Intégration (suite) 1 Champs de vecteurs et intégrales curvilignes

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1 . Intégrtion (suite) e qui suit comporte trois prties : l première correspond à peu près à ce qui été trité lors du dernier cours, certins exemples du cours et d utres clculs sont présentés dns l deuxième, l troisième borde l question des chmps de vecteurs dns l espce et les théorèmes de Stokes et de Guss-Ostrogrdsky, dont il n ps été question en cours fute de temps (ucune question ne porter sur ce prgrphe 3 à l exmen). 1 hmps de vecteurs et intégrles curvilignes 1.1 Définition Définition 1.1. Soit U R n un ouvert. Un chmp de vecteurs sur U est une ppliction F de U dns R n de clsse 1. L ppliction F ssocie un vecteur à chque point. Exemples (1) F (x, y) = ( y, x) (2) F (x, y) = (1, ) (3) F (x, y, z) = (x, y, z) (4) F (X) = X si X X (5) Si f est une fonction de R n dns R, soit F (x) = t f(x). e chmp de vecteurs est ppelé chmp grdient. 1.2 Intégrle curviligne Définition 1.2. Soient r : [, b] R n une courbe prmétrée de clsse 1 et F un chmp de vecteurs défini sur l imge de r (qui est une courbe ). Alors on pose : b F dr = F (r(t)) r (t) dt ette quntité s ppelle intégrle curviligne de F sur. Exemples r(t) = (t, t n ), t 1 F (x, y) = ( y, x) Interpréttion : notion de trvil d une force 1

2 Proposition 1.3. Les principles propriétés sont : (F 1 + bf 2 ) dr = F 1 dr + b F 2 dr Si est prmétré dns un sens pr r, dns l utre pr s, on : F ds. Si = lors : F dr = F dr + F dr. 1 2 F dr = 1.3 hmps grdient et indépendnce de chemin Définition 1.4. F chmp de vecteurs est un chmp grdient s il existe f de U dns R telle que F = f. Exemple F (x, y) = (y, x) Théorème 1.5. Si F est un chmp de grdient lors de. F dr ne dépend que des extrémités Théorème 1.6. On équivlence entre : - F est un chmp de grdient. - F dr ne dépend que des extrémités de et ceci pour tout chemin de. Proposition 1.7. Si F = (F 1, F 2,..., F n ) est un chmp de grdient lors : i, j, i x j = j x i Théorème 1.8. Soit F un chmp de vecteurs sur U. Si U est un ouvert étoilé lors F est un chmp de grdient si et seulement si i x j pour tout i et tout j. = j x i 1.4 Théorème de Green-Riemnn Soit S R 2 un domine compct délimité pr une courbe fermée, simple et 1 pr morceux. On oriente = S en disnt que le sens direct est celui qui lisse S à guche. 2

3 Théorème 1.9. (de Green-Riemnn) Soient S un domine compct, = S son bord orienté ( positivement. f2 Si F (x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) lors F dr = x f ) 1 dx dy. y Démonstrtion : Dns le cs d un rectngle [, b] [c, d]. Il suffit de clculer successivement les deux termes de l églité pprissnt dns l énoncé du théorème et de constter qu on obtient le même chose. b d F dr = (f 1 (x, c), f 2 (x, c)), (1, ) dx + (f 1 (b, y), f 2 (b, y)), (, 1) dy = = + + b b b d c (f 1 (b t, d), f 2 (b t, d)), ( 1, ) dt (f 1 (, d s), f 2 (, d s)), (, 1) ds f 1 (x, c) dx + b d c f 1 (u, d) du f 2 (, v) dv d c f 2 (b, y) dy (f 1 (x, c) f 1 (x, d)) dx + d c S c (f 2 (b, y) f 2 (, y)) dy. Attention ux signes dns le clcul précédent (on posé u = b t et v = d s près le deuxième signe =). ( f2 x f ) d ( b ) 1 f b ( d ) 2 f 1 dx dy = (x, y) dx dy (x, y) dy dx y x y S = c d c (f 2 (b, y) f 2 (, y)) dy b c (f 1 (x, d) f 1 (x, c)) dx. Nottion Voici une utre fçon, équivlente, d énoncer ( l conclusion du théorème de Green-Riemnn : Q Si F = (P, Q) : P dx + Q dy = S x P ) dx dy. y En plus, u lieu de on écrit prfois pour rppeler que le chemin est une boucle. orollire 1.1. Aire S = x dy = 1 2 y dx + x dy. Appliction de Green-Riemnn Si G(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) est un chngement de vribles d un domine R à un 3

