AL3. Séance 2 : Produits tensoriels. Matrices. Déterminants. 12 septembre ENS Rennes

Transcription

1 AL3 Séance 2 : Produits tensoriels. Matrices. Déterminants. ENS Rennes 12 septembre 2018

2 Séance précédente Structures : Espace vectoriel, sous-espace vectoriel Applications linéaires Sommes de sous-espaces Quotients d espaces vectoriels Dualité

3 Définition 2.1 Applications bilinéaires Soient E, F, E des K -espaces vectoriels. Une application b : E F E est dite bilinéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses variables. Exemple Un produit scalaire est une application bilinéaire. Si E est un K -espace vectoriel, la multiplication scalaire K E E est bilinéaire. Si A est une K -algèbre, la multiplication A A A est bilinéaire (par exemple, A = K [X]). Si b : E F E est bilinéaire, et u L(E, E ), v L(F, F ), alors (x, y) b(u(x), v(y)) est bilinéaire.

4 Produit tensoriel Théorème 2.1 (Propriété universelle du produit tensoriel) Soient E, F des K -espaces vectoriels. Il existe un espace vectoriel noté E F, et une application bilinéaire E F E F, notée, tels que : Pour tout K -espace vectoriel G et toute application bilinéaire b : E F G, il existe une unique application linéaire b : E F G tels que pour tout (x, y) E F, b(x y) = b(x, y).

5 Produit tensoriel : construction (I) On se fixe E, F des K -espaces vectoriels. K (E F ) a une base indexée par E F. Toute application E F K définit une application linéaire sur K (E F ). On construit un sous-espace vectoriel T de K (E F ) de sorte que toute application bilinéaire de source E F soit nulle sur T.

6 Produit tensoriel : construction (II) On va construire un sous-espace vectoriel T de K (E F ) de sorte que toute application bilinéaire soit nulle sur T. Pour (x, y), (x, y ) E F et λ K, on pose et α x,y,λ = (λx, y) λ(x, y) β x,y,λ = (x, λy) λ(x, y) γ x,x,y = (x + x, y) (x, y) (x, y) δ x,y,y = (x, y + y ) (x, y) (x, y ), T = Vect{α x,y,λ, β x,y,λ, γ x,x,y, δ x,y,y (x, y), (x, y ) E F, λ K }.

7 Produit tensoriel : construction (III) E F := K (E F ) /T Pour (x, y) E F, x y désigne l image de (x, y) par l application composée : E F K (E F ) E F = K (E F ) /T. Cette application est bilinéaire.

8 Preuve de la propriété universelle du produit tensoriel Soit b : E F G, bilinéaire. b définit une application linéaire B : K (E F ) G. Pour tout t T, B(t) = 0. B définit une application linéaire b : E F G qui vérifie b(x y) = b(x, y). b est unique.

9 Produit tensoriel d applications linéaires Proposition 2.2 Soient E, E, F, F des K -espaces vectoriels. Soient u : E E et v : F F linéaires. Alors il existe une unique application linéaire : u v : E F E F telle que pour tout (x, y) E F, (u v)(x y) = u(x) v(y).

10 Proposition 2.3 Base du produit tensoriel Soient E, F deux K -espaces vectoriels. Soit (e i ) i I (resp. (f j ) j J ) une base de E (resp. de F). Alors est une base de E F. Corollaire 2.4 {e i f j (i, j) I J} Soient E, F des K -espaces vectoriels de dimension finie, alors Corollaire 2.5 dim(e F) = dim E dim F. Soient E, F deux K -espaces vectoriels de dimension finie, alors (E F) E F.

11 Exemple : associativité Proposition 2.6 Soient E, F, G des K -espaces vectoriels. Il existe un unique isomorphisme de K -espaces vectoriels : θ : (E F) G E (F G) tel que pour tout (x, y, z) E F G, θ((x y) z) = x (y z).

12 Exemples de produits tensoriels Si X, Y sont des espaces topologiques, C(X) C(Y ) s identifie à un sous-espace de C(X Y ). Si X et Y sont compacts, alors C(X) C(Y ) = C(X Y ). (Extension des scalaires) Si E est un R-espace vectoriel, alors E C = C E est un C-espace vectoriel et u id u identifie L(E) à un sous-espace vectoriel de L(E C ) (les applications linéaires définies sur R ).

13 Matrices Définition 2.2 Soit A un anneau commutatif unitaire, et soient m, n N. On note M n,m (A) l ensemble des tableaux à n lignes et m colonnes dont les entrées sont des éléments de A. On munit M n,m (A) de l addition coefficient par coefficient. Proposition 2.7 C est un groupe. Si K est un corps, M n,m (K ) est un K -espace vectoriel pour la multiplication scalaire coefficient par coefficient.

14 Produit matriciel Définition 2.3 Soient n, m, r N. On définit le produit : M n,m (A) M m,r (A) M n,r (A) par la formule qui donne le coefficient en position (i, j) : c i,j = On note M n (A) = M n,n (A). Proposition 2.8 m a i,k b k,j. k=1 Le groupe M n (A) est une A-algèbre unitaire.

