PARTIE 0 CHAMPS DE VECTEURS INVARIANCES ET SYMÉTRIES

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1 3 PARTI 0 CHAMP D CTUR INARIANC T YMÉTRI

2 4 / Invaiances La echeche des invaiances d système physiqe pemet de détemine de qelles vaiables les effets pdits (ptentiels et champs) vnt dépende a Invaiance pa tanslatin ystème physiqe invaiant dans ne tanslatin paallèle à n axe O Les effets ne dépendent pas de b Invaiance pa tatin at d n axe ystème invaiant dans tte tatin at d n axe O n cdnnées cylindiqes (ρ,, ) : effets indépendants de ne dépendent qe de ρ et symétie de évltin c Invaiance pa tatin et tanslatin ystème physiqe invaiant dans tte tatin at d n axe O ainsi qe dans tte tanslatin sivant O symétie cylindiqe n cdnnées cylindiqes (ρ,, ) : effets indépendants de et de ne dépendent qe de ρ d Invaiance pa tatin at d n pint ystème invaiant dans tte tatin at d n pint O n cdnnées sphéiqes (,, ϕ) : les effets ne dépendent qe de symétie sphéiqe x O ϕ P(,, ϕ) y P

3 5 / ectes plaies ens : éslte de la définitin même de la gande, sans cnventin paticlièe. ens absl (indépendant d tiède de éféence chisi). xemples : itesse, Fce Ntés P Tansfmatin d vecte plaie pa appt à n plan de symétie image pa n mii plan cnfnd avec ce plan. Cnsevatin des cmpsantes // a plan de symétie Invesin de la cmpsante a plan de symétie Πs Πs

4 6 Tansfmatin d n vecte plaie pa appt à n plan d anti-symétie (Anti -mii ) Invesin des cmpsantes // a plan d antisymétie Πa Πa Cnsevatin de la cmpsante a plan d antisymétie 3/ yméties a Pincipe de Cie Lsqe cetaines cases pdisent cetains effets, les éléments de symétie des cases divent se etve dans les effets pdits' i n système physiqe (sce) admet ne symétie, les gandes (en paticlie les vectes) qi pemettent d analyse les effets pdits pa ce système, admettent assi cette symétie Le calcl de cetaines gandes physiqes est facilité si l n tient cmpte des syméties d système étdié

5 7 b ystème physiqe sce pssédant n plan de symétie Plan de symétie : Patage n système en dex paties, images exactes l ne de l ate P( M) ystème physiqe céant P(M) M P( M) P'(M) Tace de Π Πs : plan de symétie d système et M Πs ( ) it P M caactéisant l effet pdit pa ce système (exemple : champ électstatiqe céé pa n système de chages) P ( M) ienté a pii de façn qelcnqe pa appt à Πs P ( M) P '( M) P( M) ymétie Πs : (ymétiqe de pa appt à Πs) Opéatin de symétie système physiqe este inchangé ( M) P' ( M) ( ) P P M Πs P( M) dit ête assi inchangé Lsq n système physiqe céant n champ P pssède n plan de symétie Πs M Πs, nécessaiement P(M) Πs

6 8 c ystème physiqe sce pssédant n plan d antisymétie P'(M) P( M) P( M) ystème physiqe céant P(M) M Tace de Π a Πa : plan d antisymétie de la distibtin D de chages d système et M Πa ( ) it P M caactéisant l effet pdit pa ce système Opéatin d antisymétie : Cnjgaisn d ne symétie invesin d signe des chages Opéatin d antisymétie Πa D invaiante ymétie Πa : P ( M) P' ( M) P ( M) P' ( M) P( M) Πa P invaiante Lsq n système physiqe céant n champ P pssède n plan d antisymétie Πa M Πa, nécessaiement P(M) Πa ( ) ( M) (ymétiqe de P M Πa invesin de sens)

7 9 RÉUMÉ ectes plaies M Πs P( M ) Πs M Πa P M Πa ( )

8 0 PARTI ÉLCTROTATIQU

9 / Histiqe et pemièes définitins Chapite I CHAMP ÉLCTROTATIQU Phénmènes électiqes bsevés dans l antiqité : attactin des bindilles de paille pa - ambe ftté avec de la laine (ambe : elektn (ελεκτρον) en gec) - bagette de vee fttée avec de la sie XIII iéme siècle : mise en évidence de dex fmes d électicité - celle btene en fttant des cps ésinex avec de la laine (ambe, ébnite, ) - celle btene en fttant des cps vitex avec de la laine (vee, mica, ) Dex mceax de vee fttés avec de la laine éplsin Dex mceax d ambe fttés avec de la laine éplsin

10 Mcea d ambe ftté en pésence d n mcea de vee ftté attactin / Inteactin clmbienne Fce électstatiqe dex types de chages : chages > 0 et chages < 0 Unité de chage électiqe : le Clmb (abéviatin : C) Chages qi appaaissent s le vee ftté : chages > 0,s l ambe ftté chages < 0 Nme de la fce ente dex chages électiqes q et q : - : distance ente les chages - Agit sivant la dite qi jint les chages F K - K : cnstante dépendant d milie dans leqel baignent les chages Dans le vide ( l ai) K Nm C - - Réplsin si chages de même signe (> 0 < 0), c est à die si q q > 0 q q - Attactin si chages de signe ppsé, c est à die si q q < 0

11 3 Ntatin vectielle F / q q F/ Cas q q > 0 q F / F/ q Cas q q < 0 F/ F : Fce execée pa q s q, appliqée en q / F / : Fce execée pa q s q, appliqée en q Fces égales et ppsées (actin et éactin) F / F/ : vecte nitaie pté pa la dite passant pa les chages, de q ves q F RMARQU : F / K q q LOI D COULOMB - Chage électiqe qantifiée - Pls petite chage existant : ptée pa l électn le ptn - Chage de l électn : négative e-, C - Chage d ptn : égale à celle de l électn, mais ppsée en signe - Une chage de Clmb est énme

