CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS

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1 CI 2 SLCI : ÉTUDE DU COMPORTEMENT DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS CHAPITRE 2 MODÉLISATION DES SYSTÈMES LINÉAIRES CONTINUS INVARIANTS TRANSFORMÉE DE LAPLACE TRAVAIL DIRIGÉ Robot Ericc Le robot Ericc est un robot série équié de 5 axes en série qui lui ermettent d atteindre toutes les ositions et toutes les orientations de l esace. Le dernier axe eut être équié d une ince ou d un outil sécifique. Le robot est ar exemle utilisé sur les chaînes de montage dans le domaine de l automobile afin de souder des éléments de carrosserie de voiture. Les axes sont aelés ainsi : axe : axe de lacet ; axe 2 : axe d éaule ; axe 3 : axe de coude ; axe 4 : axe de oignet ; axe 5 : axe de ince. On s intéresse uniquement au délacement de l axe de lacet. On donne le cahier des charges artiel du robot Ericc. Objectif L objectif est de vérifier les exigences de erformance 4. CI 2 : SLCI Travail Dirigé

2 Pour délacer uniquement l axe de rotation du lacet l utilisateur eut, ar le biais d un logiciel, iloter l angle à atteindre ar l axe. Un hacheur ermet de distribuer l énergie électrique dans un motoréducteur. Ce dernier est relié à un système oulie-courroie. La osition de l axe de lacet est mesurée ar un codeur incrémental. Le signal du codeur est alors comaré à la consigne de l utilisateur. Question Réaliser le schéma-bloc fonctionnel de l axe de lacet du robot Ericc. Remarque : le réducteur ourrait être sorti du bloc moteur. Étude de la vitesse du moteur en boucle ouverte Un moteur électrique est alimenté ar une tension continue. Pour une tension donnée, le moteur tourne à une vitesse donnée. Le comortement du moteur est régit ar l équation différentielle suivante : en notant : ω m (t ) + τ d ω m (t ) d t ω m (t ) la fréquence de rotation du moteur (en r a d /s ) ; u (t ) la tension d alimentation du moteur (en V ) ; K = 23, 26r a d s V le gain du moteur ; = K u (t ) τ = 0, 5s : constante de tems mécanique du moteur. Le moteur est suivi de deux réducteurs. Le raort de réduction total est noté r = 2. La fréquence de rotation 4000 en sortie des réducteurs ω(t ) eut se calculer ainsi : Question 2 ω(t ) = r ω m (t ) On se lace dans les conditions de Heaviside. Donner les deux équations dans le domaine de Lalace. Exrimer alors Ω() en fonction de U(). 2 CI 2 : SLCI Travail Dirigé

3 On a : Ω m () + τω m () = K U() Ω() = r Ω m () En conséquence, Ω() = r K + τ U() Question 3 On sollicite le système ar une entrée échelon d amlitude V. Déterminer l exression de Ω() sous forme littérale. Dans ces conditions, U() =. On a donc : Ω() = r K + τ Question 4 Arès avoir déterminé les valeurs initiales et finales de ω(t ) ainsi que la ente à l origine, tracer l allure de u (t ) et ω(t ) en indiquant les valeurs numériques. D arès le théorème de la valeur initiale : D arès le théorème de la valeur finale : limω(t ) = lim Ω() = 0 t 0 lim ω(t ) = lim Ω() = t 0 La valeur de la ente à l origine eut être déterminé ainsi : d ω(t ) lim = lim 2 Ω() = t 0 d t τ Question 5 Commenter l allure de la courbe. 3 CI 2 : SLCI Travail Dirigé

