TABLEAU 5 Nombre moyen (et écarts types) de mots produits selon le niveau scolaire et les trois conditions de révision

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1 Dans ce tableau, si le chercheur ne s intéresse pas aux notes item par item mais simplement à la note globale, alors il conservera seulement les première et dernière colonnes et calculera des statistiques sur ce tableau condensé. Ces tableaux condensés sont particulièrement importants pour la psychométrie, notamment lorsque les chercheurs se réfèrent au modèle de Rasch (cf. Dickes, Tournois, Flieller et Kop, 1994). 5. Exemple de tableau statistique Enfin, un tableau est très utilisé pour résumer les données et les présenter. Ce type de tableau est notamment très employé dans les articles, dans les synthèses d expérience ou dans les mémoires que réalisent les étudiants. Dans ce tableau, aucun résultat brut n apparaît, seules des statistiques descriptives sont fournies, généralement, si la nature des variables le permet, des moyennes et des écarts types, comme dans l exemple suivant : TABLEAU 5 Nombre moyen (et écarts types) de mots produits selon le niveau scolaire et les trois conditions de révision Niveaux scolaires Conditions de révision R 1 R 2 R 3 Moyenne CE2 CM1 CM2 60,00 (18,29) 78,30 (21,37) 100,75 (31,08) 70,55 (21,27) 88,15 (26,96) 118,50 (32,79) 65,10 (20,97) 85,45 (24,61) 106,65 (33,35) 65,22 83,97 108,63 Légende : R 1 =révision effectuée au cours de la production ; R 2 : après l écriture du texte ; R 3 : quelques heures après la rédaction du texte. Source : Chanquoy (2001). Dans ce tableau, deux indices statistiques suffisent à résumer l ensemble des données ; la façon de les calculer est présentée un peu plus loin dans ce chapitre. B Moyenne 79,68 92,40 85,73 85,94 Représentations graphiques La représentation graphique est une des étapes essentielles dans l investigation des données. Celle-ci doit être considérée comme une démarche d analyse à part entière et pas uniquement comme une simple présentation ou illustration des résultats. D ailleurs, elle donne souvent une première approximation de la répartition des données et est très utile pour appuyer ou conforter les analyses statistiques. Elle peut même quelquefois éviter de conduire inutilement des analyses si elle met en évidence une configuration des résultats n allant pas du tout dans le sens des attentes du psychologue. Tous les graphiques ne sont pas possibles avec toutes les données. En effet, les graphiques dépendent en grande partie de la nature des données à traiter. 1. Diagramme en barres ou diagramme à secteurs Ces deux types de graphiques sont généralement utilisés pour représenter des données quantitatives exprimées en pourcentages. 50

2 Diagramme en barres Dans le diagramme en barres, les différents sections représentant les pourcentages figurent l un au-dessus de l autre, jusqu à 100 %. Par exemple, 344 personnes ont été interrogées par un sociologue qui souhaitait mettre en relation l appartenance à un parti politique et le choix d une nouvelle voiture. Les résultats qu il obtient sont les suivants : TABLEAU 6 Choix d une nouvelle voiture en fonction du parti politique d appartenance Parti Voiture familiale Voiture de sport 4 x 4 sans opinion Total P P P Étant donné qu il n a pas interrogé le même nombre de personnes par parti politique, le sociologue ne peut pas comparer directement ses données les unes aux autres, car il risquerait de commettre des erreurs. Il doit donc, avant de tracer un graphique pour représenter ses résultats, transformer les données brutes en pourcentages ; ceux-ci apparaissent alors ci-dessous : TABLEAU 7 Pourcentages relatifs au choix d une nouvelle voiture en fonction du parti politique Parti Voiture familiale Voiture de sport 4 x 4 Sans opinion P P ,5 32 6,5 P Remarque : la première ligne reste identique puisque, pour P 1, 100 personnes ont été interrogées. Pour les deux autres lignes, il est nécessaire de multiplier chaque chiffre de chaque case x par l effectif total de la ligne et de multiplier ce chiffre par 100 soit 100. Par exemple, pour n 52 la première case de P 2 : 100 = 0, = 42 % arrondi. À la fin de chaque ligne, il 123 faut bien vérifier que le total est égal à 100, et non plus à l effectif de départ bien sûr. Ce tableau peut maintenant être commenté ; il est facile de remarquer que les individus du parti P 1 semblent préférer acheter une voiture familiale, alors que ceux du parti P 3 préfèrent une voiture de sport et que, enfin, les membres de P 2 paraissent plus partagés. Dans cette description sommaire, c est volontairement que des verbes aussi peu précis que «sembler» et «paraître» ont été utilisés. En effet, sans vérification statistique, il n est pas possible d affirmer les différences constatées. Enfin, un diagramme en barres est dessiné, celui-ci permet de mieux apprécier les différences entre les individus : CHAPITRE 2 Statistiques descriptives 51

