III Exercices 5. IV Solution 11

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1 Droites et plans de l espace C. de la Losa 11 octobre 2018 Table des matières I Parallélisme 1 II Orthogonalité 3 III Exercices 5 IV Solution 11 I Parallélisme Rappels de Seconde : Définition 1. Un plan peut être défini par : 3 points non alignés ; une droite et un point n appartenant pas à cette droite ; deux droites sécantes ; deux droites strictement parallèles. Des points appartenant à un même plan sont dits coplanaires. Proposition 2. L intersection de deux plans non parallèles est une droite. Méthode pour trouver l intersection de deux plans : on cherche deux points distincts appartenant à ces deux plans. Souvent, chaque point est trouvé comme intersection de deux droites, chacune étant incluse dans son plan. 1

2 Théorème 3. Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les deux droites d intersection sont parallèles. Théorème 4 (du toit). On considère deux plans sécants suivant une droite. On suppose qu une droite d de l un des plans est parallèle une droite d de l autre plan. Alors les trois droites,d,d sont parallèles. Ces deux propriétés sont très utiles pour démontrer le parallélisme de deux droites. Méthode pour montrer que deux droites sont parallèles : on utilise l une des deux propriétés précédentes ou on cherche une troisième droite qui leur soit parallèle. Rappel : les méthodes de géométrie plane en se plaçant dans un plan fixe de l espace restent valables. Méthode pour montrer que deux plans sont parallèles : on cherche un troisième plan qui leur soit parallèle ou bien deux droites sécantes de l un qui sont parallèles à deux droites 2

3 sécantes de l autre. Méthode pour montrer qu une droite et un plan sont parallèles : on cherche une droite du plan qui est parallèle à la droite initiale. Exercices du livre. Faire les exercices à ci dessous du 1 au 7. II Orthogonalité Définition 5. Deux droites de l espace sont orthogonales si leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires. On note d d Remarque : des droites orthogonales peuvent ne pas être sécantes. Définition 6. Une droite et un plan sont orthogonaux si la droite est orthogonale à toutes les droites du plan. Théorème 7. Une droite d est orthogonale à un plan P ssi d est orthogonale à deux droites sécantes de P. On note d P. 3

4 Preuve : On suppose d orthogonale à deux droites sécantes de P : D et D. Montrons que d est orthogonale à P c est à dire à une droite quelconque (distinctes de D et D ) de P. L idée est d utiliser des médiatrices. On fait passer des parallèles à D, D et par A = P d. On choisit une droite sécantes aux trois précédentes en respectivement B,M,C. Cf. dessin ci dessus. Il reste à montrer que (AM) (AE). Pour cela utilisons le symétrique E de E par rapport à A. Dans le plan (BEE ), (BA) est une médiatrice de [EE ]. Donc BE = BE. De même, CE = CE. Donc les triangles BEC et BE C sont identiques. Comme M (BC) alors on a aussi EM = E M. Donc (AM) est une médiatrice de [EE ]. D où (AE) (AM). La réciproque est évidente. Remarque : il y a alors des propriétés évidentes comme par exemple : si deux plans sont orthogonaux à une même droite alors ils parallèles... Méthode pour monter que deux droites sont orthogonales : on montre que l une est orthogonale à un plan contenant l autre. Méthode pour montrer qu une droite et un plan sont orthogonaux : on montre que la droite est orthogonale à deux droites sécantes du plan. Exemple : On considère le parallélépipède rectangle suivant : Donc (EA) (EG) (EG) (HD) (AH) (Hg) (AH) (EF) (AH) et (EB) ne sont pas orthogonales. (HD) (ABC) (HF) et (EAC) ne sont pas perpendiculaires. (FC) et (BDE) ne sont pas perpendiculaires. 4