4 domine G(R) lors : G(R) dx dy = R det J(G) du dv 1.5 Intégrles de surfce Surfces dns R 3 On peut décrire une surfce de R 3 de trois mnières : ) Surfce de niveu S = {(x, y, z) R 3 / f(x, y, z) = } où f est une fonction de R 2 dns R. Exemple : f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 R 2 =. b) Grphe d une fonction z = f(x, y) Exemple : z = x 2 + y 2. c) Surfce prmétrée Soit r : T R 2 où T R 2 : r(u, v) = {x(u, v), y(u, v), z(u, v)}. Exemple : sphère, cône en coordonnées sphériques ou cylindriques Aire de S = r(t ) On Aire (T ) = 1 du dv. On cherche mintennt à définir l ire d une surfce prmétrée. s d une prtie plne. s d une surfce prmétrée. Prenons une surfce prmétrée pr un crré pour simplifier l écriture. F : [, 1] 2 R 3 : (s, v) F (u, v). omme dns le cs d une courbe on essye d pprocher l surfce pr une surfce constituée pr l réunion de morceux de plns. 4

5 Posons x i,j = F (i/n, j/n). Lorsque i et j vrient de à n on obtient insi n 2 points réprtis sur l surfce. onsidérons l surfce définie comme l réunion de tous les tringles [x i,j x i,(j+1), x (i+1),j ] et [x,ij x i,(j 1), x (i 1),j ]. ette surfce colle de plus en plus à l surfce prmétrée lorsque n ugmente. lculons l ire d un tringle [x i,j x i,(j+1), x (i+1),j ]. est l moitié de l norme du produit vectoriel des vecteurs x i,(j+1) x i,j et x (i+1),j x i,j. Un développement de Tylor donne Le produit vectoriel est donc égl à x i,(j+1) x i,j = F (i/n, (j + 1)/n) F (i/n, j/n) = F (i/n, j/n)(, 1/n) + ɛ(1/n)/n = (i/n, j/n)/n + ɛ(1/n)/n, v x (i+1),j x i,j = F ((i + 1)/n, j/n) F (i/n, j/n) 1 n 2 et l norme de ce vecteur est 1 n 2 = F (i/n, j/n)(1/n, ) + ɛ(1/n)/n = (i/n, j/n)/n + ɛ(1/n)/n. u ( (i/n, j/n) (i/n, j/n) + ɛ(1/n) u v ( (i/n, j/n) u v ), ) (i/n, j/n) + η(1/n). L ire du tringle [x i,j x i,(j+1), x (i+1),j ] est donc ( ) 1 (i/n, j/n) (i/n, j/n) 2n 2 u v + η(1/n). Le même clcul montre que l ire du tringle [x i,j x i,(j 1), x (i 1),j ] est ussi ( ) 1 (i/n, j/n) (i/n, j/n) 2n 2 u v + η(1/n). Lorsque l on fit l somme des ires de tous ces tringles on obtient donc l somme ( ) 1 n 2 (i/n, j/n) (i/n, j/n) u v + η(1/n) et l différence de cette somme vec ( 1 n 2 u i,j i,j (i/n, j/n) v 5 ) (i/n, j/n)

6 tend vers. Or lorsque n tend vers l infini cette somme converge vers l intégrle double u v du dv. [,1] 2 est donc pr cette intégrle double qu on définit l ire de l surfce prmétrée. Définition On pose : Aire (S) = r T u r v du dv. 1) Si r est injective lors S = r(t ) est une surfce prmétrée simple. 2) Si r u r v sur T, lors S = r(t ) est dite lisse (on suppose r de clsse 1 ). ( ) 2 ( ) 2 f f s prticulier : S est définie pr z = f(x, y) lors Aire(S) = dx dy. x y Intégrle de surfce Si f : R 3 R est bornée sur S = r(t ). Alors : Définition On ppelle intégrle de surfce f ds = f(r(u, v)) r u r v du dv. r(t ) Exemple lcul d ire Recherche de centre de grvité T 1.6 hngement de prmétrge Proposition L intégrle de surfce est inchngée qund on chnge de prmétrge. 6

