Intégration, probabilités

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1 prép-greg 7-8 Intégrtion, probbilités Dns tous les exercices probbilistes, les vribles létoires sont supposées définies sur le même espce probbilisé (Ω, A, P). I Questions de cours L fonction t sin t t 3/ Log(t) est-elle intégrble sur ]; ]? Sur [; [? Montrer que l fonction z /z (rbitrirement définie en ) est intégrble sur tout compct de C. 3 Trouver une suite (f n ) de fonctions mesurbles positives sur [; ] qui converge simplement vers et vérifie lim n f n(t) dt = +. 4 Soit f : [; [ C une fonction continue intégrble sur [; [. Déterminer l n limite lim n f( n t) dt. n+ 5 Déterminer lim n e tn dt. 6 Montrer que l formule f(z) = t z dt définit une fonction holomorphe dns l +t bnde { < Re(z) < }. 7 Montrer que l formule f(x) = e tx sin(t 3 x) dt définit une fonction de clsse C sur ]; [. 8 Clculer e x y dxdy, et en déduire l vleur de e t dt. R 9 Soient f et g deux fonctions intégrbles sur R, à vleurs complexes.. Montrer que f g(x) = f(x t)g(t) dt est défini pour presque tout x R, et que l fonction R (presque prtout définie) f g est intégrble sur R. Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré. Montrer que si (f n ) est une suite de fonctions intégrbles convergent en norme L vers, lors (f n ) dmet une sous-suite qui converge presque prtout vers. Soit (X n ) une suite de vrible létoires intégrbles convergent en norme L vers une v.. intégrble X. Montrer que (X n ) converge vers X en probbilité. Montrer que si α >, lors l intégrle vleurs de α est-elle bsolument convergente? sin t t α dt est convergente. Pour quelles

2 II Exercices Exercice Soit f : [; [ R définie pr f(t) = sin(t /4 )e t/4. Montrer que pour tout p N, l fonction t t p f(t) est intégrble sur [; [ vec t p f(t) dt =. Un exemple nlogue existe-t-il sur un intervlle compct [; b] u lieu de [; [? Exercice Soit f : R C une fonction de clsse C à support compct. Montrer que pour tout k N, on b ( ) f(t)e iλt dt = O λ k qund λ. Exercice 3 Discuter suivnt les vleurs de α, β l existence de I(α, β) = + Clculer l intégrle I(, β) qund elle existe. dx x α ( + x β ) Exercice 4 Determiner les couples (α, β) pour lesquels l intégrle converge. x α cos x xβ dx Exercice 5 Soit f : R C une fonction loclement intégrble telle que lim f(x) = l, lim f(x) = x + x l. Montrer l existence de + ( ) f(x+) f(x) dx pour > et clculer cette intégrle. Donner des exemples d pplictions. Exercice 6 Soit f : [; [ C une fonction intégrble sur [; [. Montrer que si f est uniformément continue, lors lim t f(t) =. Qu en est-il si on suppose seulement f continue? Exercice 7 Soit f C ([, b]) non identiquement nulle, vec f() = f(b) =. Montrer qu il existe u moins un ζ ], b[ tel que 4 (b ) b f(x) dx < f (ζ).

3 Exercice 8 Soit f : [ ; ] C continue sur [, ], deux fois dérivble sur ], [, ynt des dérivées à droite en et à guche en, et vérifint f() =. Montrer qu il existe ζ ], [ tel que f () = 3 f(x)dx. 3 Exercice 9 Soit f : [; ] R une fonction continue strictement positive. Pour α >, on pose ( ) /α N α (f) = f(t) α dt Déterminer lim α N α (f) et lim α + N α (f). Exercice Déterminer un équivlent simple de x et dt qund x +. Exercice Soit f : [; ] R une fonction continue, vec f(). Déterminer un équivlent de f(t) dt qund ε t+ε +. Exercice Montrer que si f : [; b] R est de clsse C, lors b f(x) f(t) dt + f(t) f (t) dt. b En déduire que pour tout ε > donné, on peut trouver une constnte C < telle que f C ([; b]) f C f L + ε f L. b On pourr commencer pr comprer uv et εu + v ε pour u, v. Exercice 3 Soient u, v les zéros du polynôme Q(x) = x x +. Vérifier que, pour tout polynôme dont le degré n excède ps 5, on P (t) dt = (5P (u) + 8P ( ) 8 ) + 5P (v). Exercice 4 Dns tout l exercice, f : R C est une fonction intégrble. Soit P : R C un polynôme trigonométrique. Déterminer lim λ f(t)p (λt) dt. R Montrer que si g : R C est une fonction continue T -périodique (T > ), lors ( ) lim λ R f(t)g(λt) dt = T f(t) dt R ) ( T g(t) dt b 3 Déterminer lim n f(t) sin(nt) dt, pour tout intervlle [; b] R.. 3

4 4 Exercice 5 Soit E l ensemble des fonctions continûment dérivbles sur [ π, + π], non identiquement nulles et vérifint f( π) = f( π ) =. Soit φ l ppliction de E dns R qui, à l fonction f E, ssocie φ(f) = π π π π f (x) dx f (x) dx Montrer, en utilisnt les fonctions f m (x) = ch(mx) ch(m π ), que φ(e) est une prtie non mjorée de R. f étnt une fonction de E et k un réel, k <, clculer I = π π [ f (x) k f (x) (f (x) + kf(x)tn(kx)) ] dx En déduire que φ(e) dmet le nombre pour minornt. 3 Montrer qu il existe des fonctions f E telles que φ(e) =. 4 Montrer que si une fonction f E dmet une dérivée seconde continue, lors π π f(x) ( f(x) + f (x) ) dx Exercice 6 On considère l fonction f : R R définie pr x f(x) = e x e t dt Montrer que f est de clsse C sur R et qu elle y vérifie l éqution differentielle y + xy =. Montrer que f dmet une seul zéro sur ], [ et que ce zéro pprtient à l intervlle ], [. 3 Donner une equivlent de l fonction f à l infini et compléter son étude sur R. Exercice 7 Soit φ une fonction continue sur un intervlle I et x un point de I. On pose Φ = φ et on désigne pr Φ n+ l primitive de Φ n sur I qui prend l vleur u point x. Vérifier pr deux méthodes que Φ n (x) = (n )! x x φ(t)(x t) n dt. Exercice 8 Soit f : [, ] C intégrble.

5 5 On suppose que f possède une limite à guche en. Montrer que lim n x n f(x)dx = f( ). On suppose que f possède une limite à droite en. Montrer que lim h h h + x f(x)dx = π f(+ ). Exercice 9 On suppose que l série de Dirichlet D(s) = n nn s converge pour s >. Montrer que où D(s)Γ(s) = P (y) = n n e ny, Γ(s) = P (u)u s du e t t s dt. Exercice Soient f, g deux fonctions continues sur le segment [, b], < b, à vleurs positives. Démontrer que l suite ( b ) u n = f n n (x)g(x)dx dmet pour limite f, borne supérieure de f sur [, b]. Exercice Montrer que si (p n ) n est une suite de réels strictement positifs, convergente vers p R +, lors ( ) lim p p p n n = p. n En déduire que si f, φ sont des fonctions continues et à vleurs strictement positives, lors lim n b b Exercice (inéglité de Wirtinger) f(x)φ(x) n+ dx f(x)φ(x) n dx Soit f : [; ] R de clsse C, vec f() = = f(). = f. Montrer que I = f(t)f (t) cotn(πt) dt et I = f(t) ( + cotn (πt)) dt existent, et qu on I = πi. En déduire qu on f L f π L.

