Séries de Fourier. licence de mathématiques 2ème année. Vincent Thilliez. 24 avril 2008

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1 Séries de Fourier licence de mathématiques 2ème année Vincent Thilliez 24 avril 28 Introduction La théorie des séries de Fourier permet d interpréter certains signaux (autrement dit, certaines fonctions définies sur un intervalle réel) comme résultant de la superposition d une infinité de signaux sinusoïdaux de fréquences différentes. L idée d une telle décomposition apparaît en 87 dans une première communication de Joseph Fourier à l Académie des Sciences de Paris, concernant la résolution de l équation aux dérivées partielles qui régit la propagation de la chaleur dans les solides. En 822, Fourier publie sur ce sujet un ouvrage devenu célèbre, intitulé Théorie analytique de la chaleur. Cependant, c est sous l impulsion de Gustav Lejeune Dirichlet que la théorie de Fourier, jusqu alors controversée, prend vraiment son essor : en particulier, Dirichlet publie en 829 la première démonstration rigoureuse d un résultat de convergence pour les séries de Fourier. Dès lors, le développement de l analyse au XIXème siècle devient indissociable des problèmes liés à ces séries, qui seront à l origine de contributions monumentales de Riemann (sur l intégration), d Abel (sur la convergence des séries de fonctions), de Weierstrass (qui introduit la convergence uniforme et met les bases de l analyse sous leur forme actuelle) et de Cantor (qui fonde la topologie générale). Nous sommes alors entre 87 et 88 ; plus d un demi-siècle s est écoulé depuis la publication de la Théorie analytique de la chaleur. Le lecteur à la recherche d informations historiques plus détaillées sur cette période pourra se reporter au chapitre VI de [] et à [3]. Au XXème siècle, le développement de la théorie de l intégration et celui de l analyse fonctionnelle ouvrent de nouveaux horizons à l analyse de Fourier. Ces nouveaux points de vue ne peuvent être qu effleurés dans le cours qui va suivre : ils le seront à travers l approche hilbertienne des séries de Fourier, et à travers le théorème de convergence en moyenne démontré en 9 par Lipót Fejér 2. Cette époque voit la naissance de l analyse harmonique, Mathématiques, Bâtiment M2, Université des Sciences et Technologies de Lille, F Villeneuve d Ascq Cedex ; thilliez@math.univ-lille.fr Le traité contient en effet d importantes idées novatrices, parmi lesquelles se fait jour une conception très actuelle de la notion de fonction : pour les mathématiciens de l époque, une fonction de la variable x est donnée par une expression explicite unique, par exemple y = exp( x 2 ) cos x. Pour Fourier, il s agit, bien plus généralement, de valeurs données, assujetties ou non à une loi commune, et qui répondent à toutes les valeurs de x comprises dans un intervalle : ceci autorise, en particulier, des définitions par morceaux dont on considérait jusqu alors qu elles ne correspondaient pas à de vraies fonctions... 2 alors âgé de 2 ans.

2 discipline toujours active de nos jours après une immense effervescence dans les années 96. Mais c est peut-être à travers la théorie des ondelettes, avatar contemporain de la théorie de Fourier, que celui-ci connaît un de ses plus grands triomphes posthumes. On pourra se reporter à [3] pour une introduction aux ondelettes dans une perspective historique. Notre but, bien plus modeste, est de présenter ici quelques résultats fondamentaux sur les séries de Fourier. Ces résultats sont essentiellement ceux de [5], tome 2, chapitre XII, mis sous un habillage moderne (noyaux de convolution, formalisme Hilbertien) autant que le permet le bagage théorique réduit dont on dispose en 2ème année, en particulier pour ce qui concerne l intégration. Le cadre adéquat étant indubitablement celui de l intégrale de Lebesgue vue en 3ème année, l étude des séries de Fourier sera donc approfondie dans un module ultérieur, auquel le présent document peut être vu comme une préparation. Pour l instant, afin d éviter de gaspiller de l énergie sur des difficultés liées à l intégrale de Riemann de fonctions relativement irrégulières 3, le cours sera délibérément placé dans le cadre très simple des fonctions continues par morceaux. Les résultats principaux (comme le théorème de Dirichlet, ou celui de Fejér) ne sont donc pas présentés sous leur forme la plus générale. En revanche, les idées directrices de la théorie apparaissent déjà nettement et fournissent des applications substantielles. Ce document a bénéficié de commentaires de Jean-François Burnol, que je remercie. Néanmoins, le texte est susceptible de comporter encore des erreurs typographiques ou de petites incohérences. Les remarques permettant de l améliorer seront donc bienvenues. Préparatifs L étude des séries de Fourier requiert l introduction préalable de quelques notions techniques un peu fastidieuses. Afin de ne pas noyer les points réellement importants dans des considérations auxiliaires, il a semblé préférable de ne pas disperser ces notions au fil du texte. C est pourquoi elles ont été regroupées dans ce chapitre de préparatifs. Certains paragraphes (comme celui sur la convolution) peuvent être omis en première lecture ; on s y reportera au moment de leur utilisation.. Notation Dans la suite, on notera systématiquement f(c ) (resp. f(c + )) la limite à gauche (resp. à droite) d une fonction f en un point c donné de R. Autrement dit, on pose lorsque cela a un sens. f(c ) = lim f(x) et f(c + ) = lim f(x) x c x<c x c x>c.2 Régularité par morceaux Définition.2.. Soit f une fonction définie sur un intervalle fermé borné [a, b], à valeurs réelles ou complexes. On dit que f est continue par morceaux s il existe une famille finie (x j ) j N de points de [a, b], avec a = x < x < < x N = b, telle que, pour tout 3 fonctions réglées, par exemple. 2

