq des ressorts au repos s'écrit : L éq =L 0 M g 4 k 1.2. En déduire la «garde au sol» z 0 du véhicule. Lors d un essai dynamique à vide, le châssis est abaissé d une hauteur h, puis brusquement libéré sans vitesse initiale Établir l équation différentielle de la position verticale z(t) du châssis par rapport au sol sous la forme : α, β et δ étant des constantes telles que α= 4 a M, d 2 z dt +α d z +β z=δ 2 dt β= 4k M, δ= 4k M z 0

2 On usine l amortisseur de manière à obtenir un régime critique de retour à l'équilibre Justifier ce choix. Quelle doit être alors la valeur de α en fonction de β? En déduire celle de a en fonction de M et k Déterminer alors l expression complète de la solution z(t) en fonction de z 0, h et ω 0 =2 k M 2.4. Tracer avec soin le graphe z(t). On prendra pour échelle z 0 = 1, h = z 0 / 4, ω 0 = Tracer et justifier l'allure de la trajectoire de phase dans le plan ( d z dt, z). On effectue de nouveau le même essai (c est-à-dire avec les mêmes conditions initiales), mais cette fois on fait un essai en charge nominale : le véhicule contient quatre masses identiques m également réparties sur les quatre systèmes {ressort-amortisseur}. A cause de cette masse m au niveau de chaque suspension, la «garde au sol» n est plus z 0 mais z 0. De même la longueur correspondante du ressort à l'équilibre n est plus L e mais L e Comment est modifiée l équation du mouvement? L écrire sous la forme : d 2 z dt 2 +α ' d z dt +β ' z=δ ' (E 1 ) α' β' et δ' étant des constantes telles que α'= 4a M +4 m, β'= 4 k M +4 m, δ'= 4 k M +4m z Quel est alors le nouveau régime d amortissement? Justifier en calculant le discriminant de l'équation caractéristique associée à l'équation (E 1 ) Tracer et justifier l allure de la nouvelle trajectoire de phase Déterminer l expression de la pseudo-période T des oscillations autour de la position d équilibre final en fonction de k, M et m On souhaite obtenir T = π 3 s pour M = kg et m = 100 kg. En déduire la valeur de la constante de raideur k puis du coefficient d'amortissement a. B. Conduite sur route ondulée On étudie maintenant le comportement sur une route difficile du véhicule avec ses quatre passagers de masse m chacun (soit une masse m et le quart de la masse M du châssis pour chaque suspension). z 0 = s 0 représente toujours la garde au sol du châssis chargé par 4m sur un sol horizontal. On modélise la route rectiligne dans la direction x par un sol ondulé sinusoïdalement autour de la côte de référence horizontale 0 suivant la relation : e(x)=e m cos(γ x) 4.1. Exprimer la distance (période spatiale) λ entre deux bosses en fonction de γ? 4.2. Quelle est la pulsation ω des oscillations verticales imposées aux roues si le véhicule roule à une vitesse constante V?

3 Remarquons que sur le schéma et dans l énoncé, la cote z par rapport à l horizontale est désormais notée s. On repère désormais le châssis par sa position s(t) par rapport à la côte de référence 0 liée au référentiel terrestre supposé galiléen. On montre que l'équation différentielle vérifiée par s(t) du châssis est de la forme : d 2 s dt 2 +α' d s dt +β' s= f +δ' (E 2 ) telle que α'= 4a M +4 m, β'= 4 k M +4 m, δ '= 4 k M +4 m z' 0 et f =α' d e dt +β' e Il convient dès lors d'étudier le régime sinusoïdal forcé (RSF) Rappeler les caractéristiques d'un tel régime. figure 2 : Profil de route ondulé On utilise la représentation complexe : e=e m e j ω t s étant la solution de l équation : et s=s m e j ωt d 2 s dt 2 +α' d s dt +β' s= f avec f =α' d e dt +β' e 5.2. Expliquer pourquoi on ne tient pas compte du terme δ dans l'équation (E 2 ) pour étudier les oscillations du châssis autour de sa position d équilibre s Exprimer l amplitude complexe s m des oscillations du châssis en fonction de e m,ω, α et β puis l écrire 1+ j Ω sous la forme : s m =e Q m 1 Ω 2 + j Ω Q où Ω= ω ω' 0 est la pulsation réduite ω ' 0 et Q sont des constantes que l'on exprimera en fonction de α et β puis de a, k, M et m En déduire l amplitude (réelle) s m des oscillations en fonction de Ω et Q. Que vaut-elle si Ω = 1? 5.5. Montrer que s m atteint un maximum s max pour une pulsation réduite Ω max que l on déterminera en fonction de Q Calculer Q, Ω max ainsi que le rapport cherchera pas à démontrer). s max e m défini par le rapport = s max 1 e m 1 Ω max 4 (rapport que l'on ne 5.7. Tracer l'allure du graphique donnant le rapport 5.8. Calculer la pulsation propre ω 0. s m e m en fonction de Ω dans la plage 0 Ω 10. En déduire la distance λ m entre les ondulations du sol provoquant la résonance des oscillations du châssis si le véhicule roule à une vitesse V de 90 km.h 1. Comment réagit le châssis sur des déformations plus rapprochées passées à la même vitesse?

