Chapitre 10. Matrices Définitions

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1 Chapitre 10 Matrices Nous allons dans ce chapitre découvrir la notion fondamentale de matrice Dans ce chapitre, on note K = R ou C 101 Définitions Définition 1011 On appelle matrice à n lignes et p colonnes tout tableau de nombres de K de la forme Si une matrice A est de la forme précédente, on écrira A = On note dans K l ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients Définition 1012 On distingue quelques matrices particulières : La matrice 0 n,p est Une matrice ligne est Une matrice colonne est Une matrice carrée est 163

2 164 CHAPITRE 10 MATRICES 102 Opérations sur les matrices On peut faire plusieurs opérations sur les matrices On peut d abord définir l addition des matrices et le produit par un scalaire, donnant à M n,p (K) une structure d espace vectoriel Définition 1021 Soient A = (a ij ) 1 i n et B = (b ij ) 1 i n deux matrices de M n,p On définit l addition de A 1 j p 1 j p et B, notée A + B, la matrice A + B = Finalement, additionner deux matrices revient à additionner leurs coefficients NOTA Attention, on ne peut additionner On a par exemple ( ) ( ) 5 6 = 7 8 Proposition 1022 L addition vérifie des propriétés : L addition est commutative : L addition est associative : La matrice 0 n,p est élément neutre pour l addition : Définition 1023 Soient A = (a ij ) 1 i n une matrice de M n,p (K) et λ K On définit le produit de A par λ, 1 j p noté λa la matrice λa = Voir le chapitre Espaces Vectoriels

3 CHAPITRE 10 MATRICES 165 NOTA Attention, on parle bien du produit d une matrice et d un nombre Le produit de matrices sera abordé plus tard On a 3 ( ) 1 2 = 3 4 Proposition 1024 On a : Pour tous A, B M n,p (K) et λ K, Pour tous A M n,p (K) et λ, µ K, Comme dit précédemment, on peut aussi multiplier des matrices entre elles Définition 1025 Soient A = (a ij ) 1 i m M m,n et B = (b ij ) 1 i n M n,p deux matrices Alors le produit de 1 j n 1 j p A et B, noté A B ou AB, est la matrice de dont le coefficient (i, j) est donné par la formule (AB) ij = Attention aux dimensions : il faut que le nombre de colonnes de la première matrice soit égal au nombre de lignes de la seconde En pratique, pour trouver le coefficient (i, j) de AB, on fait le produit terme à terme de la ligne i de A avec la colonne J de B On peut faire le calcul en écrivant :

4 166 CHAPITRE 10 MATRICES a 11 a 1k a 1n a i1 a ik a in a m1 a mk a mn A : m lignes n colonnes b 11 b 1j b 1p b k1 b kj b kp b n1 b nj b np B : n lignes p colonnes c 11 c 1j c 1p c i1 c ij c ip c m1 c mk c mp C = A B : m lignes p colonnes a i1 b 1j a ik b kj a in b nj ( ) Proposition 1026 Le produit matriciel satisfait quelques propriétés usuelles du produit : A, B M m,n (K), C M n,p, A M m,n (K), B, C M n,p, Attention, pas toutes!

5 CHAPITRE 10 MATRICES 167 A M m,n (K), A M n,p (K), A M p,q (K), A M m,n (K), B M n,p, λ K, NOTA Attention! Le produit matriciel n est pas commutatif En particulier, les identités remarquables ne sont pas vraies en général : (A + B) 2 = A 2 + B 2 + AB + BA = A 2 + B 2 + 2AB EXERCICE Montrer que A = ( ) 1 2 et B = 3 4 ( ) 0 1 ne commutent pas, ie AB = BA 2 0 Définition 1027 Soit A = (a ij ) 1 i n une matrice de M n,p (K) On appelle transposée de A, notée t A la 1 j p matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A : ( t A) ij = a ji On a t = 3 1 Proposition 1028 La transposée se comporte bien vis-à-vis des opérations matricielles : A, B M m,n (K), A M m,n (K), λ K, A M m,n (K), B M n,p (K), A M m,n (K), Démonstration En exercice

6 168 CHAPITRE 10 MATRICES 103 Matrices carrées Pour toutes les opérations précédentes, on a vu qu il faut être vigilants à la taille des matrices En revanche, en partant de matrices carrées, les opérations ne changent plus les dimensions Si n N, on notera M n (K) à la place de M n,n (K) Proposition 1031 La somme, produit par un scalaire, multiplication de matrices et transposition laisse M n (K) stable Définition 1032 Soit A M n (K) On appelle diagonale de A la suite (a ii ) 1 i n Définition 1033 Soit A = (a ij ) 1 i,j n une matrice de M n (K) On dit que A est : diagonale si les seuls coefficients non nuls de la matrice sont sur la diagonale, ie On note parfois A = diag(a 11, a 22,, a nn ) triangulaire supérieure si les seuls coefficients non nuls de la matrice sont au-dessus de la diagonale, ie triangulaire inférieure si les seuls coefficients non nuls de la matrice sont au-dessous de la diagonale, ie On appelle matrice identité d ordre n la matrice diagonale notée I n coefficients diagonaux sont tous égaux à 1 : M n (K) dont les I n = =

