F O R C E C E N T R A L E C O N S E R V A T I V E. A P P L I CA T I O N A U X O R B I T E S C I R C U L A I R E S

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1 MECA NI QUE L yc ée F.B UISS N PTS I MUVEMENT D UNE PARTICULE SUMISE A UNE F R C E C E N T R A L E C N S E R V A T I V E. A P P L I CA T I N A U X R B I T E S C I R C U L A I R E S PRELUDE Dans ce chapite, le système physique étudié coespond toujous à un point matéiel (ou paticule) M de masse m. L étude sea toujous conduite dans un éféentiel galiléen!g. Note paticule sea soumise à une foce centale et consevative. La foce de gavité (ou inteaction gavitationnelle) ente deux masses et la foce électostatique (ou inteaction électostatique) ente deux chages sont deux exemples fondamentaux de foces centales et consevatives. A elles seules, ces deux foces expliquent un nombe impotant de phénomènes physiques. I Foce centale et consevative : caactéistiques 1.1 Système de coodonnées sphéiques Dans ce chapite nous allons utilise, ente autes, le système de coodonnées sphéiques. Un ( ) point M sea epéé pa les coodonnées,!, comme indiqué pa le schéma ci-dessous.! u! u!! u! 1

2 !!!! n attache au point M une base locale ( M,u,u!,u ). Dans cette base locale, la position du point!!!!! est epéé pa le vecteu M = = u. Il ne faut pas mélange le système de coodonnées sphéiques et le système de coodonnées cylindiques, les mêmes notations sont utilisées mais pou désigne des gandeus difféentes (en paticulie! et ). 1.2 Foce centale Le point M de coodonnées,!, définition : ( ) est soumis à une foce dite centale si cette foce s écit, pa! F = F ( )u ( foce centale pa définition ) Le module de F, noté simplement F, ne dépend que de, c est-à-die la distance du point M à l oigine du epèe. F ne dépend ni de! ni de!, F est à symétie sphéique. De plus F est! uniquement suivant u, on dit que le foce est adiale. 1.3 Foce centale consevative n a déjà vu qu une foce consevative déive d une énegie potentielle. Il existe donc une! fonction énegie potentielle E p qui dépend de la position du point M, tel que!w = F! ds!.ds!!!! = dm! = de p. ds!!!!! = M '!!!!! M!!!!! = MM ' M ( ) est le vecteu déplacement élémentaie du point M, avec M et M ' infiniment poches.!! ds M A pioi E p est fonction de tavail élémentaie!w de F :!!!!!!!!W = F.ds = F.dM = F ( )u #%%%% $.d u ca foce centale!!! = F ( )u. du + d u ( )d. ( ) = F!!!! En et u.u = 1 et u.du Comme F ( )d =!de p alos E p n est fonction que de et F (,!, ). Explicitons le ( )!! = 0 ca u! du été justifié dans le cous su l énegie mécanique). ( ) =! de p ( ) d (cela a. n etienda alos :! Foce centale! F = F ( )u Foce centale consevative! F ( ) = de p ( ) d 2

3 La foce centale consevative est attactive si elle est diigée ves 0 : F La foce centale consevative est épulsive dans le cas contaie : F ( ) < 0 et de p ( ) ( ) > 0 et de p ( ) d d < 0. > Exemples fondamentaux FRCE DE GRAVITE FRCE ELECTRSTATIQUE Si Isaac Newton ( ) Chales de Coulomb ( ) M = point d'application de F 1!2 M = point d'application de F 1!2 F 2!1 F 1!2 M m 2! u F 2!1 F 1!2 M! u q 2 < 0 m 1 = souce de F 1!2 q 1 > 0 = souce de F 1!2 F 1!2 = F 2!1 = K m m F 1!2 attactive toujous! u K = G = constante de gavitation univeselle G = 6,673!10 11 N.m 2.kg -2 F 1!2 = F 2!1 = K q q F 1!2 attactive si q 1 q 2 < 0 F 1!2 épulsive si q 1 q 2 > 0 K = 1 4 0! u 1! 0 = 36 #10 9 C.N-1.m -2 = pemittivité du vide ( exactement ) 3

