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1 PROCEEDINGS OF THE Cambridge Philosophical Society VOL. 39 October 1943 PABT 3 LA THEORIE DES NOYAUX REPRODUISANTS ET SES APPLICATIONS. PREMIERE PARTIE PAR N. ARONSZAJN Communicated by G. H. HABJDY Received 6 February 1943 La theorie que nous nous proposons de presenter ici provient d'une synthese de plusieurs theories particulieres. Pour donner une idee de quoi il s'agit, nous allons considerer un exemple schematique simple. Soit F une classe des functions f(x) reelles ou complexes definies dans un ensemble E pourvu d'une notion de mesure (par exemple un domaine dans un espace euclidien a n dimensions). Supposons qu'il existe une fonction N(x,y) pour x et y parcourant E, telle que, pour toute fonction/(x) de notre classe, on ait (1) f(y) = f(x)n(x,y)d/i x, pour tout y de E. J E Dans ce cas nous dirons que N(x,y) est le noyau reproduisant, en abrege n.r., de la classe de fonctions consid6ree. Dans des cas plus gene"raux l'integration dans la formule (1) pourra porter sur la d^rivee ou les derivees partielles de/, ou meme, l'integration pourra etre remplacee par une autre operation lineaire. Les classes de fonctions F que nous etudierons formeront toujours un espace de Hilbert (ou, plus generalement, un espace euclidien generalise^ r^el ou complexe et la formule (1) devra etre remplacee de maniere tout a fait generale par ou [g, K] designe le produit scalaire dans cet espace de Hilbert. Le noyau reproduisant n'existe pas pour toutes les classes de fonctions formant un espace de Hilbert. Pour la plus connue de ces classes, notamment la classe des fonctions 39, 3

2 134 N. ARONSZAJN de carre sommable dans un intervalle de l'axe reel, il n'y a pas de noyau reproduisant (voir a cet egard le 2, chapitre n). Les premiers noyaux reproduisants ont ete rencontres par S. Zaremba* dans ses recherches sur le probleme de Dirichlet pour les fonctions harmoniques et biharmoniques, recherches datant de Zaremba a trouve certaines des relations entre ces noyaux et les fonctions de Green des problemes correspondants. Les noyaux reproduisants ont trouve un emploi essentiel dans la theorie des fonctions analytiques de plusieurs variables complexes; ils ferment la base, sous nom de 'Kernfunction', de la methode de S. Bergmann f dans cette theorie. Bergmann a introduit de maniere systematique la methode des problemes de minima en relation avec ses noyaux. Cette methode se transpose dans tous les cas oil existe un n.r. La theorie que nous allons developper englobe tous les cas d'emploi des n.r. nommes ci-dessus. Elle permet de generaliser et d'approfondir les methodes d'utilisation des n.r. n'employees jusqu'ici que dans certains cas. Elle admet aussi des applications nouvelles. La premiere partie de notre travail, que nous presentons ici, se compose de deux chapitres. Le premier chapitre est consacre a la theorie abstraite des noyaux reproduisants. Apres la definition generale d'un n.r. au 1, nous etablissons au 2 les proprietes principales du n.r. en tant que fdnction de deux points variables. Ensuite, au 3, nous etudions les proprietes d'une classe de fonctions admettant un n.r., ce qui nous conduit dans le 4 a la caracterisation (theoreme 1) de telles classes de fonctions. Les 5 et 6 sont consacres a l'etude des relations entre les proprietes d'une classe de fonctions et les proprietes de son n.r. Enfin, dans le 7, nous donnons la caracterisation (theoreme 2) des fonctions N(x, y) qui sont des n.r. pour une classe de fonctions. Nous y montrons entre autres qu'une classe de fonctions, admettant N(x, y) pour n.r., est completement determinee par N(x,y). Dans le deuxieme chapitre nous passons en revue differentes realisations de l'espace de Hilbert. II se montre que dans presque tous les cas le n.r. existe. Les methodes de construction du n.r. pour une classe donnee, l'extension de la methode de problemes de minima de Bergmann et son application a la comparaison des n.r. des classes differentes et, enfin, l'application de la theorie generale aux differents problemes d'analyse, seront etudiees dans les parties suivantes de notre travail, a publier prochainement. Nous ferons dans la suite un usage constant de la theorie de l'espace de Hilbert abstrait. Le lecteur pourra trouver un expose detaille de cette theorie dans les travaux de J. von Neumann % et dans le livre de M. H. Stone. * Cf. S. Zaremba, Bull. Int. Acad. Cracovie, f Voir les travaux de S. Bergmann: Math. Ann. 102 (1929); Math. Z. 29 (1929); J. reine angew. Math. 169 (1932); Sur les fonctions orthogonales de plusieurs variables complexes avec les applications a la theorie des fonctions analytiques (Interscience Publishers, New York, 1941); voir aussi N. Aronszajn, C.R. Acad. Sci., Paris, 197 (1933) et 198 (1934). Cf. J. v. Neumann, Math. Ann. 102 (1929). M. H. Stone, Linear Transformations in Hilbert Space (Amer. Math. Soc. Colloquium Publications, xv).

3 La theorie des noyaux reproduisants et ses applications 135 CHAPITEE I 1. Soit F une classe des fonctions finies (reelles ou complexes), definies dans un ensemble abstrait E. Supposons que cette classe forme un espace de Hilbert ou, plus generalement, un espace euclidien generalise* (reel ou complexe) dont les elements sont des fonctions de F (et non pas des classes de ces fonctions). Supposons de plus que l'addition et la multiplication par une constarite, en tant qu'operations dans l'espace, se confondent avec ces operations (au sens ordinaire) effectuees sur des fonctions. II s'ensuit que l'element 0 de l'espace est la fonction = 0 sur tout E. DEFINITION. Nous dirons qu'une fonction N(x, y), definie pour tons les x ety de E, est un noyau reproduisant pour la classe F, si (1 ) pour tout y fixe, N(x, y), en tant que fonction de x, appartient a la classe F; (2 ) pour toute fonction f(x) de F, N(x, y) reproduit cette fonction, c'est-d-dire que I'ona (1,1) M = [/(*)> N{x,y)\ x, oii [...,... ] x est ecrit pour le produit scalaire, pris pour des fonctions de x. 2. Dans la suite nous nous limitons au cas d'un espace complexe, mais il est clair que le cas reel s'en deduit par la suppression des barres indiquant la prise des conjugues et le remplacement des expressions ' hermitienne' ou 'symetrie hermitienne' par 'symetrique' ou 'symetrie'. Supposons qu'il existe pour la classe F un n.r. N(x, y). Nous allons demontrer les proprietes suivantes de ce noyau: (2,1) N(y, z) = [N(x, z), N(x, y)] x pour tous y, z de E; (2.2) N(x,y) = N(y,x), pour tous x,y de E; (2.3) le noyau reproduisant est unique; (2.4) la forme quadratique hermitienne k,l=l est semi-definie positive pour tous les y^y^,... y n de E,n = 1, 2,3,...; n (2.5) Vequation Q( ) = 0 est equivalente a 2 N(x, y k ) g k = 0 pour tous x; I (2.6) N(y,y)^0pour tout y, N(y,y) = 0 equivaut a N(x,y) = 0pour tout x; (2.7) N(y, z) ^ *J{N(y, y) N(z, z)} pour tous y et z, Vegalite etant equivalente a ctn(x, y) = fin(x, z) pour tout x et (a, /?) independents de x et ^ (0,0); * On est conduit k la definition d'un espace euclidien generalise quand, dans la definition de l'espace de Hilbert abstrait, on supprime les axiomes de l'infinite de vecteurs independants et de separability. Les espaces euclidiens generalises renferment comme cas particuliers les espaces euclidiens a nombre fini de dimensions, l'espace de Hilbert et des espaces de dimensions nond^nombrables. Ils conservent la plupart de proprietes de l'espace de Hilbert, en tout cas toutes celles utilis6es dans le chapitre present. Pour les details concernant ces espaces, voir H. Lowig, Ada Univ. Szeged, 7 (1934). 0-2

