ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION

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1 Chapitre 16 ÉCHANTILLONNAGE ESTIMATION Vous vous ferez estimer e supportat les ijustices. Cicéro 1 ÉCHANTILLONNAGE 1.1 Itroductio O cosidère ue populatio (par exemple la populatio fraçaise) et u certai caractère étudié sur les idividus de cette populatio (exemple : le caractère être de groupe sagui A+ ). O coaît la proportio p d'idividus possédat le caractère das l'esemble de la populatio (ici, 38 % de A+ e Frace). Quad o prélève au hasard u échatillo de la populatio, la proportio f d'idividus possédat le caractère étudié (appelée fréquece observée) 'est bie sûr pas écessairemet la même que pour u autre échatillo : c'est la uctuatio d'échatilloage. Néamois, lorsque les échatillos sot de grade taille, les diéretes valeurs de f e sot pas trop éloigées de la proportio réelle p. Il y a ue tedace à la stabilisatio autour de cette valeur. O déit alors la otio d'itervalle de uctuatio. Et iversemet, si o dispose d'u échatillo dot la fréquece ous paraît trop éloigée de p, e pouvat remettre e cause l'hoêteté du hasard, e peut-o pas alors être e droit de suspecter cet échatillo, de se demader s'il est vraimet le fruit du hasard?... Nous allos développer toutes ces idées das cette sectio. Il y a, das ce qui précède, beaucoup trop d'expressios etre guillemets! Il est temps de préciser les choses, de quatier propremet les phrases : que sigiet pas trop éloigées? grade taille? l'hoêteté du hasard? etc. LYCÉE BLAISE PASCAL 1 S.DELOBEL M.LUITAUD

2 2 Populatio Das ue populatio, o coait la proportio p d'idividus possédat le caractère étudié. Chapitre 16. Échatilloage, estimatio O pred u échatillo de taille de la populatio par tirage au sort p est cou. O détermie u itervalle de uctuatio. Échatillo O sait évaluer la probabilité que f (la proportio d'idividus ayat le caractère étudié das cet échatillo) soit das l'itervalle de uctuatio. D'abord quelques (brefs) rappels des classes atérieures, ou ous avos déjà recotré la otio d'itervalle de uctuatio. 1.2 E classe de Secode Soit p la proportio des idividus possédat le caractère étudié das l'esemble de la populatio. E Secode, lorsqu'o prélève au hasard de multiples échatillos de taille 30 d'ue populatio, o remarque que si 0, 2 p 0, 8, alors das eviro 95 % des cas la fréquece observée f se situe etre p 1 et p + 1. O déit [ aisi, e Secode, ] l'itervalle de uctuatio au seuil de 95 % autour de p : c'est I = p 1 ; p + 1. Exercice 1 1. E Frace, la proportio de persoes de groupe sagui A+ est 38 %. Détermier u itervalle de uctuatio au seuil de 95 % de la fréquece des persoes de groupe A+ das les échatillos de taille Das le mode, la proportio de gauchers est 12 %. Pouvez-vous doer u itervalle de uctuatio au seuil de 95 % de la fréquece des gauchers das les échatillos de taille 100?

3 Cours de Termiale S E classe de Première Soit p la proportio des idividus possédat le caractère étudié das l'esemble de la populatio. Predre au hasard u échatillo de taille reviet à predre au hasard idividus de maière idépedate ; chaque idividu peut posséder le caractère étudié (succès, de probabilité p) ou o. La variable aléatoire X qui doe le ombre d'idividus possédat le caractère das l'échatillo suit doc ue loi biomiale B ( ; p). Aisi la fréquece d'apparitio du caractère das l'échatillo est X. O la ote F. O cosidère les etiers a et b suivats 1 : a est le plus petit etier tel que P (X a) > 0, 025 ; b est le plus petit etier tel que P (X b) 0, 975. Alors, P (a X b) 0, 95, c'est-à-dire P ( F [ a ; b ]) 0, 95. Aisi, e Première, l'itervalle de uctuatio à 95 % autour de p est [ a ; b ]. Il 'y a pas cette fois de coditio particulière sur p. Exercice 2 Das le mode, la proportio de gauchers est 12 %. Pouvez-vous cette fois-ci doer u itervalle de uctuatio au seuil de 95 % de la fréquece des gauchers das les échatillos de taille 100? 1.4 E classe de Termiale : u itervalle de fluctuatio asymptotique. L'itervalle de uctuatio vu e Première 'est pas très pratique à obteir. Or o a vu précédemmet qu'ue loi biomiale peut-être approximée par ue loi ormale. Nous allos doc, das ce paragraphe, utiliser la loi ormale pour établir u ouvel itervalle de uctuatio. Nous éoceros, et démotreros, u théorème plus gééral que le théorème de Secode (qui avait été admis...) Commeços par u exercice. Exercice 3 Soit X ue variable aléatoire suivat la loi biomiale B ( ; p) et F = X. Soit u u ombre positif et p u ombre das ] 0 ; 1 [. Motrer que : u X p u c F d où c et d sot deux ombres à détermier. Notatio Das le théorème qui suit, o repred les otatios du chapitre Lois ormales : aisi u α désige l'uique réel tel que P ( u α Z u α ) = 1 α, où Z suit la loi ormale N (0 ; 1). 1. obteus à l'aide d'u tableur, de GeoGebra ou de la calculatrice...

