Bases du traitement des images. Détection de contours. Nicolas Thome. 19 octobre Plan Modélisation Filtrage Approches continues Post-Traitements

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1 Détection de contours Nicolas Thome 19 octobre / 61

2 Introduction Rôle primordial de la détection de contours en vision 1 Réduction d'information Information de toute l'image résumée dans le contours des diérents objets. Contours : parties les plus informatives d'une image. On a longtemps cru que l'ensemble de la tâche de vision pouvait être résolue uniquement à partir des contours. 2 Préalable nécessaire à l'extraction d'autres primitives (droites, segments, cercles) 3 Les données biologiques confortent l'importance des contours dans le système de vision Les premières couches des systèmes de vision des mamifères eectuent des traitements de détection de contours. 2 / 61

3 Introduction Détection de contours : applications 1 Reconnaissance d'objets, de formes, classications de scènes 2 Mise en correspondance : calibration, reconstruction 3d 3 Compression 3 / 61

4 Introduction applications : mise en correspondance Reconstruction 4 / 61

5 Introduction applications : mise en correspondance Classication 5 / 61

6 Introduction applications : Description des formes Reconnaissance d'objets 6 / 61

7 Plan du cours 1 Modélisation des contours - formulation du problème de détection 2 Résolution : Approches basées ltrage (diérences nies) Filtrage du premier ordre Filtrage second ordre 3 Résolution : Approches continues (ltrage optimal) 4 Post-traitement : de l'image dérivée aux contours seuillage et chaînage. 7 / 61

8 Modèle de Contour Plusieurs modèles de contours 8 / 61

9 Modèle de Contour Modèle le plus courant : Marche d'escalier. En 1d : Dérivée première maximale sur le contour Dérivée seconde nulle sur le contour 9 / 61

10 Modèle de Contour image f (x, y). Contour : lieu des fortes variations de f Gradient de f : f = ( G = f x f y ) T (1) Module du gradient de f : G = f = 2 f + f 2 x y (2) Direction du gradient de f : f g = f (3) 10 / 61

11 Modèle de Contour Dénition du Contour Lieu des maxima du gradient dans la direction g du gradient f g = 0 et 2 f g < 2 0 (4) avec g = g f L'équation obtenue est complexe et non linéaire : 2 f x f + f 2 + f 2 x x y y f + f 2 = 0 (5) y x y 11 / 61

12 Modèle de Contour Dénition du Contour Lieu des maxima du gradient dans la direction g du gradient g normal à la surface dénie par f (x, y) 12 / 61

13 Modèle de Contour Dénition du Contour Lieu des maxima du gradient dans la direction g du gradient Contour vertical 13 / 61

14 Modèle de Contour Dénition du Contour Lieu des maxima du gradient dans la direction g du gradient Contour horizontal 14 / 61

15 Modèle de Contour Dénition du Contour Lieu des maxima du gradient dans la direction g du gradient Contour oblique 15 / 61

16 Plan du cours 1 Modélisation des contours - formulation du problème de détection 2 Résolution : Approches basées ltrage (diérences nies) Filtrage du premier ordre Filtrage second ordre 3 Résolution : Approches continues (ltrage optimal) 4 Post-traitement : de l'image dérivée aux contours seuillage et chaînage. 16 / 61

17 Résolution du problème : Approches basées ltrage Approches discrètes : approximations par diérences nies 1 Approches du 1 er ordre approximations du gradient 2 Approches du 2 nd ordre approximations du Laplacien 17 / 61

18 Approximations discrètes du gradient 1 approximations discrète du gradient par diérences nies ltres de convolution (masques) 2 Calcul de la norme q f L2 : 2 + f 2 x y, L1 : f + f, etc x y Maxima locaux dans la direction du gradient 3 Suppression de non maxima 4 Seuillage 5 Chainage 18 / 61

19 Approximations discrètes du gradient approximation du gradient f = ( x f ; y f ) T x f f (x, y) f (x 1, y) ( y f f (x, y) f (x, y 1)) x f f (x + 1, y) f (x 1, y) Roberts (gradients à π 4 ) : 1f f (x + 1, y + 1) f (x, y) ( 2 f f (x, y + 1) f (x + 1, y) ) Autre masques : Prewitt, Sobel etc. 19 / 61