3 j =,..., N, on ait les deux propriétés suivantes : (i) la fonction f est continue sur chaque intervalle ouvert ]x j, x j+ [, (ii) la fonction f possède une limite à droite en x j et à gauche en x j+. Remarque.2.2. Il résulte de cette définition qu aux points x j avec j N, la fonction f a une limite à gauche et à droite. Ces limites à gauche et à droite coïncident, et valent f(x j ), si et seulement si la fonction f est en fait continue en x j. Remarque.2.3. On obtient la même notion en remplaçant les points (i) et (ii) de la définition.2. par l existence d une fonction f j continue sur [x j, x j+ ] dont la restriction à ]x j, x j+ [ coïncide avec f. Exercice.2.4. Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b]. Montrer que f est bornée sur [a, b]. Définition.2.5. Soit f une fonction définie sur un intervalle fermé borné [a, b], à valeurs réelles ou complexes. On dit que f est de classe C par morceaux s il existe une famille finie (x j ) j N de points de [a, b], avec a = x < x < < x N = b, telle que, pour tout j =,..., N, on ait les deux propriétés suivantes : (i) la fonction f est dérivable, à dérivée continue, sur chaque intervalle ouvert ]x j, x j+ [, (ii) la fonction f et sa dérivée f possèdent une limite à droite en x j et à gauche en x j+. Remarque.2.6. Par définition, toute fonction de classe C par morceaux est continue par morceaux (la réciproque est clairement fausse). Remarque.2.7. On ne suppose pas l existence des f (x j ). En effet, la fonction f n est pas nécessairement continue en x j, et même si elle l est, les conditions (i) et (ii) impliquent seulement l existence de dérivées à gauche et à droite en ce point 4 (voir l exercice.2.9). Exercice.2.8. Montrer que l on ne change pas la notion de fonction de classe C par morceaux si l on remplace la condition (ii) de la définition.2.5 par la condition (ii) bis suivante : (ii) bis la dérivée f possède une limite à droite en x j et à gauche en x j+. Autrement dit, montrer que (i) et (ii) équivalent à (i) et (ii) bis. Exercice.2.9. Montrer que l on obtient encore la même notion en remplaçant les points (i) et (ii) de la définition.2.5 par l existence d une fonction f j de classe C sur l intervalle [x j, x j+ ] et dont la restriction à ]x j, x j+ [ coïncide avec f. En déduire que si f est continue en x j, elle y admet une dérivée à gauche et à droite (sauf aux bornes, où un seul type de limite intervient)..3 Intégration Soit f une fonction continue par morceaux sur [a, b]. On considère une subdivision a = x < x < < x N = b associée à f par la définition.2.. On sait que f est continue sur chaque intervalle ouvert ]x j, x j+ [ avec j =,..., N. Soit f j la fonction définie sur l intervalle fermé [x j, x j+ ] par f j (x) = f(x) pour x j < x < x j+, f j (x j ) = f(x + j ) et f j (x j+ ) = f(x j+ ). Alors f j est continue sur l intervalle fermé borné [x j, x j+ ] et, à ce 4 en ne considérant naturellement qu un seul côté lorsque x j est une borne de l intervalle. 3

4 titre, Riemann-intégrable sur cet intervalle. On définit alors l intégrale de f sur [a, b] par b a f(x)dx = N j= xj+ x j f j (x)dx. () Remarque.3.. Le lecteur dont les connaissances sur l intégrale de Riemann s étendent un peu au-delà de l intégrabilité des fonctions continues sur un intervalle compact pourra constater que f est elle-même Riemann intégrable sur l intervalle [a, b] puisque, d une part, elle y est bornée voir l exercice.2.4 et que, d autre part, l ensemble de ses points de discontinuité y est négligeable (il s agit, au plus, de l ensemble des points x j, qui est fini). Fort heureusement, l intégrale ainsi obtenue est la même que celle de la définition précédente : en effet, les intégrales de f et f j sur [x j, x j+ ] coïncident puisque f et f j diffèrent en un nombre fini de points sur cet intervalle ; il suffit alors d utiliser la relation de Chasles. Remarque.3.2. Dans la définition.2., le choix de la famille (x j ) j N n est pas unique, mais l intégrale définie par () ne dépend pas de ce choix. On peut le démontrer en utilisant la relation de Chasles (c est ennuyeux mais sans difficulté), ou en se servant de la remarque précédente, puisque l intégrale () n est autre que l intégrale de Riemann de f sur [a, b]..4 Une formule d intégration par parties Soit f une fonction de classe C par morceaux sur un intervalle [a, b]. On a vu (remarque.2.7) que la dérivée f peut ne pas exister aux points x j de la définition.2.5. Cependant, si l on pose h(x) = f (x) en dehors de ces points et si l on donne une valeur arbitraire à chaque h(x j ), on obtient ainsi une fonction h qui est continue par morceaux sur [a, b] : c est une conséquence immédiate des définitions. De plus, l intégrale b a h(x)dx ne dépend que de f et non des valeurs que l on a données aux h(x j ). Pour cette raison, on dit qu il s agit de l intégrale de f sur [a, b] et on la note b a f (x)dx. Elle vérifie les propriétés usuelles de l intégrale de Riemann : linéarité, relation de Chasles, majoration b a f (x)dx b a f (x) dx, par exemple. Nous aurons besoin du résultat suivant. Proposition.4.. Soient f et g des fonctions continues sur [a, b] et de classe C par morceaux sur [a, b]. Alors on a la formule d intégration par parties usuelle : b a b f(x)g (x)dx = [f(x)g(x)] b a f (x)g(x)dx, avec [f(x)g(x)] b a = f(b)g(b) f(a)g(a). a Démonstration. : La définition.2.5 associe à f et g des familles respectives (x j ) j N et (y k ) k P de points de [a, b], avec a = x < x < < x N = b et a = y < y < < y P = b, pour lesquelles les propriétés (i) et (ii) sont vérifiées. En rangeant les points x j et y k par ordre croissant, et en renumérotant, on obtient une famille de points (z l ) l M, avec a = z < z < < z M = b, telle que f et g soient continues sur chaque intervalle ]z l, z l+ [ et admettent des limites à droite en z l et à gauche en z l+. Les fonctions f et g étant en outre supposées continues sur [a, b], donc sur [z l, z l+ ], il en résulte qu elles sont de classe C sur cet intervalle (c est une conséquence classique du théorème des accroissements 4

5 finis ; voir le cours de ère année ou [5], tome 2, énoncé IV.4.4). On peut alors intégrer par parties sur [z l, z l+ ] ; on obtient zl+ z l zl+ f(x)g (x)dx = f(z l+ )g(z l+ ) f(z l )g(z l ) f (x)g(x)dx. (2) z l En ajoutant ces égalités membre à membre pour l =,, M, on obtient le résultat recherché. Remarque.4.2. Attention : la formule d intégration par parties n est plus vraie si l on suppose seulement que f et g sont de classe C par morceaux, en omettant l hypothèse de continuité 5. La raison en est que l égalité (2) devient, dans ce cas, zl+ z l zl+ f(x)g (x)dx = f(zl+ )g(z l+ ) f(z+ l )g(z+ l ) f (x)g(x)dx. z l et les termes intermédiaires f(zl+ )g(z l+ ) f(z+ l )g(z+ l lorsque l on additionne membre à membre. ) ne s éliminent pas deux à deux.5 Périodicité Définition.5.. Soit T un réel strictement positif. Une fonction f définie sur R, à valeurs réelles ou complexes, est dite T -périodique si on a f(x + T ) = f(x) pour tout réel x. On appellera alors intervalle admissible pour f tout intervalle de la forme [a, a + T [ avec a R. Une fonction T -périodique est entièrement déterminée par sa donnée sur un intervalle admissible. En effet, pour tout réel x, il existe un unique entier relatif k tel que l on ait x [a+kt, a+(k+)t [. La périodicité assure que f(x) = f(x kt ) ; or x kt appartient à l intervalle admissible [a, a + T [. Exercice.5.2. Dessiner l allure des graphes des fonctions -périodiques f et g définies respectivement par f(x) = x pour x [ /2, /2[ et g(x) = x pour x [, [. Définition.5.3. Une fonction T -périodique est dite continue (resp. de classe C ) par morceaux sur R si elle est continue (resp. de classe C ) par morceaux sur un intervalle [a, b] avec a R et b = a + T. Remarque.5.4. Il est facile de se convaincre que la définition précédente ne dépend pas du choix de a. On pourrait aussi y remplacer la condition b = a + T par b a T. Par périodicité, il suffit que la fonction soit continue (resp. de classe C ) par morceaux sur un tel intervalle pour qu elle le soit sur tout intervalle [c, d]. Exercice.5.5. Soit f une fonction T -périodique continue par morceaux. Montrer que f est continue sur R si et seulement si il existe un réel a tel que les deux propriétés suivantes soient vérifiées : (i) la fonction f est continue sur l intervalle admissible [a, a + T [, (ii) on a f(a + ) = f((a + T ) ). 5 Rappelons qu une fonction C par morceaux est, en général, continue seulement par morceaux. 5