4 4 Chapitre 16. Échatilloage, estimatio Théorème 1. Soit p u ombre réel xé de l'itervalle ] 0 ; 1 [ et u etier o ul. Soit X ue variable aléatoire suivat la loi B ( ; p) et F = X fréquece du ombre de succès. Soit α ] 0 ; 1 [. Alors : lim P (F I ) = 1 α. + [ où l'o a oté I l'itervalle I = p u α ; p + u α ]. la variable aléatoire Preuve Utiliser le résultat de l'exercice 3 et le théorème de Moivre-Laplace. Déitio 2. L'itervalle I est u itervalle de uctuatio asymptotique de la variable fréquece F = X au seuil 1 α. Le théorème 1 exprime que, pour assez grad, la variable fréquece F pred ses valeurs das l'itervalle I avec ue probabilité proche de 1 α. O admet que, das la pratique, pour 30, p 5, et (1 p) 5, o peut approcher P (F I ) par 1 α. O a vu das le chapitre sur les lois ormales que u 0,05 1, 96 et u 0,01 2, 58, doc : Corollaire 3. Pour ue variable aléatoire X suivat ue loi biomiale B ( ; p), l'itervalle de uctuatio asymptotique : [ au seuil de 95 % est I = p 1, 96 ; p + 1, 96 ]. [ au seuil de 99 % est I = p 2, 58 ; p + 2, 58 ]. Exercice 4 Détermier u itervalle de uctuatio asymptotique au seuil de 95 % lorsque = 100 et p = 0, 5. Même questio au seuil de 99 %. Doer aussi l'itervalle de uctuatio vu e Secode. Exercice 5 U algorithme Écrire, e lagage aturel, u algorithme qui doe l'itervalle de uctuatio asymptotique (obteu à l'aide du corollaire précédet), au seuil choisi par l'utilisateur. Programmer esuite cet algorithme sur calculatrice ou ordiateur.

