Électronique en régime sinusoïdal forcé

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1 Électronique 5 Travaux dirigés angevin-wallon, PTS Électronique en régime sinusoïdal forcé Exercice : Détermination d impédances Exercices [ ] Déterminer l impédance complexe des dipôles ci-dessous. Écrire les résultats sous forme d une unique fraction, en faisant apparaître des quantités adimensionnées telles que ω, ω/ et ω 2. es trois premiers circuits sont simples et doivent être traités sans difficulté. es deux derniers donnent des résultats un peu plus compliqués Exercice 2 : Équivalence entre dipôles [ ] es dipôles ci-contre sont étudiés en régime sinusoïdal forcé de pulsation ω. - Déterminer en fonction de ω les valeurs de et pour lesquelles les deux dipôles sont équivalents. 2 - Si l on remplace la bobine par un condensateur, peut-il encore y avoir équivalence? ommenter. Exercice 3 : Alimentation d un électroaimant de levage i électroaimant i [ ] n électroaimant de levage est un dispositif industriel permettant de soulever des pièces métalliques à partir de champs magnétiques intenses. On étudie un tel appareil en le modélisant électriquement par une bobine d inductance,25 H dont les spires ont une résistance interne Ω. ette bobine est traversée par un courant i sinusoïdal de fréquence f 50 Hz dont l amplitude m 30 A est imposée pour le bon fonctionnement du dispositif. e courant étant de forte puissance, les pertes par effet Joule dans les câbles d alimentation de l électroaimant sont non négligeables. Pour les diminuer, une méthode usuelle consiste à installer un condensateur de capacité en parallèle de l électroaimant. On note alors i l intensité du courant dans les câbles d alimentation du dispositif, dont l amplitude m est inférieure à l amplitude m du courant qui traverse l électroaimant. - Exprimer l amplitude complexe en fonction de l amplitude complexe. 2 - alculer la valeur à donner au condensateur pour minimiser l amplitude m tout en conservant m fixée. On pourra raisonner sur m alculer numériquement la valeur de m dans la configuration optimale. ommenter. 4 - À quel dipôle l association électroaimant-condensateur est-elle équivalente à la fréquence de travail? 5 - alculer la tension aux bornes de l électroaimant. Dépend-elle de? onclure en termes de puissance fournie. /2 Étienne Thibierge, 4 janvier 208,

2 TD E5 : Électronique en régime sinusoïdal forcé angevin-wallon, PTS Exercice 4 : Obtention d une équation différentielle e 2 2 Exercice 5 : Mesure à l ampèremètre u [ ] En utilisant les complexes, montrer que la tension u est solution de l équation différentielle 4τ 2 d2 u du + 5τ dt2 dt + u e, en posant τ. [ ] Dans le circuit ci-dessous alimenté par une tension u AB sinusoïdale, il existe une pulsation particulière ω pour laquelle l ampèremètre en mode A affiche la même valeur lorsque K et K 2 sont ouverts, lorsque K est ouvert et K 2 fermé, et lorsque K est fermé et K 2 ouvert. On rappelle qu un ampèremètre réglé en mode A affiche la valeur efficace du courant qui le traverse. Montrer que cette pulsation n existe que si et qu elle vaut alors 3 2 ω c 2. Annale de concours Exercice 6 : Double circuit en régime sinusoïdal [oral banque PT, ] e (t) 2 i(t) e 2 (t) Déterminer la réponse temporelle i(t) pour e (t) E cos(ωt) ; e 2 (t) E cos(ωt + 2π/3) ; ω /. 2/2 Étienne Thibierge, 4 janvier 208,

3 Électronique 5 orrection des travaux dirigés angevin-wallon, PTS Électronique en régime sinusoïdal forcé Exercice : Détermination d impédances Association série d impédance équivalente Exercices Z Z + Z + jω donc Z + jω jω. 2 Association série, d impédance équivalente Z Z + Z jω + jω donc Z ω2 jω appel : /j j. 3 association de et est en parallèle, il est donc a priori plus simple de calculer son admittance équivalente Y Y + Y ω2 + jω jω jω impédance complexe de l association parallèle vaut donc Z jω Y ω 2 a factorisation est intéressante car elle permet de passer très facilement de l admittance à l impédance. Enfin, l association est montée en série avec une résistance, donnant une impédance complexe équivalente à l ensemble jω Z Z + Z soit Z + ω 2 ne dernière factorisation est possible pour donner Z + jω/ ω2 ω 2. ette dernière factorisation n est pas forcément utile, car la forme non-factorisée sépare directement la partie réelle de la partie imaginaire : tout dépend de ce que l on veut faire du résultat. 4 association en parallèle de la bobine et du condensateur 2 se traite comme à la question précédente et a pour impédance équivalente jω Z 2 2 ω 2 Elle est montée en série avec le condensateur, donnant une impédance équivalente Z j ω + jω 2 ω 2 soit Z ( + 2 )ω 2 j ω( 2 ω 2 ) /5 Étienne Thibierge, 4 janvier 208,