3 FIGURE 2 Diagramme en barres illustrant le choix d un futur véhicule en fonction de son parti politique % de choix des voitures 100 % 90 % 80 % 70 % 60 % 50 % 40 % 30 ù 20 % Sans opinion 4 x 4 Voiture de sport Voiture familiale 10 % 0 % P 1 P 2 P 3 Parti politique Les barres horizontales, qui permettent de mieux visualiser les pourcentages de chaque section, ne sont pas obligatoires. De même, il n est pas systématiquement nécessaire d indiquer toutes les valeurs des pourcentages, de 10 en 10, comme le montre la figure. En revanche, une légende est absolument nécessaire, car il est tout à fait fondamental de savoir à quel type de voitures (ici) renvoie quel type de motif et/ou couleur. Diagramme à secteurs Le diagramme à secteurs est un disque dans lequel chaque caractéristique ou chaque modalité de la variable d intérêt est représentée par un secteur dont la surface est proportionnelle au pourcentage correspondant. L autre appellation courante de ce graphique est le camembert, dont il a la forme. Prenant l exemple de la première ligne du tableau ci-dessus, voici la répartition, avec un camembert, du choix des voitures pour le parti politique P 1 : FIGURE 3 Camembert dessinant la répartition des individus P 1 en fonction de leur choix 4 x 4 Sans opinion Voiture de sport Voiture familiale Avec ce graphique, il paraît tout à fait clair que la voiture familiale est la voiture préférée du parti P 1, mais ce résultat est tout de même à valider statistiquement. 52

4 2. Diagrammes en bandes Ce type de diagramme est utilisé avec des variables qualitatives de nature ordinale. Il est également appelé graphique cartésien. Il peut ainsi être utilisé pour exprimer les rangs obtenus à différentes épreuves. Par exemple, voici une représentation (fictive) des rangs obtenus par l équipe de France d athlétisme dans différentes épreuves : FIGURE 4 Rangs obtenus à quatre épreuves importantes par l équipe de France Ce graphique doit ensuite permettre à l entraîneur psychologue de l équipe d élaborer une stratégie en vu de meilleures performances. 3. Histogrammes Avec les figures simples, ce sont les représentations graphiques les plus utilisées en psychologie, car les histogrammes sont clairs et aisés à lire. Généralement, ils se présentent comme un ensemble de rectangles contigus pour les variables continues et comme un ensemble de bâtons proportionnels aux effectifs pour les variables discrètes. En outre, l histogramme peut être enrichi par un polygone statistique qui relie le point central de chaque rectangle, comme le montre l exemple ci-dessous. Cet exemple présente les moyennes des notes à un test de rappel qui a été passé quatre fois au cours de l année par des patients âgés souffrant d une légère amnésie. FIGURE 5 Résultats aux quatre tests de mémoire des patients amnésiques âgés Résultats moyens Là encore, ce graphique ne donne qu une indication sur les performances au cours des quatre passations ; il est nécessaire de faire un test statistique pour définir si les moyennes diffèrent d une passation à l autre et s il y a ou non progrès. CHAPITRE 2 Statistiques descriptives 53