6 6 Exercice 3 (sommes de Riemnn) Dns tout l exercice, f : [; b] R est une fonction intégrble. Pour n N, on pose R n (f) = b n ( f + k b ). n n k= On suppose que f est bornée et que l ensemble des points de discontinuité de f est de mesure nulle. Montrer que R n (f) b f(t) dt qund n. Montrer que si f est lipschitzienne, lors b ( ) R n (f) f(t) dt = O. n 3 On suppose que f est de clsse C. Montrer qu on R n (f) b f(t) dt = b n (f(b) f()) + o ( ). n 4 On suppose que f est de clsse C. Déterminer deux constntes α, β telles que b f(t)dt R n (f) = α n + β ( ) n + o n Exercice 4 (méthode des trpèzes). Dns tout l exercice, f : [; b] R est une fonction de clsse C. Pour n N, on pose ( T n (f) = b n ( f() + f + k b ) ) + f(b). n k= Soit [α; β] [; b], et soit ϕ : [α; β] R l fonction ffine interpolnt f ux points α et β. Clculer β ϕ(t) dt en fonction de α, β, f(α), f(β). α b Montrer qu on β f(t) dt β ϕ(t) dt = β α α α (t α)(t β) f (t) dt. Interpréter géométriquement l définition des T n (f). 3 Montrer que T n (f) b f(t) dt qund n, vec b T n(f) f(t) dt (b )3 f n. Exercice 5 Montrer que si f : R R est dérivble en tout point, lors f est une fonction borélienne.

7 Exercice 6 Soit F : R R une fonction dérivble en tout point. On suppose que l fonction F est bornée. Montrer que l fonction F est lipschitzienne. Montrer que pour tous, b R, < b, on F (b) F () = b F (t) dt. On pourr écrire F comme limite d une suite de fonctions convenble. Exercice 7 Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré, et soit f : Ω C une fonction intégrble sur Ω. Montrer qu on f dµ Ω = f dµ si et seulement si il existe Ω une constnte λ C telle que λ = et f(x) = λ f(x) pour presque tout x Ω. Exercice 8 Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré. Montrer que si l mesure µ est finie et si p p, lors L p (Ω) L p (Ω). Que dire si µ n est ps supposée finie? On suppose que µ est une mesure de probbilité. Montrer que si f L (Ω), lors f p est fonction croissnte de p [; [, et déterminer lim p f p. Exercice 9 Soit f : R R de clsse C. On suppose que f L p (R), pour un certin p >. Montrer que f est uniformément continue. Exercice 3 Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré, et soit f : Ω R + une fonction mesurble. On suppose qu on < f dµ <. Pour α >, déterminer Ω [ ( ) α ] f(x) lim n Log + dµ(x). n Ω n On ur à distinguer 3 cs : < α <, α = et α >. Dns le troisième cs, on pourr utiliser l inéglité ( + x) α e αx, près l voir démontrée. Exercice 3 Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré, et soit (f n ) une suite de fonctions intégrbles sur Ω, à vleurs complexes. On suppose que l suite (f n ) converge presque prtout vers une fonction f : Ω C. On suppose églement qu il existe une constnte C < telle que f n C pour tout n N. Montrer que l fonction f est intégrble sur Ω. Montrer qu on lim n f n f n f f Ω dµ =. 3 Déduire de que si f n tend vers f qund n tend vers l infini, lors l suite (f n ) converge vers f en norme L. Exercice 3 Soit µ une mesure de probbilité borélienne sur R. On suppose qu on µ({x}) = pour tout x R. Montrer que l fonction x µ(] ; x]) est continue 7

8 8 sur R. En déduire que pour tout λ [; ], on peut trouver un borélien B R tel que µ(b) = λ. Exercice 33 Soit f : R C une fonction loclement intégrble. Pour x R, on pose F (x) = x f(t) dt. Montrer que l fonction F est continue sur R. Que peut-on dire de plus si f est bornée? 3 Montrer que si f est continue en un point t R, lors F est dérivble en t et F (t ) = f(t ). Exercice 34 Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré, et soit f une fonction intégrble sur Ω, à vleurs complexes. Pour n N, on pose A n = {x Ω; f(x) n}. Vérifier que l suite n (An ) est croissnte, et déterminer n N An. Déduire de que pour tout η >, on peut trouver un ensemble A η A vérifint les propriétés suivntes: () µ(a η ) < ; (b) L fonction f est bornée sur A η ; (c) Ω\A η f dµ < η. 3 En utilisnt, montrer que pour tout ε >, on peut trouver δ > tel que B A µ(b) < δ = f dµ < ε. 4 On suppose que Ω = R et que µ est l mesure de Lebesgue. Pour x R, on pose F (x) = x B f(t) dt. Montrer que l fonction F est uniformément continue sur R. Exercice 35 (ensembles de Vitli) On note R l reltion d équivlence sur [ ; ] définie pr xry x y Q. On dit qu un ensemble A [ ; ] est un ensemble de Vitli si A contient exctement point de chque R-clsse d équivlence. Soit A un ensemble de Vitli. On énumère (injectivement) l ensemble des rtionnels de [ ; ] sous l forme {r i ; i N}. Montrer qu on [ ; ] i (r i + A) [ ; ]. b Montrer que les ensembles r i + A sont deux à deux disjoints.

9 Montrer qu un ensemble de Vitli ne peut ps être mesurble u sens de Lebesgue. Exercice 36 (théorème d Egorov) Soit (Ω, A, P) un espce probbilisé. Soit églement (f n ) une suite de fonctions mesurbles sur Ω, à vleurs réelles. On suppose que l suite (f n ) converge simplement vers une fonction f. Dns toute l suite, on fixe ε >. Soit k N. Pour n N, on pose A n = {x Ω; p n f p (x) f(x) < k }. Montrer qu il existe un entier n k tel que P(A nk ) > k ε. Montrer qu il existe un ensemble A A tel que P(A) > ε et tel que l suite (f n ) converge uniformément sur A. Exercice 37 (théorème de récurrence de Poincré) Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré, vec µ(ω) <. Soit églement T : Ω Ω une ppliction mesurble telle que µ(t (A)) = µ(a) pour tout A A. Soit A A, et soit p N. On pose F = {x A; n p : T n (x) A}, où T n = T T est l n-ième itérée de T. Montrer que les ensembles (T kp ) (F ), k sont deux à deux disjoints. b Montrer qu on µ(f ) =. Soit A Ω vérifint µ(a) >. Montrer qu il existe un point x A tel que T n (x) A pour une infinité d entiers n. Exercice 38 Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré, vec µ(ω) <. Toutes les fonctions sur Ω considérées sont mesurbles et à vleurs complexes. On dit qu une suite de fonctions (f n ) converge en mesure vers une fonction f si, pour tout ε >, on lim µ({x Ω; f n(x) f(x) ε}) =. n Montrer que si une suite (f n ) de fonctions intégrbles converge en norme L vers une fonction intégrble f, lors elle converge en mesure vers f. Montrer qu une suite (f n ) converge en mesure vers une fonction f si et seulement si lim n Ω inf(, f n f ) dµ =. 3 Montrer que si une suite (f n ) converge presque prtout, lors elle converge en mesure. 4 Montrer que si une suite (f n ) converge en mesure, lors elle possède une soussuite qui converge presque prtout. Plus précisément, montrer que (f n ) converge en 9

