2 Méthode d Euler. Principe général. Application aux équations différentielles. 0 i < N, f f(t. 0 i < N, t i = a+idt.

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1 2 Méhode d Euler I Principe général 1 Considérons une foncion f définie sur un segmen [a, b] 11 On représene la foncion f par un échanillon de ses valeurs : Y = [ f( 0,, f( N 1 ] calculées sur une subdivision du segmen [a, b] : T = [ 0,, N 1 ] où a = 0 < 1 < < N 1 = b 12 Si la foncion f es dérivable, alors 0 i < N, f f( ( i = lim i +h f( i h 0 h On peu donc approcher la valeur de f ( i par un au d accroissemen calculé à l aide de l échanillon Y Trois choi son possibles 13 Tau d accroissemen à droie de i i 1 i i+1 (1 0 i < N 1, f ( i f( i+1 f( i i+1 i 14 Tau d accroissemen à gauche de i i 1 i i+1 (2 0 < i < N, f ( i f( i f( i 1 i i 1 15 Tau d accroissemen smérique i 1 i i+1 (3 0 < i < N 1, f ( i f( i+1 f( i 1 i+1 i 1 2 Tou calcul de valeur approché eige qu on cherche à esimer la qualié de l approimaion 21 Sur les figures précédenes, la corde don la pene es la plus proche de la angene au poin d abscisse i es celle de la méhode [15] 22 Si on peu considérer que le pas de la subdivision : δ = ma 0<i<N i+1 i es pei (en foncion de quelle grandeur de référence?, la formule de Talor Young confirme que la méhode [15] es la plus précise 3 Discréisaion régulière Pour une première approche, on peu supposer que la discréisaion es régulière : on subdivise le segmen [a,b] en N sousinervalles de même longueur de elle sore que d = b a N 0 i < N, i = a+id 31 Pour une discréisaion régulière,on esime la dérivée f par l une des formules suivanes : (4 (5 (6 f ( i f( i+1 f( i, d f ( i f( i f( i 1, d f ( i f( i+1 f( i 1 2d 32 Si la foncion f es deu fois dérivable, on peu alors esimer sa dérivée seconde f par la formule suivane : (7 f ( i f( i+1 2f( i + f( i 1 d 2 pour 0 < i < N 1 33 Si d es pei (par rappor à quelle grandeur de référence?, la formule de Talor Young suggère qu il s agi d une approimaion de bonne qualié, puisque la différence enre f ( i e sa valeur approchée es O(d 2 II Applicaion au équaions différenielles II1 Équaion du premier ordre 4 Problème de Cauch On considère ici une équaion différenielle du premier ordre (linéaire ou non : (8 d d = f( (, e on impose une condiion iniiale au sens où (a = 0, la consane 0 éan choisie La héorie de Cauch-Lipschiz précise des hpohèses sur la foncion f pour que cee équaion admee une, e une seule, soluion sur [a, b]

2 2 Méhode d Euler 5 Eemples 51 Soien ω > 0 e τ = 1 / ω L équaion différenielle es de la forme (8 avec 0, (+ω( = E (, Ê Ê +, f(, = E ω L unique soluion elle que (0 = 0 es la foncion définie par 52 L équaion différenielle es de la forme (8 avec 0, ( = τe [ 1 e ω] Ê, (+2( = 0 (, Ê 2, f(, = 2 L unique soluion elle que (0 = 1 es la foncion [ e 2 ] 6 The underling idea of an rouine for solving he iniial value problem is alwas his: Rewrie he d s and d s in (8 as finie seps and, and mulipl he equaions b This gives algebraic formulasfor he change inhe funcionwhen he independenvariable is "sepped"bone"sepsize" Inhelimiofmakinghesepsize ver small, a good approimaion o he underling differenial equaion is achieved Lieral implemenaion of his procedure resuls in Euler s mehod, which is, however, no recommended for an pracical use Euler s mehod is concepuall imporan, however; one wa or anoher, pracical mehods all come down o his same idea: Add small incremens o our funcion corresponding o derivaives (righ-hand side of he equaion muliplied b sepsize Press, WH; Teukolsk, SA; Veerling, WT & Flanner, BP : Numerical Recipes in C, Second Ediion, Cambridge universi press ( Schéma d Euler Pour racer l allure du graphe de la soluion, il suffi de connaîre un échanillon de valeurs de : Y = [ ( 0,,( N 1 ] 71 D après la condiion iniiale, il fau que ( 0 = 0 72 D après l éude précédene [14], c es-à-dire ( i+1 ( i i+1 i f ( ( i, i (9 ( i+1 ( i + f ( ( i, i d 8 Variane On peu aussi s inspirer de l approimaion [13] pour approcher l équaion différenielle : ( i+1 ( i i+1 i f ( ( i+1, i+1 81 Le schéma d consise à définir des réels i en prenan encore 0 pour valeur iniiale, mais cee fois avec (11 i+1 + f( i+1, i+1 d = i pour relaion de récurrence 82 Si larelaion(10 donne immédiaemenlavaleurde i+1 en foncion de la donnée i e de la valeur déjà calculée i, il en va auremen avec la relaion (11 : il fau résoudre une équaion pour déduire la valeur de i+1 de la donnée i+1 e de la valeur déjà calculée i C es pour cee raison que ce schéma es di implicie 83 Si le schéma implicie (11 es par naure plus difficile à mere en œuvre que le schéma habiuel (10, il es souven plus précis 9 Suie de [51] On compare les approimaions calculées par le schéma d (10 e par le schéma d Euler implicie (11 pour d = 0, puis pour d = 0, en supposan que la discréisaion en emps soi régulière [3] 73 Le schéma d Euler consise alors à définir des réels i en prenan 0 pour valeur iniiale e (10 i+1 = i + f( i, i d pour relaion de récurrence 74 Il fau reser conscien du fai que le schéma d Euler (10 es plus un analogue qu une approimaion de ( Pour cee équaion, les deu méhodes se valen