12 4 - Cps nete : cntient atant d électns qe de ptns - Cps chagé > 0 : des électns nt été aachés (des électns nt été aachés des bagettes de vee fttées) - Cps chagé < 0 : des électns nt été apptés (sabndants) (des électns nt été apptés pa les bagettes d ambe fttées) Une des lis fndamentales de la physiqe : Indestctibilité de la chage électiqe Ni céatin, ni annihilatin de la chage (Les chages se déplacent d n pint à n ate, mais n appaaissent jamais de nlle pat) LA CHARG LCTRIQU T CONR - Chage q placée a visinage de plsies ates Fce s q : Résltante des fces des à chacne q des ates chages : i F Kq i q i i q 3 q 3 q 3 F 3 Cas q q i > 0 F F

13 5 3/ Champ électstatiqe (Michael Faaday ) a - Définitin Dex chages q et q distantes de en inteactin électstatiqe q q q est smise de la pat de q à la fce F K On déplace q de M en M : O q est ence smise à ne fce d inteactin On intdit ne gande vectielle qi ne dépend qe de la chage q F q et de la psitin de M : K q (N.C - ) q cntient tte l infmatin p calcle la fce sbie pa q : c est à die Cas q q < 0 M F q F q M q : champ électstatiqe céé pa q xiste dans tt l espace, même en l absence de q Le vecte champ électstatiqe est n vecte plaie Lignes de champ : Cbes tangentes a champ et ientées dans le sens d champ

14 6 b - xpessin d champ électstatiqe céé pa ne chage niqe Dédite de la li de Clmb K q q F ne dépend qe de q et de la psitin de P q M q P Cas q et q > 0 F i q < 0 diigé ves q i q > 0 diigé de M ves P Lignes de champ des à ne chage > 0 Lignes de champ des à ne chage < 0

15 7 c Pincipe de spepsitin Chages q et q placées en O et O Fce sbie pa la chage q ésltante des fces qe q aait sbi en pésence de q et q agissant sépaément De même p les champs : F F q F q F F q Pisqe F q P N chages : N i i K i q i i i O q F O q Tt se passe cmme si en M, n avait la ésltante de chaqe champ agissant sépaément C est le pincipe de spepsitin Résltat tès imptant : Pemet le calcl d champ électstatiqe qe pdit en tt pint de l espace ne distibtin de chages pnctelles M q F q, q et q > 0 F

16 8 d Distibtin vlmiqe de chages Dmaine D chagé décmpsé en éléments de vlme infinitésimax dτ ptant des chages infinitésimales dq ρ dq d τ Chaqe élément dτ cntient ne densité vlmiqe de chages (C/m 3 ) Champ céé en P pa dτ M : d M (P) K ρ dτ M M M M P ttes les chages sitées à l intéie de D : (P) K P D ρ M Μ dτ M Μ M dτ M M M dq M D

17 9 e Distibtin sfaciqe de chages Chages s délimitant le dmaine D décmpsée en éléments de sface ds ptant des chages dq dq Chaqe ds cntient ne densité sfaciqe de chage σ (C/m ds ) Champ céé en P pa ds N : d N (P) K σ P ttes les chages sitées s : ds N N N (P) N K σ N N N ds N P N ds N N N dq N

18 0 f Distibtin linéiqe de chages Chages épaties s n fil L L décmpsé en éléments de lnge dl ptant des chages dq Chaqe dl cntient ne densité linéiqe de chage λ dq (C/m) dl Champ céé en P pa dl N : d K (P) K λ dl K K P ttes les chages sitées s L : ( ) λ P K K K L K K K dl P K dl K K K dq K L

19 4/ Champ électstatiqe céé pa diveses distibtins de chages a Champ électstatiqe céé en n pint de l'axe d'n annea ciclaie chagé Q (> 0) : chage de l annea de ayn R densité linéiqe Q λ πr Kλd d céé en P() pa dl Nme : d R Cmpsante effective : Nme : d dcs d R Kλd (sivant ) l 3 l ( cs ) R dl () d d P() R O () Kλ R πr 3 KQ R 3 P ( ) n P ( ) : ( ) () ( )

20 b Champ électstatiqe céé à pximité d'ne gande feille plane et mince chagée Plan infini : pepsitin de cnnes cncentiqes cmpises ente R et RdR Densité sfaciqe de chage : σ Chage de la cnne élémentaie : dq σ ds ( avec ds πr dr) Champ élémentaie céé en P() pa cette cnne : d() πσk RdR R 3 Champ céé en P() pa le plan infini : ( ) π σk ( R ) 0 RdR d P() R O dr d π σ K (en psant R ) 3 ( > 0) π σ K ( < 0) ( 0) > (Champ nifme) σ > 0

21 3 Chapite II POTNTIL ÉLCTROTATIQU / Rappel : Ciclatin d n vecte le lng d ne cbe Champ de vectes (x, y, ) dépendant des cdnnées d espace (cdnnées de P) Qantité scalaie d C d : ciclatin élémentaie d champ de vectes ls d déplacement d C P d B B A Intégale d ntée () : ciclatin d vecte ente les pints A et B C A B A P ne cbe femée C : C C C d Le champ de vectes est cnsevatif lsqe la ciclatin ne dépend pas d tajet sivi Il est dissipatif sinn

22 4 - Remaqe : Ciclatin nlle s ne bcle femée p n champ cnsevatif ient dex pints A et B d ne bcle femée C : On écit la ciclatin de A à B de dex façns : C C A B A B (le lng de C ) (le lng de C ) (pisqe le tajet n impte pas) C C A B B O C C A B B A (le lng de C ) (le lng de C ) A C A B C B A C (le lng de C ) (le lng de C ) C A B P la bcle femée ABA : C A B C B A (le lng de C ) (le lng de C ) 0 C C c d 0

23 5 / Définitin d ptentiel électstatiqe Actin de q smise à F q Déplacement élémentaie d de q tavail effecté pa F : δt F d aiatin d énegie ptentielle d inteactin électstatiqe d p δt (jle : J) d p q aiatin de ptentiel électstatiqe vaiatin d'énegie ptentielle pa nité de chage d q d P n chemin C de A à B B 3/ Ciclatin d champ électstatiqe A B A d d dp q d d A q d B d C d : Ciclatin élémentaie d vecte champ p le déplacement d d B Ciclatin de ente A et B : C () d ( C ) A B A B A A B

