Variations de fonctions, classe de seconde

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1 Variations de fonctions, classe de seconde F.Gaudon 17 décembre 2009 Table des matières 1 Inégalités 2 2 Approche graphique des variations de fonctions 3 3 Approche algébrique des variations des fonctions Croissance, décroissance Maxima, minima Résolutions graphiques d'inéquations Compléments sur les intervalles Résolution graphique d'inéquations

2 1 Inégalités Propriété : Soient a et b deux nombres réels, alors : a b si et seulement si a b est négatif ; a b si et seulemet si a b est positif. Montrer que pour tout x réel, Si x > 17 alors 2x > 54 et 2x 9 > 45. Propriétés : Soient a, b, c trois nombres réels : si a b alors a+c b+c c'est à dire que le sens de l'inégalité ne change pas lorsque l'on ajoute le même nombre dans les deux membres ; si a b et c > 0 alors ac bc c'est à dire que le sens de l'inégalité ne change pas lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par un même nombre strictement positif ; si a b et c < 0 alors ac bc c'est à dire que le sens de l'inégalité change lorsque l'on multiplie les deux membres de l'inégalité par le même nombre strictement négatif. Soit f la fonction dénie pour tou réel x par f(x) = 2x + 3. Si x est un réel tel que x > 5 alors 2x < 2 5 c'est à dire 2x < 10 et 2x + 3 < donc 2x + 3 < 7 c'est à dire f(x) < 7. http: // mathsfg. net. free. fr 2

3 2 Approche graphique des variations de fonctions Dénition : Soit f une fonction dénie sur un intervalle I et de courbe représentative C f. f est dite croissante sur I si lorque x augmente, alors f(x) augmente ; f est dite décroissante sur I si lorsque x augmente dans I, alors f(x) diminue ; Synthèse : Pour résumer les variations d'une fonction f on utilise un tableau de variations dans lequel apparaissent les intervalles sur lesquels la fonction est monotone. On considère la fonction f suivante dénie sur [ 4; 4] dont la représentation graphique est la suivante : La fonction semble, d'après la représentation graphique, admettre le tableau de variation suivant : x f(x) -0,6 1,25 1, 25 0,6 http: // mathsfg. net. free. fr 3

4 3 Approche algébrique des variations des fonctions Une approche graphique ne sut pas pour connaître les variations d'une fonction. Pour se convaincre des limites d'une approche graphique, on pourra faire tracer la fonction f dénie par f(x) = x 2 x4 sur [ 5; 5] puis sur d'autres intervalles Croissance, décroissance Dénition : Soit f une fonction dénie sur un intervalle I. La fonction f est dite croissante sur l'intervalle I lorsque pour tous les nombres a et b de I, si a b alors f(a) f(b) c'est dire qu'appliquer la fonction ne change pas le sens des inégalités. La fonction f est dite décroissante sur l'intervalle I lorsque pour tous les nombres a et b de I, si a b alors f(a) f(b) c'est à dire qu'appliquer la fonction change le sens des inégalités. La fonction f est dite constante sur l'intervalle I lorsqu'il existe un nombre réel y tel que pour tout nombre x de I f(x) = y. La fonction f est dite monotone sur l'intervalle I lorsqu'elle est soit croissante sur I, soit décroissante sur I. Fonction croissante Fonction décroissante Exemple d'étude en utilisant des inégalités : Soit f la fonction dénie par f(x) = 2x+3. Pour étudier ses variations l'intervalle R, soient x et x deux réels tels que x x. On va étudier si appliquer la fonction à x et x change ou ne change pas le sens de l'inégalité. D'après les règles sur les inégalités, -2 étant négatif on a donc 2x 2x et 2x + 3 2x + 3 c'est à dire f(x) f(x ). La fonction f a donc changé le sens de l'inégalité, elle est donc décroissante sur R. http: // mathsfg. net. free. fr 4

