La fourniture de biens et facteurs publics en présence de ménages et d entreprises mobiles

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1 La fournture de bens et facteurs publcs en présence de ménages et d entreprses mobles Pascale Duran-Vgneron évrer 007 Le modèle On suppose un pays drgé par un gouvernement central ayant compétence sur l ensemble du terrtore, et composé de deu régons, chacune étant gérée par un gouvernement régonal. Il n este pas de len hérarchque entre les d érents nveau de gouvernement. Le pays est composé de ménages et d entreprses parfatement mobles. Les entreprses se partagent la producton d un même ben prvé. Les ménages travallent, détennent une part égale de chaque entreprse et sont proprétares de toute la terre du pays. Chaque régon dspose d une quantté e de terre L et son gouvernement local fournt un ben publc z à ses résdents et un facteur publc g à ses entreprses, leur producton étant nancée par un ensemble d mpôts. On suppose par alleurs l absence d e ets de débordement. Dans ce modèle, l s agra pour les gouvernements locau supposés benvellants de chosr smultanément leurs nveau de ben publc, de facteur publc et d mpôts en cherchant à mamser l utlté de leurs résdents. Ans, les ménages et les entreprses étant mobles, ce modèle va fare appaître des nteractons stratégques entre les régons, ce qu pose la queston de l estence d un équlbre de Nash e cace.. Les ménages Chaque régon comporte n M ménages homogènes, avec n M n M =. Le ménage représentatf de la régon est caractérsé par la foncton d utlté: U = U( ; z ). représente le nveau de consommaton de bens prvés et z l o re de ben publc local. Le ben prvé est le ben numérare. La foncton d utlté est deu fos d érentable et satsfat les hypothèses standard. L équlbre de localsaton est attent lorsque U( ; z ) = U( ; z ). Les revenus des ménages provennent en parte de la détenton de terre. L ensemble des ménages du pays détennent une part égale de la terre de chaque régon. La rente foncère est soumse à une tae locale proportonnelle t pour la terre stuée dans la régon. r est la rente untare brute de la régon.

2 Chaque ménage est également doté d une unté de traval dont l o re est nélastque et s e ectue dans la régon de résdence. Il reçot un salare w ans qu un revenu provenant de la détenton du pro t des entreprses. Tous les ménages sont proprétares d une part égale de chaque entreprse et reçovent à ce ttre une part égale de leur pro t après mpôt : Les ménages de la régon supportent un mpôt local forfatare M. La contrante budgétare d un ménage moble de la régon est donc dé ne par: = w ( t j )r j L j ( t )r L (ne n E ) M () avec n E le nombre d entreprses localsées dans la régon.. Les entreprses Le pays comprend un nombre e N E d entreprses, avec N E = n E n E. Toutes les entreprses utlsent la même technologe et sont caractérsées par la foncton de producton = (l ; n ; g ). Au sen d une même régon, la man-d oeuvre et la terre sont répartes de manère équvalente entre les rmes, c est-à-dre n = nm n E et l = L. Les entreprses dsposent également d un facteur publc local g comme n E trosème facteur de producton. La foncton de producton est deu fos dérvable et concave en l et n. Après avor rémunéré le traval et la terre, chaque rme dot également s acqutter d un mpôt local forfatare lé au leu de résdence E. Le pro t après mpôt d une rme de la régon s écrt alors = r l w n E n = w.. Par alleurs, les rmes cherchant à mamser leur pro t, on a: l L équlbre de localsaton est donné par =. = r et.3 Les gouvernements locau Chaque régon o re un ben publc local et un facteur publc local dont les coûts de fournture respectfs sont: C (z ; n M ) et H (g ; n E ). Ces coûts sont eprmés en untés de ben prvé et varent postvement d une part avec le nveau du ben ou du facteur local ( C 0 et H 0) et d autre part avec z g le nombre d usagers, ce sont les coûts de congeston ( C 0 et H 0). Pour nancer ces dépenses, chaque gouvernement local dspose des deu mpôts forfatares M et E dé ns précédemment, et de la tae proportonnelle sur la rente t. Le montant de cette dernère est plafonné au nveau t <. La contrante budgétare du gouvernement local de la régon est alors donnée par: n M n M M n E E t r L = C (z ; n M ) H (g ; n E ) () n E Le modèle ans dé n, la queston est de savor s la concurrence nterrégonale en présence de ménages et d entreprses mobles peut aboutr à une allocaton e cace des ressources. Cette allocaton est dé ne dans la secton suvante.

