Mécanique du point 1. CINÉMATIQUE du point

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1 Mécanique du point 1. CINÉMATIQUE du point janvier 17 1

2 Objec.fs Connaitre le système de coordonnées cartésiennes et polaires ou cylindriques Connaitre l epression des vecteurs posi.on, vitesse et accéléra.on dans les systèmes de coordonnées cartésiennes et cylindriques Connaitre la défini.on de quelques mouvements par.culiers janvier 17 2

3 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Eemples de mouvement 7. Récapitula.f janvier 17 3

4 Sommaire 1. Défini<on Défini.on Objet 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Eemples de mouvement 7. Récapitula.f janvier 17 4

5 1. DÉFINITION Etude du mouvement d un point sans se préoccuper des causes (les forces) qui lui donnent naissance. Objet de la cinéma<que : Décrire la posi.on La vitesse L accéléra.on d un point au cours du temps janvier 17 5

6 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen<el Nécessité d un référen.el Défini.on Caractéris.que d un référen.el Eemples 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Eemples de mouvement 7. Récapitula.f janvier 17 6

7 2. REFERENTIEL Nécessité d un référen.el : Mouvement d un point Observateur qui analyse Emplacement de l observateur Un référen.el (ou solide de référence) est un ensemble de points tous fies les uns par rapport au autres. L observateur qui étudie le mouvement d un point est lui- même immobile dans ce référen.el. janvier 17 7

8 2. REFERENTIEL Caractéris.que d un référen.el : Nom Repère (Point O et 3 direc.ons fies) Eemples : Référen.el de Copernic Référen.el géocentrique Référen.el terrestre janvier 17 8

9 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère Repère d espace Repère de temps Systèmes de coordonnées (cartésiennes, polaires, cylindriques) 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Eemples de mouvement janvier Récapitula.f

10 3. REPERES Où se trouve le point? REPÈRE d espace Lié au référen.el Origine O fie dans le référen.el Aes de référence (,y,z). Aes liés au référen.el. janvier 17 1

11 3. REPERES A quel moment? REPÈRE de temps Instant 1, instant 2 Date t1, date t2 Durée t2 t1 janvier 17 11

12 3. REPERES Coordonnées cartésiennes Coordonnées polaires Coordonnées cylindriques Système de coordonnées à choisir en fonc.on du mouvement du point mobile: Trajectoire circulaire coordonnées polaires Passage d un système de coordonnées à un autre janvier 17 12

13 3. REPERES Coordonnées cartésiennes Dans le plan Dans l espace janvier 17 13

14 3. REPERES Coordonnées cartésiennes (suite) (, y, z) coordonnées longueur (en m) Vecteur posi.on OM u + yu y + zu Base fie dans le référen.el z ( ) u, u, u y z janvier 17 14

15 3. REPERES Coordonnées polaires Dans le plan Coordonnées cylindriques Dans l espace ae polaire janvier 17 15

16 3. REPERES Coordonnées polaires (suite) ( ρ,θ ) coordonnée radiale longueur (en m) Vecteur posi.on coordonnée angulaire (angle polaire, azimut) angle (en rad) Base mobile dans le référen.el ( u ) ρ u, θ OM ρ u ρ janvier 17 16

17 3. REPERES Coordonnées cylindriques (suite) ( ρ,θ,z) cote longueur (en m) Vecteur posi.on OM ρ uρ + zu z Base mobile dans le référen.el ( ) u u,, θ ρ u z janvier 17 17

18 3. REPERES Passage polaire cartésienne?? u y u!! y? u!! u? θ u y? u janvier 17 18

19 3. REPERES Passage polaire cartésienne y u u y ρ ρ cos sin cos sin θ θ θ θ u u ρ ρ + sin cos θ θ u u u!! θ θ u y u u!! θ janvier 17 19

20 3. REPERES Passage cartésienne polaire? ρ? tanθ? u u ρ θ?? u!! u y u!! θ u janvier 17 2

21 3. REPERES Passage cartésienne polaire ρ ² + y² y tanθ u ρ cosθ u u sinθ u θ + sinθ uy + cosθ u u!! y u y u!! θ u janvier 17 21

