Diffusion de particules
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- Raphaël Arthur Lavergne
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1 Diffusion de particules L. Menguy, PSI*, Lycée Montesquieu, Le Mans Septembre 2008
2 Plan du cours I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
3 Les phénomènes de diffusion Définition Le phénomène de diffusion est un transport de matière (donc de particules) qui tend à uniformiser la distribution, donc s effectuant dans le sens des concentrations décroissantes. Conséquences La diffusion est un phénomène irréversible! Les phénomènes de transport sont multiples! Il faut bien distinguer les phénomènes de diffusion des phénomènes de convection et de micro-convection!
4 Les phénomènes de diffusion Définition Le phénomène de diffusion est un transport de matière (donc de particules) qui tend à uniformiser la distribution, donc s effectuant dans le sens des concentrations décroissantes. Conséquences La diffusion est un phénomène irréversible! Les phénomènes de transport sont multiples! Il faut bien distinguer les phénomènes de diffusion des phénomènes de convection et de micro-convection!
5 Les phénomènes de diffusion Définition Le phénomène de diffusion est un transport de matière (donc de particules) qui tend à uniformiser la distribution, donc s effectuant dans le sens des concentrations décroissantes. Conséquences La diffusion est un phénomène irréversible! Les phénomènes de transport sont multiples! Il faut bien distinguer les phénomènes de diffusion des phénomènes de convection et de micro-convection!
6 Les phénomènes de diffusion Définition Le phénomène de diffusion est un transport de matière (donc de particules) qui tend à uniformiser la distribution, donc s effectuant dans le sens des concentrations décroissantes. Conséquences La diffusion est un phénomène irréversible! Les phénomènes de transport sont multiples! Il faut bien distinguer les phénomènes de diffusion des phénomènes de convection et de micro-convection!
7 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
8 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
9 Quelques définitions Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Définitions La concentration particulaire n(x, y, z, t) La densité de courant de particules j (x, y, z, t) Le flux de particules Φ à travers S
10 Quelques définitions Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Définitions La concentration particulaire n(x, y, z, t) La densité de courant de particules j (x, y, z, t) Le flux de particules Φ à travers S
11 Quelques définitions Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Définitions La concentration particulaire n(x, y, z, t) La densité de courant de particules j (x, y, z, t) Le flux de particules Φ à travers S
12 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
13 Bilan de particules unidimensionnel Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Variation du nombre = Nb de particules Nb de parti- de particules dans dv entrantes cules sortantes n(x, t) dv t = j(x, t) S j(x + dx, t) S Equation de conservation locale de particules (1D) n t = j x
14 Bilan de particules unidimensionnel Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Variation du nombre = Nb de particules Nb de parti- de particules dans dv entrantes cules sortantes n(x, t) dv t = j(x, t) S j(x + dx, t) S Equation de conservation locale de particules (1D) n t = j x
15 Bilan de particules unidimensionnel Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Variation du nombre = Nb de particules Nb de parti- de particules dans dv entrantes cules sortantes n(x, t) dv t = j(x, t) S j(x + dx, t) S Equation de conservation locale de particules (1D) n t = j x
16 Bilan de particules tridimensionnel Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion On applique le principe de conservation du nombre de particules sur un volume V entouré d une surface fermée S On applique le théorème de Green-Ostrogradski Equation de conservation locale de particules (3D) div j + n t = 0 Sans perte ni création de matière
17 Bilan de particules tridimensionnel Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion On applique le principe de conservation du nombre de particules sur un volume V entouré d une surface fermée S On applique le théorème de Green-Ostrogradski Equation de conservation locale de particules (3D) div j + n t = 0 Sans perte ni création de matière
18 Bilan de particules tridimensionnel Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion On applique le principe de conservation du nombre de particules sur un volume V entouré d une surface fermée S On applique le théorème de Green-Ostrogradski Equation de conservation locale de particules (3D) div j + n t = 0 Sans perte ni création de matière
19 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
20 Loi de Fick Les phénomènes de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Loi de Fick A une dimension : j = D n x A trois dimensions : j = D grad(n) D est le coefficient de diffusion (en m 2.s 1 )
21 Loi de Fick Les phénomènes de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Loi de Fick A une dimension : j = D n x A trois dimensions : j = D grad(n) D est le coefficient de diffusion (en m 2.s 1 )
22 Loi de Fick Les phénomènes de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Loi de Fick A une dimension : j = D n x A trois dimensions : j = D grad(n) D est le coefficient de diffusion (en m 2.s 1 )
23 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
24 Exemples de coefficients de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Coefficients de diffusion (ou autodiffusion) de gaz sous une atmosphère : T (K) D (m 2.s 1 ) H 2 dans H , H 2 dans l air 273 6, H 2 O dans l air 273 2, O 2 dans l air 273 1,