4 E p ( ) =!K m 1 m 2 E p ( si E p ( = ) = 0) E p ( ) = K q q 1 2 ( ) E p ( ) ( si E p ( =!) = 0) q 1 q 2 > 0 q 1 q 2 < 0 n constate une tès fote analogie ente l expession de la foce de gavité et celle de la foce électostatique. La gande difféence éside dans le fait que la foce électostatique peut ête épulsive ou attactive en fonction des signes des chages mises en jeu. La foce de gavitation est toujous attactive ca les masses sont toujous des gandeus positives. Pou obteni l expession de l énegie potentielle associée à la foce centale consevative, on pat du calcul du tavail de la foce, losque M se déplace d un point situé en jusqu à l infini. Nous allons aisonne su l exemple de la foce de gavité, le calcul est analogue dans le cas de la foce électostatique (nous en epaleons dans le cous d électocinétique). ( ( )! E p ( )) = W # = F! E p! $.ds =!K m m!!! 1 2 $ u. du + d u 2 ( ) =!K m 1 m 2 1 d % $ =!K m 2 1 m 2! 1 ( ' * & ) = 0! K m 1 m 2 donc E p ( ) =!K m m 1 2 avec E p () = 0. II Lois généales de consevation 2.1 Consevation du moment cinétique a) Planéité du mouvement x z M 0! v 0 y n suppose qu à l instant initial, t = 0, le point M! se touve en M 0 avec une vitesse v 0. n suppose que la vitesse est dans le plan (,x,y ) ce qui n enlève ien à la généalité du poblème. M est! soumis à la foce centale F = F ( )u. Nous allons applique le théoème du moment cinétique au point, oigine du epèe. 4

5 !! dl M dt ( )!!!!!! = M! F = u! F ( )u!!!!!!!!!!!!!! = 0 L ( M ) = constante. Il y a donc consevation du moment cinétique au cous de l évolution du point M ca la foce!!!!!! est centale. A chaque instant, comme L = M! mv, le moment cinétique est pependiculaie!!!!!! au plan défini pa,m,v est pependiculaie au plan ( ). En paticulie, à l instant initial, L (,x,y ). Pa consevation du moment cinétique, ce ésultat est vai à chaque instant ce qui signifie que la tajectoie este confinée dans le plan (,x,y ). n etienda le ésultat impotant suivant : Un point matéiel soumis à une foce centale est à un mouvement plan et son moment cinétique est une constante du mouvement. Ce ésultat impotant explique le fait que la tajectoie de la tee autou du soleil ou de la lune autou de la tee est plane. Nous allons en epale. Il faut note que ce ésultat ne dépend que du fait que la foce soit centale, pas du fait qu elle soit consevative. b) Intepétation cinétique : loi des aies en coodonnées cylindiques z!!!!!!!!!!!!!! L (M) = constante!! u z! u! y x M! u Le mouvement étant plan, nous allons tavaillons en coodonnées polaies. Nous sommes libes ( ). de choisi le système de coodonnées pou que le plan de la tajectoie soit le plan,x,y!!!!! L étude de la cinématique en coodonnées polaies nous indique que M = u!!!!! s agit pas du même M = u qu en coodonnées sphéiques) et v!!!!!!! #! le moment cinétique : L ( M ) = M! mv = u! m % u $ +! =! u!! &!! u ( ' = m 2 u z. (attention il ne! + u. Expimons alos 5