22 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse Défini.ons (vitesse moy., instant., angulaire) / Unités Epression en coordonnées cartésiennes / polaires / cylindriques Epression dans la base de Freinet 5. Vecteur accéléra.on 6. Eemples de mouvement 7. Récapitula.f janvier 17 22

23 4. VECTEUR VITESSE Vitesse moyenne Direc.on et sens ceu du mouvement (de M1 vers M2). La norme renseigne sur la distance parcourue en moyenne par unité de temps. Unités SI mètre/seconde m.s - 1 V m M M t 2 1 t 2 1 OM 2 OM Δt 1 janvier 17 23

24 Vitesse instantanée 4. VECTEUR VITESSE Vitesse dérivée par rapport au temps du vecteur posi.on Durée élémentaire (infiniment pe.te) : dt Vecteur déplacement élémentaire : d OM dl V V ( ) t t lim Δ dom dl ( ) ( ) ( t) V( t) dt dl dt OM t + Δt dt Δt OM t janvier 17 24

25 4. VECTEUR VITESSE Epression en coordonnées cartésiennes Vecteur posi.on OM u + y u Vecteur vitesse V t u + y u ( ) Norme du vecteur vitesse V ( t) V ² + y² + z² y y + z u z + z u z janvier 17

26 4. VECTEUR VITESSE Epression en coordonnées polaires / cylindriques Vecteur posi.on OM ρ u Vecteur vitesse V ( ) Norme du vecteur vitesse V t V ρ ρ u ρ + z u + V u ( t) V ρ² + ( ρθ )² + z² θ z θ + z u z Composante radiale V ρ Composante orthoradiale V θ ρ ρθ janvier 17

27 4. VECTEUR VITESSE Cas du mouvement plan (base de Freinet) Vecteur vitesse : Tangent à la trajectoire au point M " (%)' ( % Norme du vecteur vitesse " (%) " ' Base de Freinet Base mobile ( % : vecteur unitaire tangent à la trajectoire et orienté comme celle- ci (, : vecteur unitaire normal à la trajectoire et tourné vers la concavité janvier 17 27

28 Vitesse angulaire 4. VECTEUR VITESSE Posi.on angulaire de M dans le plan Oy : θ Vitesse angulaire dérivée par rapport au temps de θ Vecteur vitesse angulaire : ω θ u z Sens posi.f : de vers y janvier 17 28

29 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra<on Défini.on / Unités Epression en coordonnées cartésiennes / polaires / cylindriques Epression dans la base de Freinet 6. Eemples de mouvement 7. Récapitula.f janvier 17 29

30 5. VECTEUR ACCELERATION Varia.on du vecteur vitesse par rapport au temps Unités SI mètre/seconde au carré m.s - 2 ( t) dv a ( t) dt d² OM dt² janvier 17 3

31 5. VECTEUR ACCELERATION Epression en coordonnées cartésiennes Vecteur accéléra.on a t u + y u + ( ) y z uz janvier 17

32 5. VECTEUR ACCELERATION Epression en coordonnées polaires / cylindriques Vecteur accéléra.on a t a u + a u ( ) Composante radiale a ρ Composante orthoradiale a θ ρ ρ ρ ρθ ² ρθ + 2 ρθ θ θ + z u z janvier 17

33 5. VECTEUR ACCELERATION Cas du mouvement plan (base de Freinet) Vecteur accéléra.on : + Composante tangen.elle : a t indique si la valeur de la vitesse change mvt uniforme : a t Composante normale centripète : a n toujours posi.ve toujours tournée vers le centre de courbure de la trajectoire au point considéré indique que la direc.on du vecteur vitesse change mvt rec.ligne: a n. % /'//%., "²/1 janvier 17

34 janvier 17 34

35 5. ACCELERATION Accéléra<on angulaire Vecteur accéléra.on angulaire d ω θ dt u z janvier 17 35

36 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Eemples de mouvement Mouvements rec.lignes Mouvements circulaires Mouvement parabolique 7. Récapitula.f janvier 17 36

37 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvements rec.lignes Quelconque Uniforme Uniformément varié Sinusoïdal Mouvements circulaires Quelconque Uniforme Uniformément varié Sinusoïdal Mouvement parabolique janvier 17 37

