Dans toute la leçon désigne un entier naturel A. Déterminant d une matrice carrée 1) Définition Une remarque : linéaire par rapport à la

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1 DETERMINANTS Ds toute l leço désge u eter turel A. Détermt d ue mtrce crrée ) Défto Ue remrque : Toute mtrce A M K peut s écrre A C,...,C où C,...,C sot les coloes de l mtrce Sot ue pplcto f de K Sot, M ds K O dt que f est lére pr rpport à l ème coloe de s vrble s, pour toutes ' coloes C,...,C,C,C,C,...,C et pour tous sclresα et β o : ' ' α β α β f C,...,C, C C,C,...,C f C,...,C,C,C,...,C f C,...,C,C,C,...,C O dt que f est tsymétrque pr rpport ux coloes de s vrble s, pour tout, j, tel que j et pour toutes coloes C,...,C, o : j f C,...,C j,...,c,...,c f C,...,C,...,C,...,C ) Théorème (dms) Il exste ue uque pplcto f : M K R vérft les tros proprétés suvtes :. f est lére pr rpport à chcue des coloes de s vrble. f est tsymétrque pr rpport ux coloes de s vrble. f I L pplcto f est ppelée détermt et est otée dét O ote S A det A le sclre,,,, f A pour toute mtrce A M K, det A est oté,,,, Remrque : S B est l mtrce obteue à prtr de l mtrce A e multplt ue et ue seule des coloes de A f B λ f A det B λ det A pr u sclre λ, lors sot Pr exemple s 3 A 4 et 9 B lors detb 3 deta

2 3) Proprétés mmédtes ) Pour toute mtrce A M K et pour tout sclre λ, o detλ A λ det A E effet λ A est obteue à prtr de l mtrce A e multplt chcue de ses coloes pr le sclre λ b) S l ue des coloes de l mtrce A M K est ulle, lors deta E effet, ds l coloe ulle o peut mettre e fcteur, et d près l remrque précédete deta c) S deux coloes de l mtrce A M K sot égles lors deta E effet, e échget les deux coloes égles, opposé doc f A f A est à l fos chgé et trsformé e so d) S B est l mtrce obteue à prtr de l mtrce A M K multple d ue utre coloe lors detb det A E effet, vec A C,...,C j j k C C λc vec j k e joutt à ue coloe u, s l mtrce B est obteue pr l opérto élémetre lors detb det A λdetc,..,c,...,c,...,c deta k k Plus géérlemet, s l o joute à ue coloe de A ue combso lére des utres coloes, le détermt de A est chgé 4) Cs et 3 c b d S A M K, b det A d bc c d Vérfer qu s déf le détermt d ue mtrce crrée d ordre possède les 3 proprétés demdées Iterprétto géométrque : Ds le pl mu d u repère orthoormé O,, j lors c b d, s o cosdère les vecteurs u,c u,v est l re du prllélogrmme formé vec les vecteurs u et v b c g h S A d e f M K, 3 b c e f b c b c det A d e f d g h h e f g h et vb,d O vérfe que le détermt d ue mtrce crrée d ordre 3 possède les 3 proprétés demdées

3 Iterprétto géométrque : Ds le pl mu d u repère orthoormé O,, j,k v b,e,h et wc, f, vecteurs u, v et w lors Exercces : Clculer les détermts j j, s o cosdère les vecteurs u,d,g b c d e f u,v,w est le volume du prlléléppède formé vec les g h π 3 3 j j (Avec j e 3 ),, 3 4, j j Doer sous forme fctorsée 5 b c où,b et c sot tros complexes b c, 3