4 136 N. ABONSZAJN (2.8) si A(/) est une fonctionnelle lineaire continue, definie dans F, la fonction de y X(N(x, y)) x (oil x en bas de la parenthese indique que A est prise pour N(x, y) en tant que fonction de x) appartient a F; (2.9) si Xet fi sont deux fonctionnelles lineaires continues, on a l'egalite fi(mn(x,y)) x ) y = X(MN(y,x)) y ) x. Remarque. Dans les cas oil le produit scalaire et les fonctionnelles ju, et A sont donnees sous forme des integrales, l'egalite de (2,9) exprime la legitimite du changement de l'ordre de l'integration pour certaines integrales multiples. Dans le cas reel cette egalite prend la forme plus simple MX(N(x,y)) x ) v = X(MN(x,y)) v ) x. Demonstration. (2,1): vient de (1,1) quand on y remplace/(a;) par N(x,z). (2,2): se deduit de (2,1) en changeant y et z de place et en utilisant la symetrie hermitienne du produit scalaire. (2,3): pour le prouver supposons qu'il existe un deuxieme noyau reproduisant N^x, y) pour notre classe F. D'apres la definition du n.r. on aurait, pour tout y, CK 11 N(x, y) - NjUpt, y) \ 2 = [N(x, y) - N x {x, y), N(x, y) - N x (x, y)] x = [N(x, y), N(x, y)] x - [N(x, y), N,(x, y)] x - [N^x, y), N(x, y)] x + [N^x, y), N^x, y)] x = N(y, y) - N(y, y) - N x {y, y) + N x {y, y) = 0; done 11 N(x,y) N x (x,y)\\ tous x et y. = 0 pour tout y et, par consequent, N(x,y) = N^x,y) pour (2,4) et (2,5): la forme hermitienne Q(E,) n'est, d'apres (2,1), que l'expression = S [N(x, yi ), N(x,y k )]i l i.1 1 Jx k,l=\ ce qui prouve (2,4) et (2,5). (2,6): est un cas particulier de (2,4) et (2,5) pour n = 1, y x = y et x = 1. (2,7): est, comme on sait, une condition necessaire et sumsante pour que la forme quadratique hermitienne Q( ) = N(y,y)\ 1 \ 2 + N(y, z) ^ 2 + N(z, y) i x 2 + N(z, z) \ 2 1 2, pour n = 2, I/J = y et y 2 = z, soit semi-definie. L'egalite dans (2,7) signifirait que Q(E) n'est pas definie, done, que pour un = ( i, 2 )^ (0, 0), on a Q(,) = 0. D'apres (2,5) ceci est equivalent a N(x, y) x + N(x, z) 2 = 0 pour tout x, ce qui donne la seconde partie de (2,7) avec, x = a et 2 = /?. (2,8): pour le demontrer designons par I la fonction de F telle que A(/) = [/, I] pour tout/de F. II s'ensuit done une fonction de F.,y)) x = [N(x,y),l(x)] x = [l(x),n{x,y)] x =

5 La theorie des noyaux reproduisants et ses applications 137 (2,9): maintenons les notations ci-dessus et designons de plus par m la fonction de F telle que fi{f) = [/, m] pour tout/. On trouve aussitot MMN(x,y)) x ) y = {i{l{y)) y = [I, m] = 3. Dans ce nous maintenons l'hypothese qu'il existe un n.r. N(x, y) pour la classe F et demontrons les proprietes suivantes des fonctions de F. (3.1) La valeur d'une fonction f de F en un point fixe y de E, <f> y (f) = f(y), est une fonctionnelle lineaire continue def. (3.2) L'ensemble des fonctions de x, u y (x) = N(x,y), forme un systeme complet dans Vespace F. (3.3) La convergence faible d'une suite {f n (x)} vers f(x) est equivalente a Vensemble de deux conditions: (a) pour chaque x, f n (x) converge versf(x), et (b) les normes \\f n \\ son^ bornees dans leur ensemble. (3.4) La convergence forte d'une suite {f n (x)} vers f(x) est equivalente a Vensemble de deux conditions: (a) pour chaque x, f n (x) converge vers f(x), et (b) \ / 11 -» 11 / 11. (3.5) Si une suite {f n (x)} converge fortement vers f(x), elle converge uniformement sur tout ensemble des x dans lequel N(x, x) est borne. Demonstration. (3,1): remarquons d'abord que <f> v (f) est evidemment une fonctionnelle lineaire. D'autre part, d'apres (1,1), on trouve 14>v(f) I = \f(y) I = I [/(*), m*, y)] x I < V{Lf(*)./(*)] [^(*. y)> N ( x > y)u = 11/11 Ji N (y> y))- Par consequent <j> y est une fonctionnelle lineaire bornee, done continue. (3,2): il est clair que si une fonction g de F est orthogonale a toutes les u v, on a U(y) = [?(*), N(x, y)] x = [g, u y ] = 0, pour tout y, done g = 0. (3,3): supposons d'abord que/ TO tend faiblement vers/. Dans ce cas, (a) vient du fait que, d'apres (3,1), <f> x {g) = g(x) est une fonctionnelle lineaire continue, done, d'apres la definition de la convergence faible, lim/jx) = lim^(/j = <p x (f) =f(x); (b) est une propriete generale des suites faiblement convergentes. Supposons maintenant que les conditions (a) et (6) sont satisfaites. II s'agit alors de prouver que pour toute fonction g de F, lim [f n /, g] 0. A cet eflfet, choisissons une combinaison lineaire finie 771 g'{x) = ^N{x,y k )i k avec nfl'-^'ll^6. I pour un e> 0 choisi arbitrairement. La fonction g' existe d'apres (3,2). En designant par M la borne superieure des 11 / 11, finie d'apres (6), nous avons SnT [fn-f,9] I < ^ I Un-f,9-9'] I "S D'apres (a) la derniere lim est = 0, done Le nombre e pouvant etre choisi arbitrairement, on en tire notre conclusion.