24 6 RMARQU :. Unité de ptentiel : jle pa clmb (J/C) vlt (). Unité de champ électstatiqe : jsq à pésent tilisé le N/C /m 4/ face éqiptentielle Éqiptentielle : Lie des pints de l espace ù le ptentiel est cnstant Déplacement d t s ne sface éqiptentielle : d 0 d t d t éqiptentielles Éqiptentielles d et (d > 0 infinitésimal) d n ab : éqiptentielles, ves les ptentiels cissants d b a d > 0 b a d n d n < 0 ves ptentiels décissants b a d n

25 7 5/ Ptentiel céé pa diveses distibtins de chages a Ptentiel céé pa ne chage pnctelle aiatin élémentaie de ptentiel p n déplacement infinitésimal de P à P : OP' OP PP' aiatin de ptentiel : d Kq d K q cnstante Oigine des ptentiels à l (P) K q nte dex psitins extêmes A et B : B A ( ) d OP d d ne dépend qe de A et B ( OP ) q d PP' K d d Kq d (pisqe d 0 ) Cas q < 0 B q A O Kq B A d B A Kq d A P B A B P d

26 8 q Ptentiel électstatiqe céé pa q à la distance ( ) K (() 0 p ) Éqiptentielles : sphèes centées en q qiptentielles et Lignes de champ des à ne chage > 0 qiptentielles et Lignes de champ des à ne chage < 0 ( lignes de champ adiales) b Ptentiel céé pa plsies chages pnctelles Répatitin de N chages q i sitées à distance i de P : (P) K N i q i i

27 9 c Distibtin vlmiqe, sfaciqe linéiqe de chages Dmaine D décmpsé ( M D) en éléments de vlme infinitésimax dτ ptant ne densité vlmiqe ρ M : ( P) K ρ D ρ d τ Μ Μ M M P M dτ M ρ Μ D Chages s la sface femée délimitant D décmpsé ( N ) en éléments de sface infinitésimax ds ptant ne densité sfaciqe σ : N σ (P) K σ ds Ν N N P ds N N N σ Ν

28 30 Chages épaties s n fil L L décmpsé en éléments de lnge infinitésimax dl ptant ne densité linéiqe λ : ( ) λ Kdl K P K λ L K P K dl K K λ Κ L

29 3 xemple : Ptentiel électstatiqe céé pa n disqe chagé de ayn R Densité sfaciqe nifme de chage : σ Cnne élémentaie ente et d Ttes les chages s la cnne snt éqidistantes de P d D q sitées à distance d(p) K i D Chage de la cnne élémentaie : dq σ ds ( avec ds π d ) Ptentiel élémentaie céé en P() pa cette cnne : Ptentiel céé en P() pa le disqe : ( ) n psant, ( ) πkσ ( R ) d ( ) R πkσ R d πkσ 0 d() K ( ) 0 σds πkσr P() O R (avec ( ) 0)

30 3 Chapite III PROPRIÉTÉ DU CHAMP T DU POTNTIL ÉLCTROTATIQU / Rappels I a Flx d n champ de vectes à taves ne sface On pse n ( n : vecte nitaie nmal à la sface ) Φ : flx d champ de vecte à taves la sface Φ Φ cs n

31 33 Flx élémentaie de tt champ de vectes à taves ne sface d : d Φ d Où d d n ( n : vecte nitaie nmal à la sface d) Flx Φ à taves ne sface : Φ ( P) d( P) b Flx à taves ne sface femée Cnventin p ces sfaces : n tt pint de : ientatin ves l extéie d vecte élément de sface d (P) d(p) P Flx d champ de vectes à taves : Φ (P) d(p)

32 34 c Théème de Geen Ostgadsky. Définitin de l péate divegence On mnte qe : Φ d div dτ dφ div dτ Opéate divegence (en cdnnées catésiennes) : div x x y y d Théème de tkes Ampèe. Définitin de l péate tatinnel P tte sface qelcnqe s appyant s n cnt femé C, le champ de vectes (x, y, ) béit à la elatin : C d t d d C t d (P) P d(p) d ens de d : cnventin tatin-tanslatin (ègle de la main dite, ) d C Opéate tatinnel (en cdnnées catésiennes) : d t x y x y

33 35 e Définitin de l péate gadient Cdnnées catésiennes Déplacement infinitésimal de M(x, y, ) ves M (xdx, ydy, d) vecte déplacement élémentaie d d Accissement de la fnctin f(x, y, ) : df f dx x f x Opéate gadient de cmpsantes gad f f y f dx dy f Opéates laplacien et laplacien vectiel Laplacien d ne fnctin scalaie f f div gadf x y f dy y f d df gad f d le système de cdnnées Laplacien vectiel (d ne fnctin vectielle en cdnnées catésiennes)

34 36 RÉUMÉ dφ div dτ d C t d df gad f d

35 37 CONÉQUNC.. 3. C C gad f d 0 gad f d 0 tgadf d t gadf 0 div ta dτ ta d A d 0 * * Pisqe df gad f d, pa définitin n aa C gad f div ta 0 O C est ne cbe femée, le pint final et le pint initial snt cnfnds, dnc C d C df f ** pint final f pint initial C femée : gad f d 0 C

36 38 ** le champ de vectes : div dτ d (théème de la divegence) f : sface femée qi délimite le vlme ) : tatinnel d n champ de vectes A ( ta ) : div ta dτ ta d () Théème d tatinnel : P tt champ de vecte : i C délimite les sfaces et : smme de dex ciclatins le lng de C paces en sens invese A d A d 0 div ( ta) dτ ta d 0 C C ( ) f div ta 0 A f ( ) t d (C : cbe femée qi s appie s ne sface qelcnqe nn femée, avec la cnventin liant ne tanslatin avec ne tatin ente d et d - ègle d tie-bchn -) d O dans () : f est femée ta d ta d ta d f ta d A d C ta d A d C C f d C d d d d d C

