MATHÉMATIQUES. entrants en seconde - rentrée 2015 DEVOIR DE VACANCES

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1 Nom et Prénom : MATHÉMATIQUES entrants en seconde - rentrée 2015 DEVOIR DE VACANCES Ce devoir, à traiter vers la fin du mois d août, a été élaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et des lycées du district de Provins. L élève devra rendre ses copies, ainsi que le sujet, au premier cours de mathématiques. Il permettra à votre professeur de voir où vous en êtes avec les notions, la grille vous permet de voir ce que le professeur évalue. Le devoir ne sera pas nécessairement noté. 1

2 Exercice 1 [Des multiples de 4] Léa pense qu en multipliant deux nombres impairs consécutifs (c est-à-dire qui se suivent) et en ajoutant 1, le résultat obtenu est toujours un multiple de Étude d un exemple : 5 et 7 sont deux nombres impairs consécutifs. (a) Calculer (b) Léa a-t-elle raison pour cet exemple? 2. Le tableau ci-dessous montre le travail qu elle a réalisé dans une feuille de calcul. (a) D après ce tableau, quel résultat obtient-on en prenant comme premier nombre impair 17? (b) Montrer que c est un multiple de Étude algébrique. (a) Développer et réduire l expression (2x + 1)(2x + 3) + 1. (b) Montrer que Léa avait raison : le résultat obtenu est toujours un multiple de 4. Savoir-faire 1 la démonstration qu un nombre est multiple de 4. Savoir-faire 2 le développement d une expression algébrique à l aide de la double distributivité. Savoir-faire 3 la démonstration qu une expression algébrique est multiple de 4. 2

3 Exercice 2 [Un problème de bord de mer ] Mathieu et Éva se trouvent à la baie des Citrons. Ils observent un bateau de croisière quitter le port de Nouméa. Mathieu pense qu il navigue à une vitesse de 20 n?uds. Éva estime qu il navigue plutôt à 10 n?uds. Ils décident alors de déterminer cette vitesse mathématiquement. Sur son téléphone, Mathieu utilise d abord la fonction chronomètre. Il déclenche le chronomètre et l arrête quand l avant du navire passe au niveau d un cocotier et l arrête quand l arrière du navire passe au niveau du même cocotier ; il s écoule 40 secondes. Ensuite Éva recherche sur Internet les caractéristiques du bateau et la définition d un noeud. Voici ce qu elle a trouvé : Caractéristiques techniques : Longueur : 246 m Largeur : 32 m Calaison : 6 m Mise en service : 1990 Nombre maximum de passagers : 1596 Membres d équipage : 677 Définition : Le noeud est une unité de mesure de la vitesse utilisée en navigation maritime. C est une vitesse : naviguer à 1 noeud signifie parcourir 0,5 m en 1 seconde. Question : Qui est le plus proche de la vérité, Mathieu ou Éva? Justifier votre réponse. Toute trace de recherche sera prise en compte. Compétence 1 Chercher Compétence 2 Calculer Compétence 3 Communiquer 3

4 Exercice 3 [Pierre, feuille, ciseaux!] Dans le jeu pierre-feuille-ciseaux deux joueurs choisissent en même temps l un des trois coups suivants : Pierre en fermant la main ; Feuille en tendant la main ; Ciseaux en écartant deux doigts. On rappelle les règles du jeu : La pierre bat les ciseaux (en les cassant) ; Les ciseaux battent la feuille (en la coupant) ; La feuille bat la pierre (en l enveloppant) ; Il y a match nul si les deux joueurs choisissent le même coup (par exemple si chaque joueur choisit feuille ). 1. Je joue une partie face à un adversaire qui joue au hasard et je choisis de jouer pierre. (a) Quelle est la probabilité que je perde la partie? (b) Quelle est la probabilité que je gagne la partie? 2. Je joue deux parties de suite et je choisis de jouer pierre à chaque partie. Mon adversaire joue au hasard. Construire l arbre des possibilités de l adversaire pour ces deux parties. On notera P, F et C respectivement les évènements il choisit pierre, il choisit feuille et il choisit ciseaux. 3. En déduire : (a) La probabilité que je gagne les deux parties. (b) La probabilité que je ne perde aucune des deux parties. Savoir-faire 4 la détermination d une probabilité dans le cas d équiprobabilité. Savoir faire 5 la réalisation d un arbre de probabilité. Savoir faire 6 l usage d un arbre pour calculer des probabilités. Exercice 4 [Vrai ou faux?] Pour chaque question, préciser si les affirmations sont vraies ou fausses. Justifier votre réponse par un calcul détaillé = 3 25 ; 2. ( 7 5)( 7 + 5) = 2 ; = 10 2 ; 4. L écriture scientifique de est 12, ; = Savoir 1 les formules algébriques liées aux racines carrées Savoir-faire 7 Mettre en oeuvre une identité remarquable pour effectuer un développement Savoir-faire 8 la mise en écriture scientifique d un nombre. Savoir 2 les formules algébriques liées aux fractions Savoir-faire 9 l usage des formules liées aux fractions pour effectuer un calcul. 4

5 Exercice 5 [Celsius vs Farhenheit] Il existe différentes unités de mesure de la température : en France, on utilise le degré Celsius ( C), aux états-unis on utilise le degré Fahrenheit ( F). Pour passer des degrés Celsius aux degrés Fahrenheit, on multiplie le nombre de départ par 1, 8, puis on ajoute 32 au résultat 1. Qu indiquerait un thermomètre en degré Fahrenheit si on le plonge dans une casserole d eau qui gèle? (On rappelle que l eau gèle à 0 C.) 2. Qu indiquerait un thermomètre en degré Celsius si on le plonge dans une casserole d eau à 212 F? Que se passe-t-il? 3. (a) Si l on note x la température en degré Celsius et f(x) la température en degré Fahrenheit, exprimer f(x) en fonction de x. (b) Comment nomme-t-on ce type de fonction? On donne, ci-dessous, la représentation graphique de la fonction f. (c) Déterminer graphiquement l image de 10 par la fonction f. (Faire apparaître les traits de construction.) (d) Déterminer graphiquement l antécédent de 140 par la fonction f. (Faire apparaître les traits de construction.) Savoir-faire 10 la détermination de l expression d une fonction à partir d une situation affine. Savoir-faire 11 l identification des fonctions de référence du collège Savoir-faire 12 la détermination graphique de l image d un nombre par une fonction Savoir-faire 13 la détermination graphique d un antécédent d un nombre par une fonction 5

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