Un tableau de valeurs x y

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1 Chap F1 : Généralités sur les fonctions. I- Vocabulaire des fonctions : Soit f une fonction définie sur D, une partie de l ensemble des nombres réels. La fonction f est une «machine» mathématique qui, à un nombre donné x fait correspondre un autre nombre y. x variable antécédent On note : f : x a y ou f : x a f (x) On lit : fonction f qui à x associe y ou f de x f y ou f(x) image - D l ensemble de définition (formé de toutes les valeurs possibles de x) - y ou f (x) est l image de x par la fonction f. On note y = f (x) On lit : y égale à f de x - x est aussi un antécédent de y. Remarque : Un nombre (de l ensemble de définition) possède une UNIQUE image. Cependant, un nombre peut posséder zéro ou plusieurs antécédents. II- Trois façons de présenter une fonction : Une fonction peut-être définie par : Une formule explicite : y = x² + 2x + 3 Une courbe Un tableau de valeurs x y

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3 III- Synthèse image/antécédent I. Recherche de l'image d'un réel par une fonction f. 1. Déterminer graphiquement l image de a par la fonction f : a étant un réel de l ensemble de définition de f. C est déterminer l ordonnée du point de la courbe qui a pour abscisse a. On place le réel a sur l axe des abscisses. On trace la droite parallèle à l axe des ordonnées passant par le point de coordonnées (a ; 0) Celle-ci coupe la représentation graphique de f en un point. On lit alors l ordonnée de ce point. Remarque : elle est unique et se lit sur l axe des ordonnées. Le nombre 3 a pour image 2 : f ( 3) = 2. Le nombre 7 a pour image 1 : f (7) = Déterminer, à partir d'un tableau de valeurs, l'image de a par la fonction f : Le nombre 0 a pour image 5: f (0) = 5 f ( 2,5) = 0, f (3) = 2 et f (5) = Déterminer algébriquement l image de a par la fonction f : C est remplacer x par a dans l expression de f (x) x 2, f (x) Soit la fonction f définie pour tout nombre réel x par f (x) = x 2 + 2x 1 f (3) = = = 14 f ( 4) = ( 4) ( 4) 1 = = 7 II. Déterminer les antécédents éventuels de k par la fonction f ou résoudre une équation du type f (x) = k. 1. Déterminer graphiquement les antécédents éventuels de k par la fonction f ou résoudre graphiquement une équation du type f (x) = k : C est déterminer les nombres, s ils existent, qui ont pour image le réel k par la fonction f. On place le réel k sur l axe des ordonnées On trace la droite parallèle à l axe des abscisses et passant par le point de coordonnées (0 ; k) On regarde les points d intersection de cette droite avec la représentation graphique de f. Si cette droite coupe la courbe, les solutions sont les abscisses des points d intersection de C f avec la droite tracée. Sinon, le réel n a pas d antécédent, on dit que l équation f (x) = k n a pas de solution. on note alors l ensemble des solutions est : S =. On lit "ensemble vide" k y=k Exemple On dit que : le réel k a deux antécédents x 1 et x 2 On dit que l équation f (x) = k a deux solutions x 1 et x 2 l ensemble des solutions est noté : : S = {x 1 }

4 Remarque Les solutions, lorsqu'elles existent, se lisent sur l axe des abscisses. Exemples : 1. Déterminer graphiquement les antécédents éventuels de 2 par la fonction f : La courbe et la droite d équation y = 2 ont trois points d intersection, d abscisses respectives : 3 ; 3 et 6, donc 2 : 3 ; 3 ; 6. l équation f (x) = 2 a pour ensemble de solutions : S = { 3 ; 3 ; 6} 2. Résoudre graphiquement l équation f (x) = 3 : La courbe et la droite d équation y = 3 n ont aucun point d intersection, Donc : 3 n a pas d antécédent par f l équation f (x) = 3 a pour ensemble de solutions : S =. Cas particulier : Déterminer graphiquement les antécédents éventuels de 0 ou résoudre graphiquement l équation f (x) = 0 : Si la courbe coupe l axe des abscisses, les solutions sont les abscisses des points d intersection de C f avec l axe des abscisses. Exemple : zéro a trois antécédents x 1 L équation f (x) = 0 a trois solutions x 1 on note l ensemble des solutions : S = {x 1 }. Sinon, l équation n a pas de solution : Exemple : zéro n a pas trois antécédents L équation f (x) = 0 n a pas de solutions on note l ensemble des solutions : S =.

5 2. Déterminer, à partir d'un tableau de valeurs, les antécédents éventuels de k par la fonction f. D après le tableau de valeurs de f, 0 a un seul antécédent 2,5 Attention! 0 peut avoir d autres antécédents par f, ne figurant pas dans le tableau. 3. Déterminer algébriquement les antécédents éventuels de k par la fonction f. C est résoudre algébriquement l équation : f (x) = k x 2, f (x) Soit la fonction f définie pour tout nombre réel x par f (x) = 2 x 1 f (x) = 0 2 x 1 = 0 2 x = 1 x = a pour antécédent 1 par f. 2