4 Étude de la osition du moteur en boucle ouverte On souhaite maintenant avoir accès à la osition du moteur en fonction du tems. La osition angulaire de l axe de lacet est notée θ. On se relace dans les conditions où U() n est as un échelon. Question 6 Exrimer la relation entre θ (t ) et ω(t ). En déduire la relation entre Θ() et Ω(). Le taux de rotation angulaire étant la dérivée de la osition angulaire, on a donc : d θ (t ) = ω(t ) d t Dans les conditions de Heavside, on a donc : Ω() = Θ() Question 7 Exrimer alors Θ() en fonction de U(). On a : Θ() = Ω() = + τ U() Question 8 On sollicite à nouveau le système ar une entrée échelon d amlitude V. Déterminer l exression de Θ() sous forme littérale. On a : Θ() = Ω() = + τ 2 Question 9 Arès avoir déterminé les valeurs initiales et finales de θ (t ) ainsi que la ente à l origine, tracer l allure de la courbe en indiquant les valeurs numériques. D arès le théorème de la valeur initiale : D arès le théorème de la valeur finale : limθ (t ) = lim Θ() = lim t 0 lim t θ (t ) = lim Θ() = lim τ 2 = 0 + τ 2 = + 4 CI 2 : SLCI Travail Dirigé

5 La valeur de la ente à l origine eut être déterminé ainsi : d θ (t ) lim = lim 2 Θ() = lim t 0 d t τ 2 = Question 0 Commenter l allure de la courbe. Ce comortement et-il envisageable sur l axe de lacet du robot? Commenter. Justifier la nécessité de mettre en œuvre un asservissement en osition. Lorsqu on alimente un moteur, il tourne. Sa osition angulaire augmente donc jusqu à l infini. Pour un moteur isolé cela ne ose as de roblèmes. Sur un robot avec des axes en série, la luart du tems, les axes le euvent as tourner indéfiniment (roblèmes de câblages...) Si on veut avoir un ositionnement angulaire du moteur, il est nécessaire d avoir une boucle de retour afin d asservir le système. Question Déterminer l exression de Θ() dans le domaine temorel. On utilisera la transformée de Lalace inverse. Θ() eut se décomoser en élément simle sous la forme suivante : Θ() = En multiliant ar 2 et en osant = 0 on a : + τ 2 = α + β 2 + β = En multiliant ar + τ et en osant = τ on a : On ose = : γ = 2 = τ 2 τ γ + τ + τ = α + + τ2 + τ α = τ 2 τ α = τ ( + τ) = τ + τ + τ Au final, Θ() = τ τ2 + τ = τ τ τ2 τ + = τ Dans le domaine temorel, on a donc : t t t > 0 θ (t ) = τ + t + τe τ = τ + t + τe τ τ τ + 5 CI 2 : SLCI Travail Dirigé

6 theta(t) en rad Tems en s Étude de l asservissement en osition de l axe de lacet On se relace dans les conditions où U() n est as un échelon. Afin d asservir la osition angulaire de l axe de lacet, on utiliser un codeur incrémental. La loi de comortement du codeur est la suivante : u s (t ) = θ (t ) La consigne angulaire donnée ar l utilisateur est adatée suivant la loi de comortement suivante : u e (t ) = K Ad a t θ e (t ) avec K Ad a t = K C a t = V /r a d Un comarateur ermet de comarer la tension d entrée et la tension de sortie : ɛ(t ) = u e (t ) u s (t ) Enfin, le hacheur ermet d amlifier la faible tension ɛ(t ) en tension de commande our le moteur à courant continu : u (t ) = K Am l i ɛ(t ) K Am l i = 0 Question 2 Justifier que K Ad a t = K C a t. En rerenant le schéma bloc de la question, on se rend comte d une art que le PC et le cateur réalisent la même oération à savoir convertir une osition angulaire en tension. De lus, si on se lace en régime ermanent, dans le cas où l erreur statique du système serait nulle, on a donc une consigne θ e qui est égale à θ. u e et u s étant leur image resective, il est donc logique qu ils soient égaux. En conséquence, l oération à réaliser ar le codeur et ar le PC doit être la même ce qui justifie que K Ad a t = K C a t. On se lace dans les conditions de Heaviside. 6 CI 2 : SLCI Travail Dirigé

