MATRICES. Ensemble des matrices et opérations. 1 o ) Définition et matrices particulières

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1 MATRICES I Ensemble des matrices et opérations Dans toute cette partie, K désigne indifféremment R ou C, et n et p désignent des entiers naturels non nuls 1 o Définition et matrices particulières Définition 1 : On définit une matrice M = m i,j 1 i n de taille n p à coefficients dans K par la donnée de np éléments de K : m 1,1, m 1,2,, m 1,p, m 2,1, m 2,2,, m 2,p,, m n,1, m n,2,, m n,p m 1,1 m 1,2 m 1,j m 1,p m 2,1 m 2,2 m 2,j m 2,p On écrit une telle matrice sous la forme M = m i,1 m i,2 m i,j mi,p i e ligne m n,1 m n,2 m n,j m n,p j e colonne On note aussi [ M ] i,j = m i,j le coefficient de ligne i et colonne j de M Définition 2 : On note M n,p K l ensemble des matrices de taille n p à coefficients dans K Remarque : Si M M n,p K, on peut représenter cette matrice par lignes ou par colonnes : m 1,1 m 1,p m 2,1 m 2,p M = C 1 C 2 C j C p où C 1 =, C m i,1 p =, et M = m i,p m n,1 m n,p où L 1 = m 1,1 m 1,2 m 1,j m 1,p, Ln = m n,1 m n,2 m n,j m n,p Exemple 1 : A = M 3,4 R L 1 L 2 L i L n Définition 3 : On appelle matrice nulle de M n,p K la matrice, notée 0 Mn,p K, dont tous les éléments sont nuls : 0 Mn,p K = 0 1 i n Cas particuliers de matrices : Définition 4 : Toute matrice appartenant à M 1,p K est appelée matrice ligne Toute matrice appartenant à M n,1 K est appelée matrice colonne Lorsqu il y a autant de lignes que de colonnes, on parle de matrice carrée : Définition 5 : Toute matrice appartenant à M n,n K est appelée matrice carrée On note M n K = M n,n K Page 1/9

2 Exemple 2 : On définit la matrice identité ou unité I n de M n K par I n = i, j [ { ] 2, 1, si i = j ; 1,n [In ] i,j = δ i,j où δ i,j = 0, si i j Définition 6 : Soit M = m i,j 1 i n M n K : 1 j n symbole de Kronecker : on a pour tout si j < i, m i,j = 0, on dit que M est une matrice triangulaire supérieure si i < j, m i,j = 0, on dit que M est une matrice triangulaire inférieure si j i, m i,j = 0, on dit que M est une matrice diagonale On note M = diagm 1,1,m 2,2,m n,n Exemple 3 : A = inférieure, C = 2 2 i i i o Opérations sur les matrices a Somme est diagonale est triangulaire supérieure, B = est triangulaire Définition 7 : Soit A,B M n,p K 2 La somme des matrices A et B est la matrice de M n,p K, notée A+B, et définie par i, j [ ] [ ] [ 1,n 1, p, A + B ]i,j = [ A ] i,j + [ B ] i,j : a 1,1 a 1,p b 1,1 b 1,p a 1,1 + b 1,1 a 1,p + b 1,p + = a n,1 a n,p b n,1 b n,p a n,1 + b n,1 a n,p + b n,p Exemple 4 : Calculer la somme de A = et B = L addition de deux matrices possède les mêmes propriétés que l addition usuelle dans K elle est commutative et associative et admet un élément neutre : Propriété 1 : A,B,C M n,p K 3, A + 0 Mn,p K = A, A + B = B + A et A + B +C = A + B +C on notera cette matrice A + B +C Démonstration : Immédiate b Produit Définition 8 : Soit A M n,p K et λ K Le produit de la matrice A par le scalaire λ est la matrice de M n,p K, notée λa, et définie par i, j [ ] [ ] [ 1,n 1, p, λa ]i,j = λ[ A ] i,j : a 1,1 a 1,p λa 1,1 λa 1,p λ = a n,1 a n,p λa n,1 λa n,p Page 2/9

