Chapitre 3: Espaces et sous-espaces vectoriels

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1 Chapitre 3: Espaces et sous-espaces vectoriels MTH1007 Polytechnique Montréal Polytechnique Montréal 13 février 2018 MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

2 3.1 Espaces de vecteurs (1) Définition Un espace vectoriel (réel) est un ensemble V muni de deux opérations : si u et v sont des éléments de V et c R alors on définit des éléments 1 u + v V. 2 cu V. Ces deux opérations satisfont à 8 propriétés telles que la commutativité, l associativité, etc., qui sont données à la page 128 du livre. Remarque : On peut aussi définir des espaces vectoriels où les scalaires sont de nombres complexes c C. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

3 3.1 Espaces de vecteurs (2) Définition Un sous-espace d un espace vectoriel V est un sous-ensemble W de vecteurs de V qui satisfait à deux exigences : si u et v sont des vecteurs du sous-espace W et si c R alors 1 u + v appartient à W (fermeture sous l addition). 2 cu appartient à W (fermeture sous la mutiplication par un scalaire). MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

4 3.1 Espaces de vecteurs (3) Remarques 1 Les deux exigences dans la définition d un sous-espace impliquent que 0 W. Autrement dit, un sous-espace vectoriel contient toujours le vecteur nul. 2 Par définition, un sous-espace vectoriel W contient toutes les combinaisons linéaires de vecteurs provenant de W. 3 Réciproquement, si v 1, v 2,..., v n sont des vecteurs de l espace vectoriel V alors l ensemble de toutes les combinaisons linéaires des vecteurs v i est un sous-espace vectoriel de V. Ce sous-espace est le sous-espace engendré par les vecteurs v i. 4 Si V est un espace vectoriel alors V lui-même et Z = {0} sont des sous-espaces vectoriels de V. On les appelle sous-espaces triviaux. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

5 3.1 Espaces de vecteurs (4) Définition L espace des colonnes d une matrice A de taille m n est constitué de toutes les combinaisons linéaires des colonnes de A (vues comme des vecteurs). Il est noté C(A). C est un sous-espace de R m. Important : Le SEL Ax = b possède une solution si et seulement si b C(A). MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

6 3.1 Espaces de vecteurs Exemple : L espace des colonnes de la matrice A = représenté par un plan dans l espace est MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

7 3.2 Le noyau de A Définition Le noyau d une matrice A est l ensemble des vecteurs qui sont solutions au SEL Ax = 0. On le note N(A). Théorème Si A est une matrice de taille m n alors N(A) est un sous-espace de R n. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

8 3.2 Le noyau de A Définition Une matrice est échelonnée si le premier élément non nul d une ligne est toujours situé dans une colonne à droite du premier élément non nul de la ligne précédente. Exemple : x 1, x 4, x 5 sont les variables pivots et x 2, x 3, x 6 sont les variables libres. A = x 1 x 4 x 5 p * * * * * p * * p * x 2 x 3 x MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

9 3.2 Le noyau de A Pour obtenir la forme échelonnée d une matrice quelconque : 1 Appliquer la procédure d élimination si un pivot est disponible. 2 Si un zéro apparaît à la place d un pivot mais il existe un élément non nul dans la même colonne, permuter les lignes pour obtenir un pivot. 3 Si aucun pivot n est disponible dans une colonne, passer à la prochaine colonne pour appliquer la procédure d élimination. Définition Les colonnes contenant un pivot correspondent aux variables pivots. Les colonnes ne contenant pas de pivot correspondent aux variables libres. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

10 3.2 Le noyau de A Pour résoudre le SEL Ax = 0, c est-à-dire obtenir le noyau de A : 1 Obtenir la forme échelonnée de A. 2 Poser la première variable libre égale à 1 et les autres variables libres égales à 0. Ceci donne la première solutions spéciale. 3 Résoudre le système triangulaire ainsi obtenu pour les variables pivots. 4 Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des autres variables libres. Ceci donne les solutions spéciales du SEL. Si s 1, s 2,..., s p sont les solutions spéciales du SEL alors N(A) = {a 1 s 1 + a 2 s a p s p a i R}. Le noyau de A est constitué de toutes les combinaisons linéaires des solutions spéciales. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

11 3.2 Le noyau de A Remarques importantes : Si A est de taille m n alors elle possède au plus m pivots : il ne peut y avoir plus de pivots que de lignes. Si m < n (plus de colonnes que de lignes) alors il y a au moins n m > 0 variables libres. Dans ce cas, le noyau contient des solutions non triviales : N(A) {0}. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

12 3.2 Le noyau de A Définition Une matrice A est échelonnée réduite si 1 Elle est échelonnée. 2 Chaque pivot est égal à 1. 3 Chaque pivot est le seul élément non nul dans sa colonne. Exemple : A = 1 * * 0 0 * * * On obtient la forme échelonnée réduite de A en poursuivant l élimination de façon à obtenir des 0 au-dessus des pivots, en plus des pivots en dessous, puis en divisant chaque ligne par son pivot (si elle en contient un). MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février /

