Seconde Exercices pour préparer la composition du premier trimestre

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1 EXERCICE 1 Pour une unité choisie, [AB] est un segment tel que AB = 11 et M est un point de ce segment. Du même côté de la droite (AB), on construit deux carrés, l un de côté AM A et l autre M de côté BM. On pose AM = x, avec 0 < x < 11. 1) a) Calculer, en fonction de x, les aires A 1 et A 2 de ces deux carrés. b) Démontrer que A 1 + A 2 = 2x² - 22x ) On cherche à déterminer x pour que la somme de ces deux aires soit égale à 73. Montrer que l on doit alors résoudre l équation (E) : x² = 11x 24, avec 0 < x < 11 B 3) Le but de cette question est de résoudre graphiquement l équation (E). On note I l intervalle [0 ;11]. a) Dans un même repère orthogonal (O ; I, J) tel que l unité est 1 cm sur l axe des abscisses et 0,1 cm sur l axe des ordonnées, tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur I par f(x) = x² et celle de la fonction g définie sur I par g(x) = 11 x 24 y O page : 1 / x 14

2 b) Ces deux courbes se coupent-elles? Si oui, en combien de points? Expliquer pourquoi les abscisses de ces points sont les solutions de l équation (E). Lire graphiquement ces abscisses. 4) Montrer que l équation (E) équivaut à : (x 3)(x 8) = 0 avec 0 < x < 11 Résoudre (E). 5) Conclure. EXERCICE 2 On donne ci-après la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = 3x + 4 x - 2. page : 2 / 14

3 ) Déterminer graphiquement l image par f de 0 et de -3. 2) Résoudre graphiquement l équation f(x) = 0 3) Déterminer graphiquement l antécédent de 2 par f, puis retrouver ce résultat par le calcul. EXERCICE 3 ABC est un triangle équilatéral de côté 12 cm. On construit le rectangle MNPQ tel que M et N soient des points de [AB], Q est un point de [AC] et P un point de [BC]. En outre, AM = NB = x I est le milieu de [AB]. 1) Pourquoi x est-il compris entre 0 et 6? 2) Montrer que MN = 12-2x et MQ = 3 x (On rappelle que tan 60 = 3) 3) On note A la fonction qui, à toute valeur de x, associe l aire A(x) du rectangle MNPQ. Montrer que A(x) = 12 3 x 2 3 x² 4) A l aide d une calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant (à 10-1 près): x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 f(x) 5) Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction A entre 0 et 6 dans le repère suivant page : 3 / 14

4 6) Etablir le tableau de variation de la fonction A. 7) Pour quelle valeur de x, MNPQ est-il un carré? Calculer la valeur exacte de l aire correspondante. EXERCICE 4 On considère un carré ABCD de côté 8 cm. AM = BN = CP = DQ = x 1) Pourquoi x est-il compris entre 0 et 8? 2) On note A la fonction qui, à toute valeur de x, associe l aire A(x) du carré MNPQ. Montrer que A(x) = 2(x - 4)² ) A l aide d une calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant : x A(x) 4) Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction A entre 0 et 8 dans le repère suivant page : 4 / 14

5 EXERCICE 5 On donne ci-contre les courbes représentatives d une fonction f et d une fonction affine g. 1. Donner le domaine de définition de f. 2. Déterminer graphiquement l image de 5 par la fonction f. Donner f(-3). 3. Déterminer les antécédents de 0 par la fonction f. Déterminer les antécédents de -5 par la fonction f. 4. Résoudre graphiquement l équation f(x) = 3 EXERCICE 6 f et g sont deux fonctions ; C f et C g leurs courbes représentatives dans un repère du plan. On donne f(x) = (x 4)(-3x 5) + x² - 16 g(x) = (4x 3)² - (2x 4)² 1) Factoriser f(x) 2) Factoriser g(x) 3) Calculer les abscisses des points d intersection de C f et de C g. page : 5 / 14

6 EXERCICE 1 Pour une unité choisie, [AB] est un segment tel que AB = 11 et M est un point de ce segment. Du même côté de la droite (AB), on construit deux carrés, l un de côté AM et l autre de côté BM. On pose AM = x, avec 0 < x < 11. 1) a) Calculer, en fonction de x, les aires A 1 et A 2 de ces deux carrés. A 1 = AM² = x² A 2 = BM² = (11 x)² b) Démontrer que A 1 + A 2 = 2x² - 22x A 1 + A 2 = x² x + x² = 2x² - 22x ) On cherche à déterminer x pour que la somme de ces deux aires soit égale à 73. Montrer que l on doit alors résoudre l équation (E) : A 1 + A 2 = 73 2x² - 22x = 73 2x² = 22x x² = 22x 48 x² = 11x - 24 x² = 11x 24, avec 0 < x < 11 page : 6 / 14

7 3) Le but de cette question est de résoudre graphiquement l équation (E). On note I l intervalle [0 ;11]. a) Dans un même repère orthogonal (O ; I, J) tel que l unité est 1 cm sur l axe des abscisses et 0,1 cm sur l axe des ordonnées, tracer la courbe représentative de la fonction f définie sur I par f(x) = x² et celle de la fonction g définie sur I par g(x) = 11 x 24 page : 7 / 14