10 mesure si et seulement si toute sous-suite de (f n ) possède une sous-suite qui converge presque prtout. Exercice 39 Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré, et soit f une fonction intégrble sur Ω. Soit églement (λ n ) une suite strictement croissnte de nombres positifs. Pour n N, on pose A n = {x Ω; f(x) λ n }. ( ) Déterminer lim n A n f dµ. En déduire qu on µ(a n ) = o λ n qund n. On suppose que l fonction f est bornée et que µ est une mesure finie. Montrer qu il existe une constnte C < telle que µ(a n ) C e λn pour tout n N. 3 On revient u cs générl (µ quelconque et f intégrble). Pour n N, on pose B n = {x Ω; λ n f(x) < λ n+ }. Montrer qu on λ n µ(b n ) <. b Pour n N, exprimer µ(a n ) à l ide des µ(b p ), p n. c Montrer que l série n µ(a n) est convergente. Exercice 4 (ensemble tridique de Cntor) On définit une suite de fermés K n [; ] de l mnière suivnte : K = [; ], K = [; /3] [/3; ], K = [; /9] [/9; /3] [/3; 7/9] [8/9; ], et insi de suite. Enfin, on pose K = n K n. Écrire explicitement l ensemble K n, pour n N, et clculer l mesure de Lebesgue de K n. Quelle est l mesure de K? 3 Montrer que K n est ps dénombrble. Exercice 4 On note m l mesure de Lebesgue sur R, et µ l mesure de décompte. Soit églement K R un compct non dénombrble tel que m(k) =. Donner un exemple d un tel compct K. On pose C = {(x, y) R ; x y K}. Clculer ( R R C(x, y) dµ(y) ) ( dm(x) et R R C(x, y) dm(x) ) dµ(y). Que fut-il en conclure? Exercice 4 Soit (X, µ) un espce mesuré, et soit f : X R + une fonction mesurble. Soit églement φ : R + R + une fonction continue, de clsse C sur ]; [, vec φ() =. Montrer qu on φ(f(x)) dµ(x) = φ (t)µ({x; f(x) t}) dt. X

11 Expliciter cette formule lorsque φ(t) = t p, p. Exercice 43 Soit (X, A, µ) un espce mesuré et soit f : X R + une fonction mesurble. On suppose qu il existe une constnte c > telle que µ({x; f(x) t}) e ct pour tout t >. Montrer que f L p pour tout p [; [. Exercice 44 On note λ d l mesure de Lebesgue sur R d, et v d le volume de l boule unité euclidienne B(, ) R d. Soit µ une mesure borélienne sur R d telle que µ(k) < pour tout compct K R d. Montrer que pour toute fonction continue à support compct ϕ : R d R, on R d ϕ(x) ( µ(b(x, r)) dλ v d r d d (x) = R d λ d (B(y, r)) B(y,r) ) ϕ(x)dλ d (x) dµ(y). Montrer que si µ est une mesure borélienne sur R d vérifint µ(b) = λ d (B) pour toute boule B R d, lors µ = λ d. Exercice 45 (convolution) Soient f, g : R R deux fonctions mesurbles. Pour x R, on pose formellement f g(x) = f(x y)g(y) dy. R On suppose que f L (R) et que g L (R). Montrer que f g(x) est bien défini pour tout x R, que l fonction f g est bornée, et qu on f g f g. b Plus générlement, on suppose que f L p (R) et que g L q (R), où p [; ] et q est l exposnt conjugué. Montrer de même que f g est définie en tout point, que f g est bornée, et mjorer f g. On suppose que f L (R) et que g L (R). Montrer que f g est définie en presque tout point x R, que f g L (R) et qu on f g f g. 3 On suppose que f L (R) et que g L p (R), où < p <. On note q l exposnt conjugué de p. Montrer que pour tout x R, on R f(x y) g(y) dy f /q ( /p f(x y) g(y) dy) p. R b Montrer que f g est définie presque prtout, que f g L p, et qu on f g p f g p. 4 On suppose que f L et que g est de clsse C à support compct. Montrer que f g est de clsse C. Exercice 46 (continuité des trnsltions)

12 A Soit p [; ]. Pour f L p (R) et h R, on définit τ h f : R R pr τ h f(x) = f(x h). Montrer que si f L p (R), lors τ h f L p et τ h f p = f p. Montrer que si f est continue à support compct, lors l ppliction h τ h f est continue de R dns L p (R). 3 On suppose p <. Montrer que pour toute f L p (R), l ppliction h τ h f est continue de R dns L p (R). 4 Que peut-on dire pour p =? B Soit p [; ], et soit q l exposnt conjugué. g L q (R), lors f g est une fonction continue. Montrer que si f L p (R) et Exercice 47 Soit f : R C une fonction intégrble, et soit (λ n ) une suite de nombres réels positifs vérifint λ n <. Montrer que pour presque tout x R, on lim n f(λ n x) =. On pourr considérer l série f n, où f n (x) = f(λ n x). Exercice 48 En considérnt f n (x) = n e i(k+)θ x k, montrer que pour tout θ ]; π[, on peut écrire k= cos kθ k k= = Log sin θ. Exercice 49 Montrer qu on rctn() = ( ) n n + et Log() = ( ) n+. n Exercice 5 Clculer Log( t) t dt. Exercice 5 Clculer de deux fçons différentes l intégrle R + déduire l vleur de Logx dx. Étblir ensuite l formule x n= (n + ) = π 8. dx dy (+y)(+x y) et en Exercice 5 Clculer I = ( rctn x x ). On pourr écrire rctn x = x dt. +(tx)