25 Exemples de coefficients de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Coefficients de diffusion dans les liquides : T (K) D (m 2.s 1 ) NaCl dans l eau 298 1, le sucre dans l eau 298 0, Coefficients de diffusion solide-solide : Al dans Cu (à 298K) : 1, m 2.s 1
26 Exemples de coefficients de diffusion Définitions Le bilan de particules Loi de Fick Coefficient de diffusion Coefficients de diffusion dans les liquides : T (K) D (m 2.s 1 ) NaCl dans l eau 298 1, le sucre dans l eau 298 0, Coefficients de diffusion solide-solide : Al dans Cu (à 298K) : 1, m 2.s 1
27 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
28 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
29 L équation de diffusion unidimensionnelle Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) En combinant : La conservation de particules : n t = j x La loi de Fick : j = D n x On aboutit à : Equation de diffusion 1D Commentaires n t = D 2 n x 2
30 L équation de diffusion unidimensionnelle Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) En combinant : La conservation de particules : n t = j x La loi de Fick : j = D n x On aboutit à : Equation de diffusion 1D Commentaires n t = D 2 n x 2
31 L équation de diffusion unidimensionnelle Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) En combinant : La conservation de particules : n t = j x La loi de Fick : j = D n x On aboutit à : Equation de diffusion 1D Commentaires n t = D 2 n x 2
32 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
33 L équation de diffusion tridimensionnelle Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) En combinant : La conservation de particules : div j + n t = 0 La loi de Fick : j = D grad(n) On aboutit à : Equation de diffusion 3D Commentaires n t = D n
34 L équation de diffusion tridimensionnelle Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) En combinant : La conservation de particules : div j + n t = 0 La loi de Fick : j = D grad(n) On aboutit à : Equation de diffusion 3D Commentaires n t = D n
35 L équation de diffusion tridimensionnelle Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) En combinant : La conservation de particules : div j + n t = 0 La loi de Fick : j = D grad(n) On aboutit à : Equation de diffusion 3D Commentaires n t = D n
36 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
37 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
38 Ordres de grandeurs Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Basé sur une analyse dimensionnelle Aboutit à : τ l2 D Exemple : grenadine dans l eau sur l 10cm τ 0, s 100jours!
39 Ordres de grandeurs Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Basé sur une analyse dimensionnelle Aboutit à : τ l2 D Exemple : grenadine dans l eau sur l 10cm τ 0, s 100jours!
40 Ordres de grandeurs Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Basé sur une analyse dimensionnelle Aboutit à : τ l2 D Exemple : grenadine dans l eau sur l 10cm τ 0, s 100jours!
41 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
42 Le régime stationnaire Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Régime stationnaire = pas d évolution temporelle : n t = 0 A une dimension, la concentration varie linéairement Exemples
43 Le régime stationnaire Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Régime stationnaire = pas d évolution temporelle : n t = 0 A une dimension, la concentration varie linéairement Exemples
44 Le régime stationnaire Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Régime stationnaire = pas d évolution temporelle : n t = 0 A une dimension, la concentration varie linéairement Exemples
45 Plan du cours Les phénomènes de diffusion Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire I. Les phénomènes de diffusion II. 1. Définitions 2. Le bilan de particules 3. Loi de Fick 4. Coefficient de diffusion III. 1. Equation de diffusion unidimensionnelle (1D) 2. Equation de diffusion tridimensionnelle (3D) IV. 1. Etude d ordres de grandeur 2. Cas du régime stationnaire 3. Exemple d un régime non stationnaire
46 Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Exemple : le tube de section S (unidimensionnel) A t = 0, on place N 0 particules en x = 0 (problème 1D) N ( 0 x 2) Solution : n(x, t) = S(4πDt) 1/2 exp 4Dt La solution doit vérifier : L équation de diffusion Les conditions aux limites Les conditions initiales La conservation totale des particules (condition redondante) : N 0 = N totale = + n(x,t) S dx
47 Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Exemple : le tube de section S (unidimensionnel) A t = 0, on place N 0 particules en x = 0 (problème 1D) N ( 0 x 2) Solution : n(x, t) = S(4πDt) 1/2 exp 4Dt La solution doit vérifier : L équation de diffusion Les conditions aux limites Les conditions initiales La conservation totale des particules (condition redondante) : N 0 = N totale = + n(x,t) S dx
48 Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Exemple : le tube de section S (unidimensionnel) A t = 0, on place N 0 particules en x = 0 (problème 1D) N ( 0 x 2) Solution : n(x, t) = S(4πDt) 1/2 exp 4Dt La solution doit vérifier : L équation de diffusion Les conditions aux limites Les conditions initiales La conservation totale des particules (condition redondante) : N 0 = N totale = + n(x,t) S dx
49 Tracé de la solution Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Y (X, τ) = 1 ( exp X 2 ) τ τ Y τ = 0, X
50 Tracé de la solution Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Y (X, τ) = 1 ( exp X 2 ) τ τ Y τ = 0, 5 τ = X
51 Tracé de la solution Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Y (X, τ) = 1 ( exp X 2 ) τ τ Y τ = 0, 5 τ = 1 τ = X
52 Tracé de la solution Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Y (X, τ) = 1 ( exp X 2 ) τ τ Y τ = 0, 5 τ = 1 τ = 2 τ = X
53 Tracé de la solution Etude d ordres de grandeur Cas du régime stationnaire Exemple d un régime non stationnaire Y (X, τ) = 1 ( exp X 2 ) τ τ 1.5 Y τ = 0, τ = 1 τ = 2 τ = 4 τ = X
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