6 Exercice.5.6. Démontrer que si f et g deux fonctions T -périodiques continues par morceaux, alors, pour tout réel x fixé, la fonction t f(t)g(x t) est aussi T -périodique et continue par morceaux. Exercice.5.7. Soit g une fonction T -périodique continue sur R. Montrer que g est uniformément continue sur R (le lecteur attentif verra que la preuve du théorème 5.3. contient la solution de cet exercice dans le cas T = ). Lemme.5.8. Soit f une fonction T -périodique continue par morceaux. Alors l intégrale a+t a f(x)dx ne dépend pas du choix du réel a. Démonstration. La relation de Chasles permet d écrire a+t a f(x)dx = a T a+t f(x)dx + f(x)dx + f(x)dx. (3) T Le changement de variable x = y +T, dx = dy, conduit à l égalité a+t T f(x)dx = a f(y + T )dy = a f(y)dy, compte tenu de la relation de périodicité f(y + T ) = f(y). Il en résulte que la première et la troisième intégrale au second membre de (3) s éliminent. Il reste la seconde intégrale, qui est indépendante de a. Remarque.5.9. En pratique, on choisira un intervalle [a, a + T ] commode pour le calcul de l intégrale. À titre d exemple, on pourra comparer, pour la fonction g de l exercice.5.2, le calcul de a+ a (g(x)) 2 dx avec a = /2 et avec a =. Dans la suite, par commodité, les fonctions périodiques considérées seront -périodiques. Bien sûr, ce choix est motivé par le fait que les fonctions trigonométriques usuelles (cos, sin, t e it...) sont -périodiques 6. Il ne restreint pas la généralité, puisque tous les résultats que l on établit pour les fonctions -périodiques se transposent très facilement aux fonctions T -périodiques avec T quelconque : il suffit en effet de remarquer que si f est une fonction T -périodique, alors x f( T x) est une fonction -périodique. C est un simple changement d échelle. Remarque.5.. Pour toute fonction g supposée -périodique continue par morceaux, le lemme.5.8 donne en particulier la relation g(x)dx = g(x)dx. Dans la suite, nous utiliserons souvent cette propriété sans la rappeler explicitement..6 Convolution Définition.6.. Soient f et g deux fonctions -périodiques continues par morceaux. On appelle produit de convolution de f et g la fonction f g définie sur R par f g(x) = f(t)g(x t)dt. 6 C est d ailleurs une des approches possibles pour définir rigoureusement le nombre π : voir [5], tome 2, VIII.8. 6

7 Avant d établir quelques propriétés du produit de convolution, il convient de remarquer que l intégrale figurant dans la définition précédente a bien un sens puisque la fonction t f(t)g(x t) est elle-même continue par morceaux sur [, π] (exercice.5.6). Proposition.6.2. Étant données deux fonctions -périodiques continues par morceaux f et g, leur produit de convolution f g est une fonction -périodique et on a f g = g f. De plus, si l une des fonctions f ou g est continue sur R, alors f g est continue sur R. Démonstration. On vérifie immédiatement, en utilisant la périodicité de g, que l on a (f g)(x + ) = (f g)(x). En faisant le changement de variable t = x s, dt = ds, on a par ailleurs f g(x) = f(t)g(x t)dt = x+π x f(x s)g(s)ds. En utilisant le lemme.5.8 et la périodicité de la fonction s f(x s)g(s), on en tire f g(x) = g(s)f(x s)ds = g f(x). Il reste à établir la continuité de f g lorsque f ou g est continue. Compte tenu de l égalité f g = g f, les rôles de f et g sont symétriques et il suffit donc d établir la propriété lorsque la fonction supposée continue est g. La définition des fonctions continues par morceaux associe à f une subdivision = x < x < < x N = π et, pour chaque j =,..., N, une fonction f j continue sur [x j, x j+ ] qui coïncide avec f sur ]x j, x j+ [. Compte tenu de la définition de l intégrale d une fonction continue par morceaux, on aura, pour tout réel x, f g(x) = f(t)g(x t)dt = N j= xj+ x j h j (t, x)dt (4) avec h j (t, x) = f j (t)g(x t). Puisque g est supposée continue sur R, la fonction (t, x) h j (t, x) est continue sur [x j, x j+ ] R. La fonction x x j+ x j h j (t, x)dt est donc continue sur R en vertu des résultats classiques sur les intégrales dépendant d un paramètre (voir par exemple [5], tome 2, théorème XI.7.2). Compte tenu de (4), il en résulte bien que f g est continue sur R. Exercice.6.3. Soit f une fonction -périodique continue par morceaux et soit g une fonction -périodique continue 7. Donner une preuve directe de la continuité de f g en utilisant le fait que g est, en fait, uniformément continue (voir l exercice.5.7). 7 En fait, les hypothèses sur f et g pourraient être considérablement affaiblies. En particulier, on peut définir f g en supposant seulement que f et g sont -périodiques et intégrables au sens de Riemann sur [, π]. Avec quelques efforts supplémentaires, on peut montrer que dans ce cadre, f g est encore une fonction continue. Ce fait assez remarquable met en évidence le caractère régularisant de la convolution : le produit de convolution de deux fonctions a tendance a être plus régulier que celles-ci. 7