13 Exercice 53 En clculnt ( )n tn ( t) dt de deux fçons différentes, montrer qu on ( ) n (n + )(n + ) = π 4 Log 3 Exercice 54 Dns cet exercice, on donne une méthode pour clculer l vleur de l intégrle I α = e αt dt R où α >. On définit f : R + e xt R pr f(x) = + t dt. Justifier l définition, et montrer que f est continue sur R +. b Clculer f() et déterminer lim x f(x). c Montrer que f est dérivble sur ]; + [ et vérifie une éqution différentielle du type f (x) f(x) = c x, où c est une constnte qu on exprimer en fonction de I. d Résoudre l éqution différentielle précédente, puis clculer I. Clculer I α pour tout α >. Exercice 55 Si f : R C est une fonction intégrble sur R, on note ˆf s trnsformée de Fourier : ˆf(x) = f(t)e itx dt. R Montrer que ˆf est bien définie, et qu elle est continue et bornée sur R. On suppose que l fonction intégrble f vérifie R tk f(t) dt < pour un certin entier k. Montrer que ˆf est de clsse C k, et exprimer ses dérivées sous forme d intégrles. 3 Dns cette question, on prend f(t) = e t /. Combien vut ˆf()? b Montrer que ˆf est de clsse C sur R, et déterminer une éqution différentielle du premier ordre vérifiée pr ˆf. c Déterminer ˆf. 4 Dns cette question, on prend f(t) = +t. Pour n N, on définit g n : R R pr g n (x) = n e itx dt. Montrer que les n +t g n sont de clsse C, et que l suite (g n) converge uniformément sur tout intervlle [; + [, >. b Déduire de que l fonction ˆf est de clsse C sur ]; + [, et donner une formule pour ˆf (x). Montrer ensuite à l ide d une intégrtion pr prties que pour

14 4 tout x >, on ˆf (x) = R iu u + x e iu du. c Montrer que ˆf est deux fois dérivble sur ]; + [ et y vérifie l éqution différentielle ˆf = ˆf. d Montrer qu on ˆf(x) = e π x pour tout x R. Exercice 56 (formule sommtoire de Poisson) A Soit f : R C une fonction intégrble pour l mesure de Lebesgue. Montrer que pour presque tout t R, l série n Z f(t + πn) est bsolument convergente, et que l fonction f définie (presque prtout) pr f(t) = + f(t + πn) est intégrble sur [; π]. Montrer que l fonction f est π-périodique, et exprimer ses coefficients de Fourier à l ide de l trnsformée de Fourier de f. 3 On suppose que l fonction f est de clsse C, et qu on f(t) = O ( ) t et f (t) = O ( ) t qund t tend vers l infini. Montrer qu on peut écrire + ˆf(n) = π + f(πn). Cette formule s ppelle l formule sommtoire de Poisson. B Pour s >, on pose θ(s) = + e πsn. Montrer que l fonction θ vérifie l éqution fonctionnelle θ(s) = s θ ( s). Exercice 57 Soit f : [; + [ C une fonction continue bornée. Pour λ >, on pose Lf(λ) = f(t)e λt dt. L fonction Lf est l trnsformée de Lplce de l fonction f. Justifier l définition, montrer que l fonction Lf est de clsse C sur ]; + [, et exprimer les dérivées de Lf sous forme d intégrles. b Déterminer lim λ Lf(λ). Dns cette question, on suppose que l intégrle f(t) dt existe, u sens où R f(t) dt dmet une limite qund R tend vers l infini.

15 Pour x, on pose F (x) = x f(t) dt. Montrer que l fonction F est bornée sur [; + [ et que pour tout λ >, on peut écrire ( u Lf(λ) = F e λ) u du. b Montrer qu on lim λ Lf(λ) = f(t) dt. 3 Dns cette question, on veut retrouver d une utre mnière le résultt de b. On suppose donc à nouveu que l intégrle f(t) dt existe. En intégrnt pr prties, montrer que l convergence des intégrles f(t)e λt dt est uniforme pr rpport u prmètre λ >. b Conclure. 4 Montrer que b serit encore vlble si on supposit seulement que f est loclement intégrble (et que l intégrle f(t) dt existe). 5 Dns cette question, on prend f(t) = sin t (vec f() = ). t Clculer (Lf) (λ) pour λ >, puis déterminer Lf sur ]; + [. b Clculer l intégrle I = sin t dt près voir justifié son existence. t Exercice 58 Pour x >, on pose Γ(x) = t x e t dt. Justifier l définition, et montrer que l fonction Γ est de clsse C sur ]; + [. Déterminer lim x + Γ(x). Montrer que l fonction Log Γ est convexe. 3 Trouver une reltion entre Γ(x + ) et Γ(x). En déduire l vleur de Γ(n + ) pour n N. 4 Pour n N et x >, on pose J n (x) = ux ( u) n du. Trouver une reltion entre J n (x) et J n (x + ) pour n, et en déduire J n (x) pour tout n N. 4b Pour n N et x >, clculer l intégrle n tx ( t n) n dt. 4c Montrer que pour tout x >, on n!n x Γ(x) = lim n x(x + )... (x + n) 5 Le but de cette question est d étblir l formule de Stirling : Γ(x + ) x x e x πx qund x tend vers +. Montrer que pour tout x >, on Γ(x + ) = x x e x x g(x, u) du, où R g(x, u) = si x u et g(x, u) = exp (xlog ( ) + x u ) u x si x > u. b Pour u >, déterminer sup x g(x, u). Pour u <, déterminer sup x> g(x, u). c Démontrer l formule de Stirling. 5

16 6 Exercice 59 Pour, b > on définit I(, b) = t ( t) b dt. Montrer que pour toute fonction mesurble f : ]; [ ]; [ R +, on f(x + y)x y b dxdy = I(, b) u +b f(u) du. Ω En déduire l identité Γ()Γ(b) = Γ( + b) I(, b). Exercice 6 (critères d Abel) Soient f : [; [ C continue et g : [; [ C de clsse C. Montrer que dns chcun des deux cs suivnts, l intégrle f(t)g(t) dt est convergente. l intégrle f(t) dt est convergente, et l fonction g est intégrble sur [; [. b les intégrles X f(t) dt sont uniformément bornées, l fonction g est intégrble sur [; [, et g(t) qund t. Donner un exemple dns chcun des deux cs. Exercice 6 (seconde formule de l moyenne) A Soient f et g deux fonctions intégrbles sur un intervlle [, b], à vleurs réelles. On suppose que f est de l forme n i= α i [i ; i [, vec α α n et = < < n = b. Pour x [; b], on pose G(x) = x g(t) dt. En utilisnt une sommtion pr prties, montrer qu on (inf [;b] G) f(+ ) b f(t)g(t) dt (sup G) f( + ). [;b] On suppose que f est décroissnte et positive. Montrer que fg est intégrble sur [; b] et qu on b ξ f(t)g(t) dt = f( + ) g(t) dt, pour une certin ξ [; b]. 3 On suppose seulement que f est décroissnte. Montrer qu il il existe ξ [, b] tel que b ξ f(t)g(t) dt = f( + ) g(t)dt + f(b) b ξ g(t)dt B Soit f : [; [ R une fonction décroissnte tendnt vers à l infini. Montrer que l intégrle f(t) sin t dt est convergente. B Soit g : [; [ R une fonction loclement intégrble. On suppose que l intégrle g(t) dt existe. Montrer que l intégrle g(t)e λt dt converge pour tout λ >, et que l convergence est uniforme pr rpport à λ.