5 Exercices du livre. Faire les exercices du numéro 8 au dernier. III Exercices Exercice 1 : Solution page 11 ABCD est un tétraèdre. H est un point de (BD) distincts de B et D. K est un point de (CD) distincts de C et D tel que les droites (HK) et (BC) sont sécantes en un point que l on appelera I. G est un point de (AD) distincts de A et D. On note E et F les points d intersection respectifs de (AB) et (HG), et, (AC) et (KG). 1) A quels plans le point I appartient-il? 2) Déterminer l intersection de (ABC) et (GHK). 3) En déduire que I,E,F sont alignés. Exercice 2 : Solution page 12 La figure ci-contre représente une pyramide de base ABCD. M est un point de l arête [OC]. Tracer les intersections des faces (OCD), (OBC) et (OAB) avec le plan (MAD). Vous pourrez utiliser le point d intersection de (AD) et (BC). 5

6 Exercice 3* : Solution page 13 ABCD est un tétraèdre, M,N,P sont des points des arêtes sans être des sommets comme indiqué sur la figure. Construire l intersection de (MNP) et (BCD). 6

7 Exercice 4** : Solution page 13 ABCD est un tétraèdre, M est un point de la face ABC, N un point de la face ADC et P est un point de l arête [BD] distincts de B et D comme indiqué sur la figure. Construire l intersection de (MNP) et (BCD). Exercice 5* : Solution page 14 Suite le l exercice précédent. Trouver la section de (MNP) avec le tétraèdre c est à dire l intersection de (MNP) avec chaque face. Exercice 6 : Solution page 15 Il s agit dans cet exercice de construire la section du parallélépipède rectangle ABCDEFGH par le plan (IJK) où I [AB], J [BF] et K [FG]. C est à dire que vous devrez construire les traces (si elles existent) du plan (IJK) avec chacune des faces du parallélépipède rectangle. 7

8 1) Construire le point M intersection de (IJ) avec (ADHE). 2) En déduire l intersection de (ADHE) avec (IJK). 3) Poursuivre et finir la construction. 4) Quelle est la nature de la section obtenue? Exercice 7 : Solution page 16 ABCD est un tétraèdre. I,J,K,M,N sont les milieux respectifs de [AB], [AC], [AD], [BD], [CD]. On note E et F les centres de gravités des faces ABC et ABD. 1) Que dire de IJNM? 2) Que dire de (IJK) et (BCD)? 3) Que dire de (BJK) (BCD)? 4) Que dire de (EF) et EF? Exercice 8 : Solution page 16 8

9 ABCDEFGH est un cube. 1) Démontrer les assertions suivantes : a) (AB) (DH) b) (AC) (FH) c) (AC) (DFH) d) (DC) (FH) 2) M est un point de (DA). Démontrer que GCM est un triangle rectangle. Exercice 9 : Solution page 16 ABCD est un tétraèdre régulier et N est le milieu de [CD]. Montrer que (CD) (ABN) puis que (CD) (AB). Exercice 10 : Solution page 16 9

10 ABCDEFGH est un cube. 1) a) Démontrer que les droites (DH) et (EG) sont orthogonales. b) En déduire que les droites (DF) et (EG) sont orthogonales. 2) Démontrer que la droite (BE) et le plan (AFD) sont orthogonaux. 3) En déduire que la droite (DF) et le plan (BEG) sont orthogonaux. Bonus : déterminer la position de (DF) (BEG). Exercice 11 : Solution page 16 Soit ABCD le tétraèdre ci-contre tel que les droites (AB) et (CD) soient orthogonales. On appelle H le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD) et K celui de B sur (ACD). 1) a) Démontrer que (CD) (AH). b) En déduire que (CD) (ABH). 2) Démontrer que (CD) (ABK). 3) En déduire que (AH) et (BK) sont sécantes. Exercice 12 : Solution page 17 Tracer la section du cube par le plan (EIJ) c est à dire l intersection de (EIJ) avec chaque face du cube ABCDEFGH. 10