15 Matrices et applications linéaires (I) Soient E, E des K -espaces vectoriels de dimension finie, soient B = (e i ) 1 i m et B = (e j ) 1 j n des bases respectives de E et E. Soit u : E E linéaire. Définition 2.4 On appelle matrice de l application linéaire u dans les bases B, B la matrice Mat B,B (u) M n,m (K ) de coefficient générique a i,j où u(e j ) = n i=1 a i,je i pour 1 j m.

16 Matrices et applications linéaires (II) Proposition 2.9 Soient E, E des K -espaces vectoriels de bases respectives B, B. L application : est un isomorphisme. L(E, E ) M n,m (K ) u Mat B,B (u) Quand E = E, cet isomorphisme est aussi compatible avec la multiplication. En particulier, u Mat B (u) est un isomorphisme d algèbres.

17 Évaluer une application linéaire en un vecteur Soit E un K -espace vectoriel de dimension n. E L(K, E). En choisissant une base de E, E M n,1 (K ) : X = Mat B (x) Lemme 2.10 Soient E, E de dimension finie, u L(E, E ), B, B des bases de E, E, x E et y = u(x). Alors : Y = MX, où Y = Mat B (y), M = Mat B,B (u) et X = Mat B (x).

18 Changement de base Soit E de dimension finie. Soient B, B deux bases de E. Définition 2.5 On appelle matrice de passage de B à B la matrice Proposition 2.11 P B B = Mat B,B(Id). Soit x E, X = Mat B (x) et X = Mat B (x), alors : X = PX. Corollaire 2.12 Soit u L(E), soient M = Mat B (u), M = Mat B (u) et P = P B B. Alors : M = P 1 MP.

19 Calcul matriciel : exemples Soit E = K [X] <3 muni de sa base canonique (1, X, X 2 ) La dérivation a pour matrice L évaluation en 0 a pour matrice ( ). P P (0) a pour matrice ( ).

20 Soit E = K 2 ( muni de sa) base ( canonique, ) u, v de matrices a1,1 a respectives 1,2 b1,1 b et 1,2. a 2,1 a 2,2 b 2,1 b 2,2 Alors, dans la base (e 1 e 1, e 2 e 1, e 1 e 2, e 2 e 2 ), u v a pour matrice : a 1,1 b 1,1 a 1,2 b 1,1 a 1,1 b 1,2 a 1,2 b 1,2 ( ) a 2,1 b 1,1 a 2,2 b 1,1 a 2,1 b 1,2 a 2,2 b 1,2 a 1,1 b 2,1 a 1,2 b 2,1 a 1,1 b 2,2 a 1,2 b 2,2 = b1,1 A b 1,2 A. b 2,1 A b 2,2 A a 2,1 b 2,1 a 2,2 b 2,1 a 2,1 b 1,2 a 2,2 b 2,2

21 Applications multilinéaires Définition 2.6 Soient E 1,..., E r, E des K -espaces vectoriels. Une application r-linéaire E 1 E r E est une application linéaire par rapport à chacune des variables. Remarque Il y a un isomorphisme naturel : L r (E 1 E r, E ) L(E 1 E r, E ).

22 Applications multilinéaires alternées Définition 2.7 Une application r-linéaire f : E E E est dite alternée si pour tous 1 i < j r, Proposition 2.13 f (x 1,..., x i,..., x i,..., x r ) = 0 Soit f r-linéaire sur E r alternée, alors pour tout σ S r, f (x σ(1),, x σ(r) ) = ε(σ)f (x 1,, x r ). Remarque La réciproque est vraie en caractéristique différente de 2.

23 Puissance extérieure Soit S r le sous-k -espace vectoriel de E E engendré par les éléments de la forme x 1 x r pour lesquels il existe i j tels que x i = x j. Lemme 2.14 Soit f : E r E r-linéaire, alors f est alternée si et seulement si l application induite par f sur E r est nulle sur S r. On définit la r-ème puissance extérieure Λ r E = (E E)/S r. On note x 1 x r l image de x 1 x r dans ce quotient. Proposition 2.15 Il y a un isomorphisme naturel entre l espace des applications r-linéaires alternées de E r vers E, et L(Λ r E, E ).

24 Puissance extérieure : bases Théorème 2.16 Soit E un K -espace vectoriel de dimension n et (e 1,..., e n ) une base de E. Alors une base de Λ r E est donnée par les éléments de la forme e i1 e ir, où 1 i 1 < < i r n. On suppose que K est de caractéristique différente de 2. Corollaire 2.17 Si E est un K -espace vectoriel de dimension n, alors ( ) n dim Λ r E =. r

25 Déterminant Définition 2.8 Une forme r-linéaire alternée sur E r est une application r- linéaire alternée à valeurs dans K. De manière équivalente, c est la donnée d un élément de (Λ r E). On suppose que K est de caractéristique différente de 2. Corollaire 2.18 Soit E un K -espace vectoriel de dimension n, alors l espace des formes n-linéaires alternées sur E est de dimension 1. On fixe une base B = (e 1,..., e n ) de E, il existe une unique forme n-linéaire alternée sur E prenant la valeur 1 en (e 1,..., e n ). On l appelle déterminant en base B, noté det B.