3 Exemple 5 : Calculer ia où A = 2i i Les règles de calcul avec le produit par un scalaire sont les mêmes que dans K : Propriété 2 : A,B M n,p K 2, λ,µ K 2, on a : λa + B = λa + λb, λ + µa = λa + µa et λµa = λµa Remarque : La matrice opposée de A est la matrice A = 1A On peut alors définir la différence de deux matrices : A B = A + B Pour le produit de deux matrices, le principe est un peu plus compliqué : Définition 9 : Soit A M n,p K et B M p,q K Le produit de A par B à droite est la matrice de M n,q K, notée A B ou AB, et définie par i, j [ ] [ ] [ ] p 1,n 1, q, AB i,j = [ ] A k=1 i,k [ B ] k,j Pour calculer le produit de deux matrices, on les présente de la façon suivante : b 1,1 b 1,q b p,1 b p,q a 1,1 a 1,p c 1,1 c 1,q = AB a n,1 a n,p c n,1 c n,q Remarque : Pour pouvoir écrire un produit de matrices AB, il faut donc impérativement s assurer au préalable que cette écriture est possible, c est-à-dire être vigilant sur la taille des matrices Pour effectuer le produit de matrices diagonales, il suffit de multiplier les coefficients diagonaux deux à deux Exemple 6 : Calculer le produit de A = et B = Remarque : Le produit d une matrice ligne A M 1,p K par une matrice colonne B M p,1 K est une matrice AB M 1,1 K que l on peut identifier à un scalaire De même que dans K, le produit d une matrice carrée par elle-même se note à l aide de puissances : Définition 10 : A M n K et k N, on définit la matrice de M n K A 0 = I n A k = } A A {{ A }, et par convention k termes Remarque : Cela revient à dire que les matrices A k sont définies par récurrence par A 0 = A et k N, A k+1 = A k A Si A est diagonale, A = diaga 1,1, a 2,2, a n,n, alors k N, A k = diag a1,1 k, ak 2,2, ak n,n Attention, ceci est le seul cas où pour élever d une matrice à l exposant k il suffit d élever chacun de ses coefficients à l exposant k Cette notation est cohérente avec le cas des puissances sur K : Propriété 3 : A M n K et k,m N 2, A k A m = A k+m et A k m = A km Page 3/9

4 La plupart hélas pas toutes M n,p K M p,q K : des propriétés du produit usuel sur K se retrouve pour le produit dans Propriété 4 : 1 o A,B,C M n,p K M p,q K M q,r K, ABC = ABC, matrice que l on notera ABC associativité 2 o λ K, A,B M n,p K M p,q K, λab = AλB = λab 3 o A,B,C M n,p K M p,q K 2, AB +C = AB + AC distributivité 4 o A,B,C M n,p K 2 Mp,q K, A + BC = AC + BC distributivité 5 o A M n,p K, A I p = I n A = A, A 0 Mp,q K = 0 Mn,q K et 0 Mq,n K A = 0 Mq,p K Démonstration : On démontre 3 o et 5 o uniquement le cas de la matrice identité Remarque : Les factorisations se font donc comme dans K, en n oubliant pas de tenir compte de l élément neutre qui a changé : si A M n K, alors A 2 + A = AA + I n = A + I n A Attention : le produit de matrices n est pas commutatif, tout simplement parce que si A M n,p K et B M p,q K avec n q, le produit AB est bien défini, alors que le produit B A ne l est pas Et même si AB et B A sont définis, on n a pas forcément AB = B A : examiner de près le cas A = et B = le produit de matrices n est pas intègre : pour toute matrice A M n,p K, on a A 0 Mp,q K = 0 Mn,q K et 0 Mq,n K A = 0 Mq,p K En revanche, on peut avoir AB = 0 Mn,q K sans que A = 0 Mn,p K ni B = 0 Mp,q K : examiner de près le cas A = et B = Ceci implique qu on ne peut pas «simplifier» dans une égalité de matrices : AB = AC n implique pas B = C, et de même B A = BC n implique pas A = C Le fait que la multiplication de matrices ne soit pas commutative pose également problème au niveau des identités remarquables : par exemple, A +B 2 = A +BA +B = A A +B A + A B +B B = A 2 + AB +B A +B 2 Dans le cas où AB = B A, on retombe sur l identité remarquable connue sur K : Définition 11 : On dit que les matrices carrées A et B commutent si AB = B A Exemple 7 : Pour toute matrice A M n K, A et I n commutent Deux puissances quelconques de A commutent d après la propriété 3 Dans ce cas, la formule du binôme peut s appliquer : Théorème 1 : formule du binôme pour des matrices carrées qui commutent 2 Soit A,B M n K deux matrices qui commutent, et p N p Alors A + B p p p = A k B p k p = A p k B k k k k=0 k=0 Démonstration : Par récurrence, même démonstration que dans R Exemple 8 : Soit A M n K On suppose que A I n 3 = 0 Mn K En écrivant judicieusement A comme somme de matrices qui commutent, exprimer A p pour tout p N, en fonction de A 2, A et I n Page 4/9