37 39 x / Rappels II : ectes psitin et vitesse de P Définitin: OP xpessin de dans les difféents systèmes de cdnnées: Catésiennes Cylindiqes phéiqes x y x x O x y y P(x, y, ) P y y OP OP' P' P HP ρ ρ x H () O P(ρ,, ) ρ P y P' P xpessin de d dans les difféents systèmes de cdnnées: dt ρ x O ϕ P(,, ϕ) P ϕ y d dt dx dt dy dt d dt dρ dt d dt d dt ρ x y ρ ρ d dt d dt dρ dt d ρ dt ρ d dt d dt d dt d dt

38 40 x P(,, ϕ) O ϕ phéiqes ϕ P y Dans Oxy : sin csϕ sin sin ϕ cs O ϕ P x Pjectin de y ϕ d dt d dϕ cscsϕ sin sin ϕ dt dt d dϕ cssin ϕ sin csϕ dt dt d sin dt ϕ sin ϕ csϕ 0 csϕcs sin ϕcs sin d dt d dt dϕ sin dt ϕ et d dt d d dϕ sin dt dt dt ϕ

39 4 3/ Ppiété imptante d champ électstatiqe aiatin de ptentiel ente A et B d n tajet C (de à ne chage q) : B A B d A Kq A B (Indépendant de C) i C est femé : 0 d 0 est cnsevatif B A Généalisatin à ne distibtin de chages : Champ ttal céé pa la distibtin : C i q i M j i C (Pincipe de spepsitin) cnt femé C : C d ( ) i C d C q j i d 0 est cnsevatif la distibtin de chages

40 4 4/ Relatin lcale ente et a Chage niqe, i : champ et ptentiel céés en M pa q i i On sait qe p f(x, y, ) : df d i gad f gad d i d i d ( i gad ) d 0 i i gad i q i q j M i j i b Distibtin de chages i ( ) gad gad( ) i i gad ( ) i gad est n champ de gadient. On dit qe déive d ptentiel électstatiqe Remaqe : Ptentiel : scalaie Pincipe de spepsitin pls facile à appliqe On pet ensite dédie le champ

41 5/ Ppiété lcale fndamentale d champ électstatiqe 0 t Théème de tkes appliqé a champ électstatiqe ( sface qelcnqe qi s appie s C) 0 d C 0 ds t i n appliqe à t gad gad t 0 x y y x x x y y y x y x 0 t gad RMARQU : 43

42 44 6/ xemple d dipôle électstatiqe Cnfigatin tès cante dans la nate : mlécles H O, HCl, NH 3 et nmbe de mlécles ganiqes et de macmlécles ôle tès imptant en bichimie et en bilgie Paie de chages électiqes cas imptant : dex chages égales et ppsées (q, q) distantes de a (dimensin mléclaie) et bsevées à des distances macscpiqes a Ptentiel à gande distance d dipôle M Cdnnées sphéiqes (,, ϕ) avec invaiance sivant ϕ q ( ) 4πε M p : mment diplaie a BO 4 BO AO BM BO (a pemie de en a/) M OM De même ( M) ( p qab) Éqatin plaie d ne éqiptentielle : et BO p 4πε qa 4πε ( ) 4 A cs a cs a/ B O A a/ p q q x O ϕ M ϕ y

43 45 b Champ électstatiqe à gande distance d dipôle Cdnnées sphéiqes (,, ϕ ) (, ) : plan de symétie (, ) M α ( M) ( M) gad( ( M) ) gad Φ qa 4πε Φ ( Φ(, ) ) cs gad a/ B p q cs gad p ( M) ( cs sin ) 4πε cs 3 3 sin 3 Π a : Plan d antisymétie (, ) ( π, ) O A a/ q π- Π a Éqatin plaie d ne ligne de champ : tan α sin cs d d d ( sin ) d sin Csin ( M' ) M

44 46 Lignes de champ Lignes éqiptentielles Zne centale excle ca hypthèse >> a pas satisfaite Lignes éqiptentielles et lignes de champ à gande distance d dipôle

45 47 c Actin d n champ électstatiqe s n dipôle (cas d champ nifme) Cette actin est epésentée pa l ensemble de dex fces F q et F q avec F F 0 Cple dnt le mment est Γ AB q p F q B O A q F Rtatin d dipôle p alignement sivant (vi plaisatin des diélectiqes I-6)

46 PRINCIPAUX TYP D COORDONNÉ T OPÉRATUR AOCIÉ Catésiennes Champ scalaie Φ(x, y, ) Champ vectiel ( ) ( ) ( ) y y x x x,y, x,y, x,y, ) y, (x, y x y x gad Φ Φ Φ Φ y x div y x x y y x x y y x x y t ( ) y x divgad Φ Φ Φ Φ Φ x y O d dx dy M (x, y, ) dτ dx dy d y x Cylindiqes Champ scalaie Φ(ρ, (ρ, (ρ, (ρ,, ) Champ vectiel ( ) ( ) ( ) ρ,,,,,, ),, ( ρ ρ ρ ρ ρ ( ) ρ ρ ρ ρ div ρ ρ Φ Φ ρ ρ Φ gadφ ( ) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ t Φ Φ ρ ρ Φ ρ ρ ρ Φ x y O d ρd dρ ρ dτ ρdρ d d M(ρ,, ) ρ d phéiqes Champ scalaie Φ(,, ϕ) Champ vectiel ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ,,,,,, ), (, ϕ ϕ Φ Φ Φ Φ sin gad ( ) ( ) ϕ ϕ sin sin sin div ( ) ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sin sin sin t ( ) Φ ϕ Φ Φ Φ sin sin sin dτ sin d d dϕ x y O ϕ d M(,,ϕ) sindϕ d ϕ dϕ d 48

