Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST1

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1 Chapitre 0-2 Introduction générale au cours de BCPST Extrait du programme I. Les grandeurs en sciences physiques Définition : une grandeur est une observable du système On peut la mettre en évidence a. Grandeur mesurable Définition : une grandeur est dite mesurable si l on peut établir une relation d égalité et de rapport entre deux éléments de son espèce. On peut donc définir une espèce étalon définissant l unité de cette grandeur (l étalon doit donc être défini avec une très grande précision, et ne pas s altérer au cours du temps). Exemples de grandeur et leur unité associée : Grandeur unité étalon de définition longueur mètre défini à partir de la vitesse de la lumière dans le vide masse kilogramme prototype en platine irridié température kelvin point triple de l eau temps seconde atome de cesium 33 intensité ampère force de Laplace quantité de matière mole 2 g de 2 C lumière candela intensité lumineuse d un rayonnement particulier d énergie donnée (/683 Watt par stéradian) Ces unités constituent le système international. Il existe de nombreuses autres unités qui peuvent être définies par des relations en général simple de la physique, que nous aborderons en TD. Il est très important de communiquer un résultat numérique dans son unité. la sonde Mars Climate Orbiter a été détruite en 999 à cause d une confusion du système d unités utilisées : certains paramètres ont été exprimés dans le système anglo-saxon alors que l équipe de navigation qui les a intégrés dans le programme s attendait à des valeurs dans le système international Il existe une différence fondamentale concernant les unités du système international : longueur vs température. Additivité vs non-additivité b. Constantes physiques et unités Homogénéité des formules : dans une relation décrivant un système physique, tous les éléments la composant doivent être homogènes, c'est-à-dire s exprimer dans la même unité. Les constantes physiques ont donc en général une unité! constante de raideur k d un ressort : F = kx k = kg. s 2 Remarques : Puisque les constantes ont une unité, leur valeur est dépendante du système choisi pour les exprimer. Célérité de la lumière dans le vide : c = 2, m.s - =, km.h - Page sur 5

2 On utilise parfois volontairement des unités hors SI pour 2 raisons : o Par habitude : c est mal! (exemple : la température) o Echelle mieux adaptée au système physique énergie nucléaire : ev =, J : c est l énergie cinétique qu acquiert particule élémentaire de charge e soumise à une ddp de Volt. Echelle adaptée à la chimie au niveau moléculaire et à la physique nucléaire Echelle macroscopique : intervention de la mol de matière : énergie molaire kj.mol - Pression : Torr = mmhg = 33,32 Pa, Atm = 760 mmhg =, Pa =,03 bar = P 0 pression atmosphérique normale. Adapté à l échelle humaine et atmosphérique Quelques constantes à connaître : nom valeur (unités SI) constante d Avogadro N A 6, mol - constante des gaz parfaits R 8,34 J.K -.mol - volume molaire normal (0 C, atm) V 0 2, m 3.mol - accélération de la pesanteur g 0 9,807 m.s -2 constante universelle de gravitation G 6, kg -.m 3.s -2 vitesse de la lumière (dans le vide) c 2, m.s - En conclusion :. une relation non homogène est TOUJOURS fausse 2. il faut TOUJOURS vérifier les résultats obtenus par analyse dimensionnelle, surtout pour le calcul littéral 3. une application numérique n est valable qu AVEC les unités indiquées. II. Décrire la réalité, c est la modéliser Il est extrêmement difficile de décrire une situation ou un phénomène physique ou chimique de manière rigoureusement exacte. On est amené à faire des approximations : on réalise une modélisation vers des cas extrêmes simplifiés (et en général exploitables quantitativement et qualitativement) Une simplification est une source d erreur : le modèle définit n est valable que sur un domaine particulier de valeur Les sources d erreur courantes se situent dans plusieurs catégories : a. Mesures physiques Une grandeur physique G mesurable est caractérisée par la mesure de sa valeur par rapport à une grandeur de référence de même nature. Une première limitation est donc la précision de la mesure On connaît la valeur aux incertitudes près b. Les sources d erreur de mesure i. Erreur systématique C est une erreur qui a lieu toujours dans le même sens : Expérimentateur : réflexe de déclenchement du chronomètre Méthode de mesure : exemple : dosage colorimétrique de chimie : le seuil de détection n est pas toujours clairement déterminé ( zone de virage) L appareil de mesure : o Valeurs reproductibles o Forte sensibilité o Relation régissant l appareil et la mesure doit être exacte rigoureusement ii. Erreur accidentelle Elle est variable en sens et en intensité Page 2 sur 5