4 orrection TD E5 : Électronique en régime sinusoïdal forcé angevin-wallon, PTS association en parallèle de la résistance et du condensateur a pour admittance équivalente Y parr Y + Y + jω + jω soit Z parr Y parr + jω ette association est montée en série avec une résistance et un condensateur, l ensemble a donc comme impédance équivalente Z Z + Z + Z parr + jω + jω( + jω) + ( + jω) + jω + jω jω( + jω) soit enfin Z + 3jω 2 2 ω 2 jω( + jω) Exercice 2 : Équivalence entre dipôles impédance complexe du montage en série vaut Z Z + Z j ω + De même, l impédance complexe du montage en parallèle est telle que Z Z + Z jω + soit Z jω + jω es deux dipôles sont équivalents s ils ont les mêmes impédances complexes. l suffit donc pour trouver et d identifier les parties réelle et imaginaire de Z et Z. Écrivons donc Z sous forme algébrique, Ainsi, il y a équivalence entre les deux dipôles pour jω( jω) Z ( + jω)( jω) 2 ω ω 2 + j 2 ω ω 2. 2 ω ω 2 et 2 ω ω 2. emarquez que les deux dipôles ne sont donc pas équivalents tout le temps, mais seulement pour une valeur précise de fréquence... et si et sont choisis aléatoirement il n y a même aucune raison que l équivalence existe. 2 Si est remplacée par un condensateur, l impédance complexe de l association série s écrit Z + j ω j ω a condition d équivalence obtenue par identification des impédances devient 2 ω ω 2 et ω 2 ω ω 2. Néanmoins, comme toutes les grandeurs sont positives, la deuxième condition portant sur ne peut jamais être vérifiée. l n est pas possible d avoir équivalence entre les deux dipôles : un circuit capacitif est fondamentalement différent d un circuit inductif. Exercice 3 : Alimentation d un électroaimant de levage es deux branches forment un diviseur de courant, d où Y Y + Y + ZY + jω( + jω) En inversant la relation, + jω( + jω). 2/5 Étienne Thibierge, 4 janvier 208,

5 orrection TD E5 : Électronique en régime sinusoïdal forcé angevin-wallon, PTS En développant, [( ω 2) + jω ] d où en prenant le module m2 [ ( ω 2 ) ω 2] 2 m Pour déterminer la valeur de qui minimise m, calculons la dérivée par rapport à, d m 2 d [ 2 ( ω 2 ) ( ω 2 ) ω 2 ] m 2 2ω 2 [ + 2 ω ] a dérivée s annule pour ω 2 8, 0 6 F. 3 En reprenant les résultats précédents, m ( ω 2 ) ω 2 m 7,6 0 2 A. ajout du condensateur permet de diviser par 400 l amplitude du courant qui alimente l électroaimant, et donc de réduire les pertes Joule en ligne par 6 000! 4 admittance équivalente à l association s écrit soit en remplaçant par son expression Y + jω + Y Y + Y jω ω 2 + jω + jω jω ω 2 + jω ω 2 et finalement On y reconnaît l admittance d une résistance, Y ω 2. éq (ω) + 2 ω 2. 5 a tension aux bornes de l électroaimant s écrit ( + jω). omme est le même avec et sans condensateur (à un déphasage près), alors ne dépend pas de, au même déphasage près. On en conclut que l ajout du condensateur ne modifie pas la puissance fournie par le réseau électrique à l électroaimant... tout en diminuant considérablement les pertes en ligne. omplément culturel : Nous avons montré en cours que la puissance moyenne reçue par un dipôle quelconque s écrit P eff eff cos ϕ avec ϕ l argument de l impédance complexe du dipôle. ci, l ajout du condensateur a permis de rendre le dipôle électroaimant + condensateur équivalent à une résistance, c est-à-dire d avoir ϕ 0 donc cos ϕ. omme la tension efficace eff demeure fixée, l exercice a permis de constater que maximiser cos ϕ permet de minimiser l intensité d alimentation eff. ette méthode est très générale et porte un nom : on parle de redressement du facteur de puissance, le facteur de puissance étant le nom donné à cos ϕ. En France, la facturation électrique industrielle dépend du facteur de puissance des usines : meilleur il est, plus les tarifs sont bas, car les pertes en ligne sont moindres. 3/5 Étienne Thibierge, 4 janvier 208,