47 49 Chapite I THÉORÈM D GAU / Intdctin Utilisatin des ppiétés de syméties pemet de simplifie la ésltin d pblème Pint cental d théème de Gass : Chix d ne sface femée, appelée sface de Gass, a taves de laqelle n calcle le flx d champ électstatiqe céé pa la distibtin de chages, devant teni cmpte des syméties d système cnsidéé

48 50 / Ntin d angle slide a Rappel egment dl sité at de P à distance de O et incliné de α pa appt à la nmale à OP dl dl de O ss n angle : dl d csα d l O Unité : adiant (d) d α P b Définitin de l angle slide d Élément de sface d at de P à distance de O vecte nitaie sivant OP d d n incliné de α pa appt à dσ : pjectin de d s n plan OP P dσ α n Angle slide élémentaie ss leqel d est ve de O : dω dσ dcs α d O Unité : stéadiant (s)

49 5 c xpessin de l angle slide en cdnnées sphéiqes M epéé pa les cdnnées (,, ϕ) Angle slide ss-tend pa ne sface femée entant le pint O : Ω π π ϕ 0 0 sin d dϕ 4π x O ϕ d dϕ M dσ M M M p y MM d MM M p M p sindϕ dσ sinddϕ dσ dω sin ddϕ M p Ω indépendant de : Angle slide ss leqel ne sface femée est ve d n pint O sité à l intéie de celle-ci 4π s la psitin de O

50 5 3/ Flx, à taves ne sface femée, d champ électstatiqe céé pa ne chage pnctelle a Chage sitée à l intéie de cette sface Chage q en O. champ électstatiqe en P céé pa q: Flx de à taves la sface élémentaie d d n : Pisqe dω d ' dφ K q dω d' P q K ( : vecte nitaie pté pa OP) q d Φ d dφ K d i sface femée qelcnqe entant q : ( ) π Φ K q dω femée 4 0 4πKq dω ' O q dω P d Cas q > 0

51 53 b Chage sitée à l extéie de cette sface : champ céé pa q a visinage de P s Flx de à taves : d d Φ d dφ K q dω dω décpe s ne ate sface élémentaie d' a visinage de P : champ céé pa q en P Flx de à taves : d' d Φ' d' Pisqe d d' Flx de à taves d : dφ K q dω Flx d champ électstatiqe dans dω à taves : Φ dφ dφ 0 d Flx ttal d champ électstatiqe céé pa q sitée à l extéie de : Φ K q dω ( ) dφ 0 Ω q O dω d P d' P d Ω Cas q > 0

52 54 c Généalisatin à ne distibtin de chages Théème de Gass Chages q i dmaine D de l espace face femée entant D Pincipe de spepsitin : i : champ céé en M (s ) pa la chage q i ( D) i Φ : champ céé en M pa ttes les chages d dmaine D ( ) d Théème de Gass p le champ électstatiqe : Pint imptant : chix de la sface i i d i d i 4πK i q i ( ) d 4πK Φ q femée int M d q i D qi Cas q 0 i i >

53 55 Intéêt d théème de Gass : Pemet de détemine en tt pint, le champ céé pa des distibtins de chages pésentant des syméties Remaqe : i la distibtin de chages ne pésente pas de symétie, n dit se cntente d pincipe de spepsitin 4/ Pemittivité d vide. Unité atinalisée Angle slide Ω pa appt à 4π (angle slide leqel n vit ne sface femée) : dφ K q dω devient dφ q dω avec ε 4π K 4 πε Ω 4π Intdctin de ε pemittivité d vide ystème d nité atinalisé : ε C 36 π0 /Nm ( 8, C N - m - ) 9

54 56 5/ Fme lcale d théème de Gass (Relatin lcale ente et ρ) Distibtin vlmiqe ρ de chages dans n dmaine D enté pa la sface Φ.ds ε D ρ dτ Théème de Gass ss sa fme intégale dans le cas paticlie d n dmaine enfemant n ensemble de chages libes placées dans le vide M dτ ρ D L intégale s D pet s étende a vlme enfemé pa Théème de la divegence :.ds div dτ ε ρ dτ div ε ρ Fme lcale d théème de Gass dans le vide

55 57 6/ Électstatiqe dans les diélectiqes a Miliex cndctes et miliex diélectiqes Matièe : assemblage d atmes cmpsés de paticles électisées (nyax, électns) Dex cas : s l actin d n champ électstatiqe : des électns (de cndctin) ciclent à taves les atmes. C est le phénmène de cndctin. Il s agit d n cndcte Les électns estent liés ax nyax (fce de appel atmiqe) n pésence d n champ extéie cente de gavité des chages n est pls cnfnd avec celi des chages céatin de dipôles : les atmes mlécles se plaisent. C est la plaisatin. Il s agit d n milie islant diélectiqe - RMARQU : Des diélectiqes cmme l ea pésentent cette caactéistiqe en absence de champ électstatiqe Ce snt des diélectiqes plaies

56 58 b Champ indit Indctin électiqe Dmaine diélectiqe cmptant des chages libes de densité ρ céent n champ et va cée n champ indit i i - champ électstatiqe ésltant i Tt se passe cmme si des chages de densité vlmiqe ρ p nt céé Densité ésltante de chages : ρ ρ p i div ( ρ ρ ε p ) Intdctin d vecte plaisatin électiqe p tel qe ρp divp divε Ε p ρ Indctin électiqe D ε p (electic displacement) théème de Gass : divd ρ D cntine à véifie le théème de Gass dans les diélectiqes plaisés als qe cela n est pls le cas p Intéêt essentiel de D

57 59 c Diélectiqe linéaie pafait ecte plaisatin pptinnel a vecte champ électstatiqe (ts les dipôles snt //) On écit : p ε χε χ cnstante > 0 (sans dimensin) : ssceptibilité d diélectiqe div Ε p ε ρ div Ε ε χ ε ρ ε χ ε ε ε div ρ (χ) ε : pemittivité elative d milie diélectiqe : pemittivité absle d milie. ( ε >) Cas d diélectiqe pafait : div ρ ε RMARQU : Dans le vide (et dans les matéiax qi ne se plaisent pas) : p 0 χ 0 ε Théème de Gass ss sa fme intégale Φ ds ε ρ dτ