6 Nous venons de voi que, pou un point matéiel soumis à une foce centale, le moment cinétique est une constante du mouvement donc la gandeu 2! constante du mouvement alos que t, notée C pa la suite, est une ( ) et! ( t ) sont des fonctions du temps évidemment. Cette gandeu joue un ôle impotant dans la tajectoie des planètes autou du soleil comme nous allons le voi dans la suite de ce chapite. Nous etiendons : Pou un point matéiel soumis à une foce centale, la consevation du moment cinétique se taduit pa le fait que la gandeu C = 2! est une constante du mouvement. La elation 2! = constante est nommée intégale pemièe du mouvement. Là encoe, ce ésultat ne dépend que du fait que la foce soit centale, pas du fait qu elle soit consevative. La elation pécédente touve une intepétation géométique emaquable dans la desciption de la tajectoie du point M. z d! = aie du 1 e ode x d! d! M ( t ) d y M ( t + dt ) 1 2 d! d = aie du 2ème ode Ente deux instants infiniment poches t et t + dt, le point M balaie l aie élémentaie (voi figue ci-dessus) da = d! d! d d!, le deuxième teme étant négligeable devant le pemie ca il s agit d un teme infiniment petit d ode 2. n obtient da dt = d! dt = 1 2 C. Nous savons que C = 2! est une constante donc pa intégation, on obtient A = 1 C!t où A est l aie 2 balayée pa M pendant l intevalle de temps!t. Cela signifie que, pendant un intevalle de temps donné, l aie balayée est toujous la même au cous de l évolution du point M. Ce ésultat justifie la deuxième loi de Keple obtenue à pati d obsevations expéimentales. Nous allons en epale. 6

7 2.2 Consevation de l énegie mécanique a) Remaque avant d alle plus loin La connaissance complète de la tajectoie du point M nécessite la connaissance des fonctions ( ) et! ( t ). Gâce à la consevation du moment cinétique, nous savons que la tajectoie est t plane ce qui ne nécessite pou la décie que deux coodonnées d espace. Pou détemine t ( ) et! ( t ), il faut ésoude un système d équations difféentielles couplées d ode 2 et non-linéaies. En et l application du pincipe fondamental de la dynamique!! ma = F! avec a # & # = %! 2 ( u + % 2 $ ' $! & + ( ' u = F ( ) m! en coodonnées polaies et F = F ( )u ( ) =! 1 de p m d # équation adiale = 0 # équation othoadiale donne : Il n est pas de note pogamme de ésoude ces équations difféentielles (tâche difficile). Il existe des solutions analytiques dans le cas de la foce de gavité et dans celui de la foce électostatique mais de façon généale, on ne peut ésoude ces équations que de façon numéique. Heueusement, les lois de consevation donnent de nombeuses infomations su la tajectoie sans en connaîte la natue exacte. La consevation du moment cinétique nous a déjà indiqué que la tajectoie était plane, ce qui est une infomation tès impotante. Nous allons à pésent considée la consevation de l énegie mécanique qui va nous founi de nouvelles infomations. b) Consevation de l énegie mécanique Nous savons que l énegie mécanique est la somme de l énegie cinétique (fonction de la vitesse) et de l énegie potentielle (fonction de la position) : E m = E c + E p. De plus comme la foce centale est consevative, elle déive d une énegie potentielle : F ( ) =! de p ( ) d. n a donc, d apès le théoème de la puissance mécanique, consevation de l énegie mécanique du point M au cous de son évolution. n etienda que : Pou un point matéiel soumis à une foce consevative, l énegie mécanique est une constante du mouvement ; E m = constante. L équation E m = constante est aussi appelée intégale pemièe du mouvement. 7

8 c) Expession de l énegie mécanique en coodonnées polaies n a E m = E c + E p = 1 2 mv 2 + E p ( ) = 1 2 m $ # $ 2 % + 2! 2 & ' + E p ( ) en coodonnées polaies. n sait que C = 2! est une constante du mouvement. n peut éécie E m = 1! 2+ 2 m C 2 $ # 2 % & + E p ( ) ce qui donne au final : E m = m 12 m C E p ( ) = constante L énegie mécanique qui est une constante est expimée uniquement en fonction de la vaiable. La vaiable! a dispau, elle a été absobée dans C. d) Enegie potentielle ective Le teme m coespond à l énegie cinétique d un point matéiel dont le mouvement seait puement adial, c est-à-die uniquement su. Il est donc commode de faie appaaîte une énegie potentielle ective E p ( ) = 1 2 m C 2 + E 2 p sous une fome qui essemble à celle d un mouvement puement adial : ( ). n peut ainsi éécie l énegie mécanique E m = m + E p ( ) avec E p ( ) = 1 2 m C 2 + E 2 p ( ) Il faut cependant faie attention et bien gade à l espit que le mouvement du point M a aussi une composante othoadiale qui est masquée dans la constante C = 2!. Le fait d écie l énegie mécanique sous la fome pécédente est tès patique. Cela pemet une discussion qualitative simple su la natue du mouvement sans ésoude explicitement les équations du mouvement, c est ce que nous allons faie pa la suite. Il faut aussi note que la valeu de E p ( ) dépend de la valeu du moment cinétique du point M, L ( M ) = m 2! = constante, à taves C = 2!. La valeu que pend le moment cinétique dépend des conditions initiales de la tajectoie. Pa exemple la valeu du moment cinétique de la tee, pou sa tajectoie autou du soleil, a été fixée los de la fomation du système solaie. 8