26 Déterminants, familles libres et bases Lemme 2.19 Soit (x 1,..., x r ) E r. Si la famille (x 1,..., x r ) est liée, alors Proposition 2.20 x 1 x r = 0. Soit E de dimension n et (x 1,..., x n ) E n. Soit B une base de E, alors les assertions suivantes sont équivalentes : (i) det B (x 1,..., x n ) 0 (ii) x 1 x n 0 (iii) (x 1,..., x n ) est une base de E

27 Définition 2.9 Déterminant d une application linéaire Soit u : E E, on définit Λ r u : Λ r E Λ r E par la formule : Lemme 2.21 (Λ r u)(x 1 x r ) = u(x 1 ) u(x r ). Soient u, v L(E), et r 0, alors Λ r (u v) = Λ r u Λ r v. Définition 2.10 Soit E un K -espace vectoriel de dimension n et u L(E), alors on définit det(u) = Λ n u. Proposition 2.22 Si B = (e 1,..., e n ) est une base de E, det B (u(e 1 ),..., u(e n )) = det(u).

28 Déterminant d une matrice Définition 2.11 Soit M M n (K ), et soit u : K n K n l endomorphisme canoniquement associé à M. On définit det(m) = det(u). Proposition 2.23 Soient M, N GL n (K ), alors det(mn) = det(m)det(n). Proposition 2.24 Soit M M n (K ) et P GL n (K ), alors det(p 1 MP) = det(m).

29 Cofacteurs, formule de la comatrice Définition 2.12 Soit M M n (K ), soient 1 i, j n, on appelle cofacteur d indice (i, j) le déterminant de la matrice obtenue en ôtant la i-ème ligne et la j-ème colonne de M, noté c i,j (M). Définition 2.13 La comatrice de M M n (K ) est la matrice dont le coefficient (i, j) est ( 1) i+j c i,j (M). On la note com(m). Proposition 2.25 Soit M M n (K ), alors t com(m)m = det(m)i n.

30 Actions naturelles sur les espaces de matrices On dispose d une action naturelle de GL n (K ) GL m (K ) sur M n,m (K ) : (P, Q) M := PMQ 1. Définition 2.14 Deux matrices d une même orbite pour cette action sont dites équivalentes. On en déduit une action naturelle de GL n (K ) sur M n (K ) : P M := PMP 1. Définition 2.15 Deux matrices d une même orbite pour cette action sont dites semblables.

31 Actions naturelles et changements de base Proposition 2.26 Soient M, N M m,n (K ). Soit u : K n K m l application linéaire canoniquement associée à M. Alors N est équivalente à M si et seulement s il existe des bases B, B respectives de K n, K m telles que N = Mat B,B (u). Proposition 2.27 Soient M, N M n (K ). Soit u : K n K n l application linéaire canoniquement associée à M. Alors N est semblable à M si et seulement s il existe une base B de K n telle que N = Mat B (u).

32 Algorithme du pivot de Gauss Définition 2.16 Les opérations élémentaires sur les lignes d une matrice sont les opérations consistant à : échanger deux lignes, ajouter un multiple d une ligne dans un autre ligne, multiplier une ligne par un scalaire. On définit de même les opérations élémentaires sur les colonnes.

33 Proposition 2.28 Classification à équivalence près Soit M M m,n (K ), alors M est équivalente à une unique matrice de la forme : ( ) Ir 0, 0 0 où r min{m, n}. Plus précisément, l entier r est le rang de M. Corollaire 2.29 Deux matrices de mêmes dimensions sont équivalentes si et seulement si elles ont le même rang. Remarque La classification à similitude près est nettement plus délicate. C est (entre autres) l objet de la théorie de la réduction des endomorphismes.

34 Pivot de Gauss, image et noyau d une application linéaire But : déterminer une base de l image et du noyau d une application linéaire en utilisant l algorithme du pivot de Gauss Proposition 2.30 Soit M M m,n (K ). Soit Q GL n (K ) telle que la matrice MQ soit échelonnée en colonnes. On suppose que N = MQ a ses r premières colonnes non nulles (et les n r dernières nulles). Alors : une base de l image de M est donnée par les r premières colonnes de N ; une base du noyau de M est donnée par les n r dernières colonnes de Q.

35 Calcul de l image et du noyau : exemple Exercice : déterminer une base de l image et du noyau de M = Base de Im(M) : 1, Base de ker(m) : 1 1

36 Pivot de Gauss, somme et intersection de sous-espaces But : déterminer une base de la somme et de l intersection de sous-espaces. On rappelle que E 1 + E 2 est l image de l application (x 1, x 2 ) x 1 + x 2. Le noyau de cette application est constitué des éléments de la forme (x, x) pour x E 1 E 2. Proposition 2.31 On peut déterminer des bases de la somme et de l intersection des sous-espaces E 1, E 2 en appliquant l algorithme du pivot de Gauss à la matrice dont les colonnes sont des familles génératrices de E 1, E 2 écrites dans une même base.