Feuille d exercices n 1 : Suites réelles

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1 Suites usuelles Feuille d exercices n : Suites réelles Exercice ( ) Pour chacune des suites suivantes, définies par récurrence, donner une expression explicite de u n a u 0 = et n N, u n+ = u n 6 b u 0 = ; u = et n N, u n+ = 3u n+ u n c u 0 = ; u = et n N, u n+ = u n+ u n d u 0 = u = et n N, u n+ = u n+ u n e u 0 = ; u = 0 3 et n N, 3u n+ = u n+ u n Exercice ( ) On considère la suite (u n ) définie par u0 = 0 n N, u n+ = u n + 3 n a Montrer que la suite (v n ) de terme général v n = u n 3 n est une suite arithmético-géométrique b En déduire une expression de u n Exercice 3 ( ) u 0 = Soit (u n ) la suite définie par n N, u n+ = 3u n + u n + On introduit la suite auxiliaire (t n ) de terme général : t n = u n u n + a Montrer que (t n ) est une suite géométrique b En déduire une expression de t n puis de u n Exercice ( ) (des suites récurrentes croisées) Soient (u n ) n et (v n ) n deux suites définies par : u = v = u n+ = u n + v n 3 v n+ = u n + 3v n a Pour tout entier n strictement positif, on pose : w n = v n u n Montrer que (w n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison b Pour tout entier n strictement positif, on pose : t n = 3u n + 8v n Démontrer que la suite (t n ) est constante c Exprimer w n en fonction de n d En déduire une expression explicite de u n et v n en fonction de n e Calculer u, v, u 3 et v 3 à l aide de la relation de récurrence, puis en utilisant le résultat de la question précédente ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud

2 Exercice 5 ( ) On cherche à déterminer toutes les suites (u n ) vérifiant la relation : n N, u n+ 3u n+ + u n = 3 a Déterminer deux réels a et b tels que la suite (v n ) définie par v n = an + b vérifie la relation ci-dessus b Montrer que la suite (z n ) définie par z n = u n v n est d un type bien connu, en déduire la valeur de z n et celle de u n Exercice 6 ( ) u 0 = On considère la suite (u n ) définie par n N, u n+ = u n + a Montrer que la suite (u n ) est bien définie et : n N, u n > b On considère la suite (v n ) définie par v n = ln(u n ) Justifier que (v n ) est bien définie c De quel type est la suite (v n )? d En déduire la formule explicite de u n Exercice 7 ( ) u 0 = On considère la suite (u n ) définie par u = n N, u n+ = u n u n+ a Vérifier que cette suite est bien définie b Donner une expression explicite de u n Comme dans les exercices précédents, on pourra introduire une suite auxiliaire (v n ) bien choisie Définition de la convergence Exercice 8 ( ) Vrai ou Faux? a Si lim u n = +, alors (u n ) n est pas majorée b Une suite croissante à partir d un certain rang est minorée c Si ( u n ) converge alors (u n ) converge d Si ( u n ) tend vers 0 alors (u n ) tend vers 0 e Une suite convergente est monotone à partir d un certain rang f Une suite convergente et majorée est croissante g Une suite divergeant vers + est croissante à partir d un certain rang h Une suite strictement croissante diverge vers + i Une suite strictement décroissante diverge vers j Si (u n ) est croissante et u n v n alors (v n ) est croissante k Si (u n ) tend vers 0 et (v n ) tend vers +, alors on ne peut conclure sur la limite du quotient u n v n (FI) l Si (u n ) est divergente, alors la suite définie par : n N, v n = u n+ u n est divergente m Si (u n ) tend vers l 0 alors : lim u n+ u n = 0 et Exercice 9 ( ) (propriété de recouvrement) Soit (u n ) une suite telle que : (u n ) n N est convergente, de limite l R, (u n+ ) n N est convergente, de limite l R Montrer que (u n ) converge vers l lim u n+ u n = ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud

