Estimation ultra haute fréquence de la volatilité et de la co-volatilité

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1 Estimation ultra haute fréquence de la volatilité et de la co-volatilité Christian Y. Robert 1 et Mathieu Rosenbaum 2 1 CREST-ENSAE Paris Tech, 2 CMAP-École Polytechnique Paris Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 1

2 Plan 1 Données haute fréquence et bruit de microstructure Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 2

3 Outline 1 Données haute fréquence et bruit de microstructure Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 3

4 Modèles classiques Habituellement, les actifs sont supposés suivre des processus d Ito de la forme : d log X t = µ t dt + σ t db t, t [0, T ]. Ces modèles sont «valides» dans les basses fréquences. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 4

5 Contrat Bund, du au , une donnée par heure Bund Time. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 5

6 Contrat Bund, du au , une donnée par seconde value time. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 6

7 Contrat Bund, , une donnée par seconde value time. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 7

8 Contrat Bund, , de 10h à 11h, une donnée par seconde value time. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 8

9 Données haute fréquence Les données haute fréquence ne se comportent pas comme des observations d une semi-martingale d Ito. En particulier, elles vérifient les propriétés suivantes : données discrètes, dates d observation aléatoires, saisonnalité intraday. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 9

10 Bruit de microstructure La différence entre le logarithme du prix observé et celui du prix efficient définit le bruit de microstructure. Les principales caractéristiques du bruit de microstructure sont : variation quadratique finie, covariation négative avec le log prix efficient, saisonnalité intraday. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 10

12 Une quantité pertinente Il est nécessaire de construire des modèles pour les données haute fréquence afin d obtenir des estimations de la volatilité. Quelles utilisations? Modèles de market impact, Modèles d exécution d ordre limite, Algorithmes d optimisation, Probabilités d exécution, Prévision de volatilité, Mesures de risque, Pricing d option. Voir en particulier Lehalle (2008). Une quantité pertinente : la volatilité intégrée 1 0 σ 2 t dt. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 12

13 Modèles de bruit de microstructure Différents types de modèle ont pour but de tenir compte du bruit de microstructure. Des procédures statistiques spécifiques leur sont associées (l estimateur classique «Realized Volatility» étant extrêmement biaisé dans les hautes fréquences). Modélisation du bruit Bruit additif : Aït-Sahalia, Mykland and Zhang (2006), Zhang (2006), Barndorff-Nielsen et al. (2008). Contamination du prix efficient à travers un noyau markovien : Li and Mykland (2007), Jacod et al. (2007). Modèles de prix discrets : Delattre and Jacod (1997), Large (2007), R. (2007), Fukasawa (2008). Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 13

14 Le modèle d arrondi pur Certains des modèles précédents ne permettent pas d obtenir des prix discrets. Un modèle de diffusion observé avec erreur d arrondi est un moyen simple d obtenir des prix discrets et un comportement diffusif pour un échantillonnage basse fréquence. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 14

15 Bund, , une donnée par seconde et 20W t, sur [0, 1], n = 2 15 value value time Time Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 15

16 Bund, ,de 10h à 11h, une donnée par seconde et 20W t, sur [0, 0.1] value value time Time Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 16

17 Inconvénients du modèle d arrondi pur Un modèle d arrondi pur n est pas «valide» dans les échelles extrêmement fines (trop d oscillations). Comme beaucoup d autres modèles, il est traité dans le cadre d un échantillonnage déterministe et régulier. Quelle fréquence utiliser : 1 seconde? 10 secondes? 1 minute? Quel prix utiliser : prix bid? prix midquote? prix last traded? Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 17

19 Aversion aux changements de prix Aversion aux changements de prix Dans un cadre idéal, les transactions n auraient lieu que lorsque le prix efficient croise la grille des ticks. En pratique, incertitude par rapport au prix efficient et aversion aux changements de prix des participants de marché. Le prix change seulement lorsque les participants de marché sont convaincus que le prix efficient est suffisamment loin du dernier prix traité. On introduit un paramètre η qui quantifie cette aversion aux changements de prix. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 19

20 : notations Prix efficient : X t. t i : date de la i e transaction avec changement de prix. P ti : prix de transaction à la date t i. L i = P ti+1 P ti : taille en tick du i e changement de prix. Variables explicatives pour la taille des sauts : χ t. Zones d incertitude : U k = [0, ) (d k, u k ) avec d k = (k + 1/2 η)α et u k = (k + 1/2 + η)α. τ i : i e temps de sortie d une zone d incertitude. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 20