5 3.2 Maxima, minima Dénition : Soit f une fonction dénie sur un intervalle I. La fonction f admet un maximum M en x 0 sur l'intervalle I lorsque pour tout nombre x de I f(x) M avec M = f(x 0 ). La fonction f admet un minimum m en x 0 sur l'intervalle I lorsque pour tout nombre x de I f(x) m avec m = f(x 0 ). On dit que la fonction f admet un extremum sur I si elle admet un maximum ou un minimum. Propriété : Soit f une fonction dénie sur un intervalle I. La fonction f admet un maximum M en x 0 sur l'intervalle I lorsque pour tout nombre x de I, f(x) M 0 et M = f(x 0 ) La fonction f admet un minimum m en x 0 sur l'intervalle I lorsque pour tout nombre x de I f(x) m 0 et m = f(x 0 ) Soit f la fonction dénie sur l'intervalle [0; 10] par f(x) = 3x + 2. Montrons que 2 est un maximum pour la fonction f sur [0; 10]. On a d'abord f(0) = 2. En outre, pour tout réel x de l'intervalle, f(x) 2 = 3x = 3x. Or si x est positif, alors 3x est négatif donc f(x) 2 0 ce qui montre que f(x) 2 et donc que 2 est un maximum pour la fonction f. Algorithmique : L'algorithme suivant recherche une valeur approchée à 0,01 près du minimum de la fonction dénie par x x 2 + 3x sur l'intervalle [-3 ;0] : 0 -> m 0 -> xm Pour x allant de -3 à 0 par pas de 0,1 faire si (x^2+3x < m) alors x^2+3x -> m x -> xm Afficher "Le minimum est ",m, "obtenu pour x = ",xm http: // mathsfg. net. free. fr 5

6 TI : 0 -> M 0 -> X For ( I, -3, 0, 0.1 ) If I^+3*I < M Then I^+ 3*I -> M I -> X End End Disp X, M For, If, Then, End sont accessibles dans le menu PRGM CTL (contrôle). < se trouve dans le menu 2nd TEST TEST. Disp se trouve dans le menu PRGM I/O (Input/Output). Casio : 0 -> M 0 -> X For -3 -> I To 0 Step 0.1 If I^+3*I < M Then I^+3*I -> M I -> X EndIf Next X M For To, Step, Next, If, IfEnd sont accessibles dans le menu SHIFT PRGM puis COM. < se trouve dans le menu PRGM $ REL. se trouve dans le menu SHIFT PRGM puis faire déler avec $ pour le trouver. XCas : m := 0 ; xm := 0 ; for(i :=-3 ;i<=0 ;i :=i+0.1) { if (i^2+3*i<m) { m := i^2+3*i ; xm := i ; } ; } ; print(xm,m) ; http: // mathsfg. net. free. fr 6

7 4 Résolutions graphiques d'inéquations 4.1 Compléments sur les intervalles Dénitions : Variations de fonctions - 2nde Soient a et b deux nombres réels avec a inférieur strictement à b. [a; + [ est l'ensemble des réels x tels que x a. ] ; a[ est l'ensemble des réels x tels que x < a. ] ; b[ b Dénition : Soient I et J deux intervalles. L'intersection de I et J notée I J est l'ensemble des nombres appartenant à la fois à I et à J. La réunion de I et J notée I J est l'ensemble des nombres appartenant à I ou (inclusif) à J. Lorsque les intervalles I et J n'ont aucun point commun, leur intersection est l'ensemble vide noté. On dit aussi que les intervalles sont disjoints. 4.2 Résolution graphique d'inéquations Propriété : Soit k un nombre réel, f une fonction et C f sa représentation graphique dans un repère. Les solutions de l'inéquation f(x) k (respectivement f(x) k) sont les abscisses des points de la courbe situés en dessous (respectivement au dessus) de la droite parallèle à l'axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0; k). Sur la gure ci-contre, est représentée la fonction f dénie par f(x) = x 2. http: // mathsfg. net. free. fr 7

8 L'inéquation f(x) 4 a pour ensemble solution [ 2; 2]. L'inéquation f(x) 4 a pour ensemble solution ] ; 2] [2; + [. Propriété : Soient f et g deux fonctions et C f et C g leur représentation graphique dans un repère. Les solutions de l'inéquation f(x) g(x) sont les abscisses des points de la courbe C f situés en dessous des points de C g de même abscisse. Les courbes ci-contre sont les représentations graphiques des fonctions f et g dénies par f(x) = x 2 et g(x) = 1 2 x http: // mathsfg. net. free. fr 8

9 L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) < g(x) est l'ensemble ] 2; 2[. http: // mathsfg. net. free. fr 9