58 60 d qatins fndamentales de l électstatiqe dans les diélectiqes Champ électstatiqe déive d ptentiel : gad éqivalent à t 0 div div gad ρ ε div gad : laplacien de, nté ρ 0 qatin de Pissn (imén Denis Pissn, ) ε gad Dex gpes d éqatins éqivalentes : div ρ ε t 0 ρ 0 ε - n absence de chages libes : gad div 0 t 0 0 (éqatin de Laplace) - xactement mêmes éqatins qe celles "l électstatiqe d vide" à cnditin de emplace ε pa ε

59 6 7/ xemples d applicatin d théème de Gass a Chage pnctelle placée dans le vide it ne chage pnctelle Q > 0 O M ϕ y Invaiance : pa tatin at d cente O x ϕ champ électstatiqe ne dépend qe de (distance à O) ( ) yméties : tt plan passant pa O est plan de symétie à ts ces plans à la fis adial et s éligne de O (Q > 0) ( ) (() > 0) Chix de la sface femée : symétie sphéiqe sphèe cente O, ayn Th. de Gass : d Φ d femée ( ) d Q ε Q et 4 πε Q 4πε 4π d P Q O P d

60 6 b Distibtin nifme de chages pésentant ne symétie sphéiqe Ble hmgène ayn R et sit ne chage -Q (avec Q > 0) Invaiance : pa tatin at d cente O champ électstatiqe ne dépend qe de (distance à O) yméties : tt plan passant pa O est plan de symétie ( ) à ts ces plans à la fis adial ( ) Chix de la sface femée : symétie sphéiqe sphèe cente O, ayn Champ à l extéie de la ble chagée (cas > R) : ( ) Q Th. de Gass : Φfemée qint ε ε d d Résltat identiqe à celi bten p ne chage Q cncentée en O d Q Q 4 et πε 4πε 4π M O P d P O P d

61 63 A l intéie de la ble de chage Q (cas < R ) On a tjs ( ) ( ) Th. de Gass : Q int Q 4 πε Q 4πε 4 π 3 R 3 int ρ Φ femée ( ) ε Q int (ρ ρ < 0 : densité vlmiqe de chages) ρ 3 ε : sphèe de ayn < R Q int : chage de la ble de ayn (intéiee à ) O R

62 64 c Distibtin nifme de chages pésentant ne symétie cylindiqe Cylinde t lng, chagé en sface avec λ > 0 : chage pa nité de lnge Invaiances Dans ne tatin at de l axe Dans ne tanslatin sivant (cylinde t lng) Cdnnées cylindiqes (ρ,, ) Champ indépendant de et ne dépend qe de ρ (distance à ) ( ρ) Plans de symétie Plans (cylinde t lng) Plans passant pa à ts ces plans à i chages > 0 s éligne de Chix de la sface femée : symétie cylindiqe cylinde femé (hate L, axe, ayn ρ) ( ) Q int ( ρ) ρ xtéie d cylinde chagé (ρ > R, Q int λl chage enfemée dans ) Th. de Gass Φ ε Q d d d π ρl int λ ρ ε περ bases lat A l extéie d cylinde cex chagé, la nme d champ vaie en /ρ

63 65 À l intéie d cylinde chagé (ρ < R ) On a tjs ( ρ) ( ρ) ρ Th. de Gass : Φ ( ) 0 π ρl 0 : cylinde femé, ayn ρ < R, hate L Chage de ce cylinde de ayn ρ 0 λ πεr Q Q int 0 R ρ ρ O R ρ

64 66 d Plan infini chagé avec ne densité sfaciqe σ (plan xoy) Invaiances ne dépend qe de Dans ne tanslatin sivant x Dans ne tanslatin sivant y Cdnnées catésiennes (x, y, ) indépendant de x et y ( ) Plans de symétie : Plans xoy à ts les plans xoy xoy x x y O i > 0 i < 0 (plan ) M y x y ( ) ( ) ds Σ base Σ base ds i σ > 0 s éligne de xoy () > 0 Chix de la sface femée : cylinde femé (axe, sface de base ) ( ) Q Th. de Gass Φ (Q σ : chage enfemée dans ) ε σ σ d d d ε ε bases lat σ σ si > 0 si < 0 Champ nifme ε ε

65 67 Chapite CONDUCTUR N ÉQUILIBR / Définitins Cndcte : chages libes pls mins nmbeses (en généal des électns) Actin d n champ électstatiqe mvement (cant électiqe) Diélectiqe : chaqe chage est ftement liée à ne chage de signe cntaie Des chages spplémentaies pevent avi été apptées aachées ls de l électisatin des slides (pa fttement pa exemple), mais elles ne pevent nn pls se déplace libement épaatin pssible des chages en faisant agi n champ tès intense Le diélectiqe devient als cndcte : Ga inisés / Ppiétés des cndctes en éqilibe a Champ électstatiqe à l intéie d n cndcte en éqilibe i champ 0 dans cndcte chages libes seaient smises à ne fce mvement cant O de cant pemanent dans n cndcte islé int 0

66 68 Remaqe : Dans les cndctes Mlécles atmes pas plaisés : p 0, χ 0 et ε ε ε b Ptentiel à l intéie d n cndcte en éqilibe aiatin de ptentiel ente A et B à l intéie d n cndcte en éqilibe : B A B A B int A d 0 : ptentiel cnstant dans le cndcte c Densité vlmiqe de chages dans le cndcte int 0 théème de Gass d 0 ( Σ) Σ int ρ int 0 Σ (n fait, dans tt élément de vlme, il y a atant de chages qe de )

67 69 d Chages s la sface d cndcte Σ i n ajte des chages a cndcte Fces ente ptes de chages Nvelle épatitin Apès éqilibe n a tjs int 0 it ne sface de Gass dans le cndcte, mais tès pès de sa sface extene 0 en tt pint de Σ q int 0 Répatitin des chages ajtées s la sface extene (avec ne densité sfaciqe σ) e Théème de Clmb (champ électstatiqe a visinage d cndcte chagé) face d cndcte est éqiptentielle v a visinage extéie de cette sface n v Σ Déteminatin de v Théème de Gass (sface femée Σ : cbe élémentaie de pat et d ate de la sface d cndcte avec dex faces nmales à n ) ε ο int 0 (ε : pemittivité d milie extéie) théème de Clmb : v σ σ v n ε ε

