Concours des Grandes Ecoles INTEGRALES-Correction. PARTIE A. SUJET INTEGRAL Année universitaire 2009/2010

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Raphael Jean-Noël Fleury
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1 SUJET NTEGRAL Aée uiversiaire 9/ PARTE A. Cocours des Grades Ecoles NTEGRALES-Correcio..La focio f défiie par f : f ( ) ( )cos( ) es bie coiue sur l iervalle fermé boré [ ; ]. Les focios si( ) so de classe C sur l iervalle [ ; ]. A ce ire, f es iégrable sur ce iervalle. O a alors : si( )' si( ) si( ) ( )( ) d [ ( )] ( ) d cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) [ Fialeme :. l es clair que : [ ; ] o a : S D où S e Re ( )] d d [ ] i( ) si( ) si( ) ( ) d i i i i/ i/ i/ cos( i i e ( e ) e. e ( e e ) ) Re[ e ] Re( e ) Re Re i i / i / i / e e ( e e ) / (si( / ) si( / ) cos[( si( / ) si( / ) Or si( a b) si( a b) si( a)cos( b) A ce ire : si( / )cos[( ) / ] [si[( ) / ] si( ) / )] Fialeme : S [si[( ) / ] si( / )] si( / ). D après l éude précédee, il vie que : / ] [si[( ) / ] si( / )] si[( ) / ] S CQFD. s( / ) ( ( ) cos( ) d [ )cos( )] d d d Sd ( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) si( ) / ( )[ ] d d ( ) si( / ) ( )si[( ) / ] d si( / )

l es clair que : [ ; ] o a : S D où S e Re ( )] d d [ ] i( ) si( ) si( ) ( ) d i i i i/ i/ i/ cos( i i e ( e ) e.

2 [ ( )si[( ) / ] d si( / ) ] ( ) ( )si[( ) / ] d si( / ) N FNE : 6 ( )si[( ) / ] d si( / ). l es clair que ] ; ] la focio φ es bie de classe Qu e es-il e?.φ es coiue e : C Cqfd. E effe : Au voisiage de,oa sit p T d où au voisiage de : p si( / ) De même au voisiage de, O a, N FNE :.φ es dérivable e E effe lim ) ) ) ) si( ( / ) p si( ie : limφ ( ) ) / ) ) si( / ) E cosidéra u DL de la focio φ au voisiage de, à l ordre, sacha que x si( x) ( ) x ε ( x) au voisiage de ; o obie ( )! ε( ) si( / ) ε ( ) si( / ) 6 φ ( ) ε ( ) 6 ) A ce ire ε ( ) 6 ) O a alors : lim La focio es bie dérivable e e φ '(). φ' es bie coiue e. ( )si( E effe : ] ] o a φ ( ) / ) ( ' si ) cos( ( / ) / )

φ es dérivable e E effe lim ) ) ) ) si( ( / ) p si( ie : limφ ( ) ) / ) ) si( / ) E cosidéra u DL de la focio φ au voisiage de, à l ordre, sacha que x si( x) ( ) x ε (

3 ( φ ( ) si( / ) ' )cos( / ) si ( / ) N( ) N( ) ( )si( / ) ( )cos( / ) E posa φ '( ) avec : D( ) D( ) si ( / ) Les équivales au voisiage de mee e évidece que N( ) p ( / ) ( / ) ( ) ie : O a égaleme : D( ) p ( ) N( ) p Fialeme φ '( ) p ie : limφ '( ) cqfd. Coclusio : Les démosraios précédees permee d affirmer que φ C [; ] b.sacha cela o peu procéder à ue iégraio par paries. l vie alorsque : ( )[( ) cos( ) / ]' )si[( ) / ] d d φ )si[( ) / ] d [ )[cos( ) / ]] cos[( ) / ] φ' ( ) d )si[( ) / ] d ) L iéragle es elle que : cos[( ) / ] φ'( ) d φ'( ) d Ceci perme d affirmer que φ ' ( ) d Or lim '( ) φ d d où lim cos[( ) / ] φ'( ) d O a égaleme de faço claire lim ) N FNE : lim ( )si[( ) / ] d φ 5. D après le résula de la quesio, e sacha ce qui vie d êre démoré, o a : lim 6 ie : 6

l vie alorsque : ( )[( ) cos( ) / ]' )si[( ) / ] d d φ )si[( ) / ] d [ )[cos( ) / ]] cos[( ) / ] φ' ( ) d )si[( ) / ] d ) L iéragle es elle que : cos[( ) / ] φ'( ) d φ'( ) d Ceci perme d