5 c Inverse Après avoir défini une multiplication de matrices, il est tentant de tenter de les diviser Pour cela, l étape intermédiaire consiste à définir l inverse Pour le produit classique sur K, un élément λ admet un inverse ssi il est non nul, et son inverse est dans ce cas le scalaire µ tel que λµ = 1 Procédons de même pour les matrices : l élément neutre du produit le 1 de l égalité précédente est cette fois la matrice identité Une matrice A M n,p K est inversible s il existe une matrice B de taille à définir telle que AB = I où I est la matrice carrée identité de taille à définir Mais il faut également avoir B A = I : d après les contraintes sur le produit de matrices, il faut que B soit de taille p n Comme il est un peu gênant qu une matrice et son inverse ne soit pas de même type et que la matrice identité ne soit pas la même selon que l on calcule AB ou B A, on ne peut avoir que n = p : l inverse ne peut être défini que pour une matrice carrée Un dernier inconvénient demeure ce serait trop beau : une matrice différente de la matrice nulle n est pas forcément inversible, et même si aucun de ses coefficients n est nul, elle peut ne pas être inversible : voir le cas A = Définition 12 : Soit A M n K On dit que A est inversible s il existe une matrice B M n K telle que AB = B A = I n Si A est inversible, la matrice B est appelée matrice inverse de A, et notée A 1 : AA 1 = A 1 A = I n Remarque : On déduit de la définition qu une matrice et son inverse commutent Il n existe malheureusement pas de critère simple permettant de savoir si une matrice est inversible ou non : le seul recours pour le moment est la définition Exemple 9 : Après avoir déterminé l inverse de la matrice identité, revenons à l exemple précédent pour prouver que A est inversible et déterminer son inverse Un retour à l exercice 2 de la feuille d exercices sur les matrices nous conduit à constater c est un miracle que la formule nous donnant M n permet de prouver que la matrice M est inversible, et de déterminer son inverse Un cas particulier simple est celui des matrices diagonales : Propriété 5 : Soit A = diagα 1,α 2,,α n une matrice diagonale de M n K A est inversible ssi k [ ] 1,n, αk 0 Dans le cas où A est inversible, A 1 est diagonale et 1 A = diag,,, α 1 α 2 Démonstration : Immédiat α n Remarque : On peut prouver un résultat similaire pour les matrices triangulaires : une matrice triangulaire que ce soit supérieure ou inférieure est inversible ssi aucun des termes de sa diagonale n est nul Comme dans K, l inverse d une somme n est pas la somme des inverses, mais il y a compatibilité avec le produit : Théorème 2 : Soit A,B M n K 2 deux matrices inversibles 1 o λ K, λa est inversible et λa 1 = 1 λ A 1 2 o AB est inversible et AB 1 = B 1 A 1 3 o A 1 est inversible et A 1 1 = A Démonstration : La définition, rien que la définition et tout fonctionne Page 5/9