17 7 Exercice 6 Montrer que l intégrle cos(x ) dx est convergente. Exercice 63 Soit (Ω, A, µ) un espce mesuré, vec µ(ω) <. Montrer que si A, B A, lors µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B). Montrer que si A,..., A n A, lors ( n µ(a A n ) = ( ) k k= j < <j k n µ(a j A jk ) 3 Dns cette question, on prend pour Ω l ensemble de toutes les pplictions f : {;... ; m} {;... ; n}, où m, n N, m n. On note µ l mesure de décompte sur Ω. Combien vut µ(ω)? b Pour j {;... ; n}, on pose A j = {f Ω; f ne prend ps l vleur j}. Pour j < < j k n, clculer µ(a j A jk ). c On note Sm n le nombre de surjections de {;... ; m} sur {;... ; n}. Étblir l formule n Sm n = ( ) n k Cn k k m. k= 4 Soit N un entier u moins égl à. On note ϕ(n) le nombres d entiers m {;... ; N} tels que pgcd(m, N) =. On note églement p < < p n les fcteurs premiers de N. Étblir l formule n ) ϕ(n) = N ( pj. j= ). Exercice 64 (lemme de Borel-Cntelli) Soit (Ω, A, P) un espce probbilisé, et soit (A n ) une suite d éléments de A. Montrer que si ) P(A n) <, lors P (lim sup n A n =. On suppose que les évènements A n sont indépendnts. Montrer que si P(A n) =, lors P(lim sup A n ) =. On pourr s intéresser u produit ( P(A n )). Exercice 65 Un singe trouve sous un bobb une mchine à écrire, et se met imméditement à l utiliser. Comme c est tout de même un singe, il frppe sur les touches complètement u hsrd; et comme il n est ps pressé, il tpe infiniment longtemps. On note A = { ;... ; N } l ensemble des touches de l mchine à écrire. Pour i N, on note X i l touche frppée pr le singe u i-ème coup.

18 8 Si m = ( j,..., jp ) est une suite finie d éléments de A et si k N est fixé, quelle est l probbilité de l évènement ((X k+,..., X k+p ) = m)? b Soit m = ( j,..., jp ) fixé. Pour tout entier l N, on note A l l évènement ((X pl+,..., X (p+)l ) = m). Clculer l= P(A l). Montrer qu il est presque certin que le singe écrive une infinité de fois les oeuvres complètes de Victor Hugo, à l endroit et à l envers. Exercice 66 Soit Ω l ensemble des nombres irrtionnels de [; ]. On munit Ω de s tribu borélienne, et de l mesure de Lebesgue, notée P (!). On rppelle que tout nombre ω Ω peut s écrire de mnière unique sous l forme ω = i= ω i i, où les ω i sont des entiers compris entre et 9. Pour i N et ω Ω, on pose X i (ω) = ω i P est-elle une mesure de probbilité? Montrer que les X i sont des vribles létoires indépendntes ynt toutes l même loi, que l on déterminer. 3 Montrer que pour presque tout ω Ω et pour tout k {;... ; 9}, on lim n n crd{i n; ω i = k} =. Exercice 67 Soient f, g deux fonctions continues sur [; ], vec f et g >. Soit (X n ) n une suite de vribles létoires indépendntes, à vleurs dns [; ], suivnt chcune une loi uniforme sur [; ]. Pour n N, on pose Z n = f(x ) + + f(x n ) g(x ) + + g(x n ). Montrer que (Z n ) converge presque surement vers une constnte que l on déterminer. Montrer qu on f(x ) + + f(x n ) lim n [;] g(x n ) + + g(x n ) dx f(x) dx... dx n =. g(x) dx Exercice 68 Soit (X i ) i une suite de vribles létoires suivnt chcune une loi k de Poisson de prmètre ; i.e. les X i sont à vleurs dns N et P(X i = k) = e k! pour tout k N. Pour n N, déterminer l loi de S n = X + + X n. n En déduire lim e n n k. On pourr penser u théorème limite centrl. n k! k=

19 9 III Problèmes Problème Le but du problème est d étblir l formule A Dns cette prtie, on veut clculer l intégrle Montrer qu on I = I = C dx dy. xy du dv, u + v où C est le crré de sommets (, ), (, ), (, ), (, ). Clculer les intégrles ( ) I := rctn u du u u et I := ( ) u rctn du. u u n = π 6. On pourr poser u = sin θ dns un cs, et u = cos θ dns l utre. 3 Déterminer l vleur de I. B En utilisnt A, démontrer l formule souhitée. Problème (Moyenne rithmético-géométrique) Dns tout le problème, et b sont deux nombres donnés tels que < < b. On définit deux suites ( n ) et (b n ) de l fçon suivnte: =, b = b; n+ = n b n ; b n+ = ( n + b n ). Montrer que les suites ( n ) et (b n ) sont convergente et ont l même limite. Cette limite s ppelle l moyenne rithmético-géométrique de, b; on l note m(, b). Former une reltion simple entre les intégrles I(, b) = J(, b) = + b dt (t + )(t + b ), dt (t + )(t + b ).

20 3 En fisnt dns J(, b) le chngement de vribles u = b t, en déduire qu on t I(, b) = I(, b ) = I(, b ) = = I( n, b n ) pour tout n N. 4 Étblir que I(, b)m(, b) = π. Problème 3 (unités pprochées) On dit qu une suite de fonctions (k n ) L (R d ) est une unité pprochée si elle vérifie les propriétés suivntes. (i) R d k n = pour tout n. (ii) sup n k n L < (iii) lim n x δ k n = pour tout δ > A Soit (k n ) L (R d ) une unité pprochée. Montrer que si f : R d C est continue à support compct, lors l suite (k n f) converge uniformément vers f. b Montrer que si f L p (R d ), p <, lors l suite (k n f) converge vers f en norme L p. B Soit f : R C une fonction continue nulle en dehors de [ ; ]. Pour n N, on définit P n : R C pr P n f(x) = f(x t)( t ) n dt, α n où α n = ( t ) n dt. Montrer que les P n f sont polynomiles sur [ ; ], et convergent uniformément vers f qund n. C Soit k L (R d ) à support compct et vérifint R d k =. Montrer que l suite (k n ) définie pr k n (x) = n d k(nx) est une unité pprochée. C Montrer que toute fonction continue à support compct f : R d C est limite uniforme de fonctions de clsse C à support compct, et que les fonctions C à support compct sont dense dns L p (R d ), p <. Problème 4 (méthode de Lplce) A Soit f : [; b[ C une fonction mesurble continue en, vec f(). On suppose qu on b e λu f(u) du < pour λ > ssez grnd. Montrer que pour tout δ ]; b[, on b δ e λu f(u) du = o ( λ) qund λ. b Déterminer un équivlent de b e λu f(u) du qund λ. On suppose qu on b e λu f(u) du < pour λ > ssez grnd. Montrer que pour tout δ ]; b[, on ( ) b δ e λu f(u) du = o λ qund λ.