6 138 N. ARONSZAJN (3,4): d'apres un theoreme general, la convergence forte d'une suite {/ } vers/est equivalente a la convergence faible de {/ } vers/renforcee par la condition Ceci, en relation avec (3,3), donne visiblement (3,4). (3,5): cette proposition vient immediatement de I /«(*)-/(*) I = I Uniy)-M,N{y,x)) y < 11 f n -f 11 j{n(x,x)}. 4. THEOREME 1 (Critere d'existence). Pour que le noyau reproduisant pour la classe F existe, ilfaut et il suffit que la valeur d'une fonction f de F, en chaque point y de E soit une fonctionnelle continue de f. Demonstration. La necessite resulte de (3,1) et la suffisance du fait que, si la fonctionnelle lineaire <j> v {f) = f(y) est continue, il existe une fonction u v dans F avec f(y) = Uf) = [/.«] Par consequent, d'apres la definition du noyau reproduisant, N(x,y) =,u y (x) est le noyau de F. Remarque I. Dans l'application de ce critere, on verifie la continuite de la fonctionnelle <j> y {f) =f(y) en prouvant qu'elle est bornee, c'est-a-dire, en prouvant que pour tout y, il existe un M > 0 avec Remarque II. Comme nous verrons dans le chapitre n, dans tous les cas usuels, quand l'espace de Hilbert (ou, plus generalement, l'espace euclidien generalise) a pour elements des fonctions definies dans un ensemble E et non pas des classes de fonctions, il existe pour cet espace un n.r. Pourtant, nous verrons au chapitre n, 2, qu'il existe un espace de Hilbert, forme de fonctions, pour lequel le noyau n'existe pas. Mais, cet espace est construit a l'aide de l'axiome du choix. COROLLAIRE. S'il existe un noyau pour l'espace F, il en existe un egalement pour tout sousespace lineaire ferine F x c F. En effet, si <j> v {f) = f(y) est une fonctionnelle continue pour/parcourant F entier, elle est a plus forte raison continue pour/parcourant une partie F x de F. 5. Nous allons maintenant caracteriser differentes proprietes de l'espace F et de ses fonctions par les proprietes de son n.r. N(x, y) dont l'existence sera constamment supposee dans ce. DEFINITION. Les valeurs des fonctions de F, aux points y v y 2,...,y n de E, seront dites mutuellement independantes en abrege m. ind. si, pour tout choix des valeurs a v a 2,... a n, il existe une fonction f de F avecf(y k ) = a k, k 1, 2,...,n. Nous allons demontrer les propositions suivantes: (5,1) Soit Y = (yi,y 2, >y n ) un sousensemble fini de E. Les enonces suivants sont equivalents: (a) les valeurs des fonctions de F sont m. ind. aux points de Y; (6) il n'existe n aucune combinaison lineaire 2 N(x, y k ) E, k, s'annulant pour tout x de E, avec des fc non I tous nuls; (c) pour tout systeme de nombres ( x,..., n )#(0,...,0) il existe au moins une

7 La theorie des noyaux reproduisants et ses applications 139 _ fonctionf de F avec 2ffc/(yfc)^0; (^) la forme quadratique Qlg) = N{y k,yi)i k,i est 1 *,i=i definie positive. (5.2) Pour chaque y, N{y,y) = 0 equivaut af(y) = 0 pour toutfde F. (5.3) Pour tous y,z, \ N(y,z) = J{N(y,y)N(z,z)} est equivalent a af(y) = fif(z) pour toutfde F, avec (a, /?) ^ (0,0) et independents def. Demonstration. (5,1): pour le prouver, nous montrerons que (6) entraine (a), (c) entraine (6) et (a) entraine (c). D'autre part, l'equivalence de (6) et (d) resulte immediatement de (2,4) et (2,5). (6) entraine (a). Posons N(x,y k ) = u' k (x) + u k (x), ou u' k est orthogonal a tous les N(x, y k.), lc' ^ k, et u' k (x) est une combinaison lineaire des N(x, y k >), k' = k. On a KiVw) = [«(ao. N (*> Vk-)]x = 0, pour *' # k, 1 K\I 2 la derniere inegalite resultant du fait que, d'apres (b), N(x, y k ) n'est pas une combinaison lineaire des N(x, y k.) pour k' = k, done u' k (x) = N(x, y k ) u k (x) n'est pas identiquement nul. II s'ensuit que la fonction n /(*) = 77-^ <(*) 1 11 w k 11 satisfait aux relations f(y k ) cc k. (c) entraine (b). Ceci est clair en vertu de S U(Vk) = [fix), S N(x, y k ) &]. i L i Jx (a) entraine (c). Pour le voir, il suffit de prendre une fonction/(a;) a,vecf(y k ) =, k, k = 1 2 n (5,2) et (5,3) viennent des secondes parties de (2,6) et (2,7) par l'application de la formule (1,1). Nous passons maintenant a la consideration de la dimension de l'espace F. (5.4) Pour que l'espace F soit a n dimensions complexes (c'est-a-dire a 2n dimensions reelles), pour un nfini, ilfaut et il suffit que n soit le nombre maximum des points y k de E, tels que les fonctions de x, N(x, y k ), soient lineairement independantes. Remarque. Nous considerons ici le cas d'un F formant un espace euclidien generalise complexe. Dans le cas reel, il s'agirait dans (5,4) de n dimensions reelles. (5.5) Pour que l'espace F soit un espace de Hilbert, il faut et il suffit qu'il ne soit pas de dimension finie et qu'il existe une suite {y n } dans E telle que pour tout y de E on puisse en extraire une suite {y nk } avec lim N(x, y nk ) = N(x, y) pour tout x, et lim N(y nk,y nk ) = N(y,y). *-" ft-* 00 Demonstration. (5,4): si la condition de (5,4) est remplie, toutes les fonctions u v (x) = N(x, y) appartiennent a l'espace lineaire ferme a n dimensions complexes, engendre par les n fonctions N(x,y k ). Par consequent, cet espace contient F, car les fonctions u y forment un systeme complet dans F. Mais, l'espace en question etant contenu dans F, il s'ensuit que F est a n dimensions complexes. Inversement, si F est a n dimensions complexes, il est clair que parmi les u v il se trouve au plus n