6 Remarque : Attention donc à l ordre des matrices dans l inverse d un produit : il s inverse L inverse d une matrice étant défini, on ne parle pas pour autant de division de matrices : le produit de A par B 1 n étant pas commutatif, on ne peut pas le noter A 1 On conserve par conséquent la notation AB B ou B 1 A L inverse d une matrice permet de «simplifier» dans une égalité : si AB = AC et si A est inversible, on peut multiplier à gauche par A 1, et l on obtient B = C Il en est de même si B A = C A on multiplie à droite cette fois Corollaire 1 : Soit A M n K une matrice inversible Alors k N, A k est inversible et cette matrice A k : A k = A k 1 = A 1 k A k 1 = A 1 k On note Remarque : Les propriétés sur les puissances entières vues dans la propriété 3 s étendent aux puissances négatives pour les matrices inversibles Exemple 10 : à n Z Revenons une dernière fois à l exercice 2 pour prouver que la relation écrite s étend naturellement d Transposée Définition 13 : Soit A M n,p K La matrice transposée de A est la matrice notée t A appartenant à M p,n K et définie par i, j [ 1, p ] [ 1,n ], [ t A ] i,j = [ A ] j,i Les lignes de t A correspondent donc aux colonnes de A, et inversement Exemple 11 : Propriété 6 : Écrire la transposée des matrices et i o A M n,p K, t t A = A 2 o A,B M n,p K 2, t A + B = t A + t B 3 o λ K, A M n,p K, t λa = λ t A 4 o A,B M n,p K M p,q K, t AB = t B t A 5 o A M n K est inversible si et seulement si t A est inversible et dans ce cas t A 1 = t A 1 6 o k N, A M n K, t A k = t A k Démonstration : Il n y a qu à écrire pour 1 o, 2 o et 3 o Pour 4 o : la définition du produit de matrices permet d écrire les coefficients de t B t A, qui devraient bien être les mêmes que ceux de t AB 5 o se déduit de 4 o, et une récurrence nous donne finalement 6 o À l aide de la transposée, on définit les matrices symétriques : Définition 14 : Une matrice carrée A M n K est dite symétrique si t A = A On note S n K l ensemble des matrices symétriques de taille n à coefficient dans K Page 6/9

7 Exemple 12 : Une matrice symétrique s est glissée dans les matrices suivantes, débusquez-la : A = 0 3 ; B = 3 0 Remarque : Il est évident que A est symétrique ssi t A est symétrique La symétrie se reconnaît facilement sur les coefficients : Propriété 7 : A S n K i, j [ 1,n ] 2, [ A ]i,j = [ A ] j,i De la propriété 6 on déduit : Propriété 8 : 3 1 i 2 1 i i 1 o A,B S n K 2, λ,µ K 2, λa + µb S n K 2 o Si A S n K est inversible, alors A 1 S n K Démonstration : Immédiat Remarque : On ne peut rien dire du produit de matrices symétriques On peut juste donner une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit symétrique voir TD II Retour sur les systèmes linéaires 1 o Traduction matricielle On rappelle la définition vue précédemment, et on y ajoute une touche matricielle : Définition 15 : Soit a i,j 1 i n et b i 1 i n des familles de réels Un système linéaire de n équations à p inconnues x 1, x 2,, x p est un système de la forme : a 1,1 x 1 + a 1,2 x a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x a 2,p x p = b 2 S a n,1 x 1 + a n,2 x a n,p x p = b n On dit que A = a i,j 1 i n M n,p K est la matrice associée au système, et que b = b i 1 i n M n,1 K est le second membre En introduisant la matrice colonne X = x j, x 1, x 2,, x p est solution de S ssi AX = b Remarque : Si la matrice A est triangulaire, on dit que le système associé est un système triangulaire 2 o Résolution a Aspects théoriques Propriété 9 : Un système linéaire de n équations à n inconnues admet une solution unique si et seulement si la matrice qui lui est associée est inversible Démonstration : Si A est inversible, AX = b X = A 1 b donc la solution est unique On admet que la réciproque est vraie Remarque : Si un système admet une unique solution, il admet toujours une solution unique lorsqu on change le second membre l unicité de la solution provient de la matrice A, peu importe le second membre Page 7/9