20 Approximations discrètes du gradient De nombreux autres masques : Kirsch Gradient retenu : max i { H i I }, i {0; 7} Orientation retenue : π 4 arg max i { H i I }, i {0; 7} 20 / 61

21 Approximations discrètes du gradient Sobel : masque le plus couramment utilisé 1 Gradient avec Sobel G x = et Gy = Module du gradient G = Gx 2 + Gy 2 4 Orientation du gradient de : θ = arctan ( G y G x ) source G θ 21 / 61

22 Approximations discrètes du gradient Obtention d'une carte binaire des contours f 2 Calcul norme L2 : x + f 2 y ou L1 : f + f x y Post-traitement (voir partie consacrée) Maxima locaux dans la direction du gradient Seuillage 22 / 61

23 Approximations discrètes du gradient Carte binaire des contours : exemple avec Sobel Seuil haut : contours pertinents détectés, mais beaucoup de bruit Contours épais Seuil bas : peu de bruit, mais de nombreuses détections manquées Solution? 23 / 61

24 Approximations discrètes du gradient Combiner lissage et diérentiation Les masques locaux de convolution sont sensibles au bruit, e.g. faux positifs dans les zones texturées Idée : Lissage puis diérentiation variations locales ltrées, contours dominants restent Filtres linéaire pour les bruits de moyenne nulle (par exemple bruit blanc Gaussien, ltre Gaussien). Filtrage non-linéaire pour les bruits impulsionnels (ltre médian par exemple). 24 / 61

25 Approximations discrètes du gradient σ = 1.0 σ = 2.0 σ = 4.0 σ = / 61

26 Approximations discrètes du gradient Combiner lissage et diérentiation Fort lissage : robustesse au bruit, mais contours épais (mauvaise localisation) Faible lissage : sensibilité au bruit, mais bonne localisation Seuil : dicile d'avoir un seuil optimal pour toute l'image variations d'illumination, de contraste Lien avec suppression de non-maxima (voir partie consacrée) 26 / 61

27 Résolution du problème : Approches du second ordre Second ordre : dérivées secondes dans la direction du gradient : Laplacien : f = 2 f g f t 2 = 2 f x f y 2 2 f g 2 2 f g 2 = 0 2 f x 2 cos(θ) + 2 f y 2 sin(θ) + 2 f x y cos(θ) sin(θ) = 0 (6) 2 f 27 / 61

28 Résolution du problème : Approches du second ordre Contour : on cherche les passages par zéro de 2 f g 2 Laplacien : f = 2 f + 2 f g 2 t 2 f 2 f 2 f + 2 f g 2 x 2 y 2 = 2 f x f y 2. Approximation : On néglige la composante tangentielle ( 2 f t 2 = 0) Valide dans les zones de faible courbure 28 / 61

29 Approches discrètes du second ordre Approximations du Laplacien par diérences nies f [f (x + 1, y) + f (x 1, y) + f (x, y + 1) + f (x, y 1)] 4f (x, y) (7) OU f [f (x +1, y)+f (x 1, y)+f (x, y +1)+f (x, y 1)+f (x +1, y +1) + f (x 1, y 1) + f (x 1, y + 1) + f (x + 1, y 1)] 8f (x, y) 29 / 61

30 Approches discrètes du second ordre Du Laplacien aux images des dérivées Détection des passages par zéro du Laplacien En pratique : Prendre une fenêtre centrée 3 3 sur le pixel (i, j), et calculer max(i L ) et min(i L ). Le passage par O sera détecté si max(i L ) > 0, min(i L ) < 0 et max(i L ) min(i L ) > S. 30 / 61

31 Approches discrètes du second ordre Laplacien : exemples d'images source Laplacien Image Laplacien : contours transitions entre valeurs positives (blanc) et négatives (noir) Avec un seuil sur l'amplitude 31 / 61

32 Approches discrètes du second ordre Laplacien : exemples d'images source Seuil bas Seuil moyen Seuil haut Passage par zéro du Laplacien : seuiller l'amplitude des variations 32 / 61

33 Approches discrètes du second ordre Comparaison Gradient / Laplacien Contours fermés Un seul paramètre, pas de suil sur l'amplitude Possibilité d'interpolation subpixellique Pas d'orientation des contours v.s invariance en rotation Moins bonne localisation des contours / ltres premier ordre Dérivées secoondes : grande sensibilité au bruit Nécessité de lissage par ltrage passe-bas 33 / 61