9 e) Domaines accessibles à la tajectoie Le domaine des valeus de accessibles à la tajectoie est esteint pa le fait que m! 0 ce qui implique que l on doit toujous avoi E m! E p ( ). Losque E m = E p ( ), on a signifie que atteint une valeu minimale ou maximale. n etienda que : Domaines accessibles à la tajectoie! E m E p ( ) = 0 ce qui III Discussion du mouvement adial Nous venons de voi que les lois de consevation pemettent de amene le poblème pimitif,!!!! l étude de la tajectoie M,! ( ), à celui, plus simple, de l étude d un mouvement puement adial. Cela pemet une discussion qualitative simple du mouvement sans ésoude explicitement les équations du mouvement, comme nous l avons déjà emaqué. 3.1 Cas d une foce épulsive, exemple de la foce électostatique Il s agit du cas d une paticule soumise à une foce électostatique épulsive F 1!2 = K q 1 q 2 2! u avec q 1 q 2 > 0. Cette situation coespond à la célèbe expéience de Ruthefod dans laquelle une mince feuille d o est bombadée pa des noyaux d hélium (cf TD d infomatique, méthode d Eule). Cette expéience a pemis de mette en évidence le noyau des atomes. n a E p ( ) = K q 1 q 2 > 0 et E p ( ) = 1 2 m C 2 + K q q > 0. Le domaine accessible à la tajectoie est founi pa la condition E m! E p E p ( ) ( ) comme illustée su la figue ci-dessous. y E m min min!!!! M,! ( ) x Zone accessible, ETAT DE DIFFUSIN Mouvement adial Tajectoie complète : Mouvement hypebolique 9

10 La tajectoie atteint min quand E p ( ) = E m. Pa conte, il n y a pas de limite supéieue à la valeu de, on a un état de diffusion. n peut monte que la tajectoie complète coespond à une hypebole. 3.2 Cas d une foce attactive, exemple de la foce de gavitation Il s agit du cas d une paticule soumise à la foce de gavitation attactive F 1!2 = K m 1 m 2 Cette situation coespond au cas des planètes du système solaie soumises à l attaction du soleil, de la lune et des satellites atificiels soumis à l attaction de la tee, des inteactions ente galaxies etc 2! u. n a E p ( ) =!K m 1 m 2 < 0 et E p ( ) = 1 2 m C 2! K m m 1 2. La situation est plus complexe mais aussi 2 plus iche dans ce cas, ca, suivant les valeus de, on a E p ( ) < 0 où E p ( ) > 0. L allue de E p ( ) est epésentée ci-dessous ainsi que les dives domaines accessibles suivant la valeu de E m = constante. Le domaine accessible à la tajectoie est toujous donné pa la ( ). condition E m! E p 10

11 y ETAT DE DIFFUSIN min1 x () E p Tajectoie complète : Mouvement hypebolique y E m1 > 0 min1 min2 max3 min3 ETAT DE DIFFUSIN min2 E m2 = 0 x E m3 < 0 Em4 < 0 4 Tajectoie complète : Mouvement paabolique y ETAT LIE min3 = péigée max3 = apogée x Tajectoie complète : Mouvement elliptique y ETAT LIE 4 x Tajectoie complète : Mouvement ciculaie 11