11 G H F E J C D A I B IV Solution Solution exercice 1 : 11

12 1) I appartient à (BCD), (ABC) et (GHK). Il suffit de trouver les plans contenant des droites auxquelles appartient le point I. 2) C est (EF) car ces deux points sont dans chacun des plans (E (AB) (ABC) et E (GH) (GHK)...). 3) Il suffit de montrer que I (EF) c est à dire que I est dans (ABC) et (GHK). C est bien de la cas d après le 1). Solution exercice 2 : Commençons par le plus simple c est à dire par tracer l intersection de (OCD) et (MAD). Il suffit en effet de relier M et D car ces deux points sont dans chacun des deux plans. Pour construire la droite = (MAD) (OBC), nous avons déjà M dans chacun des plans. Donc M. Il nous manque un point. Nous utiliserons le point K = (AD) (BC) qui est dans (MAD) et (OBC). Donc = (KM). Nous avons alors juste à tracer la droite (KM) que l on prolonge jusqu à couper (OB) en P ((KM) coupe bien (OB) puisque les deux droites sont dans (OBC)). Ainsi [PM] est la section de (OBC) avec (AMD). Il reste juste à relier P à A pour avoir (OAB) (MAD). La section de ce tétraèdre avec (MAD) est en vert. 12

13 Solution exercice 3 : Il ne faut pas hésiter à «sortir» du tétraèdre. Je vous laisse comprendre la construction et trouver les justifications. Solution exercice 4 : Les étapes à suivre sont les suivantes : a) Construire l intersection M de (AM) et (BC). b) Construire l intersection N de (AN) et (DC). c) Les droites (MN) et (M N ) se coupent alors en un point que je nomme K. 13

14 d) La réponse finale est la droite (KP). Je vous laisse découvrir les justifications. Solution exercice 5 : La réponse est en orange. 14

15 Tout d abord la droite verte nous donne une partie de la réponse. En notant M l intersection de (KP) avec (BC), (M P) est l intersection de (MNP) avec la face (BCD). En prolongeant (M M) jusqu à couper (AC) en N, nous obtenons l intersection (M N ) de (MNP) avec (ABC). Nous procédons de même avec la face (ACD) : (N P ). Nous terminons en reliant P et P. Ainsi la section de (MNP) avec le tétraèdre est le quadrilatère PM N P. Solution exercice 6 : 1) 2) Notons la droite recherchée. Comme les faces parallèles (ADHE) et (BCGF) sont coupées par (IJK) alors les droites d intersection sont aussi parallèles. Donc //(JK). Finalement est la droite parallèle à (JK) et passant par M. 3) Il reste à relier des point et tracer une parallèle. Les traits de constructions avec, à côté, la section en orange : 15

16 4) On obtient un hexagone. Solution exercice 7 : 1) C est un parallélogramme car (IJ)//(BC) et (MN)//(BC)... 2) Ils sont parallèles. 3) D après le th du toit, c est une droite parallèle à (CD) passant par B. 4) D après le th du toit, (EF)//(CD). D après Thalès, EF = 1 3 CD. Solution exercice 8 : Solution exercice 9 : Solution exercice 10 : 1) a) Car (DH) (EGH). b) Car (EG) (DFH). 2) Car (AD) (EH) (car (EH) (EH)) et (BE) (AF). 3) Car (DF) (EB) et (DF) (EG). Solution exercice 11 : 1) a) Car (AH) (BCD). b) Car (CD) (AH) et (CD) (AB). 2) De même (CD) (ABK). 3) D après le 1)b) et le 2), on a (ABH)//(ABK) avec deux points communs. Donc ces deux plans sont confondus. 16

17 Solution exercice 12 : Voici le procédé à suivre (je vous laisse trouver les justifications) : Tracer d abord [EI]. Puis tracer la parallèle à (EI) passant par J. En effet, les plans parallèles (EABF) et (HDCG) sont coupés par (EIJ) suivant des droites parallèles. Notons J le point d intersection de cette parallèles avec (HG). Tracer alors (EJ ). Construire l intersection J de (JJ ) avec (DC). Ce point est dans (EIJ) et (ABC). Construire l intersection B de (IJ ) avec (BC). Tracer alors [B I] et [B J]. EJ JB I est la section recherchée. J G H F E J C J D B A I B 17