3 Calculs de limites Exercice 0 ( ) a lim b lim c lim d lim e lim 3n 7 + 5n n 3 n + ( ) n n + 3n n + n e n + e ln n+3 5 n e n ne n n 3 ln n n (ln n) 3 (ln n) + 3n + ln n + 5 Exercice ( ) a lim b lim n ( + ) n n ln Exercice ( ) a lim ( n + 5 n ) n b lim ( + ) n + ( + n ) /n f lim g lim h lim i lim n 3 5n n + n ln n + n e 3n e n + e n n + n n + n n + n 3 n n 3 n + n j lim 3n e 3n k lim n n n! ( ) n + 3 c lim (n 3) ln n + d lim ( n ) n c lim (en + ) n d lim ( + e n ) n n ln n n Théorème de convergence monotone / d encadrement Exercice 3 ( ) (d après EDHEC 00) On considère la suite (u n ) définie par : u 0 = n N, u n+ = u n + u n a Montrer que la suite est bien définie et à termes strictement positifs b En déduire que (u n ) est monotone c Pour tout k de N, exprimer u k+ u k en fonction de u k d En déduire que pour tout n > 0, on a : u n = n + + n k=0 u k e En déduire que pour n non nul, u n n + puis la limite de (u n ) Exercice ( ) a Démontrer : n N, n! n b Démontrer que la suite (S n ) de terme général S n = n un réel l ], 3] k=0 Exercice 5 ( ) a) Démontrer : n N, + n n + n + n b) En déduire un équivalent simple de + n ( c) Déduire de a) la limite de la suite (n + ) ) n n k! converge vers ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud 3

4 Exercice 6 ( ) (d après EDHEC 006 (S)) ) a Montrer que l on définit bien une unique suite (u n ) n, à termes strictement positifs, en posant : u = et, pour tout entier n supérieur ou égal à : u n = n u j n b Vérifier que u = 3, puis calculer u 3 c Écrire en Scilab une fonction de paramètre n qui calcule le terme u n de la suite (u n ) n N ) a Etablir : n, u n+ = n n + u n b En déduire que la suite (u n ) n N est convergente ( ) un c Donner un équivalent de ln lorsque n est au voisinage de +, u n+ ( ) un puis déterminer la nature de la série de terme général ln d En déduire lim ln(u n), puis montrer que lim u n = 0 3) Montrer : n, u n = n n ( n) n Exercice 7 ( ) j= On considère la suite (S n ) définie pour n par : S n = n a Montrer que pour n, on a : b En déduire la limite de la suite (S n ) k= k u n+ ( n + n) n + n c On pose T n = S n n Démontrer à l aide du théorème de convergence monotone que (T n ) converge d Donner un équivalent simple de la suite (S n ) Exercice 8 ( ) Soit x R On considère la suite (u n ) n N de terme général u n = n Déterminer sa limite Suites adjacentes Exercice 9 ( ) On considère la suite définie par : n N, S n = n k= ( ) k+ Démontrer que les suites (S n ) n N et (S n ) n N sont adjacentes En déduire que la suite (S n ) converge Exercice 0 ( ) On considère les suites (u n ) et (v n ) définies par : u n = n k= k! et v n = n Montrer que ces deux suites sont adjacentes k= k k! + n n! Exercice ( ) Soient (u n ) et (v n ) définies par les relations suivantes : u0 = 3 et v 0 = u n+ = 3u n + v n et v n+ = u n + 3v n n k= kx a Étudier la suite (v n u n ) Calculer son terme général en fonction de n, quel est son signe? Donner sa limite b Montrer que (u n ) est croissante et (v n ) est décroissante Que peut-on en déduire? c Étudier la suite (u n + v n ) Que conclure? ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud

5 Suites de la forme u n+ = f(u n ) Exercice ( )(d après ECRICOME 05) On considère la fonction F définie pour tout réel x par : 0 si x < 0, F (x) = e x si x 0 On considère la suite (u n ) n définie par u = et pour tout entier naturel non nul n par : u n+ = F (u n ) a Montrer que pour tout réel x : e x x + Montrer que l égalité a lieu si et seulement si x = 0 b Montrer que pour tout entier naturel n, on a : u n > 0 c Recopier et compléter le programme Scilab suivant qui permet de représenter les cent premiers termes de la suite (u n ) n : U = zeros(,00) U() = 3 for n = : 99 U(n+) = - 5 end 6 plot(u,"+") d Étudier la monotonie de la suite (u n ) n e En déduire que la suite (u n ) n est convergente et déterminer sa limite f À l aide de la question a, montrer successivement que pour tout n N : u n+ u n + u n et + u n+ u n g Montrer par récurrence que pour tout n N : u n n h À l aide de la question g, établir la nature de la série u n Exercice 3 ( ) Soit (u n ) n N la suite définie par u 0 = et u n+ = u n pour tout n N u n + a Démontrer que la suite (u n ) est bien définie (indication : on montrera en particulier que u n > 0 pour tout n) b Démontrer que pour tout n N, u n c Démontrer que la suite (u n ) est monotone d Démontrer que (u n ) converge et déterminer sa limite Exercice ( )(d après EML 06) On considère l application f : [0, + [ R définie, pour tout t de [0, + [, par : t f(t) = t ln(t) si t 0 0 si t = 0 On admet : 0, 69 < ln() < 0, 70 On considère la suite (u n ) n N définie par : u 0 = et n N, u n+ = f(u n ) Montrer que f est continue sur [0, + [ Justifier que f est de classe C sur ]0, + [ et calculer, pour tout t de ]0, + [, f (t) et f (t) 3 Dresser le tableau des variations de f On précisera la limite de f en + Montrer : n N, u n [, ] 5 Montrer que la suite (u n ) n N est croissante 6 En déduire que la suite (u n ) n N converge et déterminer sa limite (on pourra étudier les variations de la fonction t t ln(t)) 7 Écrire un programme en Scilab qui calcule et affiche un entier naturel N tel que u N < 0 ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud 5

6 Exercice 5 ( )(d après EDHEC 003) On se propose d étudier la suite (u n ) n N, définie par la donnée de u 0 = 0 et par la relation, valable pour tout entier naturel n : u n+ = u n + ) a Montrer que, pour tout entier naturel n, on a 0 u n b Étudier les variations de la suite (u n ) n N c En déduire que (u n ) n N converge et donner sa limite ) a Écrire une fonction Scilab qui prend en paramètre un entier n et renvoie la valeur de u n b Écrire un programme, rédigé en Scilab, qui permet de déterminer et d afficher la plus petite valeur de n pour laquelle : 0 < u n < 0 3 3) Pour tout entier naturel n, on pose v n = u n a Pour tout entier naturel k, exprimer v k v k+ en fonction de v k b Simplifier, pour tout entier naturel n non nul, la somme n (v k v k+ ) k=0 c Donner la nature de la série v n ainsi que la valeur de + Exercice 6 ( )(d après ESC 009) n=0 v n ) a Étudier les variations de la fonction h : x x x + On précisera les limites de h aux bornes de son ensemble de définition b En déduire que l équation x x + = 0 admet exactement deux solutions réelles α et β, avec α β c Montrer : α [0, [ et que β > u0 = 0 ) On considère la suite (u n ) n N définie par : n, u n+ = (un) + a Étudier les variations de la fonction g : x x + b Montrer par récurrence : n N, 0 u n u n+ c Montrer que lim u n = α d Écrire un programme en Scilab qui demande un entier n puis qui calcule et affiche la valeur de u n Exercice 7 ( )(d après EML 995) Soit f : [0, + [ R x x ln( + x) On considère la suite définie par : u 0 ]0, + [ et : n N, u n+ = f(u n ) ) a Montrer que f est de classe C sur [0, + [, et calculer, pour tout x [0, + [, f (x) et f (x) b Étudier les variations de f, puis celles de f c Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé ) Résoudre l équation f(x) = x, d inconnue x [0, + [ 3) On suppose dans cette question : u 0 ]e, + [ a Montrer que pour tout n N : e < u n u n+ b En déduire que u n tend vers + lorsque n tend vers + ) On suppose dans cette question que u 0 ]0, e [ Étudier la convergence de la suite (u n ) n N Exercice 8 ( ) u0 R On considère la suite (u n ) définie par : n N, u n+ = exp(u n ) On note f la fonction définie par : f(x) = e x a Montrer que l équation f(x) = x a une unique solution qui est 0 Déterminer le signe de f(x) x Préciser le sens de variation de f On suppose maintenant que u 0 = b Montrer que pour tout entier n, u n u n+ c Montrer que (u n ) n est pas majorée et en déduire sa limite d Monter que si x alors f(x) (e )x e En déduire : n N, u n (e ) n et retrouver la limite de la suite On suppose maintenant que u 0 < 0 f Montrer que pour tout entier n, u n < 0 g En déduire que (u n ) est croissante puis qu elle converge vers 0 ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud 6