34 Approches discrètes du second ordre Pré-traitement : lissage passe-bas : I g 1 Convolution de l'image avec un masque Laplacien : I g 2 Cas d'un masque Gaussien : g(x, y, σ) = 1 2πσ e x2 2 +y 2σ 2 I g = I ( g) = I g (8) g = g = 4 2πσ ( x2 +y 2 2σ 1)e x2+y2 2 2σ 2 3 On convolue directement I avec le masque déni par g : Laplacian of Gaussian (LoG) 34 / 61

35 Approches discrètes du second ordre Lissage passe-bas + Laplacien : I g g = g = 4 ( x 2 +y 2 2πσ 2σ 2 1)e 2 x +y 2 2σ 2 35 / 61

36 Approches discrètes du second ordre Laplacian of Gaussian (LoG) LoG : ltre du système de vision humain LoG peut êttre approximé par DoG : Dierence of Gaussians ( σ1 σ2 = 1.6) DoG (x, y, σ1, σ2) = g(x, y, σ1) g(x, y, σ2) (9) Utilisé dans le cadre de la multi-résolution (pyramides) 36 / 61

37 Approches du premier et du second ordre Multi-résolution Le ltrage à σ xé va détecter des contours à un certain niveeau de granularité σ faible, on détecte les contours ns : bruit σ grand, on détecte les structures principales de l'image, mais on perd les détails Pyramide : σ varie, on détecte les contours à diérentes échelles 37 / 61

38 Approches du premier et du second ordre Pyramide multi-résolution : construction (taille image 2 k ) On part de l'image originale I 0 qu'on ltre avec un masque gaussien g σ : I 0 = I 0 g σ L'image du second niveau I 1 est sous-échantillonée (facteur 2) à partir de I 0 : I 1 = (I 0 g σ ) 2 processus récursif : I k+1 est sous-échantillonée (facteur 2) à partir de I k : I k+1 = (I k g σ ) 2 jusqu'à avoir une image de taille 1 38 / 61

39 Approches du premier et du second ordre Pyramide multi-résolution et détection de contours Le ltrage à σ xé va détecter des contours à un certain niveeau de granularité σ faible, on détecte les contours ns (bruit), bonne localisation σ grand, on détecte les structures principales de l'image, mais on perd les détails Pyramide : σ varie, on détecte les contours à diérentes échelles Fusion multi-échelle : utiliser les contours à grande échelle, et aner la localisation en utilisant les résultats à plus faible échelle 39 / 61

40 Approches du premier et du second ordre Pyramide multi-résolution et détection de contours : niveau 0 40 / 61

41 Approches du premier et du second ordre Pyramide multi-résolution et détection de contours : niveau 1 41 / 61

42 Approches du premier et du second ordre Pyramide multi-résolution et détection de contours : niveau 2 42 / 61

43 Approches du premier et du second ordre Pyramide multi-résolution et détection de contours : niveau 3 43 / 61

44 Plan du cours 1 Modélisation des contours - formulation du problème de détection 2 Résolution : Approches basées ltrage (diérences nies) Filtrage du premier ordre Filtrage second ordre 3 Résolution : Approches continues (ltrage optimal) 4 Post-traitement : de l'image dérivée aux contours seuillage et chaînage. 44 / 61

45 Résolution du problème : Approches continues Filtrage optimal : Canny (1986) En 1d : modélisation du contour par une marche Avec du bruit : C(x) = AΘ(x) + n(x), n bruit blanc gaussien. On cherche le ltre f dérivateur tel que : f C = Θ (10) 45 / 61

46 Résolution du problème : Approches continues Canny : critères d'optimalité pour le ltrage 1 Bonne détection : critère Σ 2 Bonne localisation : critère Λ 3 Unicité de la réponse On cherche f dérivateur qui maximise Σ et Λ sous la contrainte d'unicité de la réponse 46 / 61

47 Approches continues Canny : solution du ltrage ltre RIF Canny : solution par ltre Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) f (x) = a 1 e x σ sin(wx)+a 2 e x σ cos(wx)+a 3 e x σ sin(wx)+a 4 e x σ cos(wx) (11) Peut être approximé par une dérivée de Gaussienne : f (x) xe x2 2σ 2 Passage en 2d : action de 2 ltres croisés : f x (x, y) = xe x2 2σ 2 e y2 2σ 2 et f y (x, y) = ye x2 2σ 2 e y2 2σ 2 47 / 61