8 b) Ces deux courbes se coupent-elles? Si oui, en combien de points? Expliquer pourquoi les abscisses de ces points sont les solutions de l équation (E). Lire graphiquement ces abscisses. Les courbes se coupent en deux points. Les abscisses de ces points vérifient l équation f(x) = g(x) ; c est-à-dire l équation (E) : x² = 11x 24 4) Montrer que l équation (E) équivaut à : (x 3)(x 8) = 0 avec 0 < x < 11 Résoudre (E). (x 3)(x 8) = 0 x² -3x 8x + 24 = 0 x² - 11x + 24 = 0 x² = 11x 24 Soit l équation (E) Un produit est nul si au moins un des facteurs est nul. (x 3)(x 8) = 0 x = 3 ou x = 8 S ={3 ;8} 5) Conclure. La somme des aires des deux carrés est égale à 73 pour x = 3 ou x = 8. page : 8 / 14

9 EXERCICE 2 On donne ci-après la courbe représentative de la fonction f définie par f(x) = 3x + 4 x ) Déterminer graphiquement l image par f de 0 et de -3. Les images sont lues sur l axe des ordonnées. L image par f de 0 est -2. L image par f de -3 est 1. 2) Résoudre graphiquement l équation f(x) = 0. On lit l abscisse du point d intersection de la courbe avec l axe des abscisses. f(x) = 0 pour x -1,4 page : 9 / 14

10 3) Déterminer graphiquement l antécédent de 2 par f, puis retrouver ce résultat par le calcul. L antécédent de 2 par f est -8 f(x) = 2 3x + 4 x 2 = 2 3x + 4 = 2(x 2) et x 2 3x -2x = -4 4 x = -8 EXERCICE 4 On considère un carré ABCD de côté 8 cm. AM = BN = CP = DQ = x 1) Pourquoi x est-il compris entre 0 et 8? Le point M appartient au segment [AB] donc AM= x est compris entre 0 et 8 ( = AB) 2) On note A la fonction qui, à toute valeur de x, associe l aire A(x) du carré MNPQ. Montrer que A(x) = 2(x - 4)² + 32 En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle AMQ rectangle en A, on a : MQ² = AM² + AQ² MQ² = x² + (8-x)² = x² x + x² = 2x² - 16x (x-4)² + 32 = 2(x² - 8x + 16) + 32 = 2x² - 16x + 64 Donc A(x) = MQ² = 2(x-4)² ) A l aide d une calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant : x A(x) ) Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction A entre 0 et 8 dans le repère suivant. page : 10 / 14

11 EXERCICE 4 ABC est un triangle équilatéral de côté 12 cm. On construit le rectangle MNPQ tel que M et N soient des points de [AB], Q est un point de [AC] et P un point de [BC]. En outre, AM = NB = x I est le milieu de [AB]. 1) Pourquoi x est-il compris entre 0 et 6? M [AI] et AI = 6 Donc x = AM est compris entre 0 et 6. 2) Montrer que MN = 12-2x et MQ = 3 x (on rappelle que tan 60 = 3) MN = AB AM NB = 12 x x = 12 2x Dans le triangle QAM rectangle en M : tan tan 60 = MQ x MQ = x 3 QAM a = QM AM page : 11 / 14

12 3) On note A la fonction qui, à toute valeur de x, associe l aire A(x) du rectangle MNPQ. Montrer que A(x) = 12 3 x 2 3 x² A(x) = MN MQ = (12 2x) (x 3) A(x) = 12 3x 2 3x² 4) A l aide d une calculatrice, compléter le tableau de valeurs suivant (à 10-1 près): x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 A(x) 0 9,5 17,3 23,3 27,7 30,3 31,2 30,3 27,7 23,3 17,3 9,5 0 5) Tracer avec soin, la courbe représentative de la fonction A entre 0 et 6 dans le repère suivant. 6)) Pour quelle valeur de x, MNPQ est-il un carré? Calculer la valeur exacte de l aire correspondante. On a un carré si MN = MQ Soit 12 2x = 3x Soit x( 3 + 2) = 12 Soit x = = 12(2 3) = (2 + 3)(2-3) La valeur de l aire correspondante est MQ² = 3x² Soit 3 [12 (2-3])² = 432( ) = 432(7 4 3) page : 12 / 14

13 EXERCICE 5 On donne ci-contre les courbes représentatives d une fonction f et d une fonction affine g. 1. Donner le domaine de définition de f. [-9 ;9] 2. Déterminer graphiquement l image de 5 par la fonction f. Donner f(-3). f(5) = 3 et f(-3) = 3 3. Déterminer les antécédents de 0 par la fonction f. Déterminer les antécédents de -5 par la fonction f. Les antécédents de 0 sont -9 ; -2 et 4 Les antécédents de -5 sont -0,7 et 2 4. Résoudre graphiquement l équation f(x) = 3 On lit les abscisses des points d ordonnée 3 de la courbe représentant f : c'est-à-dire : - 8 ;-3 et 5. EXERCICE 6 f et g sont deux fonctions ; C f et C g leurs courbes représentatives dans un repère du plan. On donne f(x) = (x 4)(-3x 5) + x² - 16 g(x) = (4x 3)² - (2x 4)² 1) Factoriser f(x) f(x) = (x 4)(-3x 5) + (x + 4)(x 4) = (x 4)[(-3x 5) + (x + 4)] 2) Factoriser g(x) = (x 4)(-2x 1) page : 13 / 14

14 g(x) = [(4x 3) + (2x 4)][(4x 3) (2x 4)] = (6x 7)(2x + 1) 3) Calculer les abscisses des points d intersection de C f et de C g. Ce sont les solutions de l équation f(x) = g(x) F(x) = g(x) (6x 7)(2x + 1) = (-2x 1)(x 4) (2x + 1)(6x 7 + x 4) = 0 (2x + 1)(7x 11) = 0 x = ou x = 2 7 Les abscisses des points sont et page : 14 / 14

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