5 Cours de Termiale S Applicatio : prise de décisio Méthode 4 (Règle de prise de décisio). O suppose que das ue populatio la proportio d'u certai caractère est p. O observe la fréquece f de ce caractère sur u échatillo de taille, sous les coditios 30, p 5, et (1 p) 5. O détermie l'itervalle de uctuatio asymptotique I au seuil de 95 % (ou de 99 %) de la situatio e questio. si f / I, alors o rejette l'hypothèse que la proportio est p (au risque d'erreur (rejet à tort) de 5 % (ou de 1 %)). si f I, alors o 'a pas de raisos de rejeter cette hypothèse. Das les situatios cocrètes, très souvet, les tirages sot eectués sas remise. La taille des échatillos cosidérés état souvet faible par rapport à la taille de la populatio totale, o peut assimiler les tirages réalisés à des tirages avec remise, et la méthode ci-dessus peut alors s'appliquer. Exercice 6 Au casio Das u casio de Las Vegas, il a été décidé que les machies à sous doivet être réglées sur ue fréquece de gai du joueur de g = 0, 06. Ue fréquece iférieure est supposée faire fuir le cliet, et ue fréquece supérieure est susceptible de ruier le casio. Trois cotrôleurs diérets vériet ue même machie. Le premier a joué 50 fois et gagé 2 fois, le secod a joué 120 fois et gagé 14 fois, le troisième a joué 400 fois, et gagé 30 fois. E utilisat des itervalles de uctuatio asymptotiques au seuil de 95 %, examier das chaque cas la décisio à predre par le cotrôleur, à savoir rejeter ou o l'hypothèse g = 0, 06. Exercice 7 Iquiétudes à Wobur Wobur est ue petite ville idustrielle du Massachusetts, au Nord-Est des États-Uis. Das les aées 70, la commuauté locale s'émeut du grad ombre d'efats atteits de leucémie das certais quartiers de la ville : etre 1969 et 1979, o a observé douze cas de leucémie sur u échatillo de efats de mois de 14 as. À cette même époque, aux États-Uis, la proportio p de leucémies chez les efats de mois de 14 as est 0, O fait l'hypothèse qu'à Wobur, la proportio théorique de leucémies chez les efats de mois de 14 as est la même que celle des États-Uis. 1. a. Vérier que les trois coditios d'applicatio de la règle de prise de décisio sot remplies. b. Détermier les itervalles de uctuatio (cetrés e p) à 95 % et à 99 % de la fréquece de leucémies sur u échatillo aléatoire de efats de mois de 14 as. 2. Quelle coclusio peut-o tirer? Voir ote de bas de page 2 pour davatage d'iformatios. 2. Ue equête coduite par le Départemet de la Saté Publique du Massachusetts e 1981 cormera que les sols de Wobur ot été cotamiés par des résidus de taerie et de produits chimiques. Les idustriels cocerés serot codamés et la dépollutio des sites sera egagée. Du poit de vue étiologique (étude des causes et des facteurs d'ue maladie), c'est l'expositio des efats i utero à cette eau cotamiée qui serait à l'origie des cas de leucémies observés.

6 6 Chapitre 16. Échatilloage, estimatio Exercice 8 Publicité mesogère ou o? Ue publicité arme qu'o a ue chace sur dix de gager à u certai jeu. Au cours d'ue étude portat sur u échatillo aléatoire de 400 joueurs, o a compté 28 gagats. 1. Vérier que les trois coditios d'applicatio de la règle de prise de décisio sot remplies. 2. Commeter l'aoce faite e eectuat ue prise de décisio au seuil de risque de 5 %. 3. Même questio au seuil de risque de 1 %. 4. Cherchos le seuil où la décisio bascule : a. Démotrer que les résultats de cette étude sot e accord avec l'aoce publicitaire lors d'ue prise de décisio au seuil de risque α si et seulemet si u α 2. b. E déduire la plus grade valeur 3 de α (à 0,1 % près) pour laquelle les résultats de cette étude sot e accord avec l'aoce publicitaire lors d'ue prise de décisio au seuil α. De faço géérale, ituitivemet, o pourrait peser que l'o a itérêt à abaisser le seuil de rejet d'ue hypothèse, de faço à 'avacer que des hypothèses très ables. Mais lorsqu'o fait cela, o augmete les chaces de commettre ue autre erreur : celle de e pas rejeter l'hypothèse alors qu'elle est fausse... Aisi, la décisio que l'o doit predre est u compromis adapté à la situatio. O peut schématiser cette remarque aisi : erreur de type I : rejeter l'hypothèse alors qu'elle est vraie (ex : codamer u iocet) iocet itervalle des présumés iocets erreur de type II : accepter l'hypothèse alors qu'elle est fausse (ex : laisser u coupable e liberté) coupable itervalle des présumés iocets Exercice 9 Écrire puis programmer u algorithme qui met e uvre la méthode 4 lorsque l'utilisateur etre les valeurs de, p, f et le seuil. 3. Cette valeur est appelée degré de sigicatio lors d'ue prise de décisio.

7 Cours de Termiale S Lie etre l itervalle vu e Termiale et celui vu e Secode Propositio 5. L'itervalle asymptotique au seuil de 95 % est coteu das l'itervalle de uctuatio au seuil de 95 % itroduit e secode, c'est-à-dire : [ ] [ p 1, 96 ; p + 1, 96 p 1 ; p + 1 ]. Preuve 1. E étudiat la foctio p sur [ ] 0 ; 1, majorer, puis 1, 96. [ 2. E déduire que I p 1 ; p + 1 ]. 1.7 Comparatif de l utilisatio des itervalles de fluctuatio vus e Secode, e Première, et e Termiale E Secode E Première E Termiale Avatages l'itervalle de uctuatio au seuil de 95 % est simple à détermier il 'y a aucue coditio d'applicatio o peut détermier u itervalle de uctuatio à u seuil quelcoque o peut détermier u itervalle de uctuatio à u seuil quelcoque les coditios d'applicatio 30, p 5 et (1 p) 5 sot mois cotraigates que celles de Secode l'itervalle est plus que celui obteu e Secode Icovéiets o e peut pas détermier u itervalle de uctuatio à u autre seuil que 95 % les coditios 30 et 0, 2 p 0, 8 peuvet parfois être cotraigates... l'itervalle obteu est ue approximatio de celui de Termiale, il s'agit d'u itervalle simplié mais doc mois la détermiatio de l'itervalle écessite calculatrice ou ordiateur, il 'y a pas de formule la formule doat l'itervalle de uctuatio est plus compliquée que celle de Secode