13 3.2 Le noyau de A Remarque importante : Si A est inversible alors sa forme échelonnée réduite est la matrice identité I. Dans ce cas, la seule solution à I x = 0 est x = 0 et N(A) = {0}. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

14 3.3 Rang et forme réduite d une matrice Définition Le rang d une matrice A est le nombre de pivots de la matrice. Il est noté r(a). Remarque : Si A est de taille m n alors r(a) min{m, n}. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

15 3.3 Rang et forme réduite d une matrice (2) Remarques : 1 Les r colonnes pivots de la matrice échelonnée réduite R, avec les r lignes pivots correspondantes, forment la matrice identité r r. 2 Les numéros des colonnes pivots de A et R sont les mêmes. 3 Une colonne pivot de R n est pas combinaison linéaire des colonnes précédentes. Ceci signifie : les colonnes pivots sont linéairement indépendantes. 4 De même, les colonnes pivots de A sont linéairement indépendantes. 5 Les espaces colonnes C(A) et C(R) sont en général différents. 6 Une définition équivalente de r(a) est : r(a) = nb. colonnes pivots de A = nb. colonnes linéairement indépendantes de A. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

16 3.3 Rang et forme réduite d une matrice (3) Solutions spéciales 1 Si A est de taille m n et de rang r alors A possède r variables pivots et n r variables libres. 2 Les colonnes libres sont combinaisons linéaires des colonnes pivots. Les coefficients sont donnés par les solutions spéciales. Théorème Un vecteur x appartient au noyau N(A) si et seulement si il est combinaison linéaire des solutions spéciales s 1, s 2..., s n r. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

17 3.3 Rang et forme réduite d une matrice (4) Définition Si s 1, s 2..., s n r sont les solutions spéciales d une matrice A alors la matrice noyau correspondante est N = [ s 1 s 2 s n r ]. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

18 3.3 Rang et forme réduite d une matrice (5) Matrices de rang 1 Si une matrice est de rang 1 alors Elle possède une seule colonne pivot et une seule ligne pivot, v T. Chaque vecteur du noyau est perpendiculaire à v T. En dimension 3, l espace des lignes de A, engendré par v, est une droite perpendiculaire au plan engendré par les solutions spéciales, correspondant au noyau N(A). MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

19 3.4 La solution complète à Ax = b Solution à un SEL Pour résoudre le SEL Ax = b : trouver la forme échelonnée réduite [R d] de [A b] résoudre pour les variables pivots en fonction des variables libres. Ceci est possible si et seulement si R et d ont les mêmes lignes nulles. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

20 3.4 La solution complète à Ax = b (2) Définition Une solution particulière x p du SEL Ax = b (si elle existe) est obtenue en posant toutes les variables libres égales à zéro. Théorème Toute solution au SEL Ax = b s écrit x = x p + x n où x p est une solution particulière et x n N(A). MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

21 3.4 La solution complète à Ax = b (3) Matrice de plein rang colonne On considère une matrice A de taille m n avec r(a) = n. [ 1 R = I n n 0 (m n) n ]. 2 Chaque colonne possède un pivot. 3 Il n y a aucune variable libre ou solution spéciale. 4 N(A) = {0}. 5 Ax = b possède soit une solution unique, soit aucune solution. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

22 3.4 La solution complète à Ax = b (4) Matrice de plein rang ligne On considère une matrice A de taille m n avec r(a) = m. 1 R = [ I m m ] F m (n m). 2 Chaque ligne possède un pivot. 3 Il y a n m variables libres et solutions spéciales. 4 N(A) est engendré par les solutions spéciales. 5 Ax = b possède soit une solution unique, soit une infinité de solutions. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

23 3.4 La solution complète à Ax = b (5) Matrice de plein rang colonne et plein rang ligne On considère une matrice A de taille n n avec r(a) = n. 1 R = I (A est inversible). 2 Chaque ligne et chaque colonne possède un pivot. 3 Il n y a aucune variables libre et aucune solution spéciale. 4 N(A) = {0}. 5 Ax = b possède une solution unique. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

24 3.4 La solution complète à Ax = b (6) Matrice qui n est pas de plein rang On considère une matrice A de taille m n avec r(a) = r et r < m, r < n. [ I 1 R = r r F r (n r) 0 (m r) r 0 (m r) (n r) 2 Certaines lignes et certaines colonnes n ont pas de pivot. 3 Il y a n r variables libres et solutions spéciales. 4 N(A) est engendré par les solutions spéciales. ]. 5 Ax = b possède soit aucune solution, soit une infinité de solutions. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