38 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne Trajectoire por.on de droite Une seule composante pour : Posi.on : Vitesse : Accéléra.on : ( t) Origine O : posi.on de M à t v a ( t) u v u ( t) u a u ( ) t janvier 17 38

39 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne quelconque Vecteur accéléra.on fonc.on quelconque du temps a f ( t) v( t) f ( t) dt v( t)dt Des condi.ons ou les condi.ons ini.ales (à t) permehent de déterminer V o et. janvier 17 39

40 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne uniforme Vecteur vitesse constant janvier 17 4 ( ) ( ) t V t V V V v u u t v u V V t v a.. +

41 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne uniformément varié Vecteur accéléra.on constant + mouvement rec.ligne Des condi.ons ou les condi.ons ini.ales (à t) permehent de déterminer V o et. janvier ( ) ( ). ² t V t a v t a a a a u u t a u a a t a + + +

42 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne sinusoïdal Équa.on horaire fonc.on sinusoïdale du type X ( ) m cos ωt + ϕ v( t) X ω ( ω + ϕ) m sin t a( t) X ω ( ωt + ϕ) m ² cos avec : ω : pulsa.on (en rad/s) X m : amplitude maimale du mouvement Phase Φ à l instant t : ( ) ϕ ω t + ϕ : phase à l origine janvier Φ t

43 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement rec<ligne sinusoïdal (suite) Équa.on différen.elle + ω² janvier 17 43

44 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire quelconque Voir doc récapitula.f Mouvement circulaire Trajectoire cercle de centre O et de rayon R Origine O : centre du cercle et ae Oz perpendiculaire au plan contenant la trajectoire Equa.ons horaires en coordonnées polaires ρ R θ θ ( t) cte janvier 17 44

45 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire uniforme (suite) Vecteur vitesse angulaire constant janvier ( ) ( ) θ ω θ ω θ θ θ ω θ θ u R v t t cte t dt d. +

46 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire uniforme (suite) Vecteur accéléra.on Composante tangen.elle nulle a t Composante normale v² a an un R ω ² un R ω ² R u ρ ð Mouvement accéléré à accéléra.on centripète janvier 17 46

47 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire uniformément varié Vecteur accéléra.on angulaire constant!!!!!! cte!!!!.t +!! 1!!!.t 2 +!.t +! 2 Les condi.ons ini.ales (à t) ou des condi.ons par.culières permehent de déterminer et. θ θ janvier 17 47

48 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement circulaire sinusoïdal Équa.on horaire fonc.on sinusoïdale du type ( ω ϕ) θ Θ cos t + m janvier 17 48

49 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement parabolique janvier 17 49

50 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement parabolique (suite) Condi.ons ini.ales ( t z( t ) ) v( t ) v Vecteur accéléra.on a z a Vecteur vitesse v v z a z v. t + v u + v z u cosα sinα janvier 17 5 z z v u OM!!!! " + v v.t u Vecteur posi.on z 1 2 a.t 2 + v z.t z

51 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement parabolique (suite) Trajectoire Si V è mouvement rec.ligne uniformément varié suivant z Si V è mouvement rec.ligne uniformément varié suivant z + mouvement rec.ligne uniforme suivant équa.on de la trajectoire z a! $! # & + v z # " % " z 1 2 a v 2 janvier v $ & % v 2 cos 2! + tan!

52 6. EXEMPLES de MOUVEMENT Mouvement parabolique (suite) Flèche h Al.tude mai que peut aheindre le point mobile v h ² sin²α 2g Portée d Distance mai que peut aheindre le point mobile v d ² sin2α g janvier 17 52

53 Sommaire 1. Défini.on 2. Référen.el 3. Repère 4. Vecteur vitesse 5. Vecteur accéléra.on 6. Eemples de mouvement 7. Récapitula<f è travail perso janvier 17 53

54 7. Récapitula<f Système de coordonnées cartésiennes et polaires ou cylindriques + passage de l un à l autre Epression des vecteurs posi.on, vitesse, vitesse angulaire, accéléra.on et accéléra.on angulaire dans les différents systèmes de coordonnées Passages du vecteur posi.on au vecteur vitesse, du vecteur vitesse au vecteur accéléra.on Défini.on de quelques mouvements par.culiers janvier 17 54