8 8 Chapitre 16. Échatilloage, estimatio Exercice 10 Das les exercices 6 et 7, pourquoi e pouvait-o pas utiliser l'itervalle de uctuatio vu e classe de Secode? Exercice 11 Cotrôle qualité Das ue usie automobile, o cotrôle les défauts de peiture de type grais poctuels sur le capot. Lorsque le processus est sous cotrôle, o a 20 % de ce type de défauts. Lors du cotrôle aléatoire de 400 véhicules, o observe 98 véhicules présetat des défauts de peiture. A-t-o des raisos de s'iquiéter? Répodre à l'aide : de l'itervalle de uctuatio au seuil de 95 % vu e Secode ; de l'itervalle de uctuatio asymptotique au seuil de 95 % de Termiale. Commeter. 2 ESTIMATION 2.1 Itroductio O souhaite coaître la proportio p des idividus d'ue populatio possédat u certai caractère (par exemple : proportio des pièces défectueuses das ue productio, itetios de vote pour u référedum,...). Pour des raisos acières, matérielles, etc. il 'est pas toujours facile, i même possible, de tester tous les idividus (par exemple o e peut pas tester le bo foctioemet de toute la productio d'ue usie de fusées de feux d'artice!). O prélève alors au hasard u échatillo de cette populatio (o fait u sodage), et o estime p à partir de la fréquece f du caractère observée sur l'échatillo. Bie sûr cette fréquece varie d'u échatillo à l'autre... Nous e pourros doc pas doer ue valeur précise de p mais ue fourchette, u itervalle de coace. Nous allos voir das ce paragraphe commet obteir u tel itervalle. Populatio O e coaît pas la proportio p d'idividus possédat le caractère étudié À partir des doées d'u échatillo de taille sélectioé aléatoiremet, o estime p à l'aide d'u itervalle de coace Échatillo p est icou. O détermie u itervalle de coace. O calcule la fréquece f d'idividus possédat le caractère étudié sur u échatillo 2.2 Itervalle de cofiace Théorème 6. Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale B ( ; p) où p est la proportio icoue d'apparitio d'u caractère (p ] 0 ; 1 [ ). la variable aléatoire doat la fréquece du ombre de succès. Soit F = X Alors, pour assez grad, p appartiet à l'itervalle probabilité supérieure ou égale à 0,95. [ F 1 ; F + 1 ] avec ue