8 140 N. ABONSZAJN independants. II doit y en avoir n, car autrement, d'apres ce qui precede, F serait a moins de n dimensions. (5,5): rappelons d'abord qu'un espace euclidien generalise est un espace de Hilbert (par d6finition) s'il n'est pas de dimension finie et s'il est separable. II s'agit dong de l'equivalence de cette derniere condition avec la seconde condition de (5,5). A ce sujet, nous pouvons remarquer que la separabilite de F est equivalente a la separabilite de l'ensemble des fonctions u v formant un systeme complet dans F et que, en vertu de (3,4), la separabilite du systeme des u y est exprimee par la seconde condition de (5,5). Nous allons considerer maintenant des ensembles E pourvus d'une notion de limite. Pour eviter toutes explications supplementaires nous supposerons que la notion de limite dans E est etablie a l'aide d'une distance entre points de E, conformement aux conditions bien connues de Frechet. En consequence, on definit de maniere habituelle les voisinages des points, la continuite d'une fonction, l'egale continuite d'une classe de fonctions, etc. Nos considerations se generalisent sans peine aux ensembles E dans lesquels la notion de limite se definit a l'aide des systemes de voisinages, les voisinages de chaque point etant en nombre denombrable. (5.6) Pour que toutes les fonctions de F soient continues dans E, ilfaut et il suffit que (a) N(y, z) soit une fonction continue de y pour z fixe et (6) il existe pour tout z de E un voisinage U dez dans lequel la fonction N(y, y) soit bornee. (5.7) Les trois propositions suivantes sont equivalents: (a) toute classe des fonctions de F aux normes bornees est egalement continue; (b) les fonctions N(y,y), et N(y,z) pour z fixe, sont continues; (c) N(y, z) est continue eny etz simultanement. Demonstration. (5,6): la continuite de toutes les fdef veut dire que, si limy n = y, on a ]imf(y n ) = f{y) pour tout /, ce qui est equivalent a ]im[f(x),n(x,y n )] x = [f{x),n{x,y)\ x pour tout/, et ceci est la definition meme de la convergence faible des fonctions N(x, y n ) vers N(x, y). Cette convergence, d'apres (3,3), est equivalente a (a) lim N(x, y n ) = N(x, y) pour tout x fixe, et (6) les N(y n,y n ) = N(x,y n ) 2 sont bomes. La condition (a), si Ton y change x en z et prend les conjugues N(y n, z) = N(z, y n ), se transforme en (a) de (5,6). La condition (b), vu qu'elle est valable pour toute suite {y n } convergeant vers y, est visiblement equivalente a (b) de (5,6). Ainsi (5,6) est demontre. (5,7): il suffit de prouver que (a) entraine (6), (6) entraine (c) et (c) entraine (a). (a) entraine (b). D'apres (a) toutes les fonctions de F sont necessairement continues et il existe, d'apres (5,6), (6), pour tout y un voisinage U de y tel que N(y',y>)=\\N(x,y')\\* est borne pour y' dans U. Par consequent, d'apres notre condition (a), les fonctions N(x, y') sont egalement continues (en tant que fonctions de x) pour y' dans U, en chaque point x. En particulier, pour x = y et y'->y, les differences N(y',y') N(y,y') tendent vers 0. D'autre part, vu la continuite de N{x, y) (en tant que fonction de x), N(y,y')-N(y,y) = ce qui donne N(y',y')-N(y,y) =

9 La theorie des noyaux reproduisants et ses applications 141 c'est-a-dire la continuity de N(y,y), qui forme la premiere partie de (6). La seconde partie de (b) resulte deja de la continuity de toutes les fonctions/ de F, vu que N(y, z) en est une (en tant que fonction de y). (b) entraine (c). Considerons y' -+y et z' ->z. On a N(y', z') - N(y, z)\^\ N(y', z') - N(y', z)\ + \ N{y', z) - N(y, z) \ = [N(x, z') - N(x, z), N(x, y')] x \ + \ [N(z, z), N(x, y') - N(x, y)] x \ ^\\N(x,z')-N(x,z)\\.\\N(x,y')\\ + \\N(x,z)\\.\\N(x,y')-N(x,y)\\. Puisque, d'apres (6), N{x,y') = J{N(y',y')}^J{N(y,y)}, on aura demontre N(y',z')-+N(y,z), si l'on prouve que \\N(x,y')-N(x,y)\\ et \\N(x,z')-N(x,z)\\ tendent vers 0. On a 11 N(x, y') - N(x, y) \ \* = [N(x, y') - N(x, y), N(x, y') - N(x, y)] x = N(y',y')-N(y',y)-N(y,y') ', y') - N(y, y)) - (N(y', y) - N(y, y)) - (N(y',y)-N(y,y)) ce qui tend, d'apres (6), vers 0. II en est de meme de 11 N(x,z') N(x,z)\\. (c) entraine (a). Pour une classe des fonctions f de F avec 11 / 11 < M, pour un point y de E et pour un e > 0 arbitraire, choisissons un voisinage U de y tel que Ton ait \N(y',y")-N(y,y)\<e 2 /3M 2 ) pour y' et y" dans U (l'existence d'un tel voisinage resulte de (c)). II s'ensuit, pour y' dans U, \\N(x,y')-N(x,y)\\* = N(y',y')-N(y,y')-N(y',y) + N(y,y) = (N(y',y')-N(y,y))-(N{y,y')-N(y,y))-(N(y',y)-N(y,y))<3(e*l3M*) = e*\m.\ Par consequent, pour nos fonctions /, on aura I f(y') -f(y) I = I [/(*), m%, y') - N(x, y)] \* \ \ f \ N(x, y') - N(x, y)\\< MieiM) = e, ce qui prouve l'^gale continuite des/. Ajoutons encore la proposition suivante. (5,8) Si E est separable et toutes les fonctions de F sont continues, Vespace F est separable (done; hilbertien ou de dimension finie). Demonstration. Soit Y un sousensemble denombrable et dense de E. II suffit de prouver que l'ensemble denombrable des fonctions u v (x) = N(x, y), pour y parcourant Y, forme un systeme complet dans F. A cet effet, considerons une fonction f de F orthogonale a toutes ces u v. Soit y' un point quelconque de E et {y n } une suite des points de Y, convergeant vers y'. Les fonctions de F etant continues, on trouve /(</') = \imf{y n ) = ]im[f(x),n(x,y n )] x = lim [/, u Vn ] = 0. Par consequent/ = 0, ce qui ach&ve notre demonstration. 6. Supposant comme auparavant qu'il existe un noyau N(x,y) pour l'espace F, considerons la representation de l'ensemble E sur une partie de l'espace F faisant correspondre a y E, u y = N(x, y) e F. Nous allons maintenant etablir des rapports entre les propri^tes de cette correspondance et les proprietes des fonctions de F et du noyau N(x, y).

