Le Multidimensional Scaling et la cartographie des préférences

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1 Le Multidimensional Scaling et la cartographie des préférences Gilbert Saporta Conservatoire National des Arts et Métiers Avril 2014

2 Multidimensional scaling Egalement appelé «positionnement multidimensionnel», «analyse des proximités» Objectif: à partir d un ou plusieurs tableaux de distances ou de dissimilarités entre n objets, reconstituer une image dans un espace euclidien

3 Exemple: reconstituer une carte connaissant le tableau des distances entre n villes de France Desbois, 2005

4

5 Mais aussi:

6 1. Le cas «classique»: tableau de distances euclidiennes; principal coordinate analysis Axiomes: d d d ij ii ij 0 = 0 = d ji d d + d ij ik kj dissimilarité distance d ij (( ) ( )) 1 2 = ei -e j 'M ei -ej Distance euclidienne

7 Rappels d ACP Tableau de données X Facteurs principaux Vu=λu nv=x X Composantes principales c=xu 1/n Wc= λc W=XX matrice nxn des produits scalaires Si on trouve W à partir de la matrice des (carrés des) distances D, le problème est résolu

8 On pose: La formule de Torgerson d d n 2 2 = dij n j= 1 i. n 2 2 = dij n i= 1. j d d d n n = = i.. j n j= 1 n j= 1 d.. 2 n est autre que deux fois l inertie I 1 w = d d d + d ij ( ) ij 2 i.. j..

9 Démonstration Formule du triangle ij = i + j 2 ij d e e w 1 wij = dij ei ej d.. wij = di. ei ej = di. ei = n j 2 n j si les axes sont centrés sur g car wij =< ei ; ej > n n ( 2 ) 2 2 d d e d e d i = i. et j =. j j j 0

10 Matriciellement Opérateur de centrage 1 A = I 11' n Double centrage en lignes et en colonnes W = 1 2 ADA

11 Les coordonnées sur les axes principaux sont données par les vecteurs propres de W Les vecteurs propres doivent être normalisés comme suit 1 n 2 ci n i= 1 = λ Le nombre de valeurs propres non nulles donne la dimension de l espace Distance euclidienne si aucun λ négatif

12 2. La méthode de la constante additive Si d n est pas euclidienne. En ajoutant c 2 à tous les carrés de distance, on peut la rendre euclidienne δij = dij + c et δii = 0 Wδ = Wd + Wc c c c c 0 c c c Wc = A A = A( 11'- I) A c c 0 c c c c 0 puisque 11' = n( I - A) 2 2 c c Wc = A( ( n 1) I na) A= A 2 2

13 Les vecteurs propres de W δ sont les mêmes que ceux de W d car ils sont centrés. Leurs valeurs propres sont augmentées de c 2 /2 Il suffit alors de prendre c 2 /2= λ min Transforme directement une dissimilarité (pas d inégalité triangulaire) en une distance euclidienne

14 F.Cailliez a résolu en 1983 le problème consistant à ajouter la plus petite constante à la distance d origine : cette constante est la plus grande valeur propre de la matrice carrée suivante de taille 2n 0 2W I 4W W d est la matrice de Torgerson où les carrés sont remplacés par les distances. Dans les deux cas, il ne faut pas que la constante soit trop grande d d

15 3. Le MDS semi metrique Rechercher une configuration de n points dans un espace de dimension p fixée à l avance, dont les interdistances δ ij soient proches d une fonction monotone des dissimilarités d ij La méthode de Kruskal de minimisation du STRESS 2 min ( δij f( dij )) i, j ( δij ) i, j f transformation monotone (on ne garde que l information portée par l ordre des dissimilarités) 2

16 Algorithme: On part d une configuration euclidienne. On calcule les disparités f(d ij )et le stress par régression monotone On modifie la configuration à l aide d une méthode de gradient en déplaçant les points pour diminuer le stress Etc.