3 L allocaton e cace On dé nt l allocaton e cace des ressources en consdérant l estence d un plan cateur socal benvellant dont le programme est donné par: sous les contrantes: ma ;z ;g ;n M ;ne U ( ; z ) (3) X n E ( L n E ; nm n E U ( ; z ) = U ( ; z ) (4) n M n M = 0 (5) N E n E n E = 0 (6) ; g ) n M C (z ; n M ) H (g ; n E ) = 0 (7) D après l équaton (3), le plan cateur socal mamse l utlté d un ménage représentatf de la régon, en tenant compte de la condton d équlbre de localsaton des ménages (équaton (4)). Les contrantes (5) et (6) stpulent que les ménages et les rmes dovent nécessarement se localser dans l une des deu régons. En n l équaton (7) représente la condton d équlbre sur le marché des bens. Les condtons du premer ordre donnent: n M Uz = Cz (8) n E g = H g (9) n C n = n C n (0) l l n n H n = l l n n H n () U k correspond à l utlté margnale du ben k pour un ménage résdant dans la régon et C z représente le coût margnal de producton du ben publc. Ans l équaton (8) correspond à la règle de Samuelson: le nveau de fournture du ben publc est e cace dès lors que la somme des tau margnau de substtuton est égale au coût margnal de producton du ben publc Cz. k correspond à la productvté margnale du facteur de producton k dans la régon. L équaton (9) peut alors être assmlée à une régle de Samuelson pour la fournture du facteur publc: la somme des productvtés margnales du facteur publc dot être égale au coût margnal de producton du facteur publc Hg: Les équatons (0) et () nous donnent les condtons d allocaton e cace du traval et des entreprses entre les deu régons. Ans, d après l équaton (0), le béné ce socal net pour une régon d accuellr un ménage supplémentare dot être le même dans les deu régons, le béné ce provenant de sa productvté margnale n et le coût étant lé à sa consommaton de ben prvé et au coûts de congeston qu l engendre, Cn. En ce qu concerne les entreprses, l équaton () stpule de manère smlare que le béné ce socal 3

4 net pour une régon d accuellr une entreprse supplémentare dot s égalser entre les régons, le béné ce étant le pro t brut et le coût provenant de la congeston sur le facteur publc. 3 L équlbre concurrentel L allocaton optmale des ressources ans dé ne, la queston est de savor s deu gouvernements locau chosssant leur poltque smultanément parvennent à ce résultat. En combnant les contrantes budgétares () et (), on obtent: = n M " n E nm h ( t j ) j l L j n E j j n M j ( t ) l L n E C H # () Chaque décdeur publc local a pour objectf la mamsaton de l utlté du ménage représentatf par rapport E,t,z et g, étant donné E,t,z et g (équlbre de Nash) Le programme du gouvernement local est le suvant: ma E ;t;z;g;nm ;ne U ( ; z ) (3) sous les contrantes: t t 0 ( ) U ( ; z ) = U ( ; z ) ( ) = ( 3) avec et satsfasant l équaton () et en utlsant n M = n M et n E = N E n E d après les équatons (5) et (6). On constate que n M et n E font parte des varables de contrôle du gouvernment local. C est pourquo les contrantes relatves au condtons d équlbre de localsaton ont été ajoutées. Une procédure alternatve aurat été d utlser les condtons d équlbre pour détermner n M et n E comme des fonctons E,t,z et g et de consdérer alors n M et n E comme des varables endogènes. Cependant, la technque utlsée c permet de smpl er les calculs. correspond au multplcateur de Lagrange applqué à la premère contrante du programme de mamsaton de la régon portant sur t. et 3 sont les multplcateurs de Lagrange assocés respectvement au deuème et trosème contrantes, à savor les condtons d équlbre de localsaton des ménages et des entreprses. 4

5 Pour la régon, les dérvées du lagrangen L nous donnent: L E = n M n M n E n M n M n E 3 = 0 (4) L = t n M n M l L n M n M l L = 0 (5) L = z n M n M U z U C z = 0 (6) L = g n M n M n M n E g H g ( t ) lgl n E n M ( t ) lgl n E g 3 = 0 g g (7) L n M L n E = U = n M n M n M n M = U = n M n M n M U n M 3 n M n M n Cn U n M n Cn U n M ( t ) l L n E n E n M n M n E n M n M n M ( t ) l n M ( t ) l L n E ( t ) l L n E 3 3 n E n E l l n n Hn U n M n M ( t ) l L n E n M n M n M nm n E 3 n E L n E n M l l n n Hn n M ( n E t ) l n E L n E = 0 n E (8) n M = 0 n M (9) n E L = t t 0 0 et L = 0 (0) L = U U = 0 () L = = 0 3 Il convent à présent de combner ces d érentes condtons du premer ordre a n de détermner l équlbre de Nash. () 5

6 On eprme tout d abord 3 à partr de l équaton 9 et on le remplace par son epresson dans l équaton 8. On utlse alors cette dernère équaton pour eprmer. Par alleurs, avec 0, d après l équaton 5 on a: n M n M 0. Sachant que X = X et X = X avec X = ou ; en njectant dans cette dernère n E n E n M néquaton l epresson trouvée pour, on trouve: n M U n M n M n M n E n M n E n E n E n M n M n M n M n E n E n E n E U n M n M n M n M 0 (3) 3 est négatf. On suppose que l équlbre de localsaton est stable ce qu mplque que le dénomnateur de l epresson On a alors: n M n M n M n E n M n E n E n E n M n M n M n M 0 (4) La résoluton du programme de mamsaton de la régon donne le résultat symétrque: n M n M n M n E n M n E n E n E n M n M n M n M 0 (5) Ans, dès lors que > 0 pour = ou, l n este pas d équlbre de Nash. L équlbre de Nash nécesste donc = = 0. Les condtons du premer ordre donnent alors: n M U z U = C z pour = ; (6) n E g H g = 0 pour = ; (7) n Cn n Cn = 0 (8) l n n Hn l l n n Hn = 0 (9) On constate que l équlbre de Nash est e cace: aucune nterventon du gouvernement central n est requse.pour attendre l e cacté. Par alleurs, on constate qu à l équlbre de Nash, 3 = 3 = 0. On en dédut que la moblté parfate des ménages su t à assurer l e cacté, que les entreprses soent ou non mobles. 6

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