68 70 f xemple de la sphèe cndctice hmgène et chagée Chages en sface avec ne densité sfaciqe σ nifme Théème de Gass syméties champ extéie adial Nme d champ a visinage sphèe (ayn R) : On etve le théème de Clmb v 4πε Q R 4πε σ 4πR R σ ε Ptentiel cnstant à l intéie d cndcte Calcl a cente (pint paticlie) Ptentiel céé a cente pa ne chage élémentaie σd : Intégatin s la sface de la sphèe int 4πε σ 4πR R d 4πε σ R ε σ d R CONQUNC : Le pvi des pintes Dex sphèes cndctices chagées (ayns R et R ) eliées pa n lng fil cndcte Cndcte niqe a même ptentiel avec épatitin nifme des chages s chaqe sphèe avec densités sfaciqes σ et σ σ ε R σ R ε σ R σ R σ Cndcte chagé de fme iéglièe : Densité sfaciqe de chages pls gande dans les nes ù le ayn est petit Nme d champ électstatiqe pls imptante ax pints anglex d'n cndcte qe dans les nes pls nifmes R R R σ σ

69 7 g Cas d cndcte cex face intene : éqiptentielle et ente n vlme sans chages Q ds 0 int 0 et int cste int 0 σ int cste Théème de Clmb int 0 ε σ face intéiee nn chagée Les chages ne pevent se tve qe s la sface extene d cndcte

70 7 3/ Capacité d cndcte islé Cndcte islé chagé : chage Q épatie s sa sface ( ) σ Densité sfaciqe de chages σ M Q ( M)d ( ) Cndcte a ptentiel O 4πε (O qelcnqe à l intéie d cndcte) σ( M ) d OM i n nifmément la densité sfaciqe de chage pa κ O M σ(m) Q Q' Q Q' κ Q et ' κ C ' i De manièe généale p n cndcte islé : Q Ci C i ne dépend qe de la fme gémétiqe de la sface d cndcte C est la capacité d cndcte islé Unité de capacité : le Faad (F) : F C/ Q Cas d n cndcte sphéiqe : C 4πε R (R m C i 0, nf!) 4πε R i NOT : Unité de pemittivité ε : Faad/mète (F/m) à la place de C N - m -!!

71 73 4/ Phénmènes d inflence électstatiqe a Inflence ttale Q -Q Σ B Cps (diélectiqe cndcte) A ptant ne chage Q placé dans la cavité d n cndcte B initialement nete Ε 0 à l intéie de B d 0 Chage nlle enfemée pa Σ Σ Pisqe A pte Q Q s la pai intéiee de la cavité de B Q A Pisqe B était nete a dépat sa sface extéiee dit pte ne chage Q (pincipe de cnsevatin de la chage électiqe) Les cndctes A et B snt en inflence ttale Il y a inflence ttale ente les cndctes A et B lsqe ttes les lignes de champ isses de A abtissent s B de façn à ce qe la chage ttale de A se etve a signe pès en B _ -Q A Q _ B

72 74 b Inflence patielle Mise en pésence d cndcte A (ptentiel ) et cndcte B (ptentiel ) Ttes les lignes de champ isses de A n abtissent pas en B La chage ttale Q de A ne se etve pas en B inflence patielle Q? B Q? A Cas > Pblème : Relie Q et Q à et et ax caactéistiqes gémétiqes et psitins elatives de A et B

73 i a a C Q C Q 0 Q 0 Q a a < > C > 0 spepsitin de dex états : - tat a : A a ptentiel 0 B a ptentiel - tat b : A a ptentiel B a ptentiel 0 B _ A 0 TAT a a Q a Q _ Pincipe de spepsitin C (< 0) : cefficient d'inflence de B s A 75

74 76 TAT b b Q 0 A b Q B b b i Q > 0 Q < 0 Q Q b b C C C > 0 C (< 0) : cefficient d'inflence de A s B Inflence de A s B inflence de B s A C C TAT a b Q Q Q Q a a Q Q b b C C C C C ij ne dépendent qe de la gémétie d système

75 77 c Cndensates ystème de dex cndctes en inflence ttale Q ÉTAT (, 0) (tat b) A a ptentiel et ptant Q est enté pa B a ptentiel nl dnt la chage ptée pa sa sface intene est Q Q C C C Q C 0 B Q A Q Q Q ÉTAT (, ) A est a ptentiel et pte Q et B a ptentiel avec la chage ttale Q (sa sface intene pte Q et sa sface extene pte Q Q Q ) Q Q C C Q Q Chage ttale ptée pa la sface extéiee de B : C : Capacité d cndensate C Q C( ) On pse C C C C C C Ci Q ' C i ( ) C Q' C i : capacité de B islé B Q Q ( C C) A capacité de A en pésence de B

76 78 d xemples / Capacité d cndensate sphéiqe space ente les amates : le vide ε -Q Champ électstatiqe ente les amates : adial (syméties) Théème de Gass Q 4 πε Σ Q R R Difféence de ptentiel ente et : (tajet natellement chisi : adial) d Q 4πε R R d Q 4πε R R Q 4πε R R C 4πε R R R R

77 79 / Capacité d cndensate plan Cas ù distance e ente les amates est petite devant les dimensins de celles-ci space ente les amates : le vide Champ électstatiqe ax plaqes (syméties) -Q Théème de Gass Σ d Q ε Σ d Q (À l extéie des amates : 0 pisqe ne sface de Gass qi ente le cndensate enfeme ne chage ttale nlle) e Q nte les amates nifme ε Difféence de ptentiel ente et : d e eq ε ε C e 4πεR e Nte: Cndensate sphéiqe, n pet éécie C avec e ε e R i C R e On etve l expessin d cndensate plan e R R