7 2 Aires et volumes de figures courntes 2.1 Boules Le périmètre du cercle L lettre grecque π est utilisée pour désigner le coefficient de proportionnlité entre le dimètre d un cercle et son périmètre. est s définition. Mis pour que cette définition it un sens il fut montrer que le dimètre et le périmètre d un cercle sont proportionnels. Pourquoi est-ce le cs? On peut le constter expérimentlement. On peut définir l longueur d une courbe comme limite de longueur de lignes brisées qui pprochent bien l courbe. Dns le cs du cercle pr exemple on peut pprocher le cercle pr l suite des polygones réguliers inscrits dns le cercle. Le théorème de Thlès montre que l longueur de ces polygones est proportionnelle u dimètre du cercle. L limite de ces longueurs, c est-à-dire le périmètre du cercle, l est donc ussi. Muni de cette définition de π, il est lors possible de montrer différentes formules donnnt les ires ou volumes de figures courntes L ire du disque Prenons un disque. Découpons le en qurtiers égux et rérrngeons les. 7

8 Lorsqu on ugmente le nombre de prts l figure rérrngée s pproche d un rectngle de côtés πr et R et elle grde l même ire que le disque. On en déduit que le disque une ire égle à πr 2. On peut retrouver ce résultt grâce u clcul intégrl. En intégrnt pr trnche : Aire = 4 = 4 R π/2 = 4R 2 π/2 = πr 2, R2 x 2 dx R cos(t)r cos(t) dt 1 + cos(2t) 2 clculée grâce u chngement de vrible x = R sin(t). On peut ussi (et c est plus simple qund on connît l expression du jcobien du pssge en polires) utiliser les coordonnées polires Aire = R 2π = 2π.R 2 /2 = πr 2. r dr dθ dt L ire de l sphère omme rchimède 8

9 Avec les intégrles On peut clculer l ire de S + = {(x, y, z) x 2 + y 2 + z 2 = 2, z } en utilisnt l représenttion prmétrée f(u, v) = ( cos u cos v, sin u cos v, sin v). L ppliction f : [, 2π[ [, π/2[ R 3 : (u, v) ( cos u sin v, sin u sin v, cos v) définit un prmétrge régulier bijectif de l demi sphère privée du point (,, ). L formule donnnt l ire d une nppe prmétrée s écrit Aire(S + ) = f u f v dudv. On donc et [,2π[ [,π/2[ f u = ( sin u sin v, cos u sin v, ), f v On en déduit Aire(S + ) = = ( cos u cos v, sin u cos v, sin v), f u f v = ( 2 cos u sin 2 v, 2 sin u sin 2 v, 2 sin v cos v), [,2π[ [,π/2[ f u f v = 2 sin v. 2π 2 sin v dudv = 2 ( du)( Pour l sphère entière on trouve 4π 2 (v vrie de à π). π/2 sin v dv) = 2π 2. 9

10 onsidérons deux plns sécnts u centre de l sphère. Ils délimitent qutre secteurs ngulires dns l espce et qutre prties de l sphère. L ire d une telle prtie est proportionnelle à l ngle des demi-plns l définissnt. omme elle vut 4π 2 pour un ngle de 2π, dns le cs d un ngle α elle vut 2α 2. On peut ussi le voir vec le clcul intégrl fit plus hut : u lieu d intégrer entre et 2π pour u on intègre entre et α. Il fut remrquer ensuite que seul l ngle des plns définissnt une telle portion de l sphère importe, ps leur orienttion. ette remrque simple permet de démontrer le théorème de Girrd sur les tringle géodésiques trcés sur l sphère. Un tringle géodésique sur l sphère est un tringle dont les côtés sont formés de grnds cercles de l sphère. On ppelle géodésique d une surfce les courbes de longueurs minimles entre leurs points. Pour une sphère ces courbes géodésiques sont les grnds cercles, c est-à-dire les intersections de l sphère vec les plns pssnt pr le centre de l sphère. Théorème 2.1. (Girrd) Soit AB un tringle géodésique trcé sur l sphère de ryon R d ngles ux sommets α, β, γ. Alors on l reltion suivnte où A désigne l ire du tringle AB. α + β + γ = π + A/R 2, L reltion lint les ngles d un tringle du pln doit donc être modifiée (on l retrouve comme cs limite lorsque R tend vers l infini). Démonstrtion Il suffit de voir que les qurtiers d ornge d ngles α, β et γ dont les sommets sont ceux du tringle AB recouvrent l équivlent d une demi-sphère plus deux fois le tringle AB on obtient donc 2(α + β + γ)r 2 = 2πR 2 + 2A ce qui donne l églité souhitée. orollire 2.2. Soit P un polygone géodésique à n côtés trcé sur l sphère, α 1,..., α n les ngles en ses sommets, A son ire. On : n α i = (n 2)π + A/R 2. i=1 De ce théorème on déduit l formule d Euler-Poincré pour un polyèdre convexe. Théorème 2.3. Soit P un polyèdre convexe. On ppelle s le nombre de ses sommets, le nombre de ses rêtes, f le nombre de ses fces. On : + 2 = f + s. Démonstrtion Plçons P à l intérieur d une sphère, le centre de l sphère étnt à l intérieur de P. Projetons ensuite P sur l sphère à prtir du centre. Les fces du polyèdre 1