21 b Déterminer un équivlent de b e λu f(u) du qund λ. B Soient ϕ : [; b[ R une fonction de clsse C et f : [; b[ C une fonction mesurble. On suppose que l fonction t e λϕ(t) f(t) est intégrble sur [; b[ pourλ > ssez grnd, et on pose F (λ) = b e λϕ(t) f(t) dt. On suppose qu on ϕ (t) > pour tout t [; b[, et que f est continue en vec f(). Montrer qu on F (λ) f() e λϕ() ϕ () λ qund λ. On pourr poser u = ϕ(t) ϕ(). On suppose que ϕ est de clsse C, vec ϕ (t) > pour tout t ]; b[, ϕ () = et ϕ () >. Enfin on suppose toujours que f est continue en vec f(). Montrer qu on F (λ) π f() e λϕ() ϕ () λ qund λ. On pourr poser u = ϕ(t) ϕ(). C Déterminer un équivlent de l intégrle I n dns les cs suivnts. I n = ( t ) n dt: b I n = [Log( + x)]n dt; c I n = π tn sin t dt. D Utiliser B pour donner un équivlent de x e t dt qund x +. E Montrer que pour x >, on Γ(x + ) = x x+ e x(u Logu) du. En déduire l formule de Stirling : Γ(x + ) x x e x πx qund x. Problème 5 (splines) Dns tout le problème, σ = (x,..., x N ) est une subdivision d un intervlle [; b]. On note S σ l ensemble des fonctions ϕ : [; b] R de clsse C dont l restriction à chque intervlle [x i ; x i+ ] est polynomiles de degré u plus 3. A Montrer que S σ est un espce vectoriel de degré N + 3. A Montrer que si ϕ S σ vérifie ϕ(x i ) = pour tout i {;... n}, lors b ϕ (t) dt = ϕ (b)ϕ (b) ϕ ()ϕ ().

22 On pourr commencer pr vérifier qu on x i+ x i ϕ (t)ϕ (t) dt = pour tout i < N. A Déduire des questions précédentes que si y,..., y N, y, y N sont N+3 réels donnés, lors il existe une unique ϕ S σ vérifint ϕ(x i ) = y i pour tout i {;... ; N}, ϕ () = y et ϕ (b) = y N. B Soit g : [; ] R une fonction de clsse C telle que g() = = g(). montrer qu on g g L. C Soit f : [; b] R une fonction de clsse C, et soit ϕ l unique fonction de S σ vérifint ϕ(x i ) = f(x i ) pour tout i, ϕ () = f () et ϕ (b) = b. Montrer qu on f L = (f ϕ) L + ϕ L. On pourr intégrer (f ϕ )ϕ pr prties sur chque intervlle [x i ; x i+ ]. b Montrer que pour tout i {;... ; n }, on sup (f ϕ)(t) (f ϕ) L h 3/ i, t [x i ;x i+ ] où on posé h i = x i+ x i. c Conclure qu on f ϕ C f L hσ 3/, où h σ = mx{x i+ x i ; i < N} est le ps de l subdivision σ. Problème 6 (inéglité de Hrdy) On note E + l ensemble des fonctions mesurbles F : ]; [ [; ]. Soit églement p [; [, et soit q l exposnt conjugué. Montrer que si F E + est dns L p (µ), lors { } F L p = sup F G dµ; G E +, G L q =. X On pourr considérer G = F p/q. F p/q L p b Montrer que le résultt de est en fit vlble pour toute F E + (les deux membres de l églité précédente pouvnt vloir ). Soit K : ]; [ [; ] R + une fonction mesurble. On définit F : ]; [ [; ] pr F (x) = K(x, u) du. Montrer que pour tout p [; [, on F L p K(, t) L p dt. 3 Soit p ]; [ et soit f L p (]; [). On définit F : ]; [ R pr Justifier l définition. F (x) = x x f(t) dt.

23 b Montrer que F L p, vec F L p p p f L p. 3 Problème 7 (test de Schur) Dns tout le problème, (Ω, A, µ) désigne un espce mesuré, l mesure µ étnt suppposée σ-finie. On écrir L p (Ω) u lieu de L p (Ω, µ). Lorsque Ω = R, l mesure µ est l mesure de Lebesgue. A Soit K : Ω Ω C une fonction mesurble. Soit églement p ]; [, et soit q l exposnt conjugué ( + = ). On suppose qu il existe une fonction mesurble p q strictement positive w : Ω R et une constnte C < telles que les deux propriétés suivntes soient vérifiées : ( ) Ω K(x, y) w(y)q dµ(y) C w(x) q pour tout x Ω; ( ) Ω K(x, y) w(x)p dµ(x) C w(y) p pour tout y Ω. Soit f : Ω C une fonction mesurble. En utilisnt judicieusement l inéglité de Hölder, montrer que pour tout x Ω, on ( ) /p K(x, y) f(y) dµ(y) C /q w(x) K(x, y) f(y) p Ω w(y) dµ(y). p Ω Déduire de que si f L p (Ω), lors, pour presque tout x Ω, l fonction y K(x, y)f(y) est intégrble sur Ω, et l fonction T K f définie (presque prtout) pr T K f(x) = K(x, y)f(y) dµ(y) est dns L p (Ω). 3 Montrer qu on T K f p C f p pour toute f L p (Ω). B Soit ϕ L (R), et soit p [; ]. Montrer que si f L p (R), lors ϕ f(x) = ϕ(x y)f(y) dy est bien défini pour presque tout x R, l fonction ϕ f est dns L p (R), et On pourr poser w(t) =, t R. Ω R ϕ f p ϕ f p. C Dns cette prtie, on note l (N ) l ensemble des suites x = (x i ) i C N x := x i <. i= vérifint

24 4 Pour i N, on pose ω i = i. Montrer que pour tout i N, on i + j ω dt j (i + t) t π ω i. j= Montrer que si x = (x i ) l (N ), lors on peut poser (Hx) i := i + j x j j= pour tout i N, l suite Hx insi définie pprtient à l (N ), et Hx π x. Problème 8 (problème de l chleur périodique ) Si f : R C est une fonction continue π-périodique, le problème de l chleur ssocié à f, noté (P) f, consiste à trouver une fonction u : [; + [ R C vérifint les propriétés suivntes : () Pour tout t, l fonction x u(t, x) est π-périodique; () u(t, x) est de clsse C sur ]; + [ R et y vérifie l éqution de l chleur u t = u x ; (3) u est continue sur [; + [ R; (4) u(, x) = f(x) pour tout x R. On veut montrer ici que pour toute fonction f : R C continue π-périodique, le problème (P) f dmet une unique solution. Pour α > et λ R, clculer l intégrle + e αx e iλx dx. Soit α > et soit ϕ : R R définie pr ϕ(x) = + e α(x nπ). Justifier l définition, puis montrer que ϕ est de clsse C et π-périodique. b Clculer les coefficients de Fourier de ϕ. 3 Pour t >, on définit G t : R C pr G t (x) = + En utilisnt, montrer qu on églement π G t (x) = t e nt e inx. + e (x nπ) 4t.