12 IV Mouvement d un point matéiel soumis à la foce de gavité 4.1 Hypothèse de l étude Nous allons étudie le mouvement d un point matéiel de masse m (le satellite) soumis à la foce de gavité d un aute objet (l aste attacteu) de masse M (à ne pas confonde avec M le nom du point matéiel que l on emploie habituellement). L aste sea situé au cente du éféentiel galiléen et considéé comme immobile ca on supposea que M! m. Cette situation est une bonne appoximation quand on veut décie le mouvement des planètes autou du soleil ou de satellites autou de la Tee. En généal, les états liés du satellite sont des ellipses mais quand M! m, les ellipses deviennent des cecles. C est pouquoi nous allons étudie uniquement les tajectoies ciculaies. Dans ce cas également, la situation est une bonne appoximation pou décie le mouvement des planètes autou du soleil ou de satellites autou de la Tee. z ASTRE M m F M!m SATELLITE = G M m! u 2 y x 4.2 Les tois lois de Képle Le tavail éalisé pa Keple et Tycho est un véitable tou de foce. Ils ont obsevé et noté des centaines et des centaines de positions de planètes et ceci avant que Galilée ne développe sa lunette, avant l invention du calcul intégal et difféentiel de Newton et Leibnitz et bien sû avant la mise au point des calculatices et autes odinateus. C est à pati de ces lois expéimentales que Newton a constuit les pincipes de la mécanique et a établi l expession de la foce de gavitation. Le tableau ci-dessous donne une bève biogaphie de Keple ainsi qu un de ses potaits. 12

13 (extait de l encyclopédie Laousse) Voici les tois lois énoncées pa Keple : 1èe loi : Chaque planète du système solaie décit une obite elliptique dont le soleil est l un des foyes. 2ème loi : La ligne soleil-planète balaie une aie égale pendant un intevalle de temps identique. 3ème loi : Le caé de la péiode de évolution d une planète autou du soleil est popotionnel au cube du gand axe de l ellipse qu elle décit. Remaques et commentaies su les lois de Keple : La 1èe loi de Keple touve sa justification dans l application du pincipe fondamental de la dynamique avec l utilisation de la loi de gavitation de Newton. La 2ème loi de Keple est la conséquence de la consevation du moment cinétique comme nous l avons vu. Nous allons justifie la 3ème loi de Keple dans le cas des obites ciculaies qui sont un cas paticulie des obites elliptiques (cas M! m ). La figue ci-dessous illuste les lois de Keple. 13

14 4.3 bite ciculaie v M m! F M!m = G 2 u Satellite masse m! v 2 a =! u ayon tee masse M n se place toujous dans les hypothèses du paagaphe 4-1). Nous allons étudie le mouvement d un satellite autou de la Tee (satellite qui peut ête la lune). Les ésultats obtenus peuvent s applique aussi au mouvement des planètes autou du soleil étant donné que les obites elliptiques de ces planètes sont pesque ciculaies. Nous tavailleons en coodonnées polaies. 14

15 a) Etat lié L énegie mécanique du satellite s écit E m = m 12 m C 2 2! G M m. Pou le satellite le ayon est fixé. D apès le paagaphe 3-2), le satellite est dans un état lié et E m < 0. n etienda ce ésultat : bite ciculaie de ayon : E m < 0 ETAT LIE b) Vitesse su une obite ciculaie Nous chechons à détemine la vitesse du satellite, v, pou une obite ciculaie de ayon.!! Pou cela, il suffit d applique le pincipe fondamental de la dynamique ; ma =! F. Ici! F = F M m = #G M m! u 2! et a =! v 2 u ca on a un mouvement ciculaie à vitesse unifome (cf cous de cinématique). n obtient donc en pojetant su la diection adiale!m v 2 qui donne : =!G M m 2 ce v = GM n constate que la vitesse du satellite ne dépend que de la masse de l aste attacteu et pas de sa pope masse. Cela povient du fait que la masse qui intevient dans le pincipe fondamental de la dynamique (masse dite inetielle) est la même que celle qui intevient dans l expession de la foce de gavité (masse dite gave). Cela a été véifié de façon tès pécise expéimentalement et a été éigé en postulat dans la théoie de la elativité généale. Ainsi, pou une même obite ciculaie de ayon, tous les satellites ont la même vitesse. n constate que losque augmente, la vitesse du satellite diminue. La figue suivante epésente la vitesse des planètes du système solaie en fonction de leu distance moyenne pa appot au soleil (les obites n étant pas pafaitement ciculaies mais elliptiques). n etouve bien la loi v = GM. Plus la planète est éloignée du soleil, plus sa vitesse est faible. n peut détemine complètement l énegie mécanique du satellite à pésent. En et E m = 1 2 mv 2! G M m et en utilisant v = GM, on obtient : E m =! 1 G M m < 0 (obite ciculaie) 2 15