11 deviennent des polygones géodésiques. L somme des ires de ces polygones est l ire de l sphère 4πR 2. Lorsqu on fit l somme de tous les ngles on obtient 2π fois le nombre de sommets de P. On obtient donc d une prt ( ) α S (n F 2)π = 4π, F S F d utre prt el fournit l églité α S = α S = 2πs. F S F S S 2πs F n F π + 2πf = 4π. Mis l somme F n F est égle à 2 (lorsqu on fit l somme des nombres de côtés des fces on compte deux fois chque rête). Finlement, on 2π(s + f) = 4π, soit s + f = + 2. Exemples : Pour le cube on = 12, f = 6, s = 8 et 12+2=6+8. Pour le tétrèdre on = 6, f = 4, s = 4 et 6+2=4+4. On pourr vérifier cette formule pour le dodécèdre, l icosèdre, Le volume de l boule À l grecque En trnche En sphériques Et en dimension plus grnde? 2.2 Solides de révolution Soit f une fonction positive ou nulle définie sur un intervlle [, b]. onsidérons l prtie de l espce définie de l fçon suivnte : V = {(x, y, z) / x [, b], y 2 + z 2 f(x)}. est le solide obtenu en fisnt tourner le grphe de f utour de l xe des x. Le volume de V est donné pr l intégrle triple dxdydz. V 11

12 En intégrnt pr trnche (d bord en y, z, puis en x) on obtient : ( b ) dxdydz = dydz dx = V y 2 +z 2 f(x)} {(y,z) / b πf(x) 2 dx. Le clcul de l intégrle triple se rmène donc à un clcul d intégrle simple. 2.3 ônes e qu on ppelle un cône un sommet et une bse. L formule pour le volume d un cône est l suivnte : ire de l bse fois l huteur divisé pr trois. Montrons-le grâce u clcul. est très simple H Aire(huteurh) dh = H Aire(huteurH)h 2 /H 2 dh H = Aire(huteurH)/H 2 h 2 dh = Aire(huteurH)/H 2.H 3 /3 = Aire(huteurH)H/ Fenêtre et temple de Vivini 1 ENIGME GEOMETRIQUE DE LA MERVEILLEUSE ONSTRUTION DE LA VOUTE HEMISPHERIQUE QUARRABLE proposée pr D. PIO LISI PUSILLO géomètre, le 4 vril 1692, dont on espère l résolution pr les rts secrets des fmeux Anlystes de l âge présent, puisque l homme versé seulement dns les trvux de l pure Géométrie est incpble, semble-t-il, d ccéder à de tels mystères. Prmi les vénérbles monuments de l svnte Grèce ntique, se dresse encore, destiné à durer éternellement, un Temple très uguste à pln circulire, dédié à l FÉONDE GEOMÉTRIE, qui est recouvert d une coupole prfitement hémisphérique à l intérieur : mis dns cette coupole qutre fenêtres d ires égles (disposées utour et sur l bse de l hémisphère même) sont construites de telle configurtion, de telles grndeur, vec une telle industrie et une telle intelligence que, celles-ci ôtées, l surfce courbe restnt de l coupole, ornée d un trvil précieux, peut être qurrée géométriquement. On demnde simplement quelle est cette prtie qurrble de l surfce hémisphérique tendue comme une voile mrine gonflée, pr quelle méthode ou pr quel rt fut-elle obtenue pr l Architecte Géomètre, et à quelle surfce plne qurrble enfin elle est égle? 1. Pour plus de détils on pourr se reporter u document suivnt : numdm-bin/item?id=shm_ _. 12

13 lcul de l ire de l fenêtre : À fire. lcul du volume du temple : Le clcul se fit en coordonnées polires. Il s git de trouver le volume de l ensemble compct D = {(x, y, z) / x 2 + y 2 + z 2 1, x 2 + y 2 x, z }. En coordonnées polires cet ensemble est décrit pr : = {(ρ, θ, z) / ρ 2 + z 2 1, ρ cos(θ), z }. On intégre pr trnche : ρ est fixé entre et 1, θ vrie de rccos(ρ) à rccos(ρ), z de à 1 ρ 2. L formule de chngements de vribles donne : dxdydz = ρdρdθdz D [ 1 ( rccos(ρ) ) ] 1 ρ 2 = ρdz dθ dρ = 1 rccos(ρ) 2ρ 1 ρ 2 rccos(ρ)dρ = [ 2/3.(1 ρ 2 ) 3/2 rccos(ρ)] 1 2/3. = π/3 4/9. 1 (1 ρ 2 )dρ 13