5 4. Courbes Courbes simples Les courbes sont les représentations graphiques les plus simples et les plus utilisées ; elles conviennent à la plupart des données mais sont surtout utilisées avec les variables quantitatives. Une illustration est fournie en utilisant les données du tableau 5 (paragraphe 5 section A) qui présentait les résultats d une expérience visant à étudier l impact du moment de révision sur un certain nombre de variables, dont le nombre de mots produits. Comme semble le révéler ce graphique, le nombre moyen de mots paraît davantage varier en fonction du niveau scolaire que de la condition de révision. FIGURE 6 Nombre moyen de mots produits en fonction du niveau scolaire et du moment de révision Diagrammes cumulatifs Comme leur nom l indique, les diagrammes cumulatifs utilisent les effectifs cumulés pour toutes les variables discrètes (ce qui donne des graphiques en escaliers) et également pour les variables continues (ce qui donne des lignes brisées continues, comme le montre l exemple ci-dessous). FIGURE 7 Augmentation du poids au cours du mois de mars chez le quantupythèque (race fictive) Poids Nombre moyen de mots 54

6 5. Nuages de points Les nuages de points sont fréquemment utilisés lorsque l on souhaite comparer deux variables entre elles, plus particulièrement lorsque l on veut savoir si ces deux variables varient ensemble. L exemple le plus classique concerne le poids et la taille ; il est représenté, pour dix individus, sur la figure suivante : FIGURE 8 Variations du poids et de la taille de dix individus Taille en cm Comme le montre cette figure, il semblerait ici que le poids et la taille de ces 10 individus varient conjointement, c est-à-dire que plus ils sont grands, plus ils pèsent lourds. De la même manière que précédemment, il faut vérifier la significativité de cette relation, en calculant un indice statistique qui est ici une corrélation (cf. chapitre 3). Les différents types de nuage de points seront évoqués dans le chapitre suivant, consacré aux corrélations entre variables. Les nuages de points peuvent être complétés par une droite, appelée droite de régression, qui résume l allure générale de la relation entre les deux variables (qui sont des variables quantitatives) et l explique. IV. PREMIERS CALCULS Outre ces représentations graphiques, les statistiques descriptives permettent de calculer deux principaux types d indices qui sont les mesures de tendance centrale et celles de dispersion. Avant de les présenter, un petit point de vocabulaire : de manière rigoureuse, les indices statistiques qui portent sur l ensemble de la population s appellent des paramètres et sont abrégés par des lettres grecques, tandis que les statistiques calculées sur un échantillon s appellent des mesures et sont abrégés par des lettres de notre alphabet. Il faut cependant savoir que cette rigueur n est pas toujours respectée. Mesures de tendance centrale A Les mesures de tendance centrale sont utilisées lorsque le chercheur souhaite qu un seul chiffre résume le mieux possible la distribution entière de ses mesures. Les trois indices CHAPITRE 2 Statistiques descriptives 55