17 La régression monotone simple Régression simple sur variable transformée n i= 1 ( y T x ) 2 min ( ) T i i Si relation monotone T(x)=y

18 Algorithme de Kruskal: Si y 2 <y 1 on pose T(x 1 )=T(x 2 )= (y 1 +y 2 )/2 et on continue avec T(x 3 )=y 3 si y 3 >(y 1 +y 2 )/2 Sinon on pose T(x 1 )=T(x 2 )=T(x 3 )= (y 1 +y 2 + y 3 )/3 Etc. Présentation matricielle: b 1 T( x1) b 2 T( x2) y e. e b T( x ) n n Régression multiple à coefficients positifs sauf la constante yˆ b1 1 bjz j j= 2 = + Un algorithme général de régression sous contraintes de positivité: Régression descendante avec élimination des variables à coefficients négatifs et itération.

19 Diagramme de Shepard Desbois, 2005

20 Nécessite de connaitre p: solutions non emboitées Approximation en plus ou en moins alors qu avec Torgerson approximation par en dessous

21 Possibilité de rajouter des variables explicatives (voir cartographie des préférences) Kuhfeld, 2010

22 3. Cas de q tableaux de distances Le modèle INDSCAL (Individual Differences In Scaling) 2 r 2 ( k) k ( l l d ) ij ml xi xj l= 1 Configuration unique avec métriques diagonales différentes Passage aux produits scalaires r k k l l ij l i j l= 1 w = m ab + ε Estimation alternée : on fixe m et a et on estime b, puis a à m et b fixés, puis m à a et b fixés etc.

23 Exemple (SensoMineR) 10 different French wines evaluated by 11 panelists. Two data sets: napping.don and napping.words. 1) napping.don: panelists were asked to position the wines on a tableclothe of dimension (60,40) 2) napping.words: panelists were asked to describe each wine using their own word list

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26 Modèle IDIOSCAL (Individual Differences In Orientation and Scaling) Métriques M k quelconque Solution analytique W = XM X' k q q 1 1 W = Wk = X Mk X' = XX' n k= 1 n k= 1 car on peut prendre k 1 n k = 1 X s obtient par une méthode classique de Torgerson sur W W = XM X' k k q M = I ( ) ' ( ) M = X'X X W X X'X k k k -1-1

27 4. Cartographie des préférences Analyser les préférences des consommateurs Applications en marketing et analyse sensorielle: Ex. : relier les préférences des consommateurs aux caractéristiques physico-chimiques et/ou sensorielles d un produit Visualiser ces relations sur une carte «facilement» lisible

28 n produits, p consommateurs, q caractéristiques Tableau X de notes (n,p) Tableau Y de caractéristiques (n,q) Exemple (cf SensoMineR) 16 cocktails, jugés par 100 consommateurs et décrits par 13 variables sensorielles (fournies par des experts)

29 4.1 Cartographie «interne» ou MDPREF ACP de X avec projection en éléments supplémentaires des colonnes de Y

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31 Avec classification des consommateurs

32 4.2 Cartographie «externe» ou PREFMAP ACP de Y (descripteurs en variables actives) Régression des préférences des consommateurs sur les axes de l ACP

33

34

35 Modélisation des préférences de j expliquée par les deux premières composantes principales de Y modèle linéaire ou vectoriel x j =m+ac 1 +bc 2 Schlich, 2007

36 Modèle linéaire pas toujours adapté si le produit idéal est au milieu : ni trop ni trop peu sucré. modèles circulaires ou elliptiques «point idéal»

37 Cumul des préférences: pour chaque point on estime le pourcentage de consommateurs qui préférent ce point

38 Références d Aubigny G. (2009). The Analysis of Proximity Data, in Govaert G. (Ed.) Data Analysis. Chapter 4, pp John Wiley and sons, Cailliez F. (1983): The Analytical Solution of the Additive Constant Problem,Psychometrika, 48, Desbois D. (2005): Une introduction au positionnement multidimensionnel. Modulad, 32, 1-28 Kruskal J.B., Wish M.: (1984) Multidimensional Scaling, Quantitative Applications in the Social Sciences, 11, Sage University Paper. Kuhfeld W. (2010): Marketing Research Methods in SAS, MR2010 report, SAS Institute Schlich,P, (2007): De la sensometrie à l analyse des préférences, HDR, Univ.Bourgogne

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