I. Barycentre d un système pondéré de 2 points

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1 arycentres I. arycentre d un système pondéré de points 1. Existence d un point vérifiant α+ β : Exemple préliminaire : = 3 Etude du cas général : α + β α + β + β ( α + β + β β = ( α + β β = α + β ( β Si α + β 0, alors = α + β existe et il est unique. C est le barycentre du système ( ; α,( ; β Si α + β, alors β n existe pas si et sont distincts. Page 1 sur 8 arycentres

2 . Définition du barycentre d un système pondéré de points : Soit ( ;,( ; α β un système pondéré de points. Si α + β 0, il existe un unique point tel que : α + β est le barycentre du système ( ;,( ; α β. β On a alors = α + β u niveau physique, le point serait le point d équilibre d une balance [ ; ] chargée de deux masses de poids α et β à ses extrémités : α β 3. Exemples de construction d un barycentre d un système pondéré de points : : barycentre du système ( ;1,( ;3 : barycentre du système ( ;,( ;5 : barycentre du système ( ; 3,( ;1 : barycentre du système ( ;1,( ;1 1 : barycentre du système ( ;1,( ;3 3 : + 3 = 4 1 : barycentre du système ( ;,( ;5 5 : + 5 = 7 Page sur 8 arycentres

3 3 4 : barycentre du système ( ; 3,( ;1 : barycentre du système ( ;1,( ;1 1 : 3 + = 3 1 : + = 4 4. Quelques propriétés du barycentre : Le barycentre d un système ( ; α,( ; Homogénéité : β appartient à la droite (. Le barycentre d un système pondéré est inchangé lorsqu on remplace les coefficients par des coefficients proportionnels. Par exemple, ( ; 3,( ;1 a le même barycentre que ( ; 6,( ; ( ; 30,( ;10. ou que Position du barycentre sur la droite ( en fonction du signe de α et de β : - si α et β sont de même signe, le barycentre est entre et. - si α et β sont de signes contraires, le barycentre est à l extérieur du segment [ ; ]. 5. Réduction d un vecteur de la forme α M+ β M : Paragraphe important! Soient et deux points et α et β deux réels tels que α + β 0. On note le barycentre α β. du système ( ;,( ; Pour tout point M, on a alors : α M + β M = ( α + β M Ou M α β = M + M α + β α + β Page 3 sur 8 arycentres

4 Démonstration : α M + β M = α ( M + + β ( M + α M + β M = ( α + β M + α + β α M + β M = ( α + β M + 0 car α + β car est le barycentre du système ( ; α,( ; β 6. Coordonnées du barycentre dans le plan muni d un repère : Le barycentre d un système ( ;,( ; α β a pour coordonnées : x y α x + β x = α + β α y + β y = α + β Démonstration : D après la formule du 5., avec M à l origine O du repère, on a : O α β = O + O α + β α + β x i y j α + = xi + y j + xi + y j α + β α + β α x + β x α y + β y x i + y j = i + j α + β α + β β ( ( 7. Quelques exemples d application du barycentre de points : Exemple 1 : Soient et deux points distincts. Dans chacun des cas suivants, déterminer réels α et β tels que soit le barycentre du α β. système ( ;,( ; = + = Page 4 sur 8 arycentres

5 Solutions : = + est le barycentre du système ( ;1,( ; + = est le barycentre du système ( ; 4,( ; 3 + 3( est le barycentre du système ( ;,( ;3 Utilisation des sommes vectorielles Soient deux points et tels que = 10 αm+β M Construire C, barycentre du système ( ;,( ;3 Construire D, barycentre du système ( ;3,( ; Déterminer l ensemble des points M tels que : M + 3M = 10 Déterminer l ensemble des points M tels que : M + 3M = 3M + M Page 5 sur 8 arycentres

6 Solutions : C barycentre du système ( ;,( ;3 et D barycentre du système ( ;3,( ; On a : 3 C = et D = 5 5 D C Ensemble des points M tels que : M + 3M = 10 M + 3M = 5MC M + 3M = 5MC = 5MC car C est le barycentre de ( ;,( ;3 On veut que M + 3M = 10, donc on veut que 5MC = 10, soit MC = L ensemble des points cherchés est le cercle de centre C et de rayon. Ensemble des points M tels que : M + 3M = 3M + M M + 3M = 5MC 3M + M = 5MD On veut donc que 5MC = 5MD soit MC = MD. On a donc MC = MD L ensemble des points M recherché est la médiatrice du segment [ CD]. II. arycentre d un système pondéré de 3 points 1. Extension de la définition et des propriétés des systèmes à points : On considère un système pondéré de 3 points ( ;,( ;,( C; Le barycentre de ce système est l unique point défini par : α + β + γ C α β γ avec α + β + γ 0. Page 6 sur 8 arycentres

7 Pour tout point M du plan, on a : α M + β M + γ MC = ( α + β + γ M ou encore : M α M β M γ = + + MC α + β + γ α + β + γ α + β + γ. Exemple de construction : Soit le barycentre du système ( ;1,( ;1,( C ; = + + C = + C = + C C ( 1 3 C 1 3 est le centre de gravité du triangle C. 3. ssociativité du barycentre : On peut remplacer deux points d un barycentre d un système de 3 points en remplaçant ces points par leur barycentre affecté de la somme des coefficients de ces points (à condition qu elle ne soit pas nulle. Démonstration : On considère un système pondéré de 3 points ( ;,( ;,( C; α + β + γ C +, soit H le barycentre de ( ;,( ; α H + + H + donc α + β = ( α + β Si α β 0 α α β β Donc ( α + β H + γ C est donc le barycentre de ( H; α + β,( C; γ α β γ avec α + β + γ 0. α β, donc H + β H H Page 7 sur 8 arycentres

8 4. utres propriétés du barycentre de 3 points : Homogénéité Le barycentre d un système de 3 points est inchangé lorsqu on multiplie tous les coefficients par un même nombre non nul. Isobarycentre d un système de 3 points Soit le barycentre du système ( ;1,( ;1,( C ;1 On a donc + + C est le centre de gravité du triangle C. Coordonnées d un barycentre d un système de 3 points Le barycentre d un système ( ;,( ;,( C; α β γ a pour coordonnées : x y α x + β x + γ x = α + β + γ α y + β y + γ y = α + β + γ C C Page 8 sur 8 arycentres