16 16

17 c) Toisième loi de Keple péimète du cecle La péiode de évolution du satellite vaut T = vitesse = 2!. En utilisant le fait que v v = GM on aive à : T 2 3 = 4! 2 GM Il s agit de la toisième loi de Keple. Ainsi quel que soit le ayon de l obite du satellite et quelle que soit sa masse, le appot T 2 l aste attacteu. 3 est une constante qui dépend uniquement de la masse de Pou les planètes du système solaie, on a T 2 a 3 = 4! 2 GM! ou M! est la masse du soleil et a le demigand axe de l obite elliptique. Ainsi pou chaque planète, le appot T 2 a 3 a la même valeu, bien que T et a soient popes à chaque planète. La figue ci-dessus illuste ce ésultat. d) 1 èe vitesse cosmique : vitesse de satellisation n souhaite mette su obite ciculaie un satellite autou de la Tee avec un ayon égal à celui de la Tee R T! 6370 km. Il s agit bien sû d un cas limite d obite basse. La station spatiale intenationale se touve à une hauteu de seulement 340 km envion. Le ayon de son obite est donc poche de la valeu du ayon teeste. Quelle vitesse minimale doit-on communique au satellite pou le mette en obite? Pou éponde à cette question, il suffit d utilise la elation v = GM avec = R T! 6370 km. n touve alos la vitesse de satellisation coespondante notée v s : v s = GM R T! 7,92 km.s -1 Il s agit bien sû d une vitesse énome qui equiet beaucoup d énegie. Pou diminue cette énegie, on se set de la vitesse de otation de la Tee su elle-même qui à l équateu est maximale et vaut! T = 0,46 km.s -1. C est pou cela que les bases de lancement de fusée sont situées le plus pès possible de l équateu (Floide, Guyane, Kazakhstan). 17

18 Plus on lance un objet avec une gande vitesse, plus il va etombe loin (cf cous de dynamique), losqu on le lance avec la vitesse v s, il va etombe tellement loin qu il va continuellement tombe à côté de la Tee, il sea donc en obite. n peut die que la lune et les satellites atificiels tombent en pemanence su la Tee mais à côté (heueusement sutout pou la lune ). Cette situation est illustée su la figue ci-dessous. 18

19 e) 2ème vitesse cosmique : vitesse d échappement Quelle vitesse minimale faut-il donne à un objet su Tee pou qu il puisse s échappe définitivement de l attaction gavitationnelle de la Tee? n notea v e cette vitesse. Avec v = v e l objet poua atteinde! + avec une vitesse nulle, l objet va s aête à l infini (si v > v e sa vitesse finale ne sea pas nulle). Dans l état final, l énegie mécanique de l objet sea alos nulle E mf = E cf + E pf = 0. Pa consevation de l énegie mécanique, on a E mf = E mi = 0. l énegie mécanique initiale s écit E mi = E ci + E pi = ve = 1 Mm mv e2! G = 0 ce qui donne : 2 RT 2GM = 2 v s! 11,2 km.s-1 RT Il s agit encoe une fois d une vitesse impotante. Vous avez de la mage avant d envoye dans le cosmos un ballon de ugby. ANNEXE : petit g et gand G A la suface d une planète X, un habitant de masse m est soumis à la foce de gavitation M m qui vaut (pespective FM!m = G X 2 X X univeselle) que l on peut éécie FM!m = mg X (pespective de la planète en X question) avec g X = G MX X2. mg X est le poids de l habitant su la planète X et gx l accéléation (ou champ) de pesanteu de la planète X. Su Tee g Tee! 9,8 m.s-2, su Mas gmas! 3,8 m.s-2. La figue ci-conte illuste la difféence ente ces deux pespectives. 19

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