7 Exercice 9 ( ) On considère la suite (u n ) n N définie par : u0 = n N, u n+ = ( u n ) On note f la fonction définie sur R par f : x ( x) ) a Etudier les variations de la fonction f b Vérifier que l intervalle [0, ] est stable par f c Déterminer les points fixes de la fonction f d Préciser le sens de variation de la fonction g = f f sur [0, ] ) La suite (u n ) n N est-elle monotone? 3) a Démontrer que (u n ) n N et (u n+ ) n N sont à valeurs dans [0, ] b Démontrer que les suites (u n ) n N et (u n+ ) n N sont monotones Préciser leur monotonie f Déterminer un entier N tel que u N r 0 9 c Justifier que les suites (u n ) n N et (u n+ ) n N sont convergentes On note respectivement l et l les limites des suites (u n ) n N et (u n+ ) n N d La suite (u n ) n N est-elle convergente? e Déterminer l et l Exercice 30 ( ) Soit f : R R une fonction Montrer que tout point fixe de f est un point fixe de f f L implication réciproque est-elle vérifiée? Exercice 3 ( ) u0 = On considère la suite (u n ) définie par : n N, u n+ = ln(u n + ) a Montrer que (u n ) est bien définie et que pour tout n N : u n b Étudier le sens de variation de (u n ) c En déduire que (u n ) est convergente vers une limite l telle que : l IAF pour l étude des suites du type u n+ = f(u n ) Exercice 3 ( ) Soit la suite la suite (u n ) par : On pose f(x) = x + u0 = 0 n N, u n+ = u n + a Montrer que [0, ] est stable par f et : x [0, ], f (x) b Déterminer les points fixes de f Notons r l unique point fixe dans [0, ] c Montrer que n N, 0 u n d Montrer que n N, u n+ r u n r puis que u n r n e Montrer que (u n ) converge et déterminer sa limite g Écrire un programme Scilab donnant une valeur approchée de r à 0 9 près Exercice 33 ( ) On considère la fonction f : x e x u0 [0, ] On définit la suite (u n ) par : n N, u n+ = f(u n ) Montrer que l équation f(x) = x admet une unique solution dans [0, ], que l on notera α Montrer que l intervalle [0, ] est stable par f En déduire : n N, u n [0, ] 3 a) Montrer : x [0, ], f (x) e b) En déduire : n N, u n+ α e u n α ( ) c) Puis : n N, u n α n e d) En déduire enfin que (u n ) est convergente et déterminer sa limite Écrire un programme Scilab donnant une valeur approchée de α à 0 près ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud 7

8 Exercice 3 ( ) Soit f : x x et (u n) la suite définie par : a Calculer u u0 = n N, u n+ = f(u n ) b Déterminer les limites possibles de la suite c Démontrer que f ([ 0, 7 ]) [ 6 0, 7 6] d En déduire que pour tout n, u n [ 0, 6] 7 e Démontrer que pour tout n N, u n+ 7 8 u n f En déduire que pour tout n N, un ( 7 n 7 8) 6 g En déduire la limite de (u n ) Exercice 35 ( )(d après EML 00) On considère la fonction f : x x e x sur ]0, + [ a) Calculer f (x) b) Montrer : x ]0, + [, f e x (x) = (e x ) 3 (xex e x + x + ) c) Étudier les variations de la fonction g : [0, + [ R définie, pour tout x de [0, + [, par : g(x) = xe x e x + x + En déduire : x ]0; + [, f (x) > 0 d) En déduire le sens de variation de f (on admettra que f (x) x 0 + ) On précisera la limite de f en + Dresser le tableau de variation de f u0 = e) On considère la suite (u n ) par : n N, u n+ = f(u n ) Montrer : x ]0, + [, f (x) et 0 f(x) f) Résoudre l équation f(x) = x, d inconnue x ]0, + [ g) Montrer : n N, u n+ ln() u n ln() ( ) n h) En déduire : n N, u n ln() u 0 ln() i) Établir que la suite (u n ) n>0 converge et déterminer sa limite Exercice 36 ( )(d après EML 0) On considère l application ϕ : x e x xe x sur ]0, + [ On admet : < e < 3 Montrer que ϕ est de classe C 3 sur ]0, + [ Calculer pour tout x de ]0, + [, ϕ (x) et ϕ (x), et montrer : x ]0, + [, ϕ (x) = e x + 3x + x 5 Étudier le sens de variation de ϕ et calculer ϕ () En déduire le sens de variations de ϕ, et montrer : x ]0, + [, ϕ (x) e 3 Déterminer la limite de ϕ(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives Déterminer la limite de ϕ(x) lorsque x tend vers +, et la limite de ϕ(x) x lorsque x tend vers + 5 On admet : 5 < ϕ(3) < 6 Montrer : x [3, + [, ϕ(x) ex On considère la suite réelle (u n ) n N définie par u 0 = 3 et n N, u n+ = ϕ(u n ) 6 Montrer que, pour tout n de N, u n evxiste et u n 3e n 7 Montrer que la suite (u n ) n N est strictement croissante et que u n tend vers + lorsque l entier n tend vers + 8 Écrire un programme Scilab qui calcule et affiche le plus petit entier entier naturel tel que : u n Quelle est la nature de la série de terme général? u n e x ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud 8