7 CHAPITRE 10 MATRICES 169 Les matrices sont respectivement , , EXERCICE Soit D une matrice diagonale de M n (K) Montrer que t T = T Proposition 1034 Le produit de deux matrices diagonales est une matrice diagonale Le produit de deux matrices triangulaires supérieures (resp inférieures) est une matrice triangulaire supérieure (resp inférieure) Démonstration Pour les matrices diagonales, il suffit de faire le calcul : en notant C = AB où A et B sont diagonales, on a c ij = n a ik b kj = k=1 { 0 si i = j a ii b ii sinon Faisons la preuve pour les matrices triangulaires supérieures Soient donc A et B deux matrices triangulaires supérieures, et notons C = AB Alors si i > j, c ij = n a ik b kj = k=1 i 1 a ik b kj + k=1 n a ik b kj k=i Dans la première somme, les a ik sont nuls, et donc la somme est nulle, et dans la seconde, on a k i > j, et donc b kj = 0 Finalement, c ij = 0, et donc C est triangulaire supérieure Définition 1035 Soit A = (a ij ) 1 i,j n une matrice de M n (K) On dit que A est symétrique si t A = A, ie i, j, antisymétrique si t A = A, ie i, j,

8 170 CHAPITRE 10 MATRICES On note S n (K) (resp A n (K)) l ensemble des matrics symétriques (resp antisymétrique) de taille n Les matrices sont respectivement , EXERCICE Montrer que les coefficients diagonaux d une matrice antisymétrique sont forcément nuls 1031 Opérations sur les matrices carrées Définition 1036 Soit A = (a ij ) 1 i,j n une matrice de taille n On appelle trace de A, notée Tr(A) la somme des coefficients diagonaux : Tr(A) = Soit A la matrice Alors Tr(A) = Définition 1037 Soit A M n (K) On définit les puissances de A par récurrence : n N, A n+1 = A A n = A n A A 0 = I n On peut alors, dans certains cas, utiliser la formule de binôme de Newton Isaac Newton,

9 CHAPITRE 10 MATRICES 171 Proposition 1038 Soient A, B M n (K) qui commutent (ie AB = BA) Alors pour tout p N, (A + B) p = 1032 Matrices inversibles Définition 1039 Soit A M n (K) On dit que la matrice A est inversible s il existe B M n (K) telle que AB = I n et BA = I n On note GL n (K) l ensemble des matrices inversibles de M n (K) Proposition Soit A M n (K) Alors sont équivalents : (i) A est inversible (ii) il existe B M n (K) telle que AB = I n (iii) il existe B M n (K) telle que BA = I n Il suffit donc de trouver une matrice qui inverse A d un seul côté pour pouvoir affirmer avoir trouver l inverse NOTA Attention! Toutes les matrices ne sont pas inversibles ( ) 1 2 Soit A = Alors, en posant B = 3 7 est inversible ( ) 7 2, on remarque que AB = I Donc A Proposition Si une matrice A est inversible, alors l inverse est unique On le note A 1 Démonstration Supposons qu on a deux inverses B et C Proposition Soient A, B M n (K) non nulles Si AB = 0 n, alors

10 172 CHAPITRE 10 MATRICES Démonstration Si A était inversible, on aurait Si B était inversible, c est identique Proposition Soient A, B M n (K) Alors AB est inversible si et seulement si A et B le sont, et dans ce cas (AB) 1 = B 1 A 1 Démonstration Si A et B sont inversibles, il suffit de calculer pour montrer que AB est inversible Si AB est inversible, alors Donc A et B sont inversibles Proposition Soit A M n (K) Alors A est inversible si et seulement si t A est inversible, et dans ce cas ( t A) 1 = t (A 1 ) Il est souvent difficile de montrer qu une matrice est inversible, et encore plus de trouver effectivement l inverse Cependant, certains cas particuliers le permettent : Proposition Soit A M n (K) une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) Alors A est inversible si et seulement si Dans ce cas, A 1 est aussi triangulaire (supérieure ou inférieure) Proposition Soit A M n (K) une matrice diagonale Alors A est inversible si et seulement si Dans ce cas, on a A 1 = diag(a 1 11, a 1 22,, a 1 nn )

11 CHAPITRE 10 MATRICES 173 On a = Une méthode pour trouver un inverse peut être de chercher un polynôme annulateur Définition Soit A M n (K), et soit P(X) = a p X p + a p 1 X p a 0 un polynôme à coefficients dans K On dit que P est un polynôme annulateur de A si P(A) = 0 n, ie a p A p + + a 1 A + a 0 I 2 = 0 n NOTA La théorie (hors-programme) nous dit que pour toute matrice A M n (K), il existe un polynôme annulateur de A, dont le degré est inférieur ou égal à n Il est donc inutile de chercher un polynôme annulateur de degré plus grand que la dimension de la matrice Proposition Si A M n (K) possède un polynôme annulateur P(X) = a p X p + a p 1 X p a 0 avec a 0 = 0, alors A est inversible, et A 1 = Démonstration On a donc On peut factoriser A : a p A p + a p 1 A p a 1 A + a 0 I 2 = 0 n On a donc et on en déduit le résultat quand a 0 = 0 Soit A = ( ) 1 2 Alors, et donc 4 3