6 orrection TD E5 : Électronique en régime sinusoïdal forcé angevin-wallon, PTS E 2 2 Figure Schéma des notations. Exercice 4 : Obtention d une équation différentielle aisonnons à partir de la figure. D après la loi des nœuds, + 2 et en utilisant les admittances, 2jω + jω. Pour limiter les fractions on multiplie directement par, D après la loi des mailles dans la maille de droite, et dans la maille de gauche En regroupant et en identifiant τ, soit 2jωτ + jωτ jω E E 2jω. E 2jωτ 2jωτ( + 2jωτ) + jωτ E + 5jωτ + 4τ 2 (jω) 2 En identifiant les puissances de jω à l ordre des dérivées pour retourner dans le domaine des représentations réelles, on aboutit à e u + 5τ du dt + 4τ 2 d2 u dt 2 ce qui est bien le résultat escompté. Exercice 5 : Mesure à l ampèremètre e dipôle étant linéaire, le courant traversant l ampèremètre est sinusoïdal de même pulsation que la tension u AB. Sa valeur efficace vaut donc m / 2, où m est l amplitude du courant. omme l ampèremètre affiche la même valeur dans les trois cas, cela veut dire que l intensité efficace est la même dans les trois cas, et donc que l amplitude m est la même. En revanche, l ampèremètre ne donne aucune information sur le déphasage entre i et u AB. ela signifie que le module de l impédance complexe du dipôle AB est le même dans les trois situations. omme les dipôles de base sont ou bien court-circuités, ou bien montés en série, cette impédance est simple à déterminer, sachant que Z Z 2 Z 3. Z jω + + jω Z 2 jω + Z 3 jω. ommençons par déterminer la pulsation ω. En calculant le carré du module pour éviter les racines, on utilise l égalité ( Z 2 Z2 2 d où 2 + ω ) ω 2 soit ω ω ω ±ω, où seule la solution avec le signe peut convenir car /ω 0. On en déduit 2ω ω 0 soit 2ω2 et ω 2. 4/5 Étienne Thibierge, 4 janvier 208,

7 orrection TD E5 : Électronique en régime sinusoïdal forcé angevin-wallon, PTS Déterminons maintenant la résistance. Pour cela, il faut utiliser l égalité entre un module impliquant et celui ne l impliquant pas. En calculant à nouveau le carré du module, on utilise l égalité Z2 2 Z3 2 En utilisant l expression de ω, on en déduit soit ω 2 2 ω 2 d où 2 2 ω 2 2 ω d où 3 2. Annale de concours Exercice 6 : Double circuit en régime sinusoïdal [oral banque PT] es raisonnements sont identiques à ceux pour établir les équations différentielles, à ceci près qu on raisonne sur les amplitudes complexes. On travaille avec les notations de la figure 2. i u 2 u i 2 e 2 u e 2 i Figure 2 Notations pour l étude du double circuit. oi des nœuds : + 2 mpédances complexes : 2jω 2 + jω oi des mailles : 2jω(E ) + jω(e 2 ) mpédances complexes : 2jωE 2jω + jωe 2 jω En utilisant l hypothèse ω et en regroupant les termes dépendant de, on trouve ( + 3j) 2jωE + jωe 2 soit ( + 3j) jωe (2 + e 2jπ/3) avec les amplitudes complexes E E et E 2 E e 2jπ/3. On en déduit 2 + e2jπ/3 2 + cos 2π jωe 3 + j sin 2π 3 + 3j + 3j jωe j 2 jωe + 3j l reste maintenant à déterminer le module et l argument de pour déterminer son amplitude m et sa phase initiale ϕ i j 2 jω E + 3j ωe + 9 m 3 0 ωe et concernant la phase intiale ( 3 arg arg 2 + j ϕ i arctan 3 ) + arg (jωe) arg ( + 3j) π 2 arctan 3 5/5 Étienne Thibierge, 4 janvier 208,