3 Une mesure est donc nécessairement accompagnée d une indication de précision : on parle d incertitude absolue Δg lorsqu une grandeur G appartient à g Δg; g + Δg, ce qui se note également : G = g ± Δg (Δg est de même dimension que G et g) L incertitude relative caractérise la précision de la mesure, c est une grandeur adimensionnelle : Δg g En général en physique, on a recours aux statistiques pour traiter les problèmes, on parle alors de distribution, caractérisée par les valeurs moyennes (notions à détailler en mathématiques) c. Chiffres significatifs d un résultat Une mesure étant limitée par sa précision, il est inexact d indiquer plus de chiffres que la précision ne le permet, puisque ceux-ci n ont pas de signification physique Définition : les chiffres significatifs sont ceux ayant un sens physicochimique Lesquels : Tous les chiffres non nuls Tous les zéros situés à droite d un autre chiffre. Remarque : les nombres entiers sont des nombres exacts, ils ont donc autant de chiffres significatifs que nécessaires. 00,347 : 3 CS ; 203,50 : 5 CS, 05,00 : 4 CS Cas d un résultat numérique : Le nombre de CS est toujours déterminé par la mesure la moins précise, c'est-à-dire celle présentant le plus petit nombre de CS, quelque soit l opération réalisée. Calcul de l intensité du courant par la loi d Ohm aux bornes d un conducteur ohmique de résistance R = 30 kω soumis à une tension de,800 V : 6,0.0-2 A = 60 ma = 0,060 A III. Compléments mathématiques a. Calcul de fractions A B + C AD + BC = D BD Il est toujours utile de chercher à décomposer les dénominateurs en produits de nombres premiers afin de déterminer le PPCM, ce qui permet de simplifier les coefficients multiplicateurs = = 4+6 = 0 = = + 3 = 2+3 = Calcul à savoir mener avec des lettres R + 2 3R = 5 3R b. Equations différentielles du er ordre Il est impératif de connaître PAR CŒUR les solutions des équations différentielles du er ordre à coefficient constant : Pour une équation où a et b représentent des coefficients quelconques constants : a. dy + b. y x = f x dx La solution est toujours la somme de deux solutions : la solution de l équation homogène associée à () : a. dy + b. y x = 0 de solution y dx (x) une solution particulière de l équation avec second membre y 2 (x) Cas particuliers : b = 0 : on est en train de calculer la primitive de la fonction y f x = 0 : une solution particulière est la fonction nulle, on peut donc se limiter à la solution générale y Page 3 sur 5

4 Dans la pratique, b est non nulle, et il arrivera très souvent que f(x) = constante Les cas à apprendre par cœur : Cas n : f(x) = 0 La solution d une telle équation est : y x = A. exp( b x) avec A une constante à déterminer selon la a connaissance d une valeur particulière (en général les conditions initiales du systèmes) Cas n 2 : f(x) = c constante La solution d une telle équation est donc la fonction y x = y x + y 2 (x) avec : y x = A. exp( b x) solution de l équation homogène associée a y 2 x = c solution particulière de l équation avec second membre. b y x = A. exp( b a x) + c b A est déterminée pour les conditions initiales du système sur la solution COMPLETE y(x) c. Equations différentielles du 2 nd ordre (utile surtout en deuxième année) Il est impératif de connaître PAR CŒUR les solutions des équations différentielles du 2 ème coefficient constant : En physique on rencontrera souvent une équation de type : d 2 y dy + 2λ dx2 dx + ω 0 2 y = f L équation homogène associée est donc : d 2 y dy + 2λ dx2 dx + ω 0 2 y = 0 On distingue alors 3 cas selon le signe de λ ω 0 pour la solution de cette équation homogène λ > ω 0 : y x = e λx (A. e αt + B. e αt ) avec α = λ 2 2 ω 0 λ = ω 0 : y x = e λx (A. t + B) λ < ω 0 : y x = e λx A. cos(ωt + B. sin(ωt)) avec ω = ω 0 2 λ 2 ordre à La solution particulière lorsque f(x) = m constante est donc y 2 (x) = m/ω conditions initiales sont alors nécessaires pour déterminer les valeurs des constantes A et B dites d intégration. On ne les détermine QUE sur la solution globale y = y + y 2 Cas particulier : l équation harmonique : λ = 0, ω : Cette équation est une des plus importantes de la physique!!! TOUT est donc à connaître PAR CŒUR : La forme : d2 x + dt 2 ω2 x = 0, x grandeur d un système Points importants : Coefficient devant la dérivée seconde Pas de terme de dérivée première Coefficient devant le terme d ordre 0 positif Pas de second membre La solution d une telle équation est (à savoir par cœur) : x t = A. cos ωt + φ = B. cos ωt + C. sin ωt = D. sin ωt + φ Les constantes d intégrations A, φ, B, C ou D, φ sont à déterminer à partir de 2 conditions particulières connues, en général les conditions initiales x(0) et dx (0). dt Attention avec dx dx, il faut au préalable calculer l expression de puis prendre sa valeur en t=0. dt dt CONCLUSION Le système international composé de 7 unités fondamentales avec étalon pour chacune. Les constantes physiques ONT en général une unité, donc leur valeur dépend de celle-ci Les relations doivent être homogènes. Page 4 sur 5

5 Une mesure implique une précision, donc une incertitude absolue/relative et un respect des chiffres significatifs (CS) Un résultat numérique n a de sens que si son unité est précisée, les CS respectés. Apprendre par cœur les solutions des équations différentielles du er et 2 ème ordre. Page 5 sur 5

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