25 b Montrer que l fmille (G t ) t> vérifie les propriétés suivntes : (i) G t ; π (ii) G t (x) dx = ; π π (iii) δ > lim sup G t (x) =. t δ x π 4 Soit f : R C continue π-périodique. On note (c n (f)) n Z l suite des coefficients de Fourier de f, et on définit u : [; + [ R C pr u(, x) = f(x) et u(t, x) = + c n (f)e nt e inx pour t >. Justifier l définition, et montrer que pour t >, on u(t, x) = π π π G t (x y)f(y) dy = π π π G t (y)f(x y) dy. b Montrer que u est solution du problème de l chleur ssocié à f. 5 Soit v : [; + [ R R une fonction vérifint (), () et (3). Pour t, on pose E(t) = π v(t, x) dx. Montrer que l fonction E est décroissnte sur [; + [. b En déduire que si v(, x) = pour tout x [; π], lors v =. 6 Conclure. Probleme 9 (théorème de dérivtion de Lebesgue) Le but du problème est de démontrer le résultt suivnt : si f est une fonction loclement intégrble sur R et si on pose F (x) = x f(t)dt, lors F est dérivble en presque tout point x R et F = f presque prtout. On noter m l mesure de Lebesgue. Montrer que le résultt est vri pour une fonction f continue. Pour toute fonction ϕ intégrble sur R, on définit l fonction M ϕ : R [; + ] pr { } M ϕ (x) = sup ϕ(t) dt, m(i) I où l borne supérieure est prise sur tous les intervlles non triviux contennt x. Montrer que si f est intégrble sur R et si g est une fonction continue à support compct, lors, pour tout x R, on lim h h x+h x f(t) dt f(x) f(x) g(x) + M f g(x). 5

26 6 3 Le but de cette question est d étblir le résultt suivnt : pour tout α >, il existe une constnte C α telle que pour toute fonction ϕ intégrble sur R, on it m({x; M ϕ (x) > α}) C α ϕ. Pour tout intervlle borné I R, on note 3I l intervlle de même centre et de longueur triple. (i) Montrer que si I, J sont deux intervlles bornés d intersection non-vide et si m(j) m(i), lors I 3J. (ii) En déduire que si I est une fmille finie d intervlles bornés, lors on peut trouver une sous-fmille J I formée d intervlles deux à deux disjoints et telle que I I I J J 3J. b Soit ϕ une fonction intégrble sur R, et soit α >. Montrer que si J,..., J N sont des intervlles bornés deux à deux disjoints tels que J k ϕ(t) dt > αm(j k ) pour tout k, lors m( N J k )) < ϕ α. c Soit ϕ une fonction intégrble sur R et soit α >. Montrer que pour tout compct K {x; M ϕ (x) > α}, on peut trouver des intervlles ouverts bornés I,..., I n tels que K n I k et I k ϕ(t) dt > αm(i k ) pour tout k. d Démontrer le résultt souhité. 4 Déduire de et 3 que le théorème de dérivtion de Lebesgue est vlble pour toute fonction f intégrble sur R. 5 Conclure. Problème Dns tout le problème, F : R R une fonction lipschitzienne. Montrer que si ϕ : R R est une fonction de clsse C à support compct, lors F (x)ϕ F (x + h) F (x) (x) dx = lim ϕ(x) dx. R h R h b En déduire qu il existe une constnte C telle que ϕ Cc (R) F (x)ϕ (x) dx C ϕ(x) dx. R Montrer qu il existe une fonction f L (R) telle que ϕ Cc (R) F (x)ϕ (x) dx = f(t)ϕ(t) dt. R 3 Démontrer le résultt suivnt : si u et v sont deux fonctions continues sur R telles que R uϕ = R vϕ pour toute fonction ϕ Cc (R), lors u v est constnte. 4 Conclure que pour tout x R, on F (x) = F () + Problème (régulrité des mesures) x R R f(t) dt.

27 Dns tout le problème, µ est une mesure borélienne sur un espce métrique (X, d). On dir qu un borélien A X est régulier pour µ si les deux propriétés suivntes sont vérifiées. () µ(a) = sup{µ(f ); F A, F fermé} () µ(a) = inf{µ(o); O A, O ouvert} A On suppose que l mesure µ est finie. Montrer que tout ouvert de X est réunion dénombrble de fermés. b En déduire que tout ouvert est régulier pour µ. Soit (A n ) une suite de boréliens réguliers pour µ, et soit A = n A n. Montrer que A vérifie (). b Soit ε >. Montrer que pour tout n N, on peut trouver un ouvert O n tel que O n A n et µ(o n \ A n ) < n ε. En déduire que A vérifie (). 3 Montrer que tout borélien de X est régulier pour µ. B On suppose qu on peut écrire X = p N O p, où les O p sont des ouverts vérifint µ(o p ) <. Montrer que tout borélien de X est régulier pour µ. C On suppose que X = R d et que l mesure µ est finie sur les compcts. Montrer que tout borélien B R d est régulier pour µ, et qu on de plus µ(b) = sup{µ(k); K B, K compct}. D Que peut-on dire de deux mesures boréliennes sur R d qui prennent les mêmes vleurs sur les ouverts? 7 Problème (théorème des clsses monotones) A Soit Ω un ensemble. On dit qu une fmille M de prties de Ω est une clsse monotone si elle vérifie les propriétés suivntes. () Ω M; () si A, B M et A B, lors B \ A M; (3) si (A n ) est une suite croissnte d éléments de M, lors n A n M. Définir l clsse monotone engendrée pr une fmille C P(Ω). Soit C une fmille de prties de Ω stble pr intersections finies. On note M l clsse monotone engendrée pr C. Pour A C, on pose M A = {B P(Ω); A B M}. Montrer que M A est une clsse monotone. En déduire que pour tout A C et pour tout B M, on A B M. b Montrer que M est stble pr intersections finies. c Montrer que M est une tribu.

28 8 3 Démontrer le résultt suivnt : si C est une fmille de prties de Ω stble pr intersections finies et si M est une clsse monotone contennt C, lors M contient l tribu engendrée pr C. B Montrer que si deux mesures boréliennes finies µ et ν sur R d prennent les mêmes vleurs sur les pvés, lors µ = ν. B Montrer que le même résultt vut si on suppose seulement que µ et ν sont finies sur les compcts. Problème 3 (mesure de surfce sur l sphère) Dns tout le problème, on note S d l sphère unité euclidienne de R d, et B d l boule unité. Enfin, on note λ d l mesure de Lebesgue sur R d. A Pour tout borélien A S d, on pose A = {tξ; ξ A, < t } et σ d (A) = λ d ( A ). Vérifier qu on définit insi une mesure borélienne finie sur S d. Exprimer σ d (S d ) en fonction de λ d (B d ). Soit Φ : ]; [ S d R d \ {} l ppliction définie pr Φ(r, ξ) = rξ. On note τ l mesure sur ]; [ définie pr dτ(r) = r d dr. Montrer qu il existe une constnte c d (que l on déterminer) telle que l propriété suivnte it lieu: pour tout intervlle compct I ]; [ et pour tout borélien A S d, on (τ σ d )(I A) = c d λ d (Φ(I B)). b Quelle est l mesure imge de τ σ d pr l ppliction Φ? c Conclure que pour toute fonction borélienne f : R d R positive ou intégrble, on ] f(x) dλ d (x) = dλ d (B d ) r d f(rξ) dσ d (ξ) dr. R d [S d B Montrer que l mesure σ d est invrinte pr rottion. C Pour α = (α,..., α d ) N d, on définit P α : R d R pr P α (x) = x α... x α d d et on pose I α = P α (ξ) dσ d (ξ). S d Montrer qu on I α = si l un des α i est impir. On suppose qu tous les α i sont pirs, α i = γ i. En clculnt de deux fçons différentes l intégrle P α (x) dλ d (x), R d e x