48 Approches continues Canny : approaximation par une dérivée de Gaussienne 48 / 61

49 Canny : exemple de résultat Approches continues 49 / 61

50 Approches continues Optimisation du problème de Canny : Deriche Modèle du ltre avec Réponse Impulsionnelle Innie (RII) Forme du ltre RII maximisant Σ et Λ sous la contrainte d'unicité de la réponse f (x) = ce α x sin(wx) (12) avec c = (1 e α ) 2 /e α Peut s'implémenter ecacement de manière récursive 50 / 61

51 Approches continues Canny-Deriche : forme des ltres 2d on dénit k = f, alors le ltre 2d s'écrit : f x (x, y) = f (x)k(y) et f y (x, y) = f (y)k(x) 51 / 61

52 Canny-Deriche : résultats Approches continues Inuence de α facteur d'échelle Faible α : peu de robustesse au bruit, bonne localisation Fort α : bonne robustesse au bruit, mauvaise localisation Adapter α au rapport Signal/Bruit de l'image 52 / 61

53 Approches continues : conclusion Autres optimisation analytiques Schéma général de construction d'un ltre : 1 produit d'une fonction passe-bas, symétrique, paramétrée par α bruit et taille entre 2 contours 2 produit d'une fonction passe-haut, anti-symétrique Ex : Canny-Dereiche Gaussienne et dérivée de Gaussienne Shen-Castan f (x) = csign(x)e α x De nombreux autres ltres proposés : Spacek, Petrou, etc 53 / 61

54 Plan du cours 1 Modélisation des contours - formulation du problème de détection 2 Résolution : Approches basées ltrage (diérences nies) Filtrage du premier ordre Filtrage second ordre 3 Résolution : Approches continues (ltrage optimal) 4 Post-traitement : de l'image dérivée aux contours seuillage et chaînage. 54 / 61

55 Post-Traitements De l'image des dérivées aux contours Image des dérivées : Probabilté/vraissemblance d'appartenance au contour 1 premier ordre : valeurs fortes indiquent présence contour 2 premier ordre : valeurs proches de 0 indiquent présence contour Pour extraire les contours de l'image : 1 Suppression de non maxima dans la direction du gradient 2 Seuillage 3 Chaînage des contours 55 / 61

56 Suppresion de non-maxima Post-Traitements Rappel : on recherche les maximas locaux dans la direction du gradient 1 Déterminer, pour un pixel p donné, les valeurs du gradient sur la droite passant p et de direction celle de son gradient. 2 Vérier que le gradient en p est bien localement maximal sur cette droite. 56 / 61

57 Post-Traitements Suppresion de non-maxima Rappel : on recherche les maximas locaux dans la direction du gradient P est un maximum local G(P) > G(P 1 ) et G(P) > G(P 2 ) 57 / 61

58 Post-Traitements Suppresion de non-maxima : application pratique 1 Discrétisation de la direction On arrondit la direction à π 4 (8voisins) on cherche les 2 pixels voisins dans la direction du gradient 2 Interpolation On calcule la valeur subpixels des deux voisins On interpole la valeur de la norme du gradient en ces points (1) (2) 3 Suppresson de P si G(P) non maximale 58 / 61

59 Post-Traitements Suppresion de non-maxima : application pratique Assure d'avoior des contours d'épaisseur 1 source G NMS Contours ns 59 / 61

60 Post-Traitements Seuillage 1 Seuillage simple : on garde les pixels pour lesquels G(x, y) > Seuil Dicile d'avoir un seuil unique pour toute l'image Variations de contraste, d'illumination, etc 2 Seuillage par hystérésis Seuil haut : sélection d'un ensemble initial de points de contour Seuil bas : à partir de ces points, on chaîne d'autres points dont G(x, y) > Seuil bas 60 / 61

61 Post-Traitements Chaînage des contours Nécessaire pour beaucoup d'applications, avoir un ensemble de composantes connexes Pour extraite droites, cercle, formes géométriques et représentations plus complexes Diérentes stratégies : 1 Etiquetage en composantes connexes 2 Recherche dans les graphes (programmation dynamique) 3 Approches multi-échelles 4 Automates 5 etc Hors du cadre du cours d'aujourd'hui 61 / 61

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