Devoir de mathématiques - 2A-B-C 24\11\15

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1 Nom : Prénom : Classe : Devoir de mathématiques - 2A-B-C 24\11\15 Calculatrice autorisée La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. Les résultats seront encadrés - un barème probable est donné pour un total de 40 points. Vous pouvez traiter les exercices dans l ordre que vous voulez. EXERCICE 1 Lecture graphique : ( 4 points ) Soit f la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. 1. Lire l ensemble de définition de la fonction f. 2. Lire graphiquement l image de 3 par la fonction f. 3. Résoudre graphiquement l équation f (x) = Résoudre graphiquement l inéquation f (x) Donner le tableau de variation de la fonction f. EXERCICE 2 Soit f la fonction définie sur l intervalle [ 7;8] par f (x) = (x 3)2 (2x + 9) Résoudre l équation f (x) = Compléter le tableau de variation de la fonction f donné ci-dessous sans justifier. (6 points ) x f (x) ( ) Calculer f. En déduire l ensemble des solutions de l inéquation f (x) Soient a et b deux réels de l intervalle [ 2;3] tels que a < b comparer f (a) et f (b) 5. La proposition «Si 2 f (x) 3 alors x [0;5]» est-elle vraie ou fausse? 0 25 Page 1 sur 4

2 EXERCICE 3 ( 6 points ) ABCD est un rectangle tel que AB = 5 et AD = 9. M étant un point du segment [AB], on construit le carré AM NP et le rectangle N IC J comme indiqué sur la figure ci-contre. On pose AM = x et on note f (x) l aire de la partie qui n est pas hachurée. 1. Donner l ensemble de définition de la fonction f. 2. La courbe représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d un repère orthogonal. À l aide du graphique, déterminer : (a) la position du point M pour que l aire de la partie non hachurée soit maximale ; (b) l intervalle sur lequel l aire de la partie non hachurée est strictement inférieure à Montrer que la fonction f est définie par f (x) = 14x 2x Déterminer les positions éventuelles du point M pour que l aire de la partie non hachurée soit égale au double de l aire du carré AM NP. EXERCICE 4 Transformer les nombres pour déterminer leur nature ( 9 points ) A = D = 3 8 B = E = C = F = ( ) 2 EXERCICE 5 ( 4,5 points ) Soit f la fonction affine telle que f ( 2) = 3 et f (1) = Quel est le sens de variation de la fonction f? 2. On note D la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d un repère orthogonal. Calculer les coordonnées des points d intersection de D avec les axes du repère. 3. Représenter la droite D sur le repère ci-contre en annexe 1. Page 2 sur 4

3 EXERCICE 6 Le plan est muni d un repère orthonormé (O, I, J) 1. Placer les points A( 2; 3), B( 4,5;2,5), C (1;5) sur le repère donné en annexe Quelle est la nature du triangle ABC? Justifier. 3. (a) Calculer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. (b) Le quadrilatère ABCD est-il un carré? Justifier. ( 4, 5points ) Annexes ( le dernier exercice est à la page 4) : Annexe 1 : Annexe 2 : T.S.V.P Page 3 sur 4

4 EXERCICE 7 Algorithme : (... points ) On lance une fléchette sur une cible électronique. Celle-ci détecte les coordonnées ( x; y ) du point d impact F de la fléchette dans un repère orthonormal (O, I, J) gradué en cm. On s intéresse à l algorithme suivant : Lire x et y d = x 2 + y 2 Si d < 10 Afficher "Trop fort, tu es dans la cible!" Sinon Si d = 10 Afficher ""Oups, c était limite!"" Sinon Afficher "Désolé, mais c est raté!" FinSi FinSi 1. Que permet d obtenir l algorithme dans les cas suivants en justifiant : a. x = 4 et y = 3 ; b. x = 10 et y = 0 ; c. x = 6 et y = La variable d désigne la distance entre deux points : lesquels? 3. De quelle forme est la cible et quelles sont ses dimensions? Barème probable : Exercice Total Points , 5 6 4, 5 40 Page 4 sur 4

5 CORRIGE DU DS COMMUN 1 DE SECONDE DU MARDI 24/11/2015 EXERCICE 1 ( 4 points ) Soit f la fonction dont la courbe représentative est donnée ci-dessous l image de 3 par la fonction est. 3. L équation admet comme solutions :. 4. Les solutions de l inéquation sont toutes les abscisses des points de la courbe situés sous l axe des abscisses : 5. Donner le tableau de variation de la fonction. EXERCICE 2 ( 5,5 points ) Soit la fonction définie sur l intervalle par : 1. Résoudre l équation 2. Compléter le tableau de variation de la fonction f donné ci-dessous. Donc 3. calculer 4. La fonction est décroissante sur l intervalle, D après la définition d une fonction décroissante sur, si deux rééls de sont rangés dans un ordre, leurs images sont rangées dans l ordre contraire. Donc si a et b sont deux réels de l intervalle tels que alors 5. La proposition «Si alors» est fausse : mais

6 EXERCICE 3 (7 points ) 1. donc. 2. D après le graphique : (a) L aire de la partie non hachurée est maximale pour ; (b) La partie non hachurée est inférieure à 20 si 3. L aire de la partie non hachurée est : avec :, et donc, et donc carré donc 4. L aire du carré de côté est. On doit donc résoudre EXERCICE 4 (... points ) Transformer les nombres pour déterminer leur nature est un nombre décimal est un nombre entier relatif est un nombre rationnel est un nombre irrationnel est un nombre entier naturel est un nombre décimal EXERCICE 5 ( 4 points ) Soit la fonction affine telle que. 1. est une fonction affine, son expression algébrique est de la forme avec coefficient directeur et ordonnée à l origine. Méthode 1 : calcul de a avec le taux d accroissement : Méthode 2 : calcul de a avec la résolution de système : donc est décroissante sur donc est décroissante sur Méthode 3 : définition des fonctions croissante ou décroissante : est repésentée par une droite, elle varie donc de façon constante sur : et. Les images et les antécédents sont rangés dans l ordre contraire donc est décroissante sur

7 On sait d après 1. (et si on ne sait pas (méthode 3) il va falloir faire les calculs) que : Les points d'intersection de D avec les axes du repère sont 3. EXERCICE 6 (... points ) Le plan est muni d un repère orthonormé chaque axe) 1. (unités graphiques 1 cm sur 2. Dans le repère orthonormé De même on calcule D une part : donc (une longueur est toujours positive) donc le triangle est isocèle en. D autre part : d après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle est rectangle en Le triangle est rectangle isocèle en 3. (a) Pour que soit un parallélogramme, il faut que : et aient le même milieu. Méthode 1 : On cherche les coordonnées du milieu de [AC] puis on calcule les coordonnées de pour que soit milieu de [BD] Soit le milieu de On exprime que est le milieu de Méthode 2 : On exprime [AC] et [BD] on le même milieu et on résout l équation.

8 (b) Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme qui possède un angle droit donc c est un rectangle Ce rectangle a 2 côtés consécutifs de même mesure ( est bien un carré. EXERCICE 7 Algorithme : On lance une fléchette sur une cible électronique. 1. Que permet d obtenir l algorithme dans les cas suivants en justifiant : donc c est un carré. affichage Trop fort, tu es dans la cible! Oups, c était limite! Trop fort, tu es dans la cible! 2. La variable désigne la distance entre le centre de la cible et le point d impact de la fléchette, 3. La cible est un disque de de rayon.