29 montrer qu on d i= I α = Γ( α i+ ), dλ d (B d ) Γ( n+ α ) où α = α +... α d et Γ est l fonction hbituelle. C Montrer qu on λ d (B d ) = d π d/ Γ ( ). d D Étblir l formule de l divergence : si F : Rd R d est de clsse C u voisinge d une boule fermée B R d, lors F (ξ), ξ dσ(ξ) = div(f ) dλ d, B où on noté σ l mesure de surfce normlisée sur B, i.e. telle que σ(b) =. On pourr commencer pr vérifier que si α N d, lors dλ d (B d P α ) ξ P α (ξ) dσ d (ξ) = dλ d. S d B x d Problème 4 (loi du - de Kolmogorov) Dns tout le problème, (Ω, A, P) est un espce probbilisé, et les vribles létioires sont définies sur Ω. A Soit (A n ) n N une suite de sous-tribus de A. On suppose que les tribus A n sont indépendntes. Pour A A, on pose M A = {B A; A et B sont indépendnts}. Montrer que chque M A est une clsse monotone. b Soient I et J deux prties disjointes de N. (i) Soit A i I A i. En utilisnt, montrer que A est indépendnt de tout élément de l tribu engendrée pr j J A j. ) ) (ii) Montrer que les tribus σ( i I A i et σ( j J A j sont indépendntes. Pour n N, on note A (n) l tribu engendrée pr j>n A n. Enfin, on pose A ( ) = n N A(n). Soit A A ( ). En utilisnt, montrer que pour tout n N, A est indépendnt de tout élément de l tribu engendrée pr n i= A i. b Déduire de que si A A ( ), lors A est indépendnt de tout élément de l ) tribu σ( n N A n. c Démontrer l loi du - : si A A, lors P(A) = ou. B Soit (X n ) une suite de vribles létoires indépendntes. Montrer que soit l série X n converge presque surement, soit elle diverge presque surement. B 9

30 3 Problème 5 (polynômes de Bernstein) Soit t [; ], et soit (X kt ) k une suite de vribles létoires indépendntes, suivnt chcune une loi de Bernoulli de prmètre t. Pour n N, on pose n S nt = X kt. k= Donner l espérnce et l vrince de S nt. Soit f : [; ] C une fonction continue. On définit une suite de polynômes (B n f) pr l formule n ( ) k B n f(t) = Cn k f t k ( t) n k. n i= Pour t [; ], exprimer B n f(t) à l ide de f et de l vrible létoire S nt. b Soit δ >. Montrer que pour tout t [; ] et pour tout n, on ( ) S nt B n f(t) f(t) ω f (δ) + f P n t δ, où on posé ω f (δ) = sup{ f(s) f(t) ; s t < δ }. c Montrer que l suite (B n f) converge uniformément vers f. d On suppose que l fonction f est lipschitzienne. Montrer qu on B n f f C n pour tout n N, où C est une constnte indépendnte de n. 3 Dns cette question, on prend pour f l fonction -lipschitzienne t t. Montrer que pour tout n N, on B n f( ) = E ε +... ε n, où (ε i ) est une suite de vribles de Rdemcher indépendntes. b En déduire qu il existe une constnte c > telle que B n f f c n pour tout n N. On pourr utiliser les inéglités de Khinchine, qui donnent leur nom à l un des problèmes de cette feuille. Problème 6 (loi des grnds nombres L ) Soit X une vrible létoire bornée, d espérnce nulle, et soit (X n ) une suite de vribles létoires indépendntes et de même loi que X. Pour n N, on pose S n = X X n. On veut montrer que si α > /, lors Sn tend presque sûrement n α vers. Soit >. Montrer que pour tout λ > et pour tout n, on P( S n ) e λ( E(e λx ) n + E(e λx ) n). Montrer qu il existe une constnte C telle que E(e tx ) + Ct pour tout t [ ; ]. ) ε est convergente. 3 Soit α > /. Montrer que pour tout ε >, l série P 4 Conclure. ( Sn n α

31 3 Problème 7 (séries de vribles létoires) A Soit (X n ) une suite de vribles létoires indépendntes. On suppose que les X n sont centrées, de crrés intégrbles, et qu on σ (X j ) < +. Le but de cette prtie est de montrer que l série X n converge en norme L et presque sûrement. Montrer que l série X n converge en norme L. Soient m, n N, vec n m. Pour j {n;...; m}, on pose S j = j Soit ε >. Pour j {n;...; m}, on pose B j = {ω; S k (ω) < ε pour n k < j}. Montrer que les évènements (Mx n j m S j ε) et ( m n X j Bj ε) sont identiques. b Démontrer l inéglité de Kolmogorov : pour tout ε >, P(Mx n j m S j ε) ε m n σ (X j ). 3 Soit ε >. Pour n N, on pose A ε n = {ω; m n m n X j(ω) ε}. Montrer qu on lim n P(A ε n) =. 4 Montrer que l série X n converge presque sûrement. B Soit ( i ) une suite de nombres réels telle que i= i <. Montrer qu il existe une suite de signes (ε i ) { ; } N telle que l série ε i i est convergente. l=n X l. Problème 8 (inéglités de Khinchine) Dns tout le problème, (ε i ) i N est une suite de vribles indépendntes suivnt chcune une loi de Rdemcher : P(ε i = ) = = P(ε i = ). On note E l espce vectoriel (réel) engendré pr les fonctions ε i. Le but du problème est d étblir le résultt suivnt : sur l espce E, toutes les normes. p, p < sont équivlentes. Soient ( i ) i I une fmille finie de nombres réels. Pour λ R, clculer E ( e ±λ P ) ( i iε i et montrer qu on E e ±λ P ) i λ iε i e b Montrer que pour tout t >, on ( ) P i ε i > t exp t. i i I i I Soit X une vrible létoire positive, et soit p. Montrer qu on E(X p ) = P(X > t) pt p dt. P i i.

32 3 3 Soit ( i ) une fmille finie de nombres réels, et soit p. En utilisnt et, montrer que si i i =, lors ( ) p E i ε i B p, où B p est une constnte finie dépendnt uniquement de p. 4 Soient toujours ( i ) une fmille finie de nombres réels et p. Comprer E ( i iε i p ) et E ( i iε i ) lorsque p. b On suppose p <. (i) Montrer que si X est une vrible létoire positive, lors i E(X ) (E(X p )) /3 ( E(X 6 p ) ) /3. (ii) Montrer que si i i =, lors ( ) p E i ε i A p, i où A p est une constnte strictement positive dépendnt uniquement de p. 5 Conclure.

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