9 Cours de Termiale S 9 Preuve Soit X B ( ; p) et Z = X p la variable cetrée réduite associée à X. 1. O ote a = P ( 2 Z 2). Justier que lim a 0, E déduire qu'il existe u etier N à partir duquel a 0, Prouver que a = P 4. Motrer que [ p 2 ( p 2 5. E déduire que pour N, P F p + 2 ). ] [ ; p + 2 p 1 ; p + 1 ]. ( p 1 F p + 1 ) 0, Motrer que p 1 F p + 1 équivaut à F 1 p F + 1 et coclure. Déitio 7. Soit f la fréquece [ du caractère sur u échatillo de taille. L'itervalle f 1 ; f + 1 ] est u itervalle de coace au iveau de coace 0,95 de la proportio p (icoue) du caractère das la populatio. O se place das le cas où l'échatillo cotiet au mois 30 idividus. Si la fréquece observée f est telle que f 5 et (1 f) 5, alors pour estimer p (proportio icoue de la populatio totale), o utilise l'ecadremet fouri par u itervalle de coace au iveau de 95 %. Cet itervalle est parfois aussi fourchette de sodage. Exercice 12 Les électios de 2002 Voici les résultats d'u sodage IPSOS réalisé avat l'électio présidetielle de 2002 pour Le Figaro et Europe 1, les 17 et 18 avril 2002 auprès de 989 persoes, costituat u échatillo atioal représetatif de la populatio fraçaise âgée de 18 as et plus et iscrite sur les listes électorales. O suppose cet échatillo costitué de maière aléatoire (même si e pratique, cela 'est pas réellemet le cas). Les itetios de vote au premier tour pour les pricipaux cadidats sot les suivates : 20% pour J.Chirac, 18% pour L.Jospi et 14% pour J.-M. Le Pe. Les médias se préparet pour u secod tour etre J.Chirac et L.Jospi. 1. Détermier pour chaque cadidat l'itervalle de coace au iveau de 0,95 de la proportio icoue d'électeurs ayat l'itetio de voter pour lui. 2. Le 21 avril, les résultats du premier tour des électios sot les suivates : 19,88% pour J.Chirac, 16,18% pour L.Jospi et 16,86% pour J.-M. Le Pe. Les pourcetages de voix recueillies par chaque cadidat sot-ils bie das les itervalles de coace précédets? 3. Pouvait-o, au vu de ce sodage, écarter comme l'ot fait les médias avec u iveau de coace de 0,95, l'u de ces trois cadidats pour le secod tour? Voir la vidéo : http ://

10 10 Chapitre 16. Échatilloage, estimatio 2.3 Précisio d ue estimatio, taille de l échatillo Exercice 13 Das ue grade ville, u ouveau ciéma va être costruit. La muicipalité propose u terrai à proximité du cetre acie. 1. U premier sodage est eectué auprès de 100 persoes choisies de faço aléatoire et idique 53 avis favorables. Peut-o dire que la majorité de la populatio est favorable à cet emplacemet? 2. U deuxième sodage eectué auprès de 500 persoes idique la même proportio d'avis favorables. La coclusio est-elle diérete? 3. Si u sodage eectué auprès de persoes idique la même proportio d'avis favorables, à partir de quelle valeur de peut-o estimer, au iveau de coace de 95 %, que la majorité de la populatio est favorable à cet emplacemet? Propositio 8. L'amplitude d'u itervalle de coace au iveau de 95 % est 2. Plus la taille de l'échatillo est grade, plus les itervalles de coace obteus sot précis. Preuve Très facile... (rappelos que l'amplitude d'u itervalle est la diérece etre la plus grade bore et la plus petite...) Remarquos que cette amplitude déped de la taille de l'échatillo bie sûr, mais e déped pas de la taille de la populatio totale 4! Exercice 14 Lors d'ue épreuve de Mathématiques, o corrige u échatillo de copies a de décider du barème al pour qu'au mois 80 % des otes soiet supérieures à 10. O ote p le pourcetage de copies ayat plus de Sur u échatillo de 45 copies, 25 ot plus de 10. Doer l'itervalle de coace de p avec u iveau de coace de 0,95. Pourquoi le jury décide-t-il de modier le barème? 2. Avec le ouveau barème, sur u échatillo de 36 copies, 25 ot plus de 10. Pourquoi le jury accepte-t-il ce barème? 3. Quelle aurait dû être la taille de l'échatillo pour que l'itervalle de coace au iveau de coace de 0,95 ait ue logueur d'au plus 0,2? 4. Ce qui peut étoer... Mais comme le disait Jea-Louis Boursi das so livre Les structures du hasard, pour goûter u plat, il sut d'e goûter ue petite quatité ; cette quatité e déped pas de la taille du récipiet (mais il faut éamois avoir bie mélagé)!

11 Cours de Termiale S 11 Exercice 15 O souhaite situer p das u itervalle de coace au iveau 0,95 d'amplitude doée a. Quelle doit être la taille de l'échatillo? Exercice 16 Peu avat ue électio atioale qu'o prévoit serrée etre plusieurs cadidats, u istitut de sodage est chargé de détermier, pour chaque cadidat, des fourchettes à 95 % de coace ayat ue amplitude maximale de 1 %. Détermier ue taille d'échatillo susate pour obteir ue estimatio aussi précise des itetios de vote. Ue remarque importate pour termier : Comme pour les itervalles de uctuatio, il existe d'autres itervalles de coace utilisés das de ombreux domaies [ ; par exemple l'itervalle de coace o simplié au iveau f(1 f) f(1 f) de coace de 0, 95 : f 1, 96 ; f + 1, 96 ].