8 b Aspects pratiques La méthode standard pour résoudre un système linéaire est la méthode du pivot de Gauss : elle a pour but de parvenir à un système échelonné, qui lui se résout facilement Chercher à calculer l inverse d une matrice pour résoudre un système linéaire est une très mauvaise idée dans le cas général Nous allons voir dans le paragraphe suivant qu on adopte plutôt le point de vue inverse La notion de rang d un système, qui s obtient après réduction par la méthode du pivot, peut s exporter aux matrices : Définition 16 : Soit A = a i,j 1 i n M n,p K, et S le système linéaire défini par AX = 0 n : on appelle rang de la matrice A le rang du système S associé Remarque : Dans le système S, on pourrait choisir n importe quel second membre sans que cela ne change le rang, tout vient à nouveau de la matrice A et non du second membre C est pourquoi on peut déterminer le rang d une matrice sans écrire de système, en effectuant directement les opérations élémentaires sur la matrice afin de l échelonner : le rang de la matrice est alors le nombre de lignes non nulles une fois la matrice échelonnée Exemple 13 : Rang de la matrice A = o Application au calcul de l inverse d une matrice Si A est inversible, la méthode du pivot de Gauss permet la détermination de l inversibilité et le calcul pratique de l inverse : A est inversible ssi AX = b X = A 1 b Pour déterminer A 1, on va donc chercher à résoudre le système correspondant à AX = b, où b = b i 1 i n : A est inversible ssi ce système admet une solution unique et dans ce cas on obtient A 1 en exprimant les solutions x 1,, x n en fonction de b 1,, b n Exemple 14 : Inversibilité et inverse de A = et B = : on doit trouver A 1 = Remarque : À l aide de cette méthode du pivot de Gauss pour déterminer l inversibilité d une matrice, on en déduit un cas simple dans lequel on peut conclure que la matrice n est pas inversible : si deux lignes sont proportionnelles, alors la méthode du pivot échouera à donner une solution unique, donc la matrice n est pas inversible Puisqu une matrice est inversible si et seulement si sa transposée l est, le résultat précédent est également vrai sur les colonnes : si deux colonnes sont proportionnelles, alors la matrice n est pas inversible Ces cas ne sont pas les seuls, une matrice peut tout à fait ne pas être inversible sans avoir de colonnes ni de lignes proportionnelles Il est possible d adopter une présentation simple qui évite d avoir à recourir au second membre b = b i 1 i n : par une suite d opérations élémentaires, on transforme la matrice A en la matrice identité I n c est possible ssi A est inversible Si l on applique les mêmes opérations élémentaires à chaque étape du calcul à la matrice I n, celle-ci se transforme devant nos yeux ébahis en une matrice qui n est autre que A 1 Si la méthode échoue impossibilité d arriver à transformer A en I n, c est que le système n admet pas une solution unique, et donc que la matrice n est pas inversible Exemple 15 : Inversibilité et inverse de A = i i i i 4 : on doit trouver A 1 = 1/2 0 1/2 1 i 4 Page 8/9

9 a b Cas particulier : matrices carrées de taille 2 On part d une matrice A = M 2 K quelconque et on c d montre qu elle est inversible ssi ad bc 0 en exprimant A 2 en fonction de A et I 2 par exemple Définition 17 : a b Soit A = c d M 2 K On appelle déterminant de A le scalaire deta = déf ad bc = notation a c b d Nous avons donc démontré précédemment le résultat suivant : Propriété 10 : a b A M 2 K est inversible ssi son déterminant est non nul Dans ce cas, si A = c d A 1 1 d b = deta c a m 2 5 Exemple 16 : Inversibilité et inverse de A = 4 m + 2 où m C, alors Application : Résolution générale d un système linéaire de deux équations à deux inconnues { ax + by = e On considère le système où a,b,c,d,e, f K 6 D après ce qui précède, ce système admet une cx + d y = f a b solution unique ssi la matrice A = est inversible, soit ssi deta 0 Dans ce cas, l unique solution de c d e AX = u, où u = s écrit X = A 1 u Après calcul, il vient la propriété suivante : f Propriété 11 : Soit S le système { ax + by = e cx + d y = f S, C 1 et C 2 étant les colonnes de A, et u = où a,b,c,d,e, f K 6 On note A = C 1 C 2 la matrice associée à e f Alors S admet une unique solution ssi deta 0, et dans ce cas l unique solution est donnée par u C2 u C2 C1 u C1 u x = = et y = = deta C1 C 2 deta C1 C 2 Exemple 17 : { 2x y = 3 Résoudre x + 3y = 1, et s arranger pour trouver x = 8 7 et y = 5 7 Méthode 1 : Calcul de l inverse d une matrice A : 1 o Pour une matrice carrée de taille 2 : à l aide du déterminant 2 o Pour une matrice diagonale : immédiat! 3 o Si A possède 2 lignes ou 2 colonnes proportionnelles : non inversible 4 o Recherche d une matrice B telle que AB = B A = I n : s appuyer sur l énoncé ; cas particulier usuel : l existence d une relation entre I n et certaines puissances de A permet de prouver l inversibilité et de trouver l inverse 5 o Méthode du pivot de Gauss : par résolution d un système linéaire ; en s appuyant sur la matrice identité Page 9/9

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