78 80 Remaqe : i l espace ente les amates est empli d n milie diélectiqe de pemittivité elative ε capacité est mltipliée pa atant Remaqe : ymble : e Assciatin de cndensates / AOCIATION N PARALLL Ts les cndensates snt ss la même ddp A B et Chages des cndensates s ajtent : O Q ( ) Céq A B i / AOCIATION N RI Q i i ddp A B : smme des ddp ax bnes de chaqe cndensate Q C éq C i Q i C i ( ) A B C i A B Q A B i Ci Q Pisqe A B C éq C éq i C i A C i Q -Q Q -Q Q -Q B

79 8 Chapite I ÉNRGI ÉLCTROTATIQU / negie ppe ( de céatin) d n système de dex chages pnctelles Déplacement d de q a visinage de q : aiatin d'énegie ptentielle d système ( : champ électstatiqe céé pa q en q ) de q d M q M d q C aiatin d ptentiel électstatiqe le lng de d : d d e q d d M q est amené en M depis l pa le chemin C q d q [ ( M ) ( ) ] e ( ) ( ) ( ) M et : ptentiels céés pa q en M et à l' e q M q : distance M M ( M ) q q e 4πε 4πε e : énegie ptentielle électstatiqe de céatin d système des dex chages q q

80 8 i q q > 0 e > 0 : Le système a eç d tavail i q q < 0 e < 0 : Le système a fni d tavail (l extéie a eç d tavail de la pat d système ls d déplacement de q en M ) Remaqe : it q en M. On amène q de l jsq en M Ptentiel céé pa q en M : ( ) M e e q ( M ) [ q ( M ) q ( M )] ' e / Cas de plsies chages a xpessin en fnctin des chages M q 3 M q 3 Plsies chages en pésence dans n dmaine D de l espace Énegie électstatiqe ttale d système smme des temes ds à l inteactin mtelle de chacne des paies de chages M 3 q 3 xemple : q 3 à distance 3 de q et à distance 3 de q e 4πε q q q q 3 3 q q 3 3

81 83 ystème de N chages : e 4πε N i,j ( i< j ) q i q ij j M q D q i M i 3 M q 3 ij M j Relatin pls 'symétiqe' : mmatin s i et j (de à N), en évitant i j (Appaaît le facte ½) b xpessin en fnctin des ptentiels N j q 4πε j ij e N i i j M 3 q 3 N j q i q 4πε : ptentiel i céé pa ttes les chages q j placées ax distances ij de q i XMPL POUR 3 CHARG : : ptentiel céé en M pa q et q 3 : : ptentiel céé en M pa q et q 3 : 3 : ptentiel céé en M 3 pa q et q : e 3 i q i 4πε 4πε 4πε i q q q 3 q q q q j ij q j q q33 e

82 84 3/ Distibtin cntine de chages Chages de densité vlmiqe ρ dans n dmaine D ( ) ( ) : ptentiel céé pa ttes les chages d dmaine (ates qe celle placée en M) Pas de chages à l extéie de D l intégale s étend à n dmaine infini e D ( ) dτ( ) M ρ( ) ( ) ρ( ) dτ D e D ( ) ρ( ) dτ O xpessin similaie p ne distibtin ( ) sfaciqe σ de chages

83 85 4/ xpessin en fnctin d champ ρ xpessin lcale d théème de Gass : ( ) ( ) div ε ( ) ( ) div ε e D dτ Identité p fnctin scalaie Φ( ) et fnctin vectielle () : div Φ ( ) Φ div gad Φ ( ) ε ε div div τ e d d D Intégale de sface : d ~ ~ ~ d ~ Intégale s sface femée d extensin infinie ayn myen infini Intégale de sface 0 e ε D dτ.d 0 Lcalisatin de l énegie Cette expessin en fnctin d champ électstatiqe est fnctin d pint de l'espace Pssibilité de lcalisatin ε n tt pint de l espace : densité d énegie électstatiqe e Unité : J.m -3 e e dτ D

84 86 5/ Applicatin negie emmagasinée dans n cndensate Énegie d n système de chages q i ax ptentiels i : f Cas d cndensate : e Q i État initial : e Q' ( ) Q' negie emmagasinée dans le cndensate : e f e i e Q f e q ( ) C ( ) Nte : Utilisatin de la densité d énegie électstatiqe e Cas simple d cndensate plan avec vide ente les amates e : distance ente les amates : sface des amates xtéie cndensate : champ 0 Pisqe negie emmagasinée : e e ε e e Q C v e C e.e ( ) ε i i A. e i Q Q Q Q A -Q

85 87 Fce qi s exece s les amates d cndensate (fce d attactin) Une amate est fixe et est eliée a sl, l ate est mbile (paallèlement à elle-même sivant l axe O) sans fttement et ptée a ptentiel a Cas ù la chage est cnstante Une fce F ext execée pa n péate éqilibe la fce d attactin F ente les amates Pincipe de cnsevatin de l énegie (cndensate islé) : Fext k 0 Tavail dt fni pa l péate cmpense la pete d énegie électstatiqe d d cndensate : d T d 0 it n déplacement élémentaie d e de k (appchement) F Q C ext Q e d de ( < 0) ε ε de Q Q de ε 0 F ext Q ε dt F de ext F ext de Fce ente les amates F Q k ε

86 88 b Amate à ptentiel cnstant chage vaie ε Q C dq dc e e d (si de <0 -appchement des amates- dq > 0) Le généate, en fnissant dq, a fni le tavail d T a cndensate ε d dq de ( > 0) T e Une fce F ext execée pa n péate éqilibe la fce d attactin F ente les amates Pincipe de cnsevatin de l énegie : Tavail dt fni pa l péate gain d énegie électstatiqe d d cndensate Gain dénegie d T d cndensate : d T d d T ε C d dc de ( > 0) e dt F ext de F ext de ε e de ε e de d ù F ext ε e Fce ente les amates F ε e k Remaqe : Les dex expessins de la fce snt éqivalentes