9 Suites implicites Exercice 37 ( ) On définit sur R + la fonction f par : f(x) = x + ln x a Dresser le tableau de variations de f b Montrer que l équation f(x) = n a une unique solution dans R + On la note u n c Montrer que la suite (u n ) est croissante Exercice 38 ( ) Pour tout entier naturel n, on définit l équation (E n ) par : ln (x + n) = n x a Montrer que, pour tout entier naturel n, l équation (E n ) admet une unique solution dans ]0, + [, notée u n b Déterminer u 0 c Pour tout entier naturel n, on note f n la fonction définie sur ]0, + [ par f n : x ln(x + n) n x Démontrer : n N, x > 0, f n+ (x) f n (x) < 0 En déduire que la suite (u n ) n N est monotone d Démontrer que la suite (u n ) n N est divergente, puis montrer : lim u n n = 0 e En déduire un équivalent de u n lorsque n tend vers + Exercice 39 ( )(d après EDHEC 008) Pour tout entier naturel n non nul, on considère f n : x + nx On + ex appelle (C n ) sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O, i, j ) ) a Déterminer, pour tout réel x, f n(x) et f n(x) b En déduire que la fonction f n est strictement croissante sur R ) a Calculer lim f n(x) ainsi que lim f n(x) x x + b Déterminer les coordonnées du seul point d inflexion, noté A n, de (C n ) c Donner l équation de la tangente (T ) à la courbe (C ) en A puis tracer la droite (T ) ainsi que l allure de la courbe (C ) 3) a Montrer que l équation f n (x) = 0 possède une seule solution sur R, notée u n b Montrer que l on a : n N, n < u n < 0 c En déduire la limite de la suite (u n ) d En revenant à la définition de u n, montrer que u n n Exercice 0 ( ) On considère les fonctions f n : x x n + x pour n N a Soit n N Démontrer que l équation f n (x) = 0 admet une unique solution x n ]0, [ On s intéresse maintenant à la suite (x n ) b Démontrer que, pour tout n > 0 : f n+ (x n ) < f n+ (x n+ ) En déduire : n > 0, x n < x n+ c Démontrer que (x n ) converge et que sa limite l est telle que 0 < l d Démontrer : n > 0, x n l e En procédant par l absurde, montrer que l = ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud 9

10 Exercice ( )(d après EML 99) ) On considère la fonction f définie sur [0, ] par f(x) = x e x a Etudier les variations de la fonction f b Montrer que f admet une fonction réciproque que l on notera g c Dresser le tableau de variations de g d La fonction g est-elle dérivable en 0? En e? ) a Pour tout entier n tel que n, montrer que l équation, d inconnue x : f(x) = n, admet une unique solution dans le segment [0, ] On notera a n cette solution b Montrer que la suite (a n ) n est décroissante c Montrer que la suite (a n ) n converge vers 0 Exercice ( ) On définit pour tout n N la fonction f n par : f n (x) = x 5 + n x a Faire l étude de la fonction f n b Montrer que pour tout n, il existe une unique solution à l équation f n (x) = 0 On la notera u n c Montrer que n N, 0 u n n ( ): application directe du cours, ( ): pas de difficulté majeure, ( ): plus difficile, ( ): costaud 0