10 142 N. ARONSZAJK Une transcription de (1,1), (2,1) et (3,2) donne (6.1) f(y) = [/, u y ] pour tout y de E et toutfde F. (6.2) N(y, z) = [u z, Uy] pour tous y etzde E. (6.3) L'ensemble des u y forme un systeme complet dans F. Les propositions du 5 nous conduisent aux propositions suivantes: (6.4) Pour que la correspondence y< >u y soit biunivoque, il faut et il suffit que pour deux points quelconques y, z de E, y= z, il existe au moins une fonction f de F avec (6.5) Pour que, en tout sousensemble fini de E, les valeurs des fonctions de F soient mutuellement independantes, il faut et il suffit que la correspondance y< >u y soit biunivoque et que tout hyperplan complexe de F an dimensions complexes, passant par Vorigine 0, coupe l'ensemble des u y en au plus n points. (6.6) Soit maintenant E un ensemble pourvu d'une distance. 1. La continuite faible de la transformation T(y) u y est equivalente a l<g continuite de toutes les fonctions de F. 2. La continuite forte de cette transformation est equivalente a I'egale continuite des fonctions de F aux normes bornees. Demonstration. (6,4): si u y = u z, f(y) = [f,u y ] = [f,u z ] =f(z). Si f(y) =f(z) pour tout/, on aura, pour tout x, u x (y) = u x (z) et, en prenant les conjugues, u y (x) = u z (x). (6,5): resulte immediatement de (5,1) (l'equivalence de (a) et (b)) vu que, dans un hyperplan a n dimensions, il n'y a qu'au plus n vecteurs lineairement independants. (6,6): le commencement de la demonstration de (5,6) fournit la demonstration de 1. Pour prouver 2 il suffit de montrer que la continuite forte de T(y) = u y est equivalente a la condition (6) de (5,7). En effet, la continuite forte de T(y) entraine, pour y'->y, les relationsn(y',y') = 11 u y. 2^ 11 u y 2 = N(y,y) etn(y',z) = [u z,u y.]^[u z, u y ] = N(y, z), c'est-a-dire la condition (6) de (5,7). D'autre part, la condition (b) de (5,7) entraine, pour y'^y, (j ^ _^ 2 = N { y > y y ' ) _ W ^ ~ c'est-a-dire la convergence forte de T(y') vers T(y). Remarque. Les developpements de ce nous permettent de donner une image abstraite de la formation d'une classe de fonctions admettant un noyau reproduisant. Nous procedons comme suit. Pour un ensemble quelconque E nous considerons une correspondance, attachant a chaque point y de E un element u y d'un espace euclidien generalise abstrait F a. Cette correspondance sera choisie de sorte que l'ensemble des u y forme un systeme complet dans F a (dans le cas contraire, on pourra considerer, au lieu de F a, le sousespace lineaire ferme engendre par les u y ). Chaque element/ de F a determine alors une fonction f(x), definie pour tout x de E par l'equation f(x) = [f,u x ]. II est clair que ces fonctions forment une classe lineaire isomorphe avec l'espace F a (en tant qu'espace vectoriel), l'isomorphie etant etablie par la correspondance f< >f(x). En prenant pour produit scalaire de deux fonctions f(x) et g(x), le produit scalaire des elements correspondants/et g dans F a, nous ferons

11 La theorie des noyaux reproduisants et ses applications 143 de la classe de ces fonctions un espace euclidien generalise F isomorphe et isometrique avec F a. L'espace F peut etre considere comme une realisation de l'espace abstrait F a. L'espace F possede un noyau reproduisant, N(z, y) = [u y, u x ], comme on le verifie immediatement. 7. THEOREME 2. Soit N(x, y) une fonction, reelle ou complexe, definie pour tons les x et y d'un ensemble E. Pour qu'il existe une classe de fonctions F formant un espace euclidien generalise et admettant N(x, y) pour noyau reproduisant, il faut et il suffit que, pour tout ensemble fini (y 1,y 2,...,y n ) c E,la forme quadratique (7.1) Q = N{y k,yi)l k^ k,l=l oit hermitienne et semi-definie positive. La classe F, si elle existe, est unique. Demonstration. II vient de (2,4) que la condition est necessaire. Pour prouver la suffisance, il nous faut definir de maniere convenable la classe de fonctions F et le produit scalaire pour les fonctions de cette classe. Remarquons d'abord que la forme (7,1) etant hermitienne, ses coefficients satisfont a N(y k, y,) = N(y lt y k ) et, y k et y t pouvant etre pris arbitrairement dans E, il en resulte (7.2) N(y,z) = N(z,y) pour tous y,z dans E. Ensuite, si nous formons la forme (7,1) pour les points (z,y x,y%,...,y n ) et les variables ( J i> ^2> ; n )> nous pouvons la presenter comme une forme en Cette forme etant hermitienne et semi-definie positive, il en resulte (7,3) N(z, z) Q(,) pour tout z. I Ceci etant, d6finissons comme classe F t la classe de toutes les fonctions f(x) de la forme I Bien entendu, une fonction de F 1 peut admettre plusieurs representations distinctes de la forme (7,4). Pour deux fonctions f(x) etf'(x) de F ± representables sous formes f{z) = i N(x, y k ) i k, f'{x) = N[x, y\) g, I I nous definirons comme produit scalaire Montrons que cette definition est legitime, c'est-a-dire qu'elle ne depend pas du choix particulier des representations de/et/'. En eflfet, on tire de (7,2), (7,4) et (7,5), (7,6) n' [/, f\ = S f(y\) S, [/, f'\ = S f'(y k ) i k, 1=1 k=\

12 144 N. AEONSZAJN ce qui prouve que [/,/']x ne depend ni de la representation particuliere de/ (premiere equation de (7,6)), ni de celle de/' (seconde equation de (7,6)). II est clair ensuite, vu que [f,f\ Q{ ) est reel, que (7,5) est une forme bilineaire hermitienne dans F x, consider^ comme espace vectoriel. D'autre part, on a d'apres (7,3), (7,7) /(z) *S J{N(z, z) [/, /]J pour tout z dans E. II en resulte que [/, f\ est defini positif. Ainsi, [/, /']i satisfait a toutes les conditions imposees au produit scalaire. Si la classe F x avec ce produit scalaire et la norme correspondante [ / 111 = V[/> f\ formait un espace complet, nous aurions deja atteint notre but. Puisque, en general, il n'en est pas ainsi, nous allons la computer. A cet effet, nous considerons les suites de Cauchy dans F v c'est-a-dire des suites (7.8) lim / m -/J 1 = Urn [f m -f n,f m -f n \ = 0. 7n,n *-oo m,n >-oo II est clair, d'apres (7,7), qu'une telle suite converge dans tout l'ensemble E. Appellons F la classe de toutes les fonctions qui sont des limites des suites de Cauchy de F±. Puisque la suite {/ } avec/ re =f F 1 est une suite de Cauchy, on a (7.9) F 1 c F. D'autre part, vu que, avec {/ } et {g n }, {ctf n +fig n } est aussi une suite de Cauchy, on trouve (7.10) La classe de fonctions F forme un espace vectoriel. Prenons maintenant deux fonctions de F, f et g, limites des suites de Cauchy {f n } et {<? }. Nous posons (7.11) [/,<7]= lim [f m,g n \. m,n >-oo Pour justifier cette definition, il nous fautprouver que la limite dans (7,11) existe et qu'elle ne depend pas du choix particulier des suites de Cauchy convergeant vers/et g. Le premier fait vient de I [/m. ffnil ~ Um->9n']l I < I [/m> 9n\~ ifm>9 n ]l I + I Urn' 9V]l~ Urn''fl'nOlI = I ifm^n-gn'll I + I [f m -fm'>9n']l < 11 fm n~9n' I l+ 11 fm~fm' I n' I 11 par l'application de (7,8), vu que toute suite de Cauchy est aux normes bornees. Pour prouver le second fait, considerons deux autres suites de Cauchy, {/^} et {g^}, convergeant vers/et g. Soit fjpn) = S N(x, yf) 4 m >, g n (x) = N(z, zf) Q»>. k I La limite dans (7,11), dont l'existence a ete deja prouvee, ne depend pas de l'ordre de passage a la limite. En appliquant (7,6) et le fait que/ m f' m et g n g' n convergent vers 0 partout dans E, on trouve \J m -f'm,9n\ = lim lim [f m -f' m,g n \ = lim lim X{f m (z?)-f^z?)}$* = 0, I lim [/;, g n -g^ = lim lim {g n (yf) -g' n {y%)}& m > = 0. m,n >oo m-*k> n-»-oo k