8 2 Des polynômes trigonométriques aux séries de Fourier 2. Polynômes trigonométriques Définition 2... On appelle polynôme trigonométrique toute fonction P définie sur R par une expression de la forme P (x) = n= N c n e inx (5) où N est un entier naturel et où c N,..., c, c, c,..., c N sont des coefficients complexes. Lorsque l un au moins des coefficients c N ou c N est non nul, on dit que N est le degré de P. Remarque On verra plus loin (remarque 2..7) qu étant donné un polynôme trigonométrique P, l écriture (5), où N est le degré de P, est unique. En particulier, le degré lui-même est défini sans ambigüité. L exercice ci-dessous propose une autre démonstration de cette propriété d unicité. Exercice i. Soit M un entier naturel et soient b M,..., b, b, b,..., b M des nombres complexes. On suppose que pour tout réel x, on a M n= M b n e inx =. Montrer que tous les coefficients b n sont nuls. On pourra ramener la condition précédente à une égalité Q(e ix ) =, où Q est un polynôme (au sens algébrique habituel) de degré 2M. ii. En déduire la propriété d unicité annoncée dans la remarque Exemple Les fonctions cos et sin sont des polynômes trigonométriques de degré : c est une conséquence immédiate des formules d Euler, puisque l on a cos x = 2 e ix + 2 eix et sin x = 2i e ix + 2i eix. Étant donné un polynôme (au sens habituel) Q = N n= a n X n à coefficients réels ou complexes, on sait que la connaissance de la fonction x Q(x) détermine les coefficients a n via la relation a n = n! Q(n) (). On va voir qu une propriété analogue existe pour les polynômes trigonométriques. Elle est basée sur le lemme suivant, dont la démonstration est immédiate. Lemme Soient n et p deux entiers relatifs. On a { π e i(n p)t si n = p, dt = si n p. Soit alors P le polynôme trigonométrique donné par la relation (5), et soit un entier p vérifiant N p N. On a P (t)e ipt = N n= N c n e i(n p)t. Compte tenu du lemme 2..5, on en déduit P (t)e ipt dx = c p. En changeant le nom des indices, on a donc établi le résultat suivant. Proposition Soit P le polynôme trigonométrique donné par l expression (5). Pour tout entier n avec N n N, on a c n = P (t)e int dt. 8

9 Remarque On montre de même que l on a P (t)e int dt = pour n > N. Ces résultats établissent l unicité de l écriture (5) d un polynôme trigonométrique, comme on l avait annoncé dans la remarque En effet, le degré peut être caractérisé comme le plus grand entier naturel N tel que l une des intégrales P (t)e int dt ou P (t)eint dt soit non nulle. De là, les coefficients c n sont déterminés de façon unique par la proposition Coefficients de Fourier Par analogie avec les coefficients d un polynôme trigonométrique, on est amené à la définition suivante. Définition Soit f une fonction -périodique continue par morceaux. On définit les coefficients de Fourier de f par f(n) = f(t)e int dt pour tout n dans Z. On a immédiatement quelques propriétés élémentaires des coefficients de Fourier. Lemme Soit f une fonction -périodique continue par morceaux et soit g(t) = f(t + a). Pour tout n de Z, on a ĝ(n) = eina f(n). Démonstration. En utilisant le changement de variable t = s a, on obtient ĝ(n) = f(t + a)e int dt = eina a+π a f(s)e ins ds. Il suffit alors d appliquer le lemme.5.8 pour conclure. Lemme Soit f une fonction -périodique de classe C sur R. Pour tout n de Z, on a f (n) = in f(n). Démonstration. En intégrant par parties, on a facilement f (n) = [ e int f(t) ] π + in f(n). Le terme entre crochets est nul par périodicité, d où le résultat. Remarque Les coefficients de Fourier f (n) ont encore un sens lorsque la fonction f est seulement supposée -périodique de classe C par morceaux, puisque l intégrale f (t)e int dt est parfaitement définie dans ce cadre (voir le début du paragraphe.4). Mais la conclusion du lemme n est alors généralement plus vérifiée. Toutefois, le lemme reste vrai pour une fonction f supposée -périodique, de classe C par morceaux, et continue sur R. Il suffit en effet de remarquer que pour une telle fonction, la preuve précédente peut être reproduite à l identique, en utilisant la proposition.4.. Exercice On considère les fonctions f et g de l exercice.5.2. Vérifier qu elles sont toutes deux de classe C par morceaux, mais que f est continue sur R tandis que g ne l est pas. Calculer les coefficients de Fourier f (n), ĝ (n) et les comparer respectivement à in f(n) et inĝ(n). 9

10 2.3 Séries de Fourier Définition Soit f une fonction -périodique continue par morceaux. Pour tout entier naturel N, on appelle N-ème somme de Fourier de f le polynôme trigonométrique P N f défini par P N f(x) = f(n)e inx. n= N On dit que la série de Fourier de f converge simplement (resp. uniformément) sur une partie X de R si la suite de fonctions (P N f) N converge simplement (resp. uniformément) sur X. La limite de cette suite est alors appelée somme de la série de Fourier de f ; sa valeur en tout point x de X est notée + n= f(n)e inx. Une partie de la suite du cours consistera à étudier diverses propriétés de convergence des séries de Fourier. On en tirera diverses applications. Auparavant, on va conclure ce chapitre en présentant une autre écriture couramment utilisée pour les séries de Fourier : cette écriture permet incidemment de voir que leur étude s inscrit bien dans le cadre général de celle des séries de fonctions n f n. 2.4 Écriture réelle de la série de Fourier Soit f une fonction -périodique continue par morceaux sur R. Pour tout entier n, on a f( n)e inx + f(n)e inx = f(t)e in(t x) dt + f(t)e in(t x) dt = f(t) ( e in(t x) + e in(t x)) dt = π f(t) cos ( n(t x) ) dt. En remarquant que cos ( n(t x) ) = cos nt cos nx + sin nt sin nx, on obtient ainsi f( n)e inx + f(n)e inx = a n cos nx + b n sin nx avec a n = f(t) cos nt dt et b n = f(t) sin nt dt. π π On convient de poser a = π f(t)dt, ce qui est cohérent avec l expression de a n que l on vient d obtenir pour n. On a alors P N f(x) = a N 2 + (a n cos nx + b n sin nx). n= Posons f (x) = a 2 et f n (x) = a n cos nx + b n sin nx pour n. On voit donc que la suite (P N f) N s identifie à la suite des sommes partielles de la série de fonctions n f n,

11 puisque l on a P N f = f + + f N. Les notions de convergence simple ou uniforme de la série de Fourier de f, telles qu on les a définies dans le paragraphe précédent, correspondent donc à la notion habituelle de convergence simple ou uniforme pour la série de fonctions de terme général f n. En particulier, lorsque la série de Fourier de f converge simplement sur X, on a, en tout point x de X, la relation + n= f(n)e inx = a (a n cos nx + b n sin nx). n= Voici, pour terminer ce point du cours, un lemme utile pour le calcul des coefficients a n et b n. Lemme Si la fonction f est à valeurs réelles, on a a n = 2R f(n) et b n = 2I f(n). Démonstration. Puisque f est réelle, on a R(f(t)e int ) = f(t) cos nt et I(f(t)e int ) = f(t) sin nt. Le lemme s en déduit aisément. Exercice Montrer que si la fonction f est paire (resp. impaire) sur l intervalle ], π[, on a b n = pour tout n (resp. a n = pour tout n ). 3 L approche (pré)hilbertienne Ce chapitre va placer la théorie des séries de Fourier dans une démarche d analyse fonctionnelle : plutôt que de considérer les fonctions individuellement, celles-ci seront vues commes les points d un certain espace vectoriel, un espace fonctionnel, dans lequel des considérations de géométrie ou d algèbre linéaire peuvent jeter un éclairage nouveau et efficace sur les questions abordées. Bien sûr, ces aspects seront revus beaucoup plus en profondeur dans les cours de 3ème année 8 et au-delà, quand l appareillage théorique adéquat sera disponible. Ici, c est l occasion de découvrir dans un cadre simple une des idées maîtresses de l analyse mathématique du XXème siècle. 3. Un espace préhilbertien Soit E l espace vectoriel des fonctions -périodiques continues par morceaux. Pour tout couple (f, g) d éléments de E, on pose f g = f(t)g(t)dt. On définit ainsi une application sur E E, à valeurs dans C. Étant donnés trois éléments f, g, h de E et λ, µ deux nombres complexes, on vérifie trivialement la propriété dite de sesquilinéarité f λg + µh = λ f g + µ f h et λf + µg h = λ f h + µ g h et celle de symétrie hermitienne g f = f g. 8 Voir par exemple les excellents polycopiés de J.-F. Burnol, disponibles à l adresse http ://jf.burnol.free.fr/ens.html.