4 B. Clcul de détermts, les détermts et produt mtrcel ) Développemet pr rpport à ue coloe ou ue lge (dms) Sot A M K O ote jème coloe, j j, j le sclre, j det A où A, j est l mtrce extrte de A e supprmt l ème lge et l Exemple : Sot A,, 4 j,,det A Développemet pr rpport à ue lge : Développemet pr rpport à ue coloe : j j j,,det A,j,j, j, j Exemple : c c b c b c = où, b, c sot tros sclres c b c b c c Corollre : Le détermt d ue mtrce trgulre est égl u produt de ses termes dgoux E effet l sufft de développer successvemet pr rpport à l premère lge (ou premère coloe) ) Détermt d u produt de mtrces ) Théorème (dms) Pour toutes mtrces A et B de M K, o : det AB det A det B b) Corollres p M, pour tout eter turel p o det A det A Sot A K Il sufft d effectuer ue récurrece sur p Sot A M K, A est versble deta, ds ce cs deta p det A 4

5 Démostrto : S A est versble lors AA I deta deta deta det A det A et lors Récproque Il exste ue mtrce E produt de mtrces élémetres (mtrces de dlttos, trsvectos et permuttos) et ue mtrce R écheloée rédute e coloes telles que A RE det R det A S A est ps versble, ue des coloes de R est ulle doc Pr cotrposto deta A versble Sot A K t M, o det A deta Le détermt vérfe lors les mêmes proprétés vs-à-vs des lges que des coloes C est-à-dre S o multple ue lge d ue mtrce pr u sclre λ lors le détermt de cette mtrce est multplé pr λ S o multple toutes les lges d ue mtrce pr u sclre λ lors le détermt de cette mtrce est multplé pr λ Le détermt d ue mtrce dot ue lge est formée de est ul Le détermt d ue mtrce qu deux lges detques est ul L échge de deux lges d ue mtrce multple le détermt ce dette mtrce pr L vleur du détermt d ue mtrce est chgée s o joute à ue lge ue combso lére des utres lges C. Détermt d ue fmlle de vecteurs, d u edomorphsme ) Détermt d ue fmlle de vecteurs Sot E u espce vectorel de dmeso mu d ue bse B ) Défto Sot u,...,u ue fmlle de vecteurs de E O ppelle détermt de l fmlle de vecteursu,...,u ds l bse B le détermt de l mtrce des coordoées de ces vecteurs ds l bse B det u,...,u Ce détermt est oté Exemple : Clculer det B B B b) Effet d u chgemet de bse sur le détermt de vecteurs Sot B' ue utre bse de E, otos P l mtrce de pssge de B à B' Notos A l mtrce de l fmlle de vecteurs u,...,u ds l bse B Notos A' l mtrce de l fmlle de vecteurs u,...,u ds l bse B' dét u,...,u det A d et PA' det P det A' det P det u,...,u B B' 5

6 Le détermt de l fmlle u,...,u Toutefos detp, pusque P est versble O lors det u,...,u det u,...,u B B' déped doc de l bse chose L o ullté de ces détermts trdut le ft que l mtrce A (ou l mtrce A' ) est versble c est à dre que les vecteurs coloes de ces mtrces formet ue fmlle lbre sot ecore que l fmlle u,...,u est ue bse de E D où le théorème : Ue fmlle de vecteurs d u espce vectorel E de dmeso est ue bse de E s et seulemet s le détermt de l fmlle de ces vecteurs ds ue bse quelcoque est o ul ) Détermt d u edomorphsme Sot E u espce vectorel de dmeso mu d ue bse B e,...,e ) Trvl prélmre Sot f u edomorphsme de E Le détermt de l mtrce de f ds ue bse doée e déped ps de l bse chose E effet Sot B' ue utre bse de E, otos P l mtrce de pssge de B à B' Notos A l mtrce de l edomorphsme f ds l bse B Notos A' l mtrce de l edomorphsme f ds l bse B' O A' P AP det A' det P det A det P det A det P det A det P b) Défto Sot f u edomorphsme de E O ppelle détermt de l edomorphsme f le détermt de l mtrce de f ds mporte quelle bse de E, o le ote det f O doc det f det Mt f det f e,..., f e c) Proprétés B B Soet deux edomorphsmes f et g de E de dmeso et u sclre λ O : det λ f λ det f det f g det f detg De plus U edomorphsme f de E est u utomorphsme de E s et seulemet s det f Ds ce cs o lors det f det f 6