7 de tendance centrale les plus fréquents sont : la moyenne arithmétique, le mode et la médiane. La possibilité d utiliser ou non ces indices dépend de la nature des données : avec des échelles nominales, le mode est l indice de tendance centrale utilisé ; avec des échelles ordinales, il est possible de calculer le mode mais la médiane est souvent préférée ; avec des échelles d intervalles, les trois indices de tendance centrale peuvent être calculés, néanmoins c est généralement la moyenne qui est l indice le plus usité. 1. Moyenne arithmétique Il s agit de la statistique la plus familière qui vise à indiquer le centre de la distribution des scores. Elle se calcule en faisant la somme des valeurs distinctes qui ont été mesurées (ou observées), divisée par le nombre de valeurs totales. Elle se note : m (ou M ou cm ou cx) pour l échantillon et µ (lettre grecque mu) pour la population. Sa formule est la Σx suivante : m = où la lettre grecque grand sigma (Σ) est le symbole du signe somme en n statistiques, x est une observation quelconque et n le nombre total d observations. De manière plus précise, la moyenne peut être formulée ainsi : m = n où n, taille de l échantillon, varie de i =1 à n. Ceci signifie donc qu il faut faire la somme de la première (i) à la dernière valeur qui est n. Par exemple, voici les scores obtenus à un test permettant de mesurer l agressivité par quinze adolescents «à risque», comportant vingt-cinq questions et dont la note maximale est 100 : 48, 40, 52, 72, 81, 76, 89, 78, 92, 55, 65, 78, 75, 82, 57. La moyenne est égale à : = = 69, Pour pouvoir dire si ces adolescents sont agressifs ou non, il est ici nécessaire de comparer leur note à celles de l étalonnage du test ou encore à un groupe contrôle d adolescents tout-venant. Par conséquent, ici, la moyenne n est pas un indicateur statistique suffisant et, surtout, ne permet pas de faire des inférences sur les scores obtenus par ces quinze adolescents. Toutefois, dans bien des cas, et évidemment avec des variables quantitatives, la moyenne donne une bonne indication de la tendance centrale de la distribution. Il est cependant parfois préférable d utiliser un autre indice que la moyenne. Elle est en effet influencée par toutes les observations et donc par les valeurs extrêmes. Ceci signifie que, s il y a quelques valeurs dans la distribution qui sont extrêmement basses, la moyenne sera plus faible et, par conséquent, ne sera peut-être pas un bon indice de la tendance centrale de la distribution. La même remarque vaut pour des valeurs extrêmes très grandes. 2. Médiane n x i i = 1 Dans les cas où la moyenne est considérée comme un indice qui n est pas suffisamment représentatif de la distribution, la médiane, symbolisée par M d, peut alors être préférée. 56

8 En effet, la médiane a une très bonne stabilité par rapport aux valeurs extrêmes, tout comme le mode. La médiane est déterminée par le nombre d observations et non par leurs valeurs. Elle est définie comme étant la valeur de la distribution telle qu il existe un nombre égal d observations inférieures et supérieures à cette valeur ; il s agit donc de la valeur du milieu, ou de la valeur centrale, lorsque les données sont ordonnées de la plus petite à la plus grande (ou inversement d ailleurs). Elle est donc d une très grande simplicité de calcul. Dans l exemple précédent, les scores au test par ordre croissant donnent le classement suivant : Rang Score La médiane est égale ici à 75, puisque le score 75 est tel que la moitié des valeurs lui est inférieure et l autre moitié supérieure. Ce moyen d obtenir la médiane, sans aucun calcul, ne vaut que lorsqu il y a un nombre impair de valeurs, ce qui permet de couper la distribution en deux. En revanche, si la distribution comporte un nombre pair de valeurs, il est toujours nécessaire de commencer par ranger les scores, du plus petit au plus grand et ensuite, comme le montre le classement suivant : Exemple : Il suffit de dégager deux valeurs centrales plutôt qu une et de calculer leur moyenne. Ici la médiane sera égale à : M d = =38,5. Le mode est ici égal à 39, score qui apparaît trois fois dans 2 la série de valeurs. 3. Mode Le mode, également appelé «dominante» et symbolisé par Mo ou M o, est la valeur de la distribution dont la fréquence est maximale. Ceci signifie qu il s agit du score le plus fréquent dans la distribution. Le mode peut donc être unique, multiple, ou même ne pas exister. Dans l exemple sur l agressivité, le mode est égal à 78, car c est la seule valeur qui est présente deux fois dans la distribution. 4. Quelques remarques Si les valeurs extrêmes de la distribution ci-dessus sont remplacées : Scores La médiane ne change pas : le score 75 reste le score médian de la distribution ; le mode non plus ne change pas : le score 78 reste le seul score répété deux fois. En revanche, la moyenne change, ce qui montre bien que seul cet indice est sensible aux valeurs extrêmes, et elle devient : m = 67,8. Dans une distribution symétrique unimodale, dont la distribution est normale (c est-à-dire qui suit la Loi normale de Laplace-Gauss une courbe en cloche étudiée au chapitre 4), la moyenne, la médiane et le mode sont confondus. CHAPITRE 2 Statistiques descriptives 57

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