14 3 hmps de vecteurs Soient F (x, y, z) = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) défini sur S = r(t ). Soit N = r u r l normle à S, et n = N v N l normle unitire. Définition 3.1. On ppelle flux de F à trvers S l intégrle F n ds. Proposition 3.2. On S F n ds = T F (r(u, v)) ( r u r ) du dv. v Exemple lculer le flux de (y, x, 1) à trvers l demi sphère x 2 + y 2 + z 2 = 2, z. Nottion : le flux se note P dy dz + Q dz dx + R dx dy. 3.1 Théorème de Stokes Définition 3.3. Soit F = (P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) un chmp de vecteurs de clsse ( 1 dns R 3. Le rottionnel de F est R rot(f ) = y Q z, P z R x, Q x P ). ( y ) Formellement, vec l nottion =,,, on peut définir rot(f ) = F. x y z Théorème 3.4. (Stokes) Soit F un chmp de vecteurs de clsse 1, défini sur un sous-ensemble ouvert de R 3 qui contient S. Supposons que le bord de S est une courbe. Alors on : (rot F ) n ds = F dα. S Remrque Dns le cs où S R 2, on retrouve Green-Riemnn. Exemple Vérifiction de Stokes vec S prboloïde z = 4x 2 y 2, z : F (x, y, z) = (z y, z + x, x y). 3.2 Interpréttion physique - Notion de flux conservtif 3.3 Démonstrtion du théorème de Stokes dns le cs où S est donnée pr z = f(x, y) 14

15 3.4 Divergence - Théorème de Guss Ostrogrdsky Définition 3.5. Soit F = (F 1, F 2, F 3 ) un chmp de vecteurs de clsse 1 dns R 3. L divergence de F est div(f ) = 1 x + 2 y + 3 z. Formellement, on peut écrire div(f ) = F. Théorème 3.6. Soit V R 3 un volume délimité pr une surfce S fermée et orientée. Soient n le vecteur unitire norml vers l extérieur et F un chmp de vecteurs de clsse 1. Alors : div(f ) dx dy dz = F n ds V Démonstrtion. : D bord dns le cs d un cube. div(f ) dx dy dz = ( 1 [,1] 3 [,1] x + 2 y + 3 )dx dy dz z = ( [,1] 2 x dx)dydz + 2 ( [,1] 2 y dy)dxdz ( [,1] 2 z dz)dxdy = (F 1 (1, y, z) F 1 (, y, z))dydz [,1] 2 + (F 2 (x, 1, z) F 2 (x,, z))dxdz [,1] 2 + (F 3 (x, y, 1) F 3 (x, y, ))dxdy [,1] 2 Écrivons mintennt l deuxième intégrle. est l somme des intégrles correspondnt à chcune des six fces du cube. F n ds = F (1, y, z), (1,, ) dydz + F (, y, z), ( 1,, ) dydz S [,1] 2 [,1] 2 F (x, 1, z), (, 1, ) dxdz + F (x,, z), (, 1, ) dxdz [,1] 2 [,1] 2 F (x, y, 1), (,, 1) dxdy + F (x, y, ), (,, 1) dxdy [,1] 2 [,1] 2 En exprimnt les produits sclires pprissnt dns ces intégrles on retrouve l même expression que plus hut. el montre que le théorème est vri pour le cube [, 1] 3. Le même clcul montre qu il en est de même pour tous les cubes. S 15

16 Si on colle deux cubes l intégrle de volume sur l réunion des cubes est l somme des deux intégrles. est l même chose pour l intégrle de surfce, mis les intégrles correspondnt à l fce commune sont opposées l une de l utre (cr les vecteurs normux correspondnt sont opposés). L somme des intégrles de surfce est donc l intégrle de surfce du pvé obtenu comme réunion des deux cubes. De cette fçon on montre que le théorème est vri pour toute réunion de cubes. On peut pprocher un domine pr une réunion de cubes. Les intégrles de volume (sur le domine et sur l réunion de cubes pprochnte) seront proches. Reste à voir que ce ser ussi le cs pour les intégrles de surfce. s d un volume de l forme V = {(x 1, x 2, x 3 ) / (x 1, x 2 ) [, 1] 2, x 3 φ(x 1, x 2 )}. F n ds = F (x, y, φ(x, y)), ( φ S [,1] x, φ y, 1) dxdy 2 16

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