MATHEMATIQUES BREVET BLANC. Vendredi 3 Avril 2015

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1 MATHEMATIQUES BREVET BLANC Vendredi 3 Avril 2015 Exercice 1 : ( 2,5 points) Un sac contient 5 boules noires numérotées de 1 à 5 et 3 boules blanches numérotées de 1 à 3. Chacune de ces boules a la même probabilité d être tirée. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité pour que cette boule soit : a. Blanche ; p(b) = b. Noire ; p(n) = c. Numérotée 3 ; p(3) = d. Numérotée 4 ; p(4) = e. Blanche numérotée 2. p(2b) = Exercice 2 : ( 7,5 points) Les longueurs sont exprimées en cm. On donne : OA = 5,2 ; OC = 7,2 ; OB = 6,5 ; OD = 9 et AB = 3,9 1. Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On sait que : - les droites (DB) et (CA) sont sécantes en O ; - OA=5,2 ; AC=7,2 ; OB=6,5 ; OD=9 On calcule séparément : On constate que les deux rapports sont égaux, que les points O, B, D et O, A, C sont alignés dans le même ordre. Donc d après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 2. Calculer la distance CD. On sait que : - les droites (DB) et (CA) sont sécantes en O ; - OA=5,2 ; AC=7,2 ; OB=6,5 ; OD=9 ; AB = 3,9 - (AB) // (CD) 1

2 Or d après le théorème de Tahlès, on peut écrire : Soit : donc 3. Quelle est la nature des triangles OBA et ODC? Justifier. On sait que : - OBA est un triangle ; - OA=5,2 ; AB=3,9 ; OB=6,5 On calcule : OB² = 6,5² = 42,25 OA² + AB² = 5,2² + 3,9² = 42,25 On constate que OB² = OA² + AB² L égalité du théorème de Pythagore étant vérifiée, le triangle OBA est rectangle en A. On sait que : - OBA rectangle en A soit (OA) perpendiculaire à (AB) ; - (AB) // (CD) Or si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre. Donc, (OA) perpendiculaire à (CD), soit que le triangle ODC est rectangle en C. (Pythagore est une autre solution possible) 4. Calculer la mesure, arrondie au degré, de l angle. On sait que : - ODC est rectangle en C ; Or cos donc Exercice 3 : ( 5 points) Pour chaque question, choisir une réponse et la recopier sur la feuille de copie. Aucune justification n est demandée. Questions Réponse A Réponse B Réponse C 1. Combien vaut 8% de 1200? Quelle est l écriture scientifique de 0,005 67? 567 5,67 5,67 3. Quelle est la vitesse moyenne d un coureur qui court le 400m en 40 m/s 24 km/h 4 km/h 1 minute? 4. Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur x=-1? -3x² 6(x +1) 5x² L expression développée et réduite de (2x 3)² est : 2x² 9 4x² - 12x + 9 2x² - 12x + 9 2

3 Exercice 4 : ( 6 points) Julien dispose de 15 jours de vacances. Il contacte l agence de voyage «AVOILE» pour préparer une croisière en voilier au départ de Fort de France. L agence lui propose deux formules : Formule A : 75 par jour de croisière. Formule B : un forfait de 450 puis 25 par journée de croisère. Recopier et compléter le tableau suivant : Nombre de jours Prix A ( ) Prix B ( ) On note f et g les fonctions définies par : f(x) = 25x et g(x) = 75x Dans le repère de l ANNEXE (à remettre avec la copie), représenter graphiquement les fonctions f et g pour x compris entre 0 et 15, en utilisant le tableau ci-dessus pour placer les points. On admet que les représentations sont des droites. Les unités choisies sont : 1 cm pour un jour sur l axe des abscisses. 1 cm pour 50 sur l axe des ordonnées. 3

4 2. Par lecture graphique, déterminer à partir de combien de jours la formule B devient plus avantageuse que la formule A. (On laissera apparents les pointillés permettant la lecture). Graphiquement, à l intersection des deux droites, à partir de 9 jours de croisière, la représentation graphique de la formule B est en-dessous de celle de la formule A, donc devient plus avantageuse. 3. Julien décide finalement de faire une croisière de 7 jours. Déterminer, par lecture graphique, la formule la plus intéressante pour lui et le prix correspondant. (On laissera apparents les pointillés permettant la lecture) Pour 7 jours de croisière, le prix payé pour la formule A est de 525 et pour la formule B de 625, c est donc la formule A qu il faut retenir. Exercice 5 : ( 7 points) Dans cet exercice, toute trace de rechercher même non aboutie sera prise en compte dans l évaluation. Les gérants d un centre commercial ont construit un parking souterrain et souhaitent installer un trottoir roulant pour accédre de ce parking au centre commercial. Les personnes empruntant ce trottoir roulant ne doivent pas mettre plus de 1 minute pour accéder au centre commercial. La situation est présentée par le schéma ci-dessous : Est-ce que l un de ces deux trottoirs roulants peut convenir pour équiper le centre commercial? Justifier. 4

5 Calculons l angle d inclinaison. On sait que le triangle PCH est rectangle en H, on peut donc utiliser la formule de la tangente. Tan = ; arctan 9,1. Or le modèle 2 propose un angle d inclinaison maximum de 6. Donc le modèle 2 ne peut pas convenir. Reste à vérifier si le temps est respecté avec le modèle1. Calculons la longueur du trottoir PC. On sait que le triangle PCH est rectangle en H, d après le théorème de Pythagore on a : PC 2 = PH 2 + HC 2 PC 2 = PC 2 = PC 2 = 641 PC = 25,31 m Calculons la durée du trajet sur le modèle 1 : V = donc t = t = 50,1 51 secondes 1 min Donc le modèle 1 peut donc convenir de part son angle d inclinaison et sa vitesse qui permet de de mettre moins d une minute pour parcourir le trajet. Exercice 6 : ( 5 points) Un pâtissier a préparé 840 financiers et 1176 macarons. Il souhaite faire des lots, tous identiques, en mélangeant financiers et macarons. Il veut utiliser tous les financers et tous les macarons. 1. Sans faire de calcul, expliquer pourquoi les nombres 840 et 1176 ne sont pas premiers entre eux. 2. Le pâtissier peut-il faire 21 lots? Si oui, calculer le nombre de financiers et le nombre de macarons dans chaque lot. 3. Quel est le nombre maximum de lots qu il peut faire? Quelle sera alors la composition de chacun des lots? Note : les financiers et les macarons sont des pâtisseries est un diviseur commun à 840 et 1176 (Ils sont pairs), donc les nombres ne sont pas premiers entre eux = 40 et = 56 Oui, il est possible de faire 21 lots, chaque lot sera composé de 40 financiers et 56 macarons. 3. Le nombre maximum de lot qu il peut faire est le PGCD des nombres 840 et 1176, car c est le plus grand diviseur commun à ces deux nombres. 5

6 Algorithme d Euclide : PGCD(1176 ; 840) = PGCD(840 ; 336) = PGCD(336 ;168) = =7 et =5 Il peut faire 168 lots qui seront composés de 7 macarons et 5 financiers. Exercice 7 : ( 3 points) «Je prends un nombre entier. Je lui ajoute 3 et je multiplie le résultat par 7. J ajoute le triple du nombre de départ au résultat et j enlève 21. J obtiens toujours un multiple de 10.» Est-ce vrai? Justifier. Soit «x» le nombre initial. Le programme de calcul donne : 7(x + 3) + 3x 21 = 7x x 21 = 10x Affirmation Vraie car 10x est un produit dont l un des facteurs vaut 10, il est donc un multiple de 10. 6

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