13 II s'ensuit La theorie des noyaux reproduisants et ses applications 145 m,n->» m,n-*- co ce qu'il fallait demontrer. La consideration des suites de Cauchy {/J et {g n } avec / n = f,g n = g, pour n = 1, 2,..., conduit a (7.12) Pourfet g dans F x, [/, g] = [f, g] v Pour montrer que [/, g] est un produit scalaire, il nous reste a prouver que (7.13) lf,f]> 0; [/>/] = 0 entrainef=0. On a d'abord [/,/] = lim [fmjn\ = lim [f n J n ]i>q- Ensuite, d'apres (7,7), on trouve pour tout z dans E, /(z) = Km / n (z) ^ lim J{N(z, z) [fnjnw = VW*. z) donc/(2) = 0 pour tout z, si [/,/] = 0. En introduisant la norme / = V{[/>/]} dans F, on s'apercoit d'apres (7,9) et (7,12) que toute suite {/ } de Cauchy dans F x en est une dans F egalement et que, si elle converge vers/ en tout point de E, elle y converge aussi selon la norme lim H/-/JI = lim Sf-Uf-fJ} = lim lim J{[f n -f n,f m -f n \) = 0. Par consequent, il s'ensuit de la definition de F que F x est dense dans F. II en resulte immediatement que F est un espace complet, car, pour une suite de Cauchy {/ } dans F, on peut trouver une suite {/^} dans F x avec lim 11 f n f' n \ \ = 0. La suite {/^} sera n >co alors une suite de Cauchy dans F, done aussi dans F lt et elle convergera vers une fonction f de F selon la norme. Par consequent, {f n } convergera aussi vers /, done l'espace F est complet. II est ainsi prouve que F est un espace euclidien generalise. Considerons maintenant une fonction/ de F, limite d'une suite de Cauchy {/ n } c F lt ou D'apres (7,5) et (7,11), on a f(y) = Iim/ n (y) = lim S^(y,^)flfc n) = Mm [f n (x),n(z,y)] t = [f{z),n{x,y)l n ><o n >co k n >co done N(x, y) est le n.r. de F. Nous avons ainsi etabli la suffisance de la condition de notre theoreme. II nous reste a prouver que, si une classe de fonctions F' formant un espace euclidien gen6ralise avec un produit scalaire [/, g]' admet N(x, y) comme n.r., on a necessairement En efifet, F' doit contenir toutes les fonctions u v (x) = N(x, y) et toutes leurs eombinaisons lineaires finies; elle contient done toute la classe F v D'apres (2,1), on doit avoir \u z,u y }' = N(y,z), done, pour les fonctions de la classe F x, [f,g]' = [f,g\. Selon (3,2), les fonctions u v fqrment un systeme complet dans F'\ done, la classe F x est dense dans l'espace complet F'. II s'ensuit que toute fonction de F' est une limite forte d'une suite de Cauchy de F x et toute suite de Cauchy de F x converge fortement vers une

14 146 N. ARONSZAJN fonction de F' selon la norme [...]'. Cette convergence forte entraine, d'apres (3,4), la convergence en tout point de E vers la fonction limite. Si Ton compare ceci avec la definition de la classe F, on en deduit immediatement que les classes de fonctions F et F' se confondent. S'il s'agit du produit scalaire [f,g]', il est clair que, si {/ } et {g n } sont des suites de Cauchy dans F x convergeant vers/et g, on aura d'apres (7,11) [/,<?]' = Urn [f n,gj = lim \f n,tf n \ = [f,g]. n *- o n >-oo La demonstration de notre theoreme est ainsi completement achevee. CHAPITRE II Dans le chapitre present nous allons passer en revue differentes reaksations de l'espace de Hilbert (ou des e spaces euclidiens generalises) et les etudier en relation avec les considerations du chapitre i. 1. Commeneons par l'espace primitif de Hilbert, c'est-a-dire l'espace des suites QO x = {x n } avec x n 2 < oo. Pour le ranger dans le cadre de nos considerations, nous allons interpreter une suite {x n } comme une fonction x(n), definie dans l'ensemble E des nombres n = 1, 2,... On prend [x,y] = 2x(n)y{n) comme produit scalaire. II est I facile a verifier que le noyau reproduisant existe et qu'il est egal a N(m,n) = # = 1 pour m = n et = 0 pour m^n. Dans le cas reel correspondant on trouve le meme noyau. 2. Considerons maintenant l'espace de Hilbert le plus souvent utilise, notamment l'espace des fonctions /( ) de carre sommable dans un intervalle de l'axe reel, soit l'intervalle 0 ^ < 1. Limitons-nous pour plus de simplicite au cas reel (le cas complexe se traite de maniere analogue). Le produit scalaire est defini par [/. 9] = Jo II est bien connu que les Elements de cet espace ne sont pas des fonctions mais des classes de fonctions, notamment les classes des fonctions quivalentes, c'est-a-dire des fonctions ne differant entre elles que dans un ensemble de mesure nulle. Par consequent, la valeur d'un 61ement de cet espace en un point de l'intervalle (0, l)n'est pas determines. II s'ensuit que ce cas ne se range pas dans le cadre de nos considerations generates et on ne peut pas y parler d'un n.r. proprement dit. Pourtant, vu l'importance de ce cas, nous allons essayer de voir s'il n'est pas possible d'affaiblir d'une certaine maniere les conditions definissant un noyau reproduisant, ou bien de changer la definition de notre espace, de sorte que le noyau existe, sans que pour cela le noyau et l'espace per dent leurs proprietes les plus essentielles. L'interet de cette recherche vient de ce que, s'il existait un noyau convenable, il rendrait les memes services que la fonction symbolique <$( rj) de Dirac*. Mais ceci nous conduit plutot a penser que, malgre tous les arrangements, le noyau n'existera pas. Cette vue va etre confirmee par les developpements ci-apres. * Cf. P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, ed. 2, p. 72.