4 C. Analogie électrique Le comportement du véhicule peut être simulé par un circuit électrique. On se propose, ici, d étudier celui qui représente au mieux la réponse harmonique du véhicule sur route dégradée de la partie B Rappeler les équations différentielles reliant le courant u(t) et l intensité i(t) dans chacun des trois dipôles ci-dessous En déduire les relations entre leurs amplitudes complexes U et I en régime sinusoïdal de pulsation ω imposée. On pourra pour cela poser : i= I e j ω t et u=u e j ωt Le circuit ci-dessous est alimenté par un générateur de tension idéal délivrant une tension sinusoïdale u E =U E e j ω t de pulsation ω Déterminer l impédance équivalente Z de ce circuit Montrer que la fonction de transfert de ce filtre se met sous la forme : U 1+ j Ω s Q = U e 1 Ω 2 + j Ω Q où Ω= ω ω 0 est la pulsation réduite ω 0 une pulsation propre et Q un rapport dont on déterminera les expressions en fonction de R, L et C Déterminer la nature du filtre par une étude en Basses fréquences et en hautes fréquences. Pour préciser l analogie électrique au modèle mécanique, il faut établir l équivalence des paramètres mécaniques m+ M 4, k, a et électriques R, L, C Quelle est la puissance moyenne dissipée dans la résistance R en fonction de l amplitude U e, R, L,C et ω? 8.2. On note V e l amplitude de la vitesse d e dt verticale de la roue dans la partie B.2. due à la déformation sinusoïdale de la route, et V s celle de la vitesse ds dt du châssis. On donne également l expression de la puissance moyenne dissipée par frottement dans l amortisseur en fonction de a, k, M et m : P f = 1 2 a V 2 ω 4 e (β ' ω 2 ) 2 +α' 2 ω 2 En comparant les expressions des deux puissances moyennes, ainsi que celles des deux fonctions de transfert B.5.3. et C.7.2., déterminer les équivalents électriques de a, k, m+ M 4 et V s.

5 Problème 2 : Étude d'un appareil photo jetable Les appareils photos jetables sont conçus pour ne servir qu une seule fois. Ils sont donc de conception très simple afin que le prix de revient soit le plus bas possible. Nous étudions l optique de tels appareils. L objectif n est composé que d une seule lentille mince (L), de diamètre utile D L, et la pellicule se situe à une distance d fixe de la lentille (figure 1). Aucune mise au point n est possible, c est-à dire que la distance d est fixée lors de la fabrication et n est pas modifiable par l utilisateur. Nous travaillerons dans les conditions de Gauss. 1. Éléments expérimentaux Figure 1 Schéma de l'appareil photo jetable 1.1. Rappeler en quoi consistent les conditions de Gauss ainsi que leurs avantages et leurs inconvénients Comment fait-on en pratique pour travailler dans les conditions de Gauss? 1.3. En fonctionnement usuel, les objets et les images données par (L) sur la pellicule sont réels. En s intéressant à la nature convergente ou divergente du faisceau incident et du faisceau émergent, déterminer la nature convergente ou divergente de la lentille (L) servant d objectif. Par la suite sa distance focale image sera notée f ' 2. Mise au point à l'infini L objet à photographier étant situé à l infini, déterminer la valeur de la distance d qu il faut prévoir lors de la fabrication pour que son image soit nette sur la pellicule. 3. Taille de l image sur la pellicule 3.1. Quelle est alors la dimension X, sur la pellicule, de l image de la Lune qui a un diamètre apparent α (on pourra s aider d une construction géométrique pour répondre) Faire l application numérique avec f ' = 3,0 cm et α = 0,5 4. Un objet ponctuel A, qui n est pas situé à l infini, a son image en dehors du plan de la pellicule et donne sur la pellicule une tache de diamètre D A' Soit d A la distance entre le point A et la lentille (d A est une distance positive, cf Figure 2) 4.1. Exprimer OA' en fonction de f ' et d A 4.2. Montrer que l expression de D A' en fonction de D L (diamètre utile de la lentille), f ' et d A est : D A' =D L. f ' d A 5. La pellicule est formée de grains que l on supposera circulaires et de même diamètre ε.

6 Une image, après développement de la pellicule, paraît nette si un point objet n a éclairé qu un seul grain et a donc donné, sur la pellicule, une tache de diamètre inférieur ou égal à ε. Sachant que f ' = 3,0 cm, que D L = 2 mm (partie utile de la lentille) et que ε = 20 μm, calculer numériquement la position A (d A ) du point le plus proche qui est encore net après développement. 6. Afin de pouvoir diminuer d A, on augmente, lors de la fabrication, la distance d afin qu un point à l infini soit à la limite de netteté (il donne donc une tache de diamètre ε sur la pellicule) Faire un schéma du dispositif montrant la tache donnée par l objet à l infini Déterminer d et faire l application numérique Déterminer la nouvelle distance d A correspondant au point le plus près donnant lui aussi une tache de diamètre ε sur la pellicule et faire l application numérique Quel est l effet sur d A (c est-à-dire sur la profondeur de champ de l appareil) si on diminue le diamètre D L de la lentille? Pourquoi n est-ce pas nécessairement une bonne idée? Figure 2 Point objet donnant une tache sur la pellicule