12 On a aussi la positivité f f. Nous avons donc défini une forme sesquilinéaire hermitienne positive. En revanche, ce n est pas un produit scalaire 9. Il faudrait pour cela que la condition f f = implique que f soit nulle. Ce n est pas vrai ici : on peut juste en déduire que f s annule en tout point où elle est continue (on le démontre par contraposition : supposons qu il existe un point a où f est continue et tel que l on ait f(a). Par périodicité, on peut supposer a [, π[. La continuité de f en a implique qu il existe un intervalle [a, a + δ], contenu dans [, π[, dans lequel on a f 2 f(a). On en tire alors f f = f(x) 2 dx a+δ a f(x) 2 dx δ f(a) 2 8π et, en particulier, f f > ). On considère à présent l ensemble F des fonctions f appartenant à E et continues à droite ; autrement dit, celles qui vérifient en outre l égalité f(a + ) = f(a) en tout point a de R. Cet ensemble F est évidemment un sous-espace vectoriel de E. De plus, en restriction à F, l application (f, g) f g devient un produit scalaire : pour le voir, il suffit de vérifier que pour f F, la condition f f = implique que f est nulle. On sait déjà que l on a f(a) = en tout point a où f est continue. Si a est un point de discontinuité, la définition des fonctions continues par morceaux montre qu il existe un intervalle I = [a δ, a + δ] tel que f soit continue en tout point de I \ {a}, donc nulle sur I \ {a}. Il s ensuit que l on a f(a + ) =, et donc f(a) = par l hypothèse de continuité à droite. Muni du produit scalaire, l espace F constitue ce que l on appelle un espace préhilbertien. C est en particulier un espace vectoriel normé pour la norme associée au produit scalaire : f = f f /2 = ( /2 f(t) dt) 2. Remarque 3... On appelle espace de Hilbert un espace préhilbertien qui est complet pour la norme associée au produit scalaire. On peut montrer que ce n est pas le cas de l espace F précédemment défini. En 3ème année, la théorie de l intégrale de Lebesgue permet d étudier les séries de Fourier dans le cadre d un espace de Hilbert, plus général et plus naturel que F. Dans la suite, pour tout n de Z, on note e n l élément de F donné par e n (x) = e inx. On a alors deux lemmes élémentaires. Lemme La famille (e n ) n Z est orthonormale dans F, ce qui signifie que l on a e m e n = pour m n et e m e n = pour m = n. Démonstration. Pour m n, on a e m(t)e n (t)dt = ei(m n)t dt = Pour m = n, on a e m(t)e n (t)dt = dt =. Le lemme s ensuit. [ ] e i(m n)t π i(m n) =. Remarque Attention : le lemme précédent ne parle pas de base orthonormale! L espace F n est pas de dimension finie et la notion de base adaptée au type de questions que l on étudié ici sera vue en 3ème année dans le cadre des espaces de Hilbert. Lemme Pour tout élément f de F et tout entier relatif n, on a f(n) = f e n. Démonstration. C est immédiat à partir des définitions. 9 Pour toutes les notions d algèbre linéaire qui apparaissent ici, nous renvoyons le lecteur au cours de Math 25 ou à [5], tome, chapitre XIII. 2

13 3.2 Interprétation des sommes de Fourier Pour tout entier naturel N, on note F N le sous-espace vectoriel de F engendré par e N,..., e, e, e,..., e N, autrement dit le sous-espace des polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à N. On a alors le résultat suivant. Proposition Pour toute fonction f de F et tout entier naturel N, la somme de Fourier P N f est la projection orthogonale de f sur F N. Démonstration. D après le lemme 3..4, on a P N f = N n= N f e n e n. Clairement, P N f appartient à F N. En utilisant les lemmes 3..2 et 3..4, on a aussi f P N f F N. La proposition en résulte. Corollaire Soient f une fonction de F et N un entier naturel. Pour tout polynôme trigonométrique Q de degré inférieur ou égal à N, on a f Q f P N f et l égalité a lieu si et seulement si Q = P N f. Démonstration. On a f Q = g+h avec g = f P N f et h = P N f Q. On remarque que h appartient à F N. Par conséquent, les fonctions g et h sont orthogonales et le théorème de Pythagore donne la relation f Q 2 = g 2 + h 2. Il en résulte que l on a f Q 2 g 2 et que l égalité a lieu si et seulement si h =, d où le corollaire. Remarque Le carré de la norme d une fonction de F représente la valeur moyenne du carré de cette fonction sur une période. Pour cette raison, on énonce souvent le corollaire en disant que parmi les polynômes trigonométriques de degré inférieur ou égal à N, la somme de Fourier P N f est celui qui réalise la meilleure approximation de f au sens de l écart quadratique moyen. 3.3 Inégalité de Bessel et égalité de Parseval On commence par une considération simple sur les familles indexées par Z. Étant donnée une famille (a n ) n Z de réels positifs, soit la suite (A N ) N donnée par A N = Nn= N a n. Cette suite est croissante (on a A N+ A N = a N + a N+ ). On se trouve donc dans l un des deux cas suivants : (i) la suite (A N ) N est majorée : dans ce cas, elle converge vers une certaine limite A dans R. On dit alors que la série n Z a n converge et que le nombre A est sa somme ; on note A = + n= a n. (ii) la suite (A N ) N n est pas majorée : dans ce cas, on a lim N A N = + et on dit que la série n Z a n diverge. La terminologie ainsi introduite permet d énoncer commodément le résultat principal du chapitre 3. Théorème 3.3. (égalité de Parseval). Soit f une fonction -périodique continue par morceaux. Alors la série n Z f(n) 2 converge et on a + n= f(n) 2 = f(t) 2 dt. 3