15 La theorie des noyaux reproduisants et ses applications 147 Nous allons admettre un noyau N{g, 7]) d6fini seulement pour presque tous les 7] dans (0, 1), done pour 7] parcourantun ensemble D de mesure 1. Pour un 7]fixe dans D, N(g, y) pourra n'etre defini que pour presque tous les E, pourvu qu'il forme une fonction de E, de carre sommable. L'egalite (1,1) du chapitre i (2,1) f( V )= \ M) Jo ne sera exigee que pour presque tous les i), l'ensemble des t\ oil elle a lieu pouvant varier avec la fonction/. Pour faire de notre espace une classe de fonctions, nous choisirons de chaque classe des fonctions 6quivalentes une fonction representative, enabrege f.r., de sorte que, avec/ et g, af+fy soient aussi des f.r. pour tous les a, fl reels*. La, classe de ces f.r. formera, bien entendu, un espace de Hilbert conforme aux conditions imposees aux classes F generales du chapitre I. Nous allons prouver que, malgre tous ces arrangements, notre classe actuelle ne possede pas de n.r. A cet effet, en supposant qu'un tel n.r. N(, rj) existe, nous construirons par induction des ensembles fermes A n, des nombres <*, <a n <f, et des fonctions 0 n (f) tels que: 1 a n soit un point de densite 1 de A n _ 1 ; 2 4>n( ) s i* 1 & f- ṟ equivalente a la fonction V^n( ) qui est 0 pour g <x n >2-"- 2, 1 pour =<% et lineaire dans les intervalles et a B s g«sa B + 2 -»; 3 A n soit un ensemble ferme de mesure positive, compris dans la partie commune de A n^ et de l'intervalle a B 2-"- 3 < <a n + 2-"- 3, et tel que, pour rj dans A n, on ait (2,2) <f> n ( V ) = ) = C $n( J 0 Ces trois conditions indiquent clairement la maniere de proceder: on prendra comme A g un ensemble ferme de mesure positive compris dans la partie commune de D et de l'intervalle (i, i)- Ensuite, si un A n _ l de mesure positive est d&ja construit, on choisit a n conformement a 1, ce qui d'apres 2 determine 0 n (g). Vu la condition 1, et vu que les 6galites (2,2) ont lieu pour presque tous les rj, il est possible de trouver A n conformement a 3. Les A n, cc n et $ ( ) ainsi definis pour tous les n, on voit immediatement que les A n forment une suite decroissante d'ensembles fermes de diametres tendant vers 0. Us contiennent done un (et un seul) point commun a. D'apres 3 on a pour tout n )= f Jo On a de plus cc n 2~ n ~ 3 <a<a n + 2~ n ~ 3, ce qui donne, d'apres 2, i<^n( a )^! D'autre part, d'apres 2, on a - x ^ «(l)df=?«(d««= ia 1 ; Jo Jo done, contrairement a J ^ ^n( a )> on trouve lim f n (a) = lim I (%,.( ) N(l, «) «< lim /( Cfi<%f ^(f. «) «) = 0. re->oo n-»-oo Jo V U 0 J 0 J Cette contradiction prouve que le noyau N(, r/) n'existe pas. Nous avons prouve ainsi a fortiori que la classe des f.r., qui forme un espace de Hilbert et qui est conforme aux conditions generales du chapitre I, ne possede pas de noyau reproduisant (au sens propre). 3. Considerons maintenant un ensemble E pourvu d'une mesure /if. La classe F des fonctions reelles (ou complexes) de carre sommable dans E forme unespaceeuclidien generalise reel (ou complexe) dont les elements sont les classes des fonctions equi- * La possibility d'un tel choix se demontre facilement, en s'appuyant sur l'axiome de Zermelo. t Pour la definition generate d'une mesure dans les ensembles abstraits, des fonctions mesurables et de l'integrale relatives a cette mesure, voir S. Saks, Theory of the Integral, Monografie Matematyczne, Warszawa-Lw6w, 1937, chap. I. a)

16 148 N. ABONSZAJN valentes de F. Comme produit scalaire on y prend [/, g] = fgd/i. Les cas des 1 et 2 rentrent dans cette categorie; dans l'ensemble E du 1 on use clairement de la mesure qui, pour un sousensemble de E, est egale au nombre de ses elements. S'il s'agit de l'existence d'un n.r., il faut distinguer deux cas, correspondant aux cas des 1 et 2. Premier cas. II n'y a pas dans E des sousensembles de mesure nulle non-vides. Dans ce cas, deux fonctions equivalentes sont necessairement identiques. II existe alors dans E une decomposition en des ensembles mesurables E a deux a deux disjoints, de mesures positives, tels que tout ensemble mesurable est une somme d'un certain nombre de ces ensembles. Chaque fonction mesurable / prend une valeur constante, soit f a, dans chacun des ensembles E a. L'integrale 'EfaP*' a ou JE fd/i devient alors la somme Aa = M&*)- Le produit scalaire prend la forme [/, g] = ^f a g a /i a, existe visiblement un noyau N(x,y) = N(<xJ) = fc< = (A./*,)"* #, ohxee a, yee fi,8 fi a = 1 sia = /?et(j = Osia^/ff. Deuxieme cas. II existe au moins un ensemble non-vide de mesure nulle. II y aura dans ce cas des fonctions equivalentes non-identiques. Par consequent, notre espace euclidien generalise est compose de classes de fonctions et Ton ne peut pas appliquer les considerations du chapitre I dans le cas present. 4. Considerons l'espace de toutes les fonctions complexes <j>(e,) absolument continues dans l'intervalle 0 < < 1 et telles que (4.1) 0(0) = k<j)(l), pour unk^l independent de <j>; (4.2) fv Jo Nous definirons le produit scalaire par (4.3) 0,ifl o La valeur d'une fonction ^'au point?/ est donn6e par a et il Cette formule etablit une correspondance isomorphe et isometrique entre les fonctions <j> et les classes des fonctions equivalentes <j>'. Ces dernieres classes formant un espace de Hilbert, il s'ensuit que notre espace en est un egalement. Cet espace possede un n.r. N(, r,). On verifie aisdment que r % _ k k k (4.5) ) i i 1-k k (4,6) (t ^ \ 1), (4,7) J\T(O, 1)1 2 = N{0,0)J V(l,l).

17 La theorie des noyaux reproduisants et ses applications 149 Les egalites (4,6) et (4,7) sont conformes aux proprietes (2,7) et (5,3) du chapitre I et leur vraie source est l'egalite (4,1) qui exprime le fait que les valeurs des fonctions de notre espace ne sont pas independantes aux points 0 et Soit maintenant F l'espace des fonctions h(,, rj) harmoniques (et regulieres) dans un domaine connexe D et de carre sommable dans D*. Nous considerons ici le cas reel. Le cas complexe, quand h = h-^ + ih^ avec h t et h 2 harmoniques reelles, se traite de la meme facon. Nous posons [h,g] = hgd^dv (dans le cas complexe hgde,dv\. Soit 0 = 0 + iy 0 un point de D et C T = C( o, r) le cercle de centre 0 et rayon r compris dans D. En vertu de la formule bien connue (5,1) on trouve i c, Cette inegalite nous permet d'abord de prouver facilement que l'espace F est complet. En effet, elle entraine que toute suite de Cauchy {h n } converge uniformement dans tout domaine completement interieur a D vers une fonction harmonique h. Celle-ci, par consequent, ne differe que dans un ensemble de mesure nulle de la limite forte de cette suite, consideree dans l'espace de toutes les fonctions de carre sommable dans D. II s'ensuit que les h n convergent fortement vers h, et que h est de carre sommable et appartient a F. Celui-ci est, par consequent, complet et forme un espace euclidien generalise. L'inegalite (5,2) prouve ensuite, d'apres la Remarque I du 4, chap. I, que cet espace possede un noyau reproduisant. II s'ensuit, d'apres (5,8) du chapitre i, que F est un espace de Hilbert. Quand le domaine D est le cercle < r, on peut verifier directement que ce noyau est donne par Remarque. De maniere analogue, nous pouvons considerer la classe des fonctions harmoniques de carre sommable dans un domaine d'un espace euclidien a un nombre quelconque (mais fini) de dimensions. On y a une formule analogue a (5,1), ce qui permet de conclure comme plus haut. 6. Choisissons dans un domaine D du plan un point fixe que nous pouvons supposer 0. Considerons l'espace F des fonctions harmoniques h(q telles que * Cet espace et son n.r. ont dte considered pour la premiere fois par S. Zaremba, Bull. Int. Acad. Cracovie, Voir aussi S. Zaremba, Ann. sci. Ec. norm. sup. (1909). t Cet espace remonte jusqu'a Dirichlet, mais c'est encore S. Zaremba qui y a le premier forme le n.r.: voir Bull. Int. Acad. Cracovie, PSP 39, 3 io