3 II Applicaion au équaions différenielles 10 Suie de [52] On compare les approimaions calculées par le schéma d (10 e par le schéma d Euler implicie (11 pour d = 0, puis pour d = 0, Cee fois, on peu noer un léger avanage en faveur du schéma d Dans les deu cas, on consae qu une diminuion du pas de emps d se radui par une approimaion de meilleure qualié II2 Ssème du premier ordre 11 En dimension d, un ssème différeniel du premier ordre es un ssème d équaions de la forme 1 ( = f ( 1 1 (,, d (, 2 (12 ( = f ( 2 1 (,, d (, d ( = f ( d 1 (,, d (, où les variaions de chacune des foncions 1,, d dépenden de oues les foncions 12 Un ssème différeniel es découplé quand les variaions de chaque foncion son indépendanes des aures foncions, c es-à-dire : 1 ( = f ( 1 1 (, 2 ( = f ( 2 2 (, d ( = f ( d d (, Il s agi alors simplemen de résoudre d équaions différenielles les unes après les aures 13 Le schéma d Euler associé au ssème différeniel(12 repose sur des relaions de récurrence couplées 1,k+1 = 1,k +( k+1 k f 1 ( 1,k,, d,k, k 2,k+1 = 2,k +( k+1 k f 2 ( 1,k,, d,k, k (13 d,k+1 = d,k +( k+1 k f d ( 1,k,, d,k, k 14 Le schéma d associé à(12 repose lui aussi sur des relaions de récurrence couplées, mais cee fois, il fau résoudre un ssème de d équaions à chaque iéraion (14 1,k+1 ( k+1 k f 1 ( 1,k+1,, d,k+1, k+1 = 1,k 2,k+1 ( k+1 k f 2 ( 1,k+1,, d,k+1, k+1 = 2,k d,k+1 ( k+1 k f d ( 1,k+1,, d,k+1, k+1 = d,k C es long pour un ssème linéaire, ça risque d êre rop long pour un ssème non linéaire! 15 Tradiionnellemen, les soluions d un ssème différeniel ne son pas oues représenéesenfoncion du emps surune même figure mais sous la forme d une courbe dans l espace des phases Par eemple, on représene les soluions 1 e 2 d un ssème de deu équaions : { 1 ( = f 1 ( 1 (, 2 (, par l arc paraméré plan 2 ( = f ( 2 1 (, 2 (, Γ = {( 1 (, 2 (, I } Chaque poin M de la courbe Γ représene un insan I : l abscisse de M donne la valeur de 1 ( e son ordonnée donne la valeur de 2 ( 16 Eemple Pour ce eemple, on abandonne la noaion générale, propre à la dimension d, ( 1 (,, d ( au profi de la noaion usuelle en dimension 2 : ( (,( 161 La soluion du ssème différeniel { ( = 2( + ( ( = ( 2( elle que (0 = 2 e (0 = 0 es définie par Ê, { ( = e + e 3 ( = e e 3