14 Démonstration. À ce stade de notre étude, nous pouvons seulement démontrer une partie du résultat, à savoir la convergence de la série et la majoration + n= f(n) 2 f(t) 2 dt. Cette majoration est connue sous le nom d inégalité de Bessel. L égalité de Parseval nécessite beaucoup plus de travail et sera démontrée complètement au paragraphe 5.5. Pour établir l inégalité de Bessel, on commence par le cas où f appartient à F. Dans ce cas, on applique le théorème de Pythagore comme dans la preuve du corollaire 3.2.2, en prenant Q = : on obtient ainsi f 2 = f P N f 2 + P N f 2 P N f 2. Or, compte tenu des lemmes 3..2 et 3..4, on a facilement P N f 2 = N n= N f(n) 2. Il vient donc, pour tout entier naturel N, f(n) 2 f 2. n= N En posant a n = f(n) 2, on voit que l on se trouve ainsi dans le cas (i) décrit au début du paragraphe : on a en effet A N f 2 pour tout N. Par suite, la série n Z a n converge, et sa somme lim N A N est majorée par f 2, c est-à-dire par f(t) 2 dt. L inégalité de Bessel est ainsi établie pour les fonctions f de F. Maintenant, supposons que f soit un élément quelconque de E. On définit un élément f de F en posant f (x) = f(x) si f est continue en x, et f (x) = f(x + ) sinon. Sur [, π], les fonctions f et f diffèrent en un nombre fini de points : les points de discontinuité de f. Les considérations élémentaires sur l intégrale rappelées au chapitre montrent donc que l on a f(n) = f (n) pour tout n de Z, et f(t) 2 dt = f (t) 2 dt. L inégalité de Bessel pour l élément f de E se ramène ainsi à l inégalité de Bessel pour l élément f de F. Exercice Montrer qu étant données f et g deux fonctions -périodiques continues par morceaux, on a lim N + n= N f(n)ĝ(n) = f(t)g(t)dt. Corollaire Soit f une fonction -périodique continue par morceaux. On a lim f(n) =. n Démonstration. Avec les notations de la preuve précédente, si on pose A = lim N A N, on a lim N A N A N = A A =. En remarquant que A N A N = f( N) 2 + f(n) 2 et que la somme de deux suites positives converge vers si et seulement si chacune des deux suites converge vers, on obtient le résultat annoncé. Corollaire (lemme de Riemann-Lebesgue). Soit g une fonction continue par morceaux sur un intervalle [a, b]. On pose I n = b a g(t)e int dt, J n = b a g(t) cos nt dt et K n = On a alors lim n I n = lim n J n = lim n K n =. 4 b a g(t) sin nt dt.

15 Démonstration. En écrivant cos nt = 2 (eint + e int ) et sin nt = 2i (eint e int ), on a J n = 2 (I n +I n ) et K n = 2i (I n I n ). On voit donc qu il suffit de savoir traiter l intégrale I n pour obtenir les deux autres. On distingue alors deux cas. (i) Premier cas : on a b a <. Soit alors f la fonction -périodique continue par morceaux définie par f(t) = g(t) pour t [a, b] et f(t) = pour t ]b, a + [. On remarque que l on a I n = f(n) et on conclut en appliquant le corollaire (ii) Deuxième cas : on a b a. On découpe alors [a, b] en plusieurs intervalles de longueur strictement inférieure à et on applique le premier cas sur chacun de ces intervalles. Exemple L égalité de Parseval n a pas qu un intérêt théorique. Elle permet aussi de calculer facilement la somme de certaines séries. À titre d exemple, voici un calcul du nombre ζ(2) = + n=. On considère la fonction -périodique f définie par f(x) = x n 2 pour x [, [. Il est facile de voir que f est continue par morceaux sur R. Calculons ses coefficients de Fourier. On a f() = tdt = [ t 2 ] = π 2 et, pour n, f(n) = te int dt = ( [te int in ] On en tire facilement + n= f(n) 2 = π n= n 2 f(t) 2 dt = t 2 dt = [ t 3 3 e int ) in dt = i n. = π 2 + 2ζ(2). Enfin, on a ] = 4π2 3. L égalité de Parseval s écrit donc π 2 + 2ζ(2) = 4π2 π2 3, ce qui donne ζ(2) = 6. Exercice En appliquant l égalité de Parseval à la fonction -périodique g définie par g(x) = x 2 pour x [, π[, calculer le nombre ζ(4) = + n=. n Séries trigonométriques À une famille de coefficients complexes (c n ) n Z, on peut associer une suite de polynômes trigonométriques (S N ) N donnée par S N (x) = N n= N c n e inx. En calquant la définition de la convergence des séries de Fourier, on dit que la série trigonométrique n Z c ne inx converge simplement (resp. uniformément) sur une partie X de R si la suite (S N ) N converge simplement (resp. uniformément) sur R, la limite étant alors appelée somme de la série et notée + n= c n e inx. Bien sûr, la série de Fourier d une fonction -périodique continue par morceaux est une série trigonométrique. Réciproquement, il est naturel de se demander sous quelles conditions une série trigonométrique donnée est une série de Fourier. Plus précisément, étant donnée une série trigonométrique n Z c ne inx, sous quelles conditions existe-t-il une fonction -périodique continue par morceaux f telle que l on ait c n = f(n) pour tout n? La proposition 3.4. ci-après fournit une condition suffisante. 5

16 Proposition Si une série trigonométrique converge uniformément sur R, alors elle est la série de Fourier de sa somme. Démonstration. Soit n Z c ne inx la série trigonométrique considérée et soit f sa somme. Soit n un entier relatif. Pour N n, on a c n = S N(x)e inx dx = ŜN, avec S N (x) = N n= N c n e inx. En remarquant que S N (x)e inx f(x)e inx = S N (x) f(x) et en utilisant l hypothèse, on voit que la suite de fonctions x S N (x)e inx converge uniformément vers x f(x)e inx sur R, donc sur [, π]. On en déduit que lim N ŜN = f(x)e inx dx = f(n), d où le résultat. L exercice suivant montre qu en revanche, la convergence simple sur R ne suffit pas pour qu une série trigonométrique soit une série de Fourier. Exercice On pose c = c = c =, c n = 2i Log n pour n > et c n = 2i Log n pour n <. i. Vérifier que pour tout réel x et tout entier N 2, on a N n= N c n e inx = N sin nx n=2 Log n. ii. En déduire que la série trigonométrique n Z c ne inx converge simplement sur R. iii. Montrer qu il n existe pas de fonction -périodique continue par morceaux f telle que l on ait f(n) = c n pour tout n (on pourra procéder par l absurde et utiliser le théorème 3.3.). 4 Convergence Dans ce chapitre, on s intéresse à la convergence des séries de Fourier en tant que séries de fonctions. On va donc donner quelques conditions suffisantes de convergence simple ou uniforme. Le point de départ est une représentation des sommes de Fourier sous forme de produit de convolution. 4. Une représentation des sommes de Fourier Définition 4... Soit N un entier naturel. On appelle noyau de Dirichlet (pour le rang N) la fonction D N définie sur R par D N (t) = n= N e int. Nous aurons besoin de deux lemmes élémentaires sur le noyau de Dirichlet. Lemme On a D N(t) =. Démonstration. Il suffit d appliquer le lemme 3..2 en remarquant que l on a D N = Nn= N e n et que la quantité à calculer n est autre que D N e. Lemme On a D N (t) = sin ( (2N + )t/2 ) sin(t/2) pour t / Z et D N (t) = 2N + pour t Z. 6

