Cours n 10 : Oscillations électriques Le circuit RLC

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1 Cours n 10 : Oscillations électriques Le circuit RLC 1) Oscillateur harmonique : le circuit LC 1.1) Equation différentielle Un condensateur de capacité est initialement chargé sous une tension Il est connecté en série avec une bobine d inductance et de résistance interne nulle et un interrupteur. L orientation du circuit est totalement arbitraire mais On choisira de travailler en convention récepteur. La loi des mailles nous donne : En convention récepteur, on a : - aux bornes du condensateur - aux bornes de la bobine D où Soit en posant On retrouve l équation de l oscillateur harmonique. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 1

2 1.2) Solution de l équation différentielle On a l équation qui nous décrit l oscillation de la charge : La solution générale de cette équation est de la forme : Détermination des constantes et Les conditions initiales du problème sont : - - car le circuit est fermé à et il y a continuité du courant. donc Les conditions initiales nous donnent : car La solution de l équation est donc : Tension aux bornes du condensateur : Tension aux bornes de la bobine : Intensité électrique dans le circuit soit Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 2

3 La charge, la tension et l intensité sont des fonctions sinusoïdales qui oscillent autour d une valeur moyenne nulle avec les caractéristiques suivantes : - Pulsation propre en : - Période propre des oscillations en : 1.3) Dimension de la période propre des oscillations Ainsi, est bien homogène à un temps. 1.4) Etude énergétique L énergie totale se répartit sous deux formes : - Energie potentielle électrostatique emmagasinée dans le condensateur : - Energie électromagnétique stockée dans la bobine : Calcul de l énergie totale dans le circuit : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 3

4 L énergie totale dans le circuit se conserve et correspond à l énergie initialement stockée dans le condensateur. Effectivement, le circuit ne présente aucune résistance au passage du courant et donc il n y a pas de dissipation d énergie par effet Joule. Le système est donc conservatif et il y a échange mutuel, entre le condensateur et la bobine, de l énergie de départ. 1.5) Tracé des oscillations Courant et intensité On a montré que : et et sont des fonctions sinusoïdales. Le système est le siège d oscillations libres non amorties. On est alors en régime périodique de période la période propre des oscillations. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 4

5 On peut remarquer que tension et intensité sont en quadrature de phase (déphasage d un quart de période). Cela signifie que, lorsque est nulle, est maximale ou minimale et inversement, lorsque est maximale ou minimale, est nulle. Energie! Il faut bien noter que, et sont des fonctions positives On a communiqué initialement une certaine quantité d énergie au système sous forme d énergie potentielle électrostatique stockée dans le condensateur. Cette énergie est ensuite échangée alternativement entre le condensateur et la bobine à la période Condensateur et bobine jouent alternativement le rôle de générateur et de récepteur du fait de l oscillation du courant électrique. 1.6) Description d une oscillation - : Le condensateur est chargé sous une charge maximale - :, il y a décharge du condensateur dans la bobine - : Le condensateur est déchargé. L énergie est entièrement stockée dans la bobine. - : L inertie de la bobine entraîne la création d un courant de charge du condensateur. Celui-ci se recharge dans l autre sens et donc la tension à ses bornes change de signe. - : Le condensateur est chargé donc et toute l énergie du circuit se retrouve à nouveau dans le condensateur. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 5

6 - :, il y a décharge du condensateur dans l autre sens - : Le condensateur est déchargé - : L inertie de la bobine entraîne la création d un courant de charge du condensateur qui se charge dans le sens de départ et change de signe - : le condensateur est chargé et l on se retrouve dans la situation initiale. 2) Oscillations libres dans un circuit RLC La situation du circuit LC est un modèle théorique. En pratique, le circuit est le siège d une perte d énergie par effet Joule dépendante de la résistance présente dans le circuit. Le système n est plus conservatif. Circuit série étudié : - Un condensateur de capacité initialement chargé sous une tension - Une inductance de résistance interne - Une résistance 2.1) Equation différentielle du circuit Le circuit est fermé à. Loi des mailles : On a : d où l équation différentielle caractéristique du circuit : Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 6

7 En posant, on obtient : 2.2) Régimes de fonctionnement Il existe plusieurs régimes de fonctionnement suivant la valeur de la résistance dans le circuit. On peut montrer qu il existe une valeur de, appelée résistance critique autour de laquelle s installent trois régimes de fonctionnement et qui vaut : Régime pseudopériodique Lorsque, on se trouve en régime dit pseudopériodique. Le système présente des oscillations libres amorties du fait de la dissipation d énergie. La solution de l équation différentielle est de la forme : avec De plus, en posant : où représente le degré d amortissement, on obtient : et Les oscillations sont caractérisées par une pseudo période très proche de pour faible. Plus est importante et plus les oscillations sont amorties avec. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 7

8 Régime apériodique Lorsque le système comporte une résistance importante, le signal est trop amorti pour pouvoir effectuer une seule oscillation. Plus la résistance est grande et plus décroit lentement Régime critique Quand, on se trouve à la transition entre régime pseudopériodique et apériodique. décroit très brutalement vers. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 8

9 2.3) Entretien des oscillations Pour éviter l amortissement, il faut apporter au circuit de l énergie. Pour cela, on monte dans le circuit un dipôle qui lui fournit pendant une durée une énergie égale à l énergie dissipée pendant la même durée. On se retrouve alors dans le cas du circuit LC idéal oscillant à la période. Dr A. Sicard CapeSup Grenoble Page 9