21 : dynamiques d log X u = a u du + σ u dw u. P[L i = s F τi ] = φ s (χ τi ). τ i+1 = inf { t > τ i, X t = X (α) τ i ± α(l i η)}, avec X (α) τ i la valeur de X τi arrondie au plus proche multiple de α. τ i t i < τ i+1 et P ti = X (α) τ i. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 21

22 Price (α) X τ 0 α 2ηα (α) X τ 1 (α) X τ 2 L 1 = 1 L 0 = L 2 = 1 Observed Price Theoretical Price L 3 = 1 L 6 = 2 L 4 = 1 Tick Mid Tick Uncertainty Zone Limits Barriers To Reach τ0 τ1 τ2 τ3 τ4 τ6 10:00:00 10:01:00 10:01:07 10:01:52 10:02:00 10:02:41 10:03:0010:03:32 10:04:00 10:04:50 10:05:00 Time Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 22

23 Discussion Commentaires sur le modèle Modèle Variations/Durations pour les prix last traded. Prix efficient latent semi-martingale. Dates de transaction aléatoires. Relation inverse entre durations et volatilité. Dates de transaction non nécessairement égales aux temps de sortie. Sauts de plusieurs ticks. Taille des sauts déterminée par des variables explicatives, liées par exemple au carnet d ordre. Modèle structurel pour le bruit de microstructure. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 23

24 Le paramètre η Interprétation de η Quantifie l aversion aux changements de prix (par rapport à la taille du tick) des participants de marché. Un η petit (< 1/2) signifie que pour les participants de marché, la taille du tick est trop grande et inversement. Dans les UHF, le carnet d ordre ne peut pas suivre le prix efficient et est réticent aux changements de prix. Réticence mesurée par η. η comme une mesure de la profondeur de prix moyenne explorée par le volume des transactions. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 24

25 Propriétés : Durations Volatility :00:00 10:00:00 11:00:00 12:00:00 13:00:00 14:00:00 15:00:00 16:00:00 17:00:00 Duration :00:00 10:00:00 11:00:00 12:00:00 13:00:00 14:00:00 15:00:00 16:00:00 17:00:00 Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 25

26 Propriétés : Le prix Observed price :00:00 10:04:00 10:08:00 10:12:00 10:16:00 10:20:00 10:24:00 10:28:00 Theoretical price :00:00 10:04:00 10:08:00 10:12:00 10:16:00 10:20:00 10:24:00 10:28:00 Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 26

27 Propriétés : ACF log rendements (η < 1/2) second sampling period 1 second sampling period seconds sampling period seconds sampling period minute sampling period minutes sampling period Tick time sampling, unit = 1 price change Tick time sampling, unit = 5 price changes Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 27

29 Reconstruction du prix efficient Prix efficient X τi = P ti α( 1 2 η)sign(p t i P ti 1 ). ˆX τi = P ti α( 1 2 ˆη)sign(P t i P ti 1 ). t i : date d observation, τ i : temps de sortie, P t : prix observé, X t : prix efficient. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 29

30 Estimation de η Soit N α,t = card{t i, t i t}. Pour k = 1,..., m, On définit avec λ α,t,k = m j=1 Nα,t N (c) α,t,k = I { Xτi X τi 1 =αk}, i=1 i=1 Nα,t N (a) α,t,k = I { Xτi X τi 1 =α(k 1+2η)}. ˆη t = N (a) α,t,k + N(c) α,t,k m λ α,t,k u α,t,k, k=1 [ N (a) α,t,j + N(c) α,t,j ] et u α,t,k = 1 2 (k (N(c) α,t,k N (a) α,t,k 1 ) ) + 1. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 30

31 Estimation dans le modèle avec zones d incertitude Théorème Soit On a N α,t ( RV t = log( ˆX τi ) log( ˆX τi 1 ) ) 2. i=1 α 1 ( RV t RV t ) Ls γ t t 0 v u dw θu, où W est un mouvement brownien indépendant de B et θ u, γ u et v u dépendent de X u, σ u et de variables explicatives, liées par exemple au carnet d ordre. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 31

32 Discussion Commentaires sur le théorème a u est seulement progressivement mesurable et localement borné. σ u est seulement càdlàg adapté. En particulier, σ u n est pas nécessairement une semi-martingale d Ito. L arrondi a lieu sur l échelle des prix et non des log-prix. Estimer la variation quadratique du log-prix est donc plus difficile qu estimer celle du prix. Les dates d observation sont aléatoires, endogènes. Ainsi, les théorèmes classiques pour échantillonnage déterministe ne s appliquent pas. L idée clé est de se placer dans un temps modifié dans lequel les observations sont équidistantes puis d utiliser des propriétés de stabilité de la convergence dans D[0, T ]. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 32