7 Question 3 Transformer chacune des 4 équations dans le domaine de Lalace. Dans les conditions de Heaviside, U s () = Θ() U e () = K Ad a t Θ e () ɛ() = U e () U s () U() = K Am l i ɛ() Question 4 Exrimer Θ() en fonction de Θ e (). D arès la artie récédente : Θ() = U() + τ En conséquence, Θ() = = = + τ K Am l i ɛ() K Am l i U e () U s () + τ K Am l i K Ad a t Θ e () Θ() + τ On a alors : Θ() + K Am l i + τ = K Am l i K Ad a t + τ Θ e () Θ() KAm l i + + τ = K Am l i K Ad a t Θ e () + τ + τ Au final : Θ() = K Am l i K Ad a t K Am l i + + τ Θ e () Question 5 On désire connaître la réonse indicielle du système (entrée échelon d amlitude r a d ). Exrimer Θ() en fonction de Θ e (). 7 CI 2 : SLCI Travail Dirigé

8 Pour une réonse indicielle, on a : Θ e () =. En conséquence, Θ() = K Am l i K Ad a t K Am l i + + τ Question 6 Arès avoir déterminé les valeurs initiales et finales de θ (t ) ainsi que la ente à l origine, tracer l allure de la courbe en indiquant les valeurs numériques. D arès le théorème de la valeur initiale : D arès le théorème de la valeur finale : limθ (t ) = lim Θ() = 0 t 0 lim θ (t ) = lim Θ() = t 0 La valeur de la ente à l origine eut être déterminé ainsi : d θ (t ) lim = lim 2 Θ() = 0 t 0 d t 0 Question 7 Déterminer l exression de Θ() dans le domaine temorel. On utilisera la transformée de Lalace inverse. On a : Θ() = En multiliant ar et en osant = 0 : K Am l i K Ad a t K r K Am l i + + τ 2 = α + α = K Ad a t β + γ K Am l i + + τ 2 On multilie le deux exressions ar et on calcule la limite en + : D une art, lim K Am l i K Ad a t + K r K Am l i + + τ 2 = 0 D autre art, On a donc : lim + α + β + γ K Am l i + + τ 2 γ = ατ = K Ad a t τ = α + γ τ 8 CI 2 : SLCI Travail Dirigé

9 Enfin, our = on a : K Am l i K Ad a t K Am l i + + τ = K Ad a t + β K Ad a t τ K Am l i + + τ K Am l i K Ad a t = K Am l i + + τ K Ad a t + β K Ad a t τ K Am l i K Ad a t = K Am l i + + τ K Ad a t + β K Ad a t τ Au final : On a : β = ( + τ) K Ad a t + K Ad a t τ = K Ad a t Θ() = K Ad a t K Ad a t K Ad a t τ + K Am l i + + τ 2 = K Ad a t K Ad a t + τ K Am l i + + τ 2 Alication numérique artielle : Θ() = On ose A 2 = 4τ 2 + K Am l i τ On a alors : F () = τ = + A 2 + τ K Am l i + + τ 2 = τ τ + τ F () = + 4τ 2 + K Am l i τ A = + A 2 τ + K Am l i + τ τ + 2 } {{ } F () A 2 + A A + + A 2 On a donc : t > 0 t θ (t ) = e cos(at ) t A e sin(at ) 9 CI 2 : SLCI Travail Dirigé

10 Angle en rad Angle de sortie θ(t) Angle d'entrée θ e (t) Tems en s Question 8 Conclure sur la validité du cahier des charges. On observe que le système a un écart statique nul : la consigne était de r a d et l angle atteint ar l axe de lacet est de r a d. Le critère d écart statique est donc vérifié. En revanche, on observe un léger déassement de la consigne. En conséquence, le critère de déassement nul n est as vérifié. 0 CI 2 : SLCI Travail Dirigé

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