4 2 Méhode d Euler 162 Le ssème à résoudre pour le schéma d es un ssème linéaire indépendan du emps On en dédui la relaion de récurrence suivane k+1 = (1+2d k + d k 1+4d+3d 2 k+1 = d k +(1+2d k 1+4d+3d 2 où d es le pas (consan de emps 163 On compare les approimaions par le schéma d Euler classique e par le schéma d pour d = 0, La foncion scalaire es soluion de l équaion différenielle (15 si, e seulemen si, la foncion vecorielle es soluion du ssème différeniel (16 ( = F ( (, où la foncion F es définie par (17 (,v, Ê 3, F ( (,v, = ( v, f((,v, 173 Dans l espace des phases, la posiion iniiale (0 es un couple : une posiion iniiale 0 (réelle e une viesse iniiale v 0 (réelle (0 = ( (0, (0 = ( 0, v Équaion du pendule harmonique L équaion différenielle (+ω 2 ( = 0 se radui par le ssème différeniel suivan puis pour d = 0,025 (18 { ( = v( v ( = ω 2 ( où v( = ( 181 La soluion eace associée à la condiion iniiale (0 = ( (0, (0 = (1, es définie par ( = cos ω pour ou Ê 182 Le schéma d Euler associé à ce ssème se radui par la relaion de récurrence suivane { k+1 = k + v k d v k+1 = v k ω 2 k d Après résoluion du ssème linéaire, le schéma d Euler implicie se radui par la relaion de récurrence suivane k+1 = k +v k d 1+(ωd 2 v k+1 = v k ω 2 k d 1+(ωd Évoluion de ( en foncion de pour d = 0,1 164 On consae encore que le schéma implicie es légèremen plus précis que le schéma eplicie e qu une diminuion du pas de emps d se radui par une meilleure approimaion de la soluion II3 Équaion du second ordre 17 Espace des phases 171 Une équaion différenielle du second ordre (15 ( = f ( (, (, peu se raduire par un ssème différeniel du premier ordre en dimension deu en inroduisan le veceur ( = ( (, ( don la dérivée s obien en dérivan coefficien par coefficien : ( = ( (, ( Euler eplicie

5 III Limies de la méhode puis pour d = 0, Lorsque le pas de emps passe de d = 0,1 à d = 0,02, les variaions d ampliude son moins nees, mais le comporemen qualiaif rese le même : divergence dans un cas, amorissemen dans l aure Euler eplicie Euler eplicie d/d Tracé dans l espace des phases La soluion éan périodique, elle se radui par une rajecoire fermée dans le plan des phases Cependan, aucun des deu schémas ne condui à une soluion périodique! 191 Le schéma classique donne l impression d un ssème qui diverge (l ampliude des oscillaions augmene avec le emps andis que le schéma implicie donne l impression d un ssème amori (l ampliude des oscillaions diminue avec le emps d/d Euler eplicie III Limies de la méhode 20 La méhode d Euler es simple à mere en œuvre : c es sa principale qualié 201 On consae sur les différens eemples qu une diminuion du pas de emps se radui par une meilleure qualié de l approimaion Cela di, quand on ne connaî pas de formule analique pour la soluion du problème de Cauch, rien ne perme de savoir a priori si un pas de emps choisi es assez pei pour conduire à une approimaion saisfaisane 202 Par ailleurs, plus le pas de emps es rès pei, plus le nombre d iéraions à effecuer pour approcher la soluion sur un inervalle[0, T] es grand Chaque iéraion éan marquée par une erreur d arrondi, on peu craindre que les erreurs d arrondi se propagen eagérémen au cours du calcul 21 Le module scipinegrae conien la foncion odein qui perme de résoudre numériquemen oue équaion différenielle du premier ordre de la forme Y ( = F ( Y(, où Y es une foncion à valeurs vecorielles 211 Bien que reposan sur le même principe que la méhode d Euler [6], la foncion odein produi un résula généralemen fiable e précis 212 Dans le cas où l espace des phases es un plan (comme pour l équaion du pendule harmonique, la commande odein réclame rois argumens : La foncion F de la posiion Y = (,v dans l espace des phases e du emps ; La condiion iniiale, c es-à-dire un veceur Y 0 = ( 0,v 0 de l espace des phases; La discréisaion de l inervalle de résoluion 213 Le résula reourné par odein es un ableau S don les lignes coniennen des valeurs approchées des veceurs Y( 0, Y( 1,, Y( N 1 Les valeurs approchées de ( 0, ( 1,, ( N 1 consiuen donc la colonne de rang 0 du ableau S e les valeurs approchées de v( 0, v( 1,, v( N 1 consiuen la colonne de rang 1

6 2 Méhode d Euler 214 La figure ci-dessous monre la résoluion de l équaion du pendule harmonique sur l inervalle [0, 14] divisé en 50 sousinervalles, ce qui correspond à un pas de emps d = 0,7 Soluion odein 05 d/d impor nump as np impor maplolibpplo as pl from scipinegrae impor odein as odein w = 1/2 Discréisaion du emps T = nplinspace(0,14 On résou sur [0,14] Résoluion liérale = npcos(w*t v = -w*npsin(w*t plplo(,v, r,label= Résoluion numérique Équaion différenielle : Cf (17 def F(Y, :, v = Y[0], Y[1] reurn [v, -w**2*] Condiion iniiale Y0 = [10, 0] S = odein(f, Y0, T X, V = S[:,0], S[:,1] Cf [213] plplo(x, V, ob,label= Soluion odein plais( equal repère orhonormé pllim(-115, 125 Légende pllabel("", size=20 pllabel("d/d", size=20 pllegend(loc=0