33 Estimation de η sur données equity Semaine : du au TICKER ˆη ˆη ˆη ˆη ˆη Jour 1 Jour 2 Jour 3 Jour 4 Jour 5 AIRF ALSO BNPP CAGR DANO EAD FTE RENA SGOB TOTF Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 33

34 1000 simulations MC, intervalle de confiance à 90% Realized Volatility 0e+00 3e 04 6e Pure Rounding estimator 0e+00 3e 04 6e Kernel estimator 0e+00 3e 04 6e e+00 3e 04 6e 04 ZMA 1s _ ZMA 2s ZMA 4s _ _ ZMA 8s _ _ GK _ _ RR _ Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 34

36 Cadre On considère maintenant 2 actifs. Dynamique des log-prix efficients d log X t = µ X t dt + σ X t dw t, d log Y t = µ Y t dt + σ Y t db t, avec d W, B t = ρ t dt. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 36

37 Quantité d intérêt Covariance intégrée On souhaite estimer 1 ρ t σt X σt Y dt. 0 Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 37

38 Difficultés Problèmes pratiques 2 difficultés principales : Données asynchrones, Bruit de microstructure. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 38

39 Estimateur habituel de la covariance Covariation réalisée On observe (X i/n, Y i/n ), i = 0,..., n. Soit n i X = log X i/n log X (i 1)/n. Un estimateur de 1 ρ t σt X σt Y dt avec précision n 1/2 est n n i X n i Y. 0 i=1 Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 39

40 Méthode de Dacarogna Interpolation Previous-Tick Supposons maintenant que l on observe X aux dates (T X,i ), i = 1,... et Y aux dates (T Y,i ), i = 1,... On construit X t = X T X,i for t [T X,i, T X,i+1 ) et Y t = Y T Y,i for t [T Y,i, T Y,i+1 ). Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 40

41 Estimateur Previous-Tick X,0 T =0 X,1 T X,2 T X,3 T X,4 T... X,m 1 T T m X, Y,0 T =0 Y,1 T Y,2 T Y,3 T... Y,m 1 T T m Y, Y τ (h) Y Y τ (2h) τ (3h) Y Y τ ((m 1)h ) τ (mh) X τ (h) X τ (2h) X τ (3h) X X τ ((m 1)h ) τ (mh) 0 h 2h 3h... T Pour h donnée, l estimateur Previous-Tick de la covariance est m ( ) ( ) V h = log X ih log X (i 1)h log Y ih log Y (i 1)h. i=1 Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 41

42 Inconvénient de cet estimateur Effet Epps Biais systematique pour cet estimateur. Exemple : Supposons que log X et log Y sont 2 mouvements browniens de corrélation ρ et que les dates de trading sont les temps d arrivée de 2 processus de Poisson indépendants. Alors, on peut montrer que E[V h ] 0, as h 0. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 42

43 Un estimateur convergent pour données asynchrones Estimateur de Hayashi et Yoshida Soit Ii X = (T X,i, T X,i+1 ] et Ii Y = (T Y,i, T Y,i+1 ] l estimateur Hayashi-Yoshida est U n = i,j X (I X i ) Y (I Y j )1 {I X i Ij Y }. Cet estimateur ne requiert pas de choix de h et est convergent si les temps d arrivée sont indépendants du prix et les volatilités déterministes. Cependant, il n est pas robuste au bruit de microstructure (ce qui entraine aussi l effet Epps). Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 43

44 Estimation dans le modèle avec zones d incertitude Supposons τ1 X τ 1 Y. On définit de nouvelles séquences de temps d arrêt par λ X 0 = λy 0 = 0 et λ (X ) i+1 = min { τ (X ) j : τ (X ) j λ (Y ) } (Y ) i, λ i+1 = min { τ (Y ) j : τ (Y ) j > λ (X i+1} ). Théorème En se basant sur les temps d observation définis ci-dessus, l estimateur de Hayashi et Yoshida pour la co-volatilité est convergent si l on utilise les valeurs estimées du prix efficient. Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 44

45 Monte Carlo 1000 simulations, Modèle de Black-Scholes avec volatilité en U, Covariation constante = (ρ = 0.4). Hayashi-Yoshida Nouvel estimateur Moyenne Ecart type Christian Y. Robert et Mathieu Rosenbaum Estimation ultra haute fréquence de la volatilité 45