4 PARTE B. l. [ a; b], la focio : es défiie e coiue sur ce iervalle fermé boré. A ce ire, elle es iégrable sur ce iervalle. Qu e es-il e, x l( x) es équivale a x au voisiage de. l() es doc équivalee a au voisiage de. l es doc équivalee à au voisiage de. O peu doc cosidérer u prologeme par coiuié e. De même, au voisiage de ; o a l p l e l o sai que la focio l es iégrable sur [ ;] l Fialeme d es covergee. l [ a; b] ];[ la focio es coiue. A ce ire, elle es iégrable sur ce iervalle fermé foré. l De même que précédemme es équivalee à do la limie vau l voisiage de. la focio peu doc êre prologée par coiuié e. Au voisiage de, o a : Fialeme : b. l es clair que l p l l d es covergee. à O a bie le résula escompé. N, [ a ; b] ]; ], la focio l es coiue. Elle es doc iégrable sur ce iervalle fermé boré. L iégrale cosidérée es doc bie covergee. Posos l a l a a l a ( ) ( a) l d [ ] a d d [ ] a a a a a a ( a) l a ( ) ( ) Or au lim a a a lim a ( ) l a Fialeme : lim ( a) a ( )

De même, au voisiage de ; o a l p l e l o sai que la focio l es iégrable sur [ ;] l Fialeme d es covergee. l [ a; b] ];[ la focio es coiue. A ce ire, elle es iégrable sur ce iervalle fermé foré.

5 ( ) N FNE : Cee démosraio perme d affirmer que l iégrale ld es bie covergee. Sa valeur es ( ) l b.la focio es posiive e coiue sur ],[. Cee focio peu êre prologée par coiuié e e car : Au voisiage de : Au voisiage de : l p l e lim l l l p e doc lim l Cee remarque perme d affirmer que l iégrale d es covergee. Fialeme il exise M réel el que l vie alors que : l M l d Md, [; ] l d M M l Sacha que lim o e dédui que fialeme : lim d l.a D après l éude précédee : D où l d l l l d ( ) l d ( ) l d l d à D où l d l d ( ) lim 6 Au passage à la limie e sacha que : l lim d l es fialeme démoré que l d lim ie : l d 6 CQFD.

iégrale d es covergee. Fialeme il exise M réel el que l vie alors que : l M l d Md, [; ] l d M M l Sacha que lim o e dédui que fialeme : lim d l.

6 b. E reprea les démosraios précédees, il es clair que : ) l l ( ( ) l l d l d ( ) l d à ( ) ( ) l d ( ) ( ) l d l e rese plus qu à démorer que l iégrale ed vers l ifii es ulle. ( ) l d e covergee e que sa limie lorsque La focio : ( ) l coiuié e car e ce voisiage : Au voisiage de o a égaleme : es défiie e coiue sur ] a ; b[ [; ] Elle peu égaleme êre prologée par ( ) L iégrale cosidérée es bie covergee. l p ie l O more égaleme que lim ( ) d E effe : M ' R : [;], M E lim Coclusio : Sacha que : l d ( ) ( ) ( ) l d ( ) l p avec : ( ) l l ( ) p avec : lim l l ( ) Le passage à la limie e l ifii es alors immédia l d M ) ( ( ) l M d lim Or La série de erme gééral ( ) es covergee. Sa somme a pour valeur : 8 N FNE : l d Daiel Abécassis.

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