12 174 CHAPITRE 10 MATRICES A est donc inversible, d inverse A 1 = Démonstration On vérifie que le polynôme annule A D après la proposition précédente, si ad bc = 0, alors A est inversible et on peut trouver son inverse Si ad bc = 0, alors Si A était inversible, alors on aurait, ce qui implique A = 0 2, qui n est pas inversible 1033 Systèmes linéaires Les matrices sont un bon moyen de représenter des systèmes d équations linéaires Définition On considère le système linéaire a 11 x 1 + a 12 x a 1p x p = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2p x p = b 2 a k1 x 1 + a k2 x a kp x p = b k a n1 x 1 + a n2 x a np x p = b p Alors la matrice est appelée A = x 1 x 2 x p X = a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a k1 a k2 a kp a n1 a n2 a np Les matrices b 1 b 2 et B = b p sont appelées respectivement Le système est alors équivalent à l équation matricielle

13 CHAPITRE 10 MATRICES 175 Ceci permet de définir la notion de rang d une matrice : Définition Soit A M n,p (R) On appelle rang de A, noté rg(a), le rang du système linéaire associé à A Proposition Soit A une matrice Alors A et t A ont le même rang Démonstration Admis Théorème Soit une matrice carrée A M n (K), et soit B M n,1 (K) Alors l équation matricielle AX = B (et donc le système associé) a une unique solution si et seulement si Dans ce cas, cette unique solution est X = Démonstration ( ) ( ) En pratique, résoudre un système avec cette méthode est très difficile, puisqu il est difficile de trouver l inverse d une matrice en général On utilisera plutôt l autre sens, avec le théorème : Théorème Toute matrice inversible peut se transformer en la matrice identité à l aide d opérations élémentaires sur les lignes Démonstration Admis

14 176 CHAPITRE 10 MATRICES On veut inverser la matrice A = à l aide du pivot de Gauss On écrit sous forme de tableau : à gauche, la matrice A, à droite, la matrice I 2 : On veut transformer A en la matrice identité : on fait les opérations On fait maintenant les opérations Pour finir, on fait les opérations On trouve alors dans la partie droite la matrice inverse de A

15 CHAPITRE 10 MATRICES Cas des matrices 2 2 ( ) a b Soit A = une matrice de M c d 2 (R) Définition On appelle déterminant de A, noté det(a) ou a c b d le réel ad bc Proposition La matrice A est inversible si et seulement si det(a) = 0 Le cas échéant, on a A 1 = 1 det A ( d b c a ) Démonstration On vérifie que le polynôme annule A On a donc, si ad bc = 0, alors A est inversible et on peut trouver son inverse Si ad bc = 0, alors Si A était inversible, alors on aurait, ce qui implique A = 0 2, qui n est pas inversible Proposition{ ax + by = e Le système cx + dy = f ce cas, on a admet une unique solution si et seulement si ad bc = 0 Dans e b f d a e c f x = a b et y = c d a b c d

16 178 CHAPITRE 10 MATRICES 104 Exercices Exercice 1 Soient ( ) A = B = C = Les produits suivants sont-ils possibles? Si oui, les calculer : AB ; AC ; BA ; BC ; CB ; ABC ; BCA ; ACB Exercice 2 Soit A = 0 1 1, et soit N = A I a) Calculer N, N 2 et N 3 b) En déduire A n pour tout entier naturel n c) Montrer que A est inversible, et calculer A n pour tout entier naturel n Exercice 3 Soient C M n,1 (R) et L M 1,n (R) On pose A = CL et λ = LC a) Quelles sont les dimensions de A et λ? b) Montrer que pour tout k N, A k = λ k 1 A Exercice 4 Soit A M n (K) Montrer que t AA est toujours symétrique Montrer que si t AA = 0 n, alors A = 0 (on pourra regarder les coefficients diagonaux de t AA) Exercice 5 Soit A M n (K) Montrer que ( B M n (K), AB = BA) ( λ K, A = λi n ) ( ) 2 5 Exercice 6 Soit A = Donner un polynôme annulateur de A, puis en déduire 6 1 que A est inversible Calculer A Exercice 7 À l aide de la méthode de Gauss, calculer l inverse de Exercice 8 On appelle J la matrice de M n (R) dont tous les coefficients sont égaux à 1 a) Calculer J 2, J 3, et en déduire l expression de J n b) Pour toute matrice A, on note σ(a) la somme de tous les coefficients de A Montrer alors que JAJ = σ(a)j

17 CHAPITRE 10 MATRICES 179 Exercice 9 Donner une condition nécessaire et suffisante pour que le produit de deux matrices symétriques soit encore symétrique Exercice 10 Soient A, B, C M n (K) non nulles Montrer que si ABC = 0, alors au moins deux des trois matrices sont non inversibles Exercice 11 Soient A, B M n (K) telles que AB = A + B a) Montrer que I n A B + AB = I n b) En déduire que A et B commutent

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