17 Démonstration. Le calcul pour t Z est immédiat vu la définition de D N. Pour t / Z, on a D N (t) = e int ( + e it + + e 2iNt ) = e int( + e it + + (e it ) 2N ). On voit apparaître la somme des 2N + premiers termes d une suite géométrique, de raison e it. On en tire ( e D N (t) = e int i(2n+)t ) e it = e int e i(n+)t e it ce qui démontre le lemme. = eit/2( e i(2n+)t/2 e i(2n+)t/2) e it/2( e it/2 e it/2) ( ) 2i sin (2N + )t/2 =, 2i sin(t/2) Le rôle clef que va jouer le noyau de Dirichlet dans l étude de la convergence des séries de Fourier est dévoilé par la proposition suivante. Proposition Soient f une fonction -périodique continue par morceaux et N un entier naturel. On a P N f = D N f. Démonstration. Pour tout réel x, on a P N f(x) = n= N ( π ) f(t)e int dt e inx = d où le résultat puisque f D N = D N f. n= N 4.2 Le théorème de convergence ponctuelle de Dirichlet e in(x t) dt = f D N (x), Théorème 4.2. (Dirichlet). Soit f une fonction -périodique de classe C par morceaux. Alors la série de Fourier de f converge simplement sur R et on a, pour tout x de R, + n= f(n)e inx = 2( f(x + ) + f(x ) ). Démonstration. Remarquons d abord qu il suffit d établir la convergence de la série, et de montrer que sa somme a bien la valeur annoncée, au point x =. Le cas général s en déduit par translation. On doit alors distinguer deux cas. (i) Premier cas : la fonction f est continue. On a alors f( ) = f( + ) = f() et 2( f( + ) + f( ) ) = f(). Il s agit donc de démontrer que l on a lim N P N f() = f(). Compte tenu du lemme 4..2 et de la proposition 4..4, on a P N f() f() = = D N (t)f( t)dt f() D N (t) ( f( t) f() ) dt. D N (t)dt c est-à-dire en appliquant le cas x = à la fonction f définie par f(t) = f(x + t). 7

18 Posons g(t) = f( t) f(), de sorte que P N f() f() = D après le lemme 4..3, on a par ailleurs D N (t)g(t) = sin ( (2N + )t/2 ) g(t) sin(t/2) g(t) D N (t)g(t)dt. (6) pour t [, π] \ {}. (7) Nous allons voir que la fonction t sin(t/2) apparaissant dans l expression précédente a une limite à gauche et à droite en. Pour cela, on observe d abord que, puisque f est supposée de classe C par morceaux et continue en, il existe un réel δ > tel que f soit continue sur [, δ] et de classe C sur ], δ]. En appliquant le théorème des accroissements finis entre et un point t quelconque de [ δ, [, on a l existence d un réel c t ] t, [ tel que f( t) f() = tf (c t ), c est-à-dire g(t) = tf (c t ). On obtient ainsi g(t) sin(t/2) = t sin(t/2) f (c t ) De l inégalité t < c t < et du fait que f est de classe C par morceaux, on déduit que lim t + f (c t ) existe et vaut f ( ). Comme on a sin(t/2) t/2, on obtient finalement lim t + g(t) sin(t/2) = 2f ( ). On montrerait de la même manière que lim g(t) t sin(t/2) existe et vaut 2f ( + ). Du fait que g est continue par morceaux sur [, π] et de l existence de ces limites, on tire que la fonction h définie par h(t) = g(t) sin(t/2) pour t [, π] \ {} et h() = (ou une quelconque autre valeur) est continue par morceaux sur [, π]. De plus, les égalités (6) et (7) montrent que l on a P N f() f() = sin ( (2N + )t/2 ) h(t)dt = (X N + Y N ) avec X N = (sin Nt) cos(t/2)h(t)dt et Y N = (cos N t) sin(t/2)h(t)dt. Or, d après le lemme de Riemann-Lebesgue 3.3.4, on a lim N X N = lim N Y N =. Il en résulte bien que lim N P N f() = f(). (ii) Deuxième cas : f est discontinue en. On définit deux fonctions f et f par ( ) 2 f(x) + f( x) pour x / Z f (x) = 2( f( + ) + f( ) ) pour x Z et f (x) = ( ) 2 f(x) f( x) pour x / Z pour x Z. 8

19 Il est facile de voir que f et f sont -périodiques, de classe C par morceaux. On rappelle maintenant que l on a P N f() = D N(t)f( t)dt. Or, sur l intervalle [, π], la fonction f coïncide avec f + f sauf peut-être en un point (le point ). Il en résulte que D N(t)f( t)dt = D N(t)(f ( t) + f ( t))dt = D N(t)f ( t)dt + D N(t)f ( t)dt. On constate par ailleurs que la fonction f est impaire, tandis que D N est paire, ce qui implique facilement D N(t)f ( t)dt =. Il reste donc P N f() = P N f (). (8) Pour conclure, il suffit maintenant d observer que la fonction f est continue en : c est une conséquence immédiate de sa définition. Par le premier cas déjà traité, on peut alors affirmer que l on a lim N P N f () = f (). Compte tenu de (8), nous avons ainsi obtenu lim N P N f() = 2( f( + ) + f( ) ), ce qui établit le deuxième cas. Remarque Si la fonction f possède des points de discontinuité, la convergence n est pas uniforme sur R : en effet, la somme de la série est alors discontinue bien que ses sommes partielles soient continues. En revanche, nous verrons au paragraphe 4.4 qu en l absence de points de discontinuité, la convergence est uniforme sur R. 4.3 Deux exercices corrigés Exercice Soit f la fonction -périodique définie par f(x) = x pour x [, π[. i. Montrer que la série de Fourier de f converge simplement sur R et expliciter sa somme en tout point x de ] π, π]. ii. En déduire un calcul explicite de + sin nt n= pour tout t de ], [. n sin nt n iii. Pour tout n, soit f n la fonction définie sur ], [ par f n (t) =. Soit x un réel fixé dans l intervalle ], [. Montrer que la série n f n converge uniformément sur tout intervalle [a, x] avec < a < x. La convergence est-elle uniforme sur ], x]? iv. À l aide de ii, iii et du résultat de l exemple 3.3.5, calculer explicitement + pour tout x de ], [. cos nx n= n 2 i. La fonction f étant -périodique de classe C par morceaux sur R, la convergence de sa série de Fourier s obtient par application du théorème de Dirichlet. Les points de ] π, π[ sont des points de continuité de f et la somme de la série coïncide donc avec f sur cet intervalle. ii. Calculons les coefficients de Fourier de f. On a immédiatement f() = et, pour n, f(n) = f(t)e int dt = = πe inπ ()e inπ 2inπ te int dt = ] [t e int π + in 2inπ = i ( )n n. e int dt Adoptons l écriture réelle de la série de Fourier de f : la fonction f étant à valeurs réelles, le lemme 2.4. fournit les valeurs a n = et b n = 2I(i ( )n ) = 2 ( )n+. Compte tenu du résultat de la question i, on n n a donc, en tout point x de ] π, π[, + n= ( ) n+ sin nx n = f(x) 2 L oscillation des sommes partielles au voisinage des points de discontinuité de f est décrite précisément par le phénomène de Gibbs, voir par exemple [2], chapitre IX, problème 34 ou le texte de J.-F. Burnol à l adresse http ://jf.burnol.free.fr/56l32annexegibbs.pdf. = x 2. 9