18 150 N. ARONSZAJN On posera (6,2) [h, g] -- On peut ici aussi considerer le cas complexe que Ton traite de facon similaire. Nous allons etablir, pour les fonctions de notre espace actuel, une formule analogue a (5,2). A cet effet, considerons un point 0 dans D et joignons le a l'origine par un arc L a tangente continue, interieur a D. En designant par ds l'element d'arc de L et par A la longueur de L, nous aurons -ir d + ir d V \= Ed dd Soit maintenant r la plus petite distance entre Tare L et la frontiere de D. D'apres la definition de notre espace, les fonctions dh/d!; et dh/di) appartiennent a l'espace du precedent et Ton peut ecrire, d'apres (5,2), pour chaque de L, :JL.ff dh M dr, done, en faisant la somme, on trouve d'apres (6,2), II s'ensuit ce qui forme, dans le cas present, la formule analogue a (5,2). Ceci entraine, comme dans le precedent, que l'espace est complet et qu'il admet un n.r. Quand D est un cercle < r, le noyau est donne par (6,3) " ' bbl Remarque. Sans difficultes additionnelles on peut generaliser les considerations de ce au cas des domaines %-dimensionnels, n > Considerons l'espace des fonctions h harmoniques dans le cercle < 1, telles que (7,1) limsup h 2 (re ie ) d6 < co pour r-»-l. Jo II est bien connu que ces fonctions admettent presque partout sur = 1 une valeur radiale limite, h(e i0 ), telle que (7,2) Nous posons f "h 2 (e ie )dd = lim f " Jo r->-ljo [h,g]= r"h(e ib ) Jo <oo.

19 La theorie des noyaux reproduisants et ses applications 151 II est facile de voir que ces fractions h forment un espace de Hilbert. Cet espace possede le noyau reproduisant 1 (7 3) NIC ID- 27rloil l'on a pose = p&4, x = p^k En effet, la formule h(^) = [h(q, JV(, t )] n'est ici rien d'autre que la formule de Poisson. 8. Considerons un domaine D dans l'espace des n variables complexes &, 2,...,. La classe F des fonctions analytiques f(c v..., J, holomorphes dans D et de carre de module sommable si Ton y pose ( 8 > 2 ) [/> 91 = jj-.j D fgdt x d Vl... d n d Vn, forme un sousespace lineaire d'un espace correspondant du genre considere dans la Remarque du 5, notamment l'espace des fonctions harmoniques complexes des 2n variables reelles t, Vi,, i n > Vn> regulieres et de carre de module sommable dans D. On prouve aisement que ce sousespace est ferme et qu'il est a une infinite de dimensions. Par consequent c'est un espace de Hilbert*. Puisque pour les espaces de la Remarque du 5 le n.r. existe, il existe egalement pour notre espace actuel, en vertu du corollaire du 4, chapitre i. Indiquons que pour D egal au cercle < r, on a r z 9. Soit maintenant F l'espace des fonctions h harmoniques d'ordre 2 dans un domaine D du plan (c'est-a-dire que le second laplacien AAh = 0), satisfaisant aux conditions (9.1') h = 0 sur lafrontiere de D, "NT (9.1') JNous posons IT \Ah\*d dii<ao. J J D Pour etre sur que cet espace est complet, il faut admettre certaines hypotheses restrictives concernant la frontiere de D (il suffit, par exemple, que la frontiere soit rectifiable). Ces hypotheses etant admises, l'espace F est un espace de Hilbert, vu (5,8) du chapitre i et vu que, comme nous allons le montrer, il possede un n.r. donne par la formule (9,3) N(x,y) = * Ces espaces et leurs noyaux forment la base des recherches de S. Bergmann sur les fonctions analytiques de n variables complexes et sur les transformations pseudo-conformes dans l'espace de n variables complexes; voir note f au bas de la page 134.

20 152 N. ABONSZAJN ou iv'(, x ) designe le noyau de l'espace du 5 forme pour le meme domaine D, G(x, ) est la fonction de Green ordinaire de ce domaine, = En effet, rappelons d'abord les faits connus que G(f, x) = JJ^ G(x, est, pour x fixe, une fonctionnelle continue de /, celle-ci parcourant l'espace IP- des fonctions de carre sommable dans D et que, pour / fixe pris dans IP, G(f; x) possede presque partout dans D un laplacien AG(f;x) = f(x)*. II s'ensuit que: 1) d'apres (2,8) du chapitre i, la fonction de x (pour y fixe) N'(x, x ) G( lt y) d 1 dy 1 appartient a l'espace du 5, done, a fortiori, a IP; 2) le laplacien relatif au point x de N(x, y) est egal a N'{x, x ) G(^1,y)d^1dv 1 ; 3) par consequent, vu (9,2), (9,4)' [h(x),n(x,y)] x = - oil x = cr + IT; 4) vu que Ah appartient a l'espace du 5 et que la fonctionnelle = \[ Ah{x)f(x)d<rdT est continue pour / dans L 2, nous pouvons appliquer au second membre de (9,4) la formule (2,9) du chapitre I (avec A(/) = G(f;y)) et le transformer comme suit ^' y) d^d et enfin 5) on en deduit, vu que, comme on sait, toutes les fonctions de notre classe F sont representables sous la forme h(y) = membre de (9,4) est egal a h(y), ce qui acheve la demonstration. G( >1,y)Ah( >1 )de, 1 dri 1, que le premier 10. Comme illustration du theoreme 2 du 7, chapitre I, nous allons considerer les fonctions positivement definies, introduites par S. Bochnerf- Une fonction f(x), dennie pour tous les x reels, est dite positivement definie, si (1) elle est continue et uniformement bornee; (2) f( x) =f(x); (3) la forme quadratique hermitienne m est semi-definie positive, pour tout choix des x v. On demontre que la fonction/(x) est representable sous la forme (10,1) J -C oil V(ct) est une fonction non-decroissante et bornee pour oo < a < oo. Posons maintenant (10,2) N(x,y) =f(y x) pour tous x et y reels. * Le premier fait est facile & prouver, le second a ete demontre par L. Lichtenstein, J. reine angew. Math. 141 (1912). f Cf. S. Bochner, Vorlesungen iiber Fouriersche Integrate (Leipzig, 1932), p. 74.

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