25 3.5 Indépendance, base et dimension Définition Les vecteurs v 1, v 2,..., v n sont linéairement indépendants si x 1 v 1 + x 2 v x n v n = 0 implique que x i = 0 pour chaque i. S il existe une combinaison linéaire des v i avec des coefficients non nuls qui donne 0 alors ces vecteurs sont linéairement dépendants. Théorème Les colonnes d une matrice A sont linéairement indépendantes si : la seule solution de Ax = 0 est x = 0 ; ou encore, N(A) = {0}. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

26 3.5 Indépendance, base et dimension Théorème Les colonnes de la matrice A m n sont linéairement indépendantes si et seulement si r(a) = n. Conséquence de ce théorème : Théorème Si n > m alors n vecteurs de R m sont nécessairement dépendants. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

27 3.5 Indépendance, base et dimension Définition Un ensemble de vecteurs v 1, v 2,..., v n engendre (ou génère) un espace vectoriel V si tout vecteur de V est combinaison linéaire des vecteurs v i. Définition Un ensemble de vecteurs {v 1, v 2,..., v n } est une base d un espace vectoriel V si 1 les vecteurs v i sont linéairement indépendants ; 2 et les vecteurs v i engendrent V. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

28 3.5 Indépendance, base et dimension Pour une matrice A de taille n n qui est inversible : les colonnes sont linéairement indépendantes ; C(A) = R n. Autrement dit, les colonnes de A forment une base de R n. Pour une matrice A de taille m n : les colonnes ne sont pas nécessairement linéairement indépendantes ; les colonnes pivots forment une base de C(A). MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

29 3.5 Indépendance, base et dimension Théorème Si les vecteurs v 1, v 2,..., v n forment une base de l espace vectoriel V alors tout vecteur de V s écrit de façon unique comme combinaison linéaire des vecteurs v i. Théorème Si {u 1, u 2,..., u n } et {v 1, v 2,..., v m } sont deux bases d un espace vectoriel donné alors m = n. Autrement dit, toute base d un espace vectoriel contient le même nombre de vecteurs. Définition La dimension d un espace vectoriel V est le nombre de vecteurs dans une base de V. On note dimv la dimension de V. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

30 3.6 La dimension des quatre sous-espaces On considère une matrice A de taille m n et R sa forme échelonnée réduite. Soit r = r(a). Espace des lignes de A : C(A T ) 1 C est le sous-espace de R n engendré par les lignes de A. 2 A et R ont le même espace des lignes : C(A T ) = C(R T ). 3 Les r premières lignes de R (lignes pivots) forment une base de C(R T ). Les lignes pivots de A forment une base de C(A T ). 4 La dimension de C(A T ) et de C(R T ) est égale au rang r de A. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

31 3.6 La dimension des quatre sous-espaces On considère une matrice A de taille m n et R sa forme échelonnée réduite. Soit r = r(a). Espace des colonnes de A : C(A) 1 C est le sous-espace de R m engendré par les colonnes de A. 2 En général, C(A) C(R). 3 Les r colonnes pivots de A forment une base de C(A). 4 La dimension de C(A) et de C(R) est égale au rang r de A. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

32 3.6 La dimension des quatre sous-espaces On considère une matrice A de taille m n et R sa forme échelonnée réduite. Soit r = r(a). Noyau de A : N(A) 1 C est le sous-espace de R n constitué des vecteurs x tels que Ax = 0. 2 A et R ont le même noyau. 3 Les solutions spéciales forment une base de N(A) et de N(R). 4 On a dim N(A) = dim N(R) = n r. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

33 3.6 La dimension des quatre sous-espaces On considère une matrice A de taille m n et R sa forme échelonnée réduite. Soit r = r(a). Noyau à gauche de A : N(A T ) 1 C est le sous-espace de R m constitué des vecteurs y tels que A T y = 0 (autrement dit, y T A = 0). 2 On a dim N(A T ) = m r. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

34 3.6 La dimension des quatre sous-espaces Théorème Pour toute matrice A de taille m n on a 1 dim C(A T ) + dim N(A) = n. 2 dim C(A) + dim N(A T ) = m. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35

35 3.6 La dimension des quatre sous-espaces Théorème n vecteurs linéairement indépendants de R n engendrent R n. n vecteurs qui engendrent R n sont nécessairement linéairement indépendants. Ce théorème peut être reformulé comme suit en termes de SEL : Théorème Si les colonnes d une matrice A de taille n n sont linéairement indépendantes alors elles engendrent R n (c est-à-dire que C(A) = R n ) et Ax = b possède une solution unique. Si les colones d une matrice A de taille n n engendrent R n alors elles sont linéairement indépendantes et Ax = b possède une solution unique. MTH1007 Polytechnique Montréal Chap. 3: Espaces et sous-espaces vectoriels 13 février / 35