20 Pour t ], [, on a π t ] π, π[ et on peut appliquer l égalité précédente avec x = π t. Comme on a sin(n(π t)) = cos nπ sin( nt) + sin(nπ) cos(nt) = ( ) n sin( nt) = ( ) n+ sin nt, on obtient donc + n= sin nt n = π t 2 pour tout t ], [. iii. Appliquons le théorème d Abel-Dirichlet (pour lequel on pourra se reporter au cours sur les séries de fonctions, ou à [5], tome 2, VIII.7). On écrit f n sous la forme ε nv n où ε n est la fonction (constante) t n et v n est la fonction t sin nt. Clairemement, la suite (ε n) n est positive, décroissante et, en tant que suite de fonctions, elle converge uniformément vers la fonction nulle sur [a, x]. De plus, pour tout n et tout t [a, x], on a v (t) + + v n(t) = I(e it + + e int) e it + + e int. Par un calcul similaire à celui de la preuve du lemme 4..3, il vient et par conséquent e it + + e int = e i n+ nt t sin( ) 2 2 sin t 2 v (t) + + v n(t) sin t 2. Or, on a < a t x < π et donc sin t min(sin a, sin x ) > compte tenu des variations de sin sur ], π[. Finalement, pour tout n et tout t [a, x], on a v (t) + + v n(t) A avec A = ( min(sin a, sin x )) 2 2. D après le théorème d Abel-Dirichlet, la convergence de la série fn est n uniforme sur [a, x]. En revanche, la convergence n est pas uniforme sur ], x] : en effet, si c était le cas, le théorème de commutation de limites impliquerait que l on ait lim t fn(t) = + + limt fn(t) =, alors que d après n= n= + π t le résultat du ii, on a lim t fn(t) = limt = π. n= 2 2 cos nt iv. Pour tout n, soit g n la fonction définie sur [, [ par g n(t) =. De la majoration g n n(t), 2 n 2 on déduit aussitôt que la série de fonctions gn converge normalement, donc uniformément, sur [, [. n S agissant d une série de fonctions continues, sa somme G est continue sur cet intervalle. Par ailleurs, on remarque que g n(t) = f n(t). Soient alors x dans ], [ et soit a un réel vérifiant < a < x. On a vu au iii que la série fn converge uniformément sur [a, x]. En appliquant le théorème d intégration terme à terme des séries de fonctions, on obtient alors n x ( + ) + x + f n(t) dt = f n(t)dt = (g n(a) g n(x)) = G(a) G(x). a n= n= a En utilisant le résultat du ii, on a donc G(a) G(x) = x π t dt. Compte tenu de la continuité de G en a 2 et de la valeur G() = π2 trouvée dans l exemple 3.3.5, on peut alors faire tendre a vers, ce qui donne π 2 6 G(x) = x π t 2 6 dt = πx x2 2 4 n=. Au final, on trouve, pour tout x [, [, + n= cos nx n 2 = x2 4 πx 2 + π2 6. Exercice Soit y un réel strictement positif. On considère la fonction -périodique f y définie par f y (x) = e xy pour x [, π[. i. Montrer que la série de Fourier de f y converge simplement sur R et expliciter sa somme en tout point x de ] π, π]. ii. De la relation obtenue au point π, déduire la valeur de + n=. n 2 +y 2 iii. Par un passage à la limite convenablement justifié, retrouver la valeur de + n=. n 2 i. La fonction f y étant de classe C par morceaux, la convergence de sa série de Fourier est une conséquence immédiate du théorème de Dirichlet. Les points de ] π, π[ sont des points de continuité de f y et la somme de la série coïncide donc avec f y sur cet intervalle. Au point π, la somme vaut 2 (fy(π ) + f y(π + )) = 2 (eπy + e y ) = ch πy. 2

21 ii. Le fait que la série ait pour somme ch πy au point π signifie que l on a lim N n= N Explicitons les coefficients de Fourier. On a et, pour n, f y() = f y(t)dt = f y(n)e inπ = ch πy. (9) e yt dt = [ e yt y ] π = sh πy πy f y(n) = f y(t)e int dt = e (y in)t dt = [ e (y in)t y in = y + in y 2 + n 2 (eπy e inπ e y e inπ ) = ( ) n y + in sh πy y 2 + n 2 π. En remarquant que fy(n)e inπ = ( ) n fy(n), on a donc ( P N f y(π) = sh πy π n= N Le changement d indice m = n donne la relation n= N y + in y 2 + n 2 = y + in y 2 + n 2 + y + m= n= y im y 2 + m 2. ) y + in. y 2 + n 2 En regroupant les parties réelle et imaginaire dans l expression des sommes partielles, il reste donc ( ) f y(n)e inπ sh πy = π y + 2 y. y 2 + n 2 n= N En faisant tendre N vers l infini et en tenant compte de la relation (9), on obtient + ( ) n 2 + y = π ch πy 2 2y sh πy. y n= iii. On étudie le comportement de chacun des deux membres de l égalité précédente quand y tend vers. Pour le membre de gauche, on pose g n(y) = et on remarque que pour tout n et tout n 2 +y 2 y >, on a g n(y). La série numérique de terme général étant convergente, on voit ainsi que n 2 n 2 la série de fonctions de terme général g n converge normalement, donc uniformément, sur ], + [. Le + + théorème de commutation de limites s applique et on a donc lim y = lim n= n 2 +y 2 y gn(y) = n= + n= limy gn(y) = +. n= n 2 Le membre de droite s étudie à l aide de développements limités élémentaires. On a d abord sh πy = πy + 6 (πy)3 + o(y 3 ), d où ( ) 6 π2 y 2 + o(y 2 ) π sh πy = y + 6 π2 y 3 + o(y 3 ) = y = y π2 6 y + o(y). On a ensuite ch πy = + 2 (πy)2 + o(y 2 ), d où π ch πy sh πy n= + ( 6 π2 y 2 + o(y 2 ) ) = y = ( y π2 6 y + o(y) ) ( + 2 (πy)2 + o(y 2 ) = y + π2 3 y + o(y